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  • 多维尺度分析MDS详解

    2021-04-16 21:23:31
    一 概述 MDS的初衷是将图结构中的距离在空间的一种表示。例如,已知几个城市的距离,但是不知道城市的坐标,那么MDS就能通过距离矩阵转换成空间坐标向量来近似描述距离...MDS是主要分为两类:度量化多维尺度分析(经典

    一 概述

    MDS的初衷是将图结构中的距离在空间的一种表示。例如,已知几个城市的距离,但是不知道城市的坐标,那么MDS就能通过距离矩阵转换成空间坐标向量来近似描述距离。更重要地是,MDS可以更广泛地应用于任意类型的数据实体相似度或距离描述在低维空间的表示

    多维尺度分析MDS的基本思想:用低维空间Rk (k<n)的n个点去重新标度高维空间Rn 的n个实体间的距离或者相似度。将高维空间的n个研究对象简化到低维空间处理,并且保留高维空间中n个对象较高的相似度。

    MDS是主要分为两类:度量化多维尺度分析(经典MDS)和非度量化多维尺度分析。经典MDS适用于用距离度量相似度的应用;非度量化MDS适用于无法获得研究对象精确的相似度描述,仅能获得对象之间的等级关系。

    MDS于PCA的比较:
    相同点:都是数据降维后再进行分析
    不同点:PCA选取主成分来降维;MDS通过让标度前后距离尽量相似来构造拟合点

    本文详细讨论经典MDS。

    二 经典MDS

    1. CMDS实现步骤

    经典多维尺度分析(CMDS)的思路是:给出n个结点的距离矩阵D,Dij表示节点i与j之间的距离。我们希望将n个节点映射为n个k维向量(平面表示的话k就是2),记作X1,X2,…,Xn,使得Dij≈||Xi-Xj||,即高维空间节点距离用于低维空间向量的距离近似表示。具体算法如下:

    • 输入D
    • D的所有元素取原值的平方,得距离平方矩阵 Δ \Delta Δ
    • 构造单位矩阵E和n维全1矩阵U
    • 计算点积矩阵S = -1/2·(E-U/n)· Δ \Delta Δ·(E-U/n)
    • 对S进行特征分解S = QΣ2 QT
    • 选取前K个最大的特征值的根号值Σk和正交特征向量Qk
    • 降维表示:Dk= Σ k Q k T \Sigma_k Q_k^T ΣkQkT

    至于上述过程为什么是这样,需要用到数学证明,请看下节。

    2. 数学推导

    假定在原始空间的n个样本的距离矩阵D ∈ \in R n × n R^{n×n} Rn×n,其i行j列元素 d i j d_{ij} dij表示原始空间中第i个节点和第j个节点间的距离。在低维空间表示矩阵X ∈ \in R n × k R^{n×k} Rn×k,且使得 ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ = d i j ||x_i-x_j||=d_{ij} xixj=dij。令点积矩阵 S = X X T S=XX^T S=XXT, S i j S_{ij} Sij表示向量 x i x_i xi x j x_j xj的内积即 S i j = x i T ∗ x j S_{ij}=x_i^T*x_j Sij=xiTxj。此时有如下公式成立:
    d i j 2 = ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ 2 = ( x i − x j ) 2 = ∣ ∣ x i ∣ ∣ 2 + ∣ ∣ x j ∣ ∣ 2 − 2 x i T x j = S i i + S j j − 2 S i j (1) \begin{aligned} d_{ij}^2&=||x_i-x_j||^2\\ &=(x_i-x_j)^2\\ &=||x_i||^2+||x_j||^2-2x_i^Tx_j\\ &=S_{ii}+S_{jj}-2S_{ij}\tag 1 \end{aligned} dij2=xixj2=(xixj)2=xi2+xj22xiTxj=Sii+Sjj2Sij(1)

