精华内容
下载资源
问答
  • 高等数学张宇18讲 第十讲 三重积分、第一型曲线曲面积分 易错题和难题记录

    例题十七

    例17.4  计算三重积分I=Ω(x2a2+y2b2+z2c2)dxdydzI=\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\left(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,其中Ω\Omega是椭球体x2a2+y2b2+z2c21\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}\leqslant1

      由于
    I=Ωx2a2dxdydz+Ωy2b2dxdydz+Ωz2c2dxdydz, I=\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{x^2}{a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{y^2}{b^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{z^2}{c^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,
      其中Ωx2a2dxdydz=aax2a2dxDdydz\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{x^2}{a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\displaystyle\int^a_{-a}\cfrac{x^2}{a^2}\mathrm{d}x\displaystyle\iint\limits_{D}\mathrm{d}y\mathrm{d}z,这里DD表示椭圆y2b2+z2c21x2a2\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}\leqslant1-\cfrac{x^2}{a^2},即
    y2b2(1x2a2)+z2c2(1x2a2)1, \cfrac{y^2}{b^2\left(1-\cfrac{x^2}{a^2}\right)}+\cfrac{z^2}{c^2\left(1-\cfrac{x^2}{a^2}\right)}\leqslant1,
      其面积为
    π(b1x2a2)(c1x2a2)=πbc(1x2a2). \pi\left(b\sqrt{1-\cfrac{x^2}{a^2}}\right)\left(c\sqrt{1-\cfrac{x^2}{a^2}}\right)=\pi bc\left(1-\cfrac{x^2}{a^2}\right).
      故
    Ωx2a2dxdydz=aaπbca2x2(1x2a2)dx=415πabc. \displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{x^2}{a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\displaystyle\int^a_{-a}\cfrac{\pi bc}{a^2}x^2\left(1-\cfrac{x^2}{a^2}\right)\mathrm{d}x=\cfrac{4}{15}\pi abc.
      同理可得
    Ωy2b2dxdydz=415πabc,Ωz2c2dxdydz=415πabc. \displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{y^2}{b^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\cfrac{4}{15}\pi abc,\qquad\displaystyle\iiint\limits_{\Omega}\cfrac{z^2}{c^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\cfrac{4}{15}\pi abc.
      所以I=3415πabc=45πabcI=3\cdot\cfrac{4}{15}\pi abc=\cfrac{4}{5}\pi abc。(这道题主要利用了对称性求解

    写在最后

      如果觉得文章不错就点个赞吧。另外,如果有不同的观点,欢迎留言或私信。
       欢迎非商业转载,转载请注明出处。

    展开全文
  • 重积分和线面积分总结

    千次阅读 2016-05-29 21:20:28
    因为要准备省赛,所以要加强对算法的学习,但是我却以这为理由,放松了对高数、线...重积分 一、二重积分的概念和性质    定义:二重积分是二元函数在平面区域上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限

      因为要准备省赛,所以要加强对算法的学习,但是我却以这为理由,放松了对高数、线代等其他学科的学习,现在看来,这是不理智的,因为“学习都是相通的”,搞算法也要有良好的基础,而且题目也有不少直接是高数的定理、公式,所以我悔悟了,准备好好对待各个学科,从高数走起。

    重积分

    一、二重积分的概念和性质

       

      定义:二重积分是二元函数在平面区域上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。

      这里面的基本概念我就不一一列举了,思想是大化小,常代变,近似和,取极限,这个思想到后面的线面积分都会一直用到。

    性质:

      1.积分可加性(满足数乘)——线性性质

      2.区域可加性(分段可加性)

      3.如果在D上,f(x,y)=1,面积为S

    ∫∫dxdy=∫∫dS=S
      4.如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则
                    由于   -| f(x,y) |<=f(x,y)<=| f(x,y) |
                  得
      5.设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,
    6.(二重积分的中值定理)
    设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得
    (部分公式直接从百度百科上扒的)


    二、二重积分的计算法
    1.利用直角坐标计算二重积分
      先x后y
      先y后x
    2.利用极坐标计算二重积分
    三、三重积分
      定义:略。
      性质(类比于二重积分,不再赘述)。
      计算方法:
    1.利用直角坐标计算三重积分

    1.“先一后二”法(思想:穿刺投影

    2..“先二后一”法(两种方法最终都是要化成三次积分法的)

    2.利用柱面坐标计算三重积分

    3.利用球面坐标计算三重积分

    四、重积分的应用

    1.曲面的面积


    2.质心


    3.转动惯量


    4.引力


    曲线积分与曲面积分

    一、对弧长的积分

    曲线积分分为:对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)

    对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)

    两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy,例如:对L’的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义,通常说来都是正的,而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。(baidu baike)

    被积函数是1的话,积分结果是弧长。

    定积分不可看做对弧长曲线积分的特例

    性质:分段可加性、对称性、轮换对称性等等。

    遵循“偶零奇倍”的原则

    计算方法:

    二、对坐标的曲线积分

    三、格林公式及其应用

    四、对面积的曲面积分

    五、对坐标的曲面积分

    六、高斯公式

    七、斯托克斯公式

    (待续……

    展开全文
  • 二、几个与重积分有关的实际问题 1. 曲顶柱体的体积(分割取近似、作和求极限) 2. 平面薄片的质量 3. 空间立体的质量 4. 上述问题的共同点 三、重积分的概念 1. 二重积分的...