    为了数据分析地简便,我们一般希望降维后的数据X均值中心化,即X的各列(或各行)之和为0。此时点积矩阵S各行各列元素之和均为0,即 ∑ i = 1 n S i j = 0 = ∑ j = 1 n S i j \sum\limits_{i=1}^nS_{ij}=0=\sum\limits_{j=1}^nS_{ij} i=1nSij=0=j=1nSij。点积S矩阵此性质很重要,它可以推到出如下公式:
    ∑ i = 1 n d i j 2 = ∑ i = 1 n ( S i i + S j j − 2 S i j ) = t r ( S ) + n S j j ( 一 列 距 离 平 方 和 ) ∑ j = 1 n d i j 2 = ∑ j = 1 n ( S i i + S j j − 2 S i j ) = t r ( S ) + n S i i ( 一 行 距 离 平 方 和 ) ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j 2 = ∑ i = 1 n ( t r ( S ) + n S i i ) = 2 n t r ( S ) ( 所 有 距 离 平 方 和 ) \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^nd_{ij}^2&=\sum\limits_{i=1}^n(S_{ii}+S_{jj}-2S_{ij})=tr(S)+nS_{jj} \text(一列距离平方和)\\ \sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2&=\sum\limits_{j=1}^n(S_{ii}+S_{jj}-2S_{ij})=tr(S)+nS_{ii}\text(一行距离平方和)\\ \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2&=\sum\limits_{i=1}^n(tr(S)+nS_{ii})=2ntr(S)(所有距离平方和) \end{aligned} i=1ndij2j=1ndij2i=1nj=1ndij2=i=1n(Sii+Sjj2Sij)=tr(S)+nSjj()=j=1n(Sii+Sjj2Sij)=tr(S)+nSii()=i=1n(tr(S)+nSii)=2ntr(S)()
    推导出上述三个公式用什么用?我们的目的是求S,根据公式(1)可得: S i j = − 1 2 ( d i j 2 − S i i − S j j ) S_{ij}=-\frac{1}{2}(d_{ij}^2-S_{ii}-S_{jj}) Sij=21(dij2SiiSjj)。继续看下述推导:
    S i i = 1 n ( ∑ j = 1 n d i j 2 − t r ( S ) ) S j j = 1 n ( ∑ i = 1 n d i j 2 − t r ( S ) ) − S i i − S j j = − 1 n ∑ j = 1 n d i j 2 − 1 n ∑ i = 1 n d i j 2 + 2 n t r ( S ) = − 1 n ∑ j = 1 n d i j 2 − 1 n ∑ i = 1 n d i j 2 + 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j 2 \begin{aligned} S_{ii}&=\frac{1}{n}( \sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2-tr(S))\\ S_{jj}&=\frac{1}{n}( \sum\limits_{i=1}^nd_{ij}^2-tr(S))\\ -S_{ii}-S_{jj}&=-\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nd_{ij}^2+\frac{2}{n}tr(S)\\ &=-\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nd_{ij}^2+\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2 \end{aligned} SiiSjjSiiSjj=n1(j=1ndij2tr(S))=n1(i=1ndij2tr(S))=n1j=1ndij2n1i=1ndij2+n2tr(S)=n1j=1ndij2n1i=1ndij2+n21i=1nj=1ndij2
    综上所述,可得:
    S i j = − 1 2 ( d i j 2 − 1 n ∑ j = 1 n d i j 2 − 1 n ∑ i = 1 n d i j 2 + 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j 2 ) = − 1 2 ( d i j 2 − d i . 2 − d . j 2 + d . . 2 ) \begin{aligned} S_{ij}&=-\frac{1}{2}(d_{ij}^2-\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nd_{ij}^2+\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nd_{ij}^2)\\ &=-\frac{1}{2}(d_{ij}^2-d_{i.}^2-d_{.j}^2+d_{..}^2) \end{aligned} Sij=21(dij2n1j=1ndij2n1i=1ndij2+n21i=1nj=1ndij2)=21(dij2di.2d.j2+d..2)
    即: S = − 1 2 ( E − 1 n U ) Δ ( E − 1 n U ) S=-\frac{1}{2}(E-\frac{1}{n}U)\Delta(E-\frac{1}{n}U) S=21(En1U)Δ(En1U)。E是单位矩阵,U是全1矩阵, Δ \Delta Δ是距离平方矩阵。

    最后对S进行特征分解: S = Q Σ 2 Q T S=Q\Sigma^2Q^T S=QΣ2QT,选取前k个较大的特征值的根号值和特征向量用于数据降维,即 X = Σ k Q k T X=\Sigma_k Q_k^T X=ΣkQkT到此实现了,n维空间的n个距离用k(k<<n)维空间的n个坐标来近似描述,这就是经典MDS的核心。

    3. 代码实现及案例

    #经典MDS
    def cmds(D,k):
        m,n =D.shape
        #距离平方矩阵
        delta = D * D
        #全1矩阵
        U = np.zeros((n,n))
        E = np.eye(n)
        #计算内积矩阵
        S = -1.0 / 2 *((E - 1.0/n * U) @ delta @ (E - 1.0/n * U))
        #对内积矩阵进行特征分解
        lambdas,V=np.linalg.eigh(S)
        #翻转特征向量,因为其是按特征值升序排列的
        V = np.flip(V,axis=1)
        Sigma = np.zeros((k,k))
        for i in range(1,k+1):
            Sigma[i-1,i-1] = math.sqrt(lambdas[-i])
        return  Sigma @ V[:,:k].T
    

    现给出一个案例:我国8大城市的距离如下。
    在这里插入图片描述
    利用上述代码去拟合这个案例的相对位置在平面展示:

    D=np.array([0,118,439,668,714,1259,1328,1065,
                118,0,363,571,729,1145,1191,936,
                439,363,0,362,443,886,872,626,
                668,571,362,0,772,776,828,617,
                714,729,443,772,0,984,962,710,
                1259,1145,886,776,984,0,203,322,
                1328,1191,872,828,962,203,0,305,
                1065,936,626,617,710,322,305,0])
    labls=['北京','天津','济南','青岛','郑州','上海','杭州','南京']
    D=D.reshape(8,8)
    Dk=cmds(D,2) * -1
    x=Dk[1]
    y=Dk[0]
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
    plt.scatter(x, y)
    for i in range(len(x)):
        plt.annotate(labls[i], xy = (x[i], y[i]), xytext = (x[i]+0.1, y[i]+0.1))
    plt.show()
    

    拟合后的城市相对位置如下图:
    请添加图片描述
    总结: MDS是经典的降维算法,其核心思想是利用低维空间的向量距离近似替代高维空间的向量距离,从而保留样本之间差异(距离近似)的同时又进行了降维。

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  • NMDS非度量多维尺度分析

    万次阅读 2018-05-11 18:26:04
    NMDS非度量多维尺度分析简介 非度量多维尺度法是一种将多维空间的研究对象(样本或变量)简化到低维空间进行定位、分析和归类,同时又保留对象间原始关系的数据分析方法。适用于无法获得研究对象间精确的相似性或相...

    NMDS非度量多维尺度分析简介

      非度量多维尺度法是一种将多维空间的研究对象(样本或变量)简化到低维空间进行定位、分析和归类,同时又保留对象间原始关系的数据分析方法。

    适用于无法获得研究对象间精确的相似性或相异性数据,仅能得到他们之间等级关系数据的情形。其基本特征是将对象间的相似性或相异性数据看成点间距离的单调函数,在保持原始数据次序关系的基础上,用新的相同次序的数据列替换原始数据进行度量型多维尺度分析。

    换句话说,当资料不适合直接进行变量型多维尺度分析时,对其进行变量变换,再采用变量型多维尺度分析,对原始资料而言,就称之为非度量型多维尺度分析。其特点是根据样品中包含的物种信息,以点的形式反映在多维空间上,而对不同样品间的差异程度,则是通过点与点间的距离体现的,最终获得样品的空间定位点图。  

    
    ####画NMDS图##
    library(vegan)
    library(ecodist)
    #abund_table <- read.table(file = "OTU_matrix_ITS1.otumap.5seqs.fungi_noS4.txt", sep = "\t", row.names=1,  head = T, check.names  =  FALSE)
    
    require(ecodist)
    # 把OTU 变成hellinger-transform to relative abund 进行统计分析
    abund_table <- read.table(file = "otutab_norm.txt", sep = "\t", row.names=1,  head = T, check.names  =  FALSE)
    abund_table <- t(abund_table) ##先进行OTU纵横轴变换。
    abund_table.hell <- decostand(abund_table, "hell") #hellinger: square root of method = "total"
    meta_table<-read.table("design.txt",sep = "\t", head = T,row.names=1,check.names=FALSE, fill = T)
    set.seed(1234) #每次分析开始的位置,保证分析结果的一致性
    emf.bray<-distance(abund_table.hell,"bray-curtis")
    otu.nmds<-metaMDS(emf.bray, trace = FALSE)
    #otu.nmds
    pdf("NMDS.pdf",width=14,height=14)
    p<- plot(scores(otu.nmds, choice=c(1, 2)), col=c("purple","green","blue")[meta_table$genotype], 
             cex=1.5, font=1,  pch=1,xlim=c(-0.3,0.3),ylim=c(-0.2,0.2)) ##NMDS作图###
    legend('topright', legend=levels(meta_table$genotype), col=c("purple","green","blue"),pch=1,cex=0.8,box.lty =1)###NMDS添加Legend###
    with(otu.nmds,ordiellipse(otu.nmds, meta_table$genotype,display = "sites", kind = "se", conf = 0.95, lwd=2,cex=0.8,lty=1,col=c("purple","green","blue"),font=2,label = FALSE))
    #dev.off()
    env<-meta_table[,c(5:10)]
    head(env)
    ef1<-envfit(otu.nmds,env,na.rm=TRUE)###环境变量envfit###
    p<- p+ plot(ef1,p.max=0.05,col="black") #####plot(ef1)##所有环境因子图添加箭头###
    ef1
    dev.off()
    