    一、问题的引入——不规则几何体的体积及密度不均匀的薄片的质量如何计算?

     

    二、几个与重积分有关的实际问题

    1. 曲顶柱体的体积(分割取近似、作和求极限)

     

    2. 平面薄片的质量

     

    3. 空间立体的质量

     

    4. 上述问题的共同点

     

    三、重积分的概念

    1. 二重积分的概念(积分和、积分域、被积函数、面积元素、积分表达式)

     

    2. 三重积分的概念

     

    3. 二重积分的存在性判定

     

     

    四、重积分的性质

    1.  二重积分的线性运算性质

     

    2. 二重积分对积分区域的可加性

     

    3. 二重积分的保号性、保序性及有界性

     

    4. 二重积分的积分中值定理

     

     

     

    展开全文
  • 高等数学多元函数积分学思维导图
  • 第十章、重积分 知识逻辑结构图 考研考试内容 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用. 考研考试要求 1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理. 2.掌握二重积分的计算...

    第十章、重积分

    知识逻辑结构图

    在这里插入图片描述

    考研考试内容

    二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用.

    考研考试要求

    • 1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理.
    • 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

    网课笔记

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2021.4.2

    题目

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    解析

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    之后我会持续更新,如果喜欢我的文章,请记得一键三连哦,点赞关注收藏,你的每一个赞每一份关注每一次收藏都将是我前进路上的无限动力 !!!↖(▔▽▔)↗感谢支持!

    展开全文
  • 高等数学(下)知识点总结

    万次阅读 多人点赞 2019-03-26 19:12:20
    高等数学(下)知识点总结 首先我们学习了空间解析几何。平面的三种方程适用于不同类型的题目: 类比平面解析几何,不难得出如下的夹角与距离的概念: 研究完平面,我们研究直线。直线也有下面三种方程: ...
  • 高等数学》教学工作总结

    千次阅读 2007-05-20 10:09:00
    一 教学内容 本学期学习“高等数学”上册,即一元函数微积分部分和微分方程两大部分共章,是第一学期专用的高职高专的规划教材。在保证科学性的基础上,贯彻了少而精的原则,从教学内容量看比较全,有一定的难度...
  • 高数篇:高等数学全目录

    千次阅读 2020-12-23 10:39:17
    高数篇:高等数学全目录高数篇:高等数学全目录直接上图 高数篇:高等数学全目录 立个flag:2021考研 今天开始声势浩大的备战明年考研(ps:也不知道啥时候会萎~)。 1年复习时间,应该可以把高数混熟了吧。 直接...
  • 高数总结

    千次阅读 2012-11-27 22:19:25
    高等数学干吗要研究级数问题?  是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深? No,是为了把各种简单的问题/复杂的问题,他们的求解过程用一种通用的方法来表示。  提一个问题,99*99等于多少? 相信我们不会傻...
  • 第十一章、曲线积分与曲面积分 知识逻辑结构图 考研考试内容 两类曲线积分的概念、性质及计算,两类曲线积分的关系,格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件(注意单连通域与复连通域的区别),已知全微分求原函数...
  • 高数常考考点总结

    热门讨论 2016-10-16 19:23:36
    8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。 、无穷级数 1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛...
  • 高数基本概念总结

    2019-10-04 12:00:46
    二重积分和三重积分的计算 重积分的应用 十一、曲线积分和曲面积分 弧长曲线积分:对N元空间曲线(积分弧段)内的微分长度求某N元函数(被积函数)的积分。 坐标曲线积分的计算方法:用两个偏导数函数求坐标曲线积分 十二...
  • 最近数学积分部分学的雨里雾里,直到看到了这篇文章~ 在此分享~ 原文出处 线积分的符号是∫,代表被积区域是一条线,计算本质是定积分; 面积分的符号是∫∫,代表被积区域是一个面,计算本质是二重积分; 三重积分...
  • 专升本高数——常用公式总结大全【补充扩展】

    千次阅读 多人点赞 2020-02-22 11:17:27
    多元函数微分法及其应用 二十:微分法在几何的应用 二十一:方向导数与梯度 二十二:多元函数的极值及其求法 二十三:重积分及其应用 二十四:柱面坐标和桌面坐标 二十五:曲线积分 二十六:曲面积分 二十:高斯...
  • 高等数学知识框架初步