    展开全文
  • 多维尺度分析中的算法研究 提出一种新的多维尺度分析算法。该算法是对K r u s k al 算法进行了实质性 的修改而获得的, 从而在理论上首次证明了算法的收敛性 。 所做的数值实验表明文中所 提出的算法仍具有良好的实际...
  • 提出一种新的多维尺度分析算法。该算法是对Kruskal算法进行了实质性的修改而获得的,从而在理论上首次证明了算法的收敛性。所做的数值实验表明文中所提出的算法仍具有良好的实际计算效果。
  • SPSS数据分析—多维尺度分析

    千次阅读 2017-09-22 10:20:00
    SPSS数据分析—多维尺度分析 在市场研究中,有一种分析是研究消费者态度或偏好,收集的数据是某些对象的评分数据,这些评分数据可以看做是对象间相似性或差异性的表现,也就是一种距离,距离近的差异性小,距离远的...

    SPSS数据分析—多维尺度分析

    在市场研究中,有一种分析是研究消费者态度或偏好,收集的数据是某些对象的评分数据,这些评分数据可以看做是对象间相似性或差异性的表现,也就是一种距离,距离近的差异性小,距离远的差异性大。而我们的分析目的也是想查看这些对象间的差异性或相似性情况,此时由于数据的组成形式不一样,因此不能使用对应分析,而需要使用一种专门分析此问题的方法——多维尺度分析(MDS模型)。多维尺度分析和对应分析类似,也是通过可视化的图形阐述结果,并且也是一种描述性、探索性数据分析方法。

    基于以上,我们可以得知,多维尺度分析经常使用在市场研究中:

    ① 可以确定空间的维数(变量、指标),以反映消费者对不同品牌的认知,并且在由这些维构筑的空间中,标明某关注品牌和消费者心目中理想品牌的位置,选择的品牌不宜过少也不宜过多,一般7-9个。

    ② 可以比较消费者和非消费者对企业形象的感觉。

    ③ 在进行市场细分时,可以在同一空间对品牌和消费者定位,然后把具有相似感觉的消费者分组、归类。

    ④ 在新产品开发方面,通过在空间图上寻找间隙,可以发现由这些间隙为企业带来的潜在契机。

    ⑤ 在广告效果的评估方面,可以用空间图去判定一个广告是否成功地实现了期望的品牌定位。

    ⑥ 在价格策略方面,通过比较加入与不加入价格轴的空间图,可以推断价格的影响强度。

    ⑦ 在分销渠道策略方面,利用空间图可以判断品牌对不同零售渠道的适应性,从而为制定有效的分销渠道提供依据。

    在市场研究中,我们要注意的是选择的品牌数量要适中,并且分析的问题要明确,每组数据只能分析一个问题,比如对一组饮料产品收集的数据不能既反映口感又反映价格。

    多维尺度分析收集的数据值大小必须能够反应两个研究对象的相似性或差异性程度。这种数据叫做邻近数据,所有研究对象的邻近数据可以用一个邻近矩阵表示。反映邻近的测量方式有:

    相似性-数值越大对应着研究对象越相似。 差异性-数值越大对应着研究对象越不相似。

    测量邻近性数据的类型有:

    ①两个地点(位置)之间的实际距离。(测量差异性)

    ②两个产品之间相似性或差异性的消费者心理测量。(差异性或相似性)

    ③两个变量的相关性测量。(相关系数测量相似性)

    ④从一个对象过渡到另一个对象的转换概率。例如概率反应了消费者对品牌或产品偏好的变化。(测量相似性)

    ⑤反映两种事物在一起的程度。例如:用早餐时人们经常将哪两种食品搭配在一起。(测量相似性)

    ⑥谁喜欢谁,谁是谁的领导,谁传递给谁信息,谁是谁的上游或下游等等社会网络数据等(测量相似性)

    邻近数据即可以直接测量(距离),也可以通过计算得到(变量间的相关系数)。

    多维尺度模型根据测量的尺度不同可以分为:

    ①古典MDS模型,针对收集的数据为比率和区间,也就是直接可以测量距离的情况

    ②非度量MDS模型,收集的数据为有序数据,针对无法直接测量距离,只能通过评分测量的情况

    根据测量的个体数量不同,可以分为

    ①不考虑个体差异的MDS模型(ALSCAL),即单个测量个体

    ②考虑个体差异的MDS模型(INDSCAL),即多个测量个体

    这里说的测量个体并不是选取的测量指标,而是实际测量的个体,相当于样本。

    由于多维尺度分析是用来分析差异性或相似性的,也带有度量的含义,因此在SPSS中也将其归在了度量过程中。共有三个过程,下面我们来分别介绍

    一、不考虑个体差异的MDS模型

    本案例进行的是最基本的多维尺度分析,目的是分析每个城市的距离情况,只有一个个体,并且收集的数据直接是距离数据,因此采用古典MDS模型,数据组成如下

    分析—度量—多维尺度(ALSCAL)

    二、考虑个体差异的MDS模型

    实际分析中,我们往往不会只选取一个样本,比如受访者肯定不止一个,那么收集上来的数据会变成多个矩阵,如果将其浓缩为一个矩阵会损失大量数据信息,而直接使用重复多维尺度模型当然也是可以的,但是该方法没有考虑个体间差异,因此并非最佳选择。而考虑个体差异的MDS模型不仅分析对象间的结构,而且会进一步分析对象间的差异。

    本例中识10位受访者对10种饮料的口感差异性评分,分值越大差异越大,10位受访者的数据形成了10个数据阵,数据如下

    下面我们选用考虑个体差异的MDS模型进行分析

    三、基于最优尺度变换的MDS模型

    将最优尺度变换引入MDS模型式对传统MDS模型的拓展,我们来看使用最优尺度变换的MDS模型再来分析一下饮料的数据

    分析—度量—多维尺度(PROXSCAL)

    四、多维展开模型
    以上的MDS模型不管是传统MDS还是非度量MDS,都是要求各对象间不存在分组,分析时是直接考虑各对象两两间的距离远近。但是实际问题中,可能会遇到对象被分为两组,我们是想考察这多个组之间的相似性或差异性,而对组内对象间的距离远近并不关心,这时传统的MDS模型就不再适合,而需要采用多维展开模型进行分析。

    看一个例子,现在收集了两组变量,一组是场景,共15个水平,另一组是行为,共15个水平。现在想分析这两组变量间的差异性或相似性,数据如下

    我们用多维展开模型进行分析
    分析—度量—多维展开(PREFSCAL)

    接下来会分别输出行列变量的坐标,以及行列变量在二维分布图,但是我们实际上更关心的是行列变量的联合分布图

    转载于:https://www.cnblogs.com/amengduo/p/9586841.html

    展开全文
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  • 多维尺度分析之下不同模型的比较

    千次阅读 2017-03-16 23:07:36
    多维尺度分析是解决调查对象指标数量不明确或指标本身含义模糊的一种统计分析方法,其特点可以通过可视化的途径使一系列复杂的概念之间的相似程度得以展现出来以便进行分析。
    本笔记来源于张文彤老师《SPSS统计分析高级教材》

            多维尺度分析是解决调查对象指标数量不明确或指标本身含义模糊的一种统计分析方法,其特点可以通过可视化的途径使一系列复杂的概念之间的相似程度得以展现出来以便进行分析。以下是基于不同模型之下的分析:

       一、不考虑个体差异的MDS模型:

           对于调查的对象数据形成一个矩阵也就是一个个体,根据数据的测量尺度不同又分为“古典MDS模型”和“非度量MDS模型”两种。
             1、MDS模型:测量尺度为“比率”或“区间”,通过对象两两之间相似或差异程度浓缩以及对点之间的距离进行分析。
             2、非度量MDS模型:测量尺度为“有序”,对于相似性和差异性不能被精确测量情况下“非度量MDS模型”就是最佳的选择。由克鲁斯卡提出的经验标准衡量拟合程度:Stress>=20%为“差”,<=10%为“满意”,<=5%为“好”,<=2.5%为“很好”,=0为“完全匹配”。
             过程与分析:
             通过“分析”~“度量”~“多维尺度(ALSCAL)”菜单项对数据进行操作如图1-1所示,注意在“模型”中将度量水平改为“比率”,在“选项”对话框中选中“输出”选项组中的“组图”复选框。
                                          图1-1                                                                                  图1-2                                           