    千次阅读 2020-09-02 22:08:06
    文章目录高等数学知识框架初步按学习路线一、极限理论体系前言初等数学数列极限与函数极限无穷级数总结二、一元微分学理论体系前言一元微分学理论体系总结三、一元积分学理论体系前言一元积分理论体系总结
  • 高等数学

    千次阅读 2021-01-23 19:43:23
    积分上限函数:由变上限积分所确定的函数. 三、函数的几种特性 有界性: 设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在数集 XXX 上有定义,若存在正数 MMM,使得对于每一个 x∈Xx \in Xx∈X,都有 ∣f(x)∣⩽|f(x)| \leqslant∣f(x)∣...
  • 【数学】徐小湛第七高等数学新版

    千次阅读 2019-07-21 23:04:52
    │ 18 重积分的应用 (5) 转动惯量与引力 │ 2 二重积分的性质 │ 3 二重积分的计算法 (1) 直角坐标 │ 4 二重积分的计算法 (2) 直角坐标 │ 5 二重积分的计算法 (3) 改变积分次序 │ 6 二重积分的计算法 (4) 极坐标 ...
  • Python在高等数学中的运用

    千次阅读 2019-07-06 17:50:21
    文章目录一、问题背景二、实验目的三、实验原理与数学模型四、实验...高等数学应用非常广,基本上涉及到函数的地方都要用到微积分,还有在几何方面也是如此,计算机的应用让我们能简单快速处理各种高等数学中的计算...
  • 数学总结(建造中)

    2021-06-25 15:47:02
    必背表 ps:正在建造中… ① 泰勒 ② 各类求导关系 ③ 三角变换 ④ 部分积分表 ⑤ 初等函数运算变换法则 一、数列极限 传送门(点我) ...八、重积分 传送门(点我) 九、微分方法 传送门(点我) ...
  • 数学知识-微积分

    2018-09-05 23:10:12
    学习高数的时间有点久了,很多概念都生疏了,所以花了一天时间重新翻了一遍高等数学,就写一篇文档总结一下微积分中的关键点和关键概念,帮助以后工作更快速的进步。我看的教材还是同济版的,同济的高等数学写的要比...
  • 文章目录数学边界前言定位知识边界的起因我对知识边界的认识地图认识圆圈认识数学边界初中数学(萌芽)高中数学(常量数学、初等数学)大学数学(变量数学、高等数学)研究生数学总结 定位知识边界的起因 在初二那会...
  • 高等数学知识点汇总

    2020-07-03 17:16:41
     4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)  5、函数的连续性  6、间断点的类型  7、渐近线的计算 第二章导数与...
  • 高等数学》上——郑州大学的高数笔记 一、函数与极限 1.1 映射与函数 1.2 数列的极限 1.3 函数的极限 1.4 无穷小与无穷大 1.5 极限运算法则 1.6 极限存在准则及两个重要极限 1.7 无穷小...
  • 链接地址:... 同济高等数学版(第六版也可以) 2. 配套课后习题答案解析.全书类 1.张宇18讲(主要推荐) 2.汤家凤无师自通复习大全 3.李永乐全书.真题类 1.张宇真题大全解(推荐).刷题...
  • 【微积分】复习

    千次阅读 2017-11-14 21:39:34
    学习高数的时间有点久了,很多概念都生疏了,所以花了一天时间重新翻了一遍高等数学,就写一篇文档总结一下微积分中的关键点和关键概念,帮助以后工作更快速的进步。我看的教材还是同济版的,同济的高等数学写的要比...
  • 高数:第章(同济大学第版)

    千次阅读 2019-04-11 11:55:13
    f1f_1f1​(x)+ f2f_2f2​(x) 而 y1y_1y1​*(x)与 y2y_2y2​*(x)分别是方程 y’’+P(x)y’+Q(x)y= f1f_1f1​(x)与 y’’+P(x)y’+Q(x)y= f2f_2f2​(x)的特解 则 y1y_1y1​*(x)+ y2y_2y2​*(x)是原方程的特解 、常...
  • 毕业设计(论文)开题报告论文题目: 重积分的计算方法研究学生姓名: 羊丽 学 号: 103121027专 业: 数学与应用数学 方 向: 数学分析指导教师: 张 吉 刚2013年 3 月 2 日开题报告填写要求1.开题报告作为毕业设计...
  • 同时它与高等数学的关系比较紧密,比如连续型随机变量在计算概率、期望、方差、协方差、相关系数时需要用到积分等,很多考生就是因为积分计算不过关,导致这部分考题不得分。2、它的两个解答大题在试卷的最后,有些...
  • 高等数学A》课堂笔记——96_98分的高分成绩,你真的不想要吗?

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 17
收藏数 326
精华内容 130
关键字:

高数七重积分的总结