              
             图1-2反应的是模型拟合的情况,RSQ是决定系数值为0.99973,指总变异中能被模型所解释的比列,可见此模型拟合效果很好。Stress值为克鲁斯卡提出的经验标准衡量值为0.00946说明此模型拟合效果相当好。
                                           图1-3                                                                                  图1-4

         图1-3是针对此案列分析的城市二维空间匹配图,也就是城市的坐标值以图形呈现,但是与实际地图的位置有所差异,但它们之间的相对位置是基本一致的。这与多维尺度解法的概念有关性质。而MDS在正交(旋转,平移)变换下相对位置具有不变性。图1-4是欧式距离的模型拟合效果散点图,所有的点基本在一条直线上说明模型拟合得很好。

    二、考虑个体差异的MDS模型:

            当调查多个对象形成多个主体时从属于MDS模型之下的INDSCAL方法是最佳的选择,它不仅对所要分析对象的结构进行分析,还能兼顾到判断主体之间尺度的差异,因此被称为个体差异的多维尺度分析法或加权个体差异差异欧式距离模型(WMDS)
            过程与分析:
            通过选择“分析”~“度量”~“多维尺度(ALSCAL)”菜单项,把分析的变量选入“变量”列表框,在“模型”对话框中将度量水平改为“序数”,并选中“打开结观察值”复选框,在下方“度量模型”选项中选中“个别差异Euclidean距离”按钮,并选中“允许负的主体权重”复选框。在“选项”对话框中选中“输出”选项组的“组图”复选框即可。
                                             图2-1                                                                                 图2-2

            通过图2-1可知总模型的变量空间定位图可见对总体分为左右为界的两大类,但在分析过程中应该注意明显偏离的散点,这种差异性具有研究的价值,
            图2-2是不同主体在各维度上的信息分配情况,可见不同主体之间的差异性还是较大,列如5和6信息主要在第一维度,而7号和10号主要分布在第二维度,对于这些差异就可以对调查对象做进一步的细分。 
         
                                                                                            图2-3

            图2-3是模型对原始数据的拟合效果散点图,由于原始数据不止纳入了一个主体,数据点之间要分散一些,但预测距离和实际值之间的总体趋势仍然是一致的。

    三、基于最优尺度变换的MDS模型:

             最优尺度变换的MDS模型具有可以对相似性数据或差异性数据进行分析的特点,分析功能增强,模型种类更全面。
             过程与分析:
             通过“分析”~“度量”~“多维尺度(PROXSCAL)”菜单项实现过程,在“源的数目”选项内选择“多个矩阵源”单选按钮,单击“定义”,将变量选入“近视值”列表框,将变量选入“近视值”列表框,将分类变量选入“源”列表框。在“模型”对话框中选中“加权欧几里得距离”和度量水平中“序数”,并选中“打开结观察值”。
                                              图3-1                                                                               图3-2

                这里提取主要的图形展示,图3-1和3-2的分析结果和上结相似不做过多说明。
    四、多维展开模型:
            如果研究对象为两组变量,考察的核心是两组对象之间的远近距离,而同组间的距离不在关心的范围之内,这时多维展开模型就是比较合适的选择。
                        过程与分析:
                通过“分析”~“度量”~“多维展开(PREFSCAL)”菜单项实现,将研究对象的变量选入“近视值”列表框,在“模型”对话框中“近视值转换”选项组中选择“线性”选项,并在选中下方的“包括截距”复选框,在“绘制”对话框中要求输出Shepard图。
                                                  图4-1                                                                               图4-2
         
               在对图4-1分析的时候主要从横轴和纵轴两个方向出发,正对不同的实际情况具体分析,从左到右,从上到下的渐进过程观察变量间的分布情况。图4-2反应的是原始近视值和转换后的近视值和距离之间的关系,距离由点表示,转换后由线表示,本例指定为进行带截距的线性转换,因此图形为若干斜率和截距不同的点和线。
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多维尺度分析