精华内容
下载资源
问答
  • 编程思路构造正规方程组求解球的最小二乘拟合 学 院:精密仪器与光电子工程学院 组 员:苏智琨(1012202035) 武志超(1012202041) 霍树春(1012202020) 应用背景 三坐标测量机是目前比较通用的接触式精密测量仪器,其...

    编程思路构造正规方程组求解

    球的最小二乘拟合 学 院:精密仪器与光电子工程学院 组 员:苏智琨(1012202035) 武志超(1012202041) 霍树春(1012202020) 应用背景 三坐标测量机是目前比较通用的接触式精密测量仪器,其测量精度能够达到微米级别。在进行测量之前一般都要进行探针的校准,以确定探针的实际位置和补偿测端球径与探针挠曲变形误差。实际校准过程一般是测量一个已知的实物标准,如标准球。通过测量点拟合出一个球,求得其直径,与标准球的标称直径进行比较,进而得到探针的补偿值,用于实际的测量。 非线性方程的线性化 设Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3,…,n)为标准球面上n个测量点,设理想球面方程为 其中,(x0,y0,z0)为球心坐标,R为球半径。 非线性方程的线性化 引入如下变换 圆的方程成为如下线性方程 线性化: 这是一个关于(x0,y0,z0)和R的二次非线性方程。当(x0,y0,z0)足够小的时候,可以认为三者的平方项是高阶微量,可以忽略不计。 编程思路 构造正规方程组求解 根据极值原理,欲使F取得最小值,必须满足 构造回归方程求解 编程思路 以x0、y0、z0、C为变量,构造回归方程 result=regress(Y,X) 求解后的处理 当( x0、y0、z0 )不足够小时,需要对测量点进行平移,重新求解,直到结果足够小。 实验结果 用一台三坐标测量机对一个标准球和一个未知球进行测量,三坐标测量软件会给出这两个球的直径,该结果当做真值。用上述两种方法在Matlab中求解,求得的结果与真值进行比较,考查两种方法的可靠性。 标称值 三坐标测量结果 正规方程结果 回归方程结果 15.8752mm 15.8748mm 15.8748mm 15.8748mm 三坐标测量结果 正规方程结果 回归方程结果 39.7759mm 39.776mm 39.776mm 其中h为某一点的高度,I(h)为该点的干涉信号的光强,I0为背景光强,γ是一个经验系数,lc与λ0为与光源相关的常数。 从式(2)可以看出,连续小波变换就是使用不同频率的子小波沿着时间方向扫描信号,从而计算出信号和小波之间的相干系数。当信号和小波的频率和空间特性高度匹配时,会得到一个最大的相干系数。由式(3)可以看到,干涉信号是一个受高斯函数调制的平稳信号。 * 采用了直线-直线-旋转的形式; 将旋转放在最后是考虑到其误差放大作用最大; 测量机通过11-底座固定在地面上,10-固定梁固定在底座上,9-X向运动导轨副使8-运动梁可以带动剩余部分沿X方向运动,7-Z向运动导轨架通过固定在其上的6-Z向运动导轨副使5-Z向运动架板可以带动其余部分沿Z向运动,4-密珠轴系使3-悬臂可以带动2-测头回转体和1-测头绕其回转轴旋转,定义此旋转运动为Y向 测量机的工作原理如下:1、2、3绕4回转180°,测量机即处于收拢状态。加工完毕,机床的玻璃罩打开,1、2、3绕4旋转180°,测量机恢复如图2-4所示状态,测量机进入机床加工区域进行测量。测量时,测量机在计算机的控制下,通过X向、Z向的直线运动,Y向的旋转运动,必要的时候辅以2-测头回转体的运动,带动1-测头探测被测面的表面轮廓。测完一个被测面之后,机床的回转工作台转过一个分度角,进行下一个被测面轮廓的测量,直至完成整个工件的测量。测量完毕后,测量机退出加工区域,恢复到收拢状态,加工或返修继续进行。 * * 其中h为某一点的高度,I(h)为该点的干涉信号的光强,I0为背景光强,γ是一个经验系数,lc与λ0为与光源相关的常数。 从式(2)可以看出,连续小波变换就是使用不同频率的子小波沿着时间方向扫描信号,从而计算出信号和小波之间的相干系数。当信号和小波的频率和空间特性高度匹配时,会得到一个最大的相干系数。由式(3)可以看到,干涉信号是一个受高斯函数调制的平稳信号。 * 采用了直线-直线-旋转的形式; 将旋转放在最后是考虑到其误差放大作用最大; 测量机通过11-底座固定在地面上,10-固定梁固定在底座上,9-X向运动导轨副使8-运动梁可以带动剩余部分沿X方向运动,7-Z向运动导轨架通过固定在其上的6-Z向运动导轨副使5-Z向运动架板可以带动其余部分沿Z向运动,4-密珠轴系使3-悬臂可以带动2-测头回转体和1-测头绕其回转轴旋转,定义此旋转运动为Y向 测量机的工作原理如下:1、2、3绕4回转180°,测量机即处于收拢状态。加工完毕,机床的玻璃罩打开,1、2、3绕4旋转180°,测量机恢复如图2-4所示状态,测量机进入机床加工区域进行测量

    展开全文
  • 正规方程. 正规方程. Reference. 最小二乘法Least-Square. 一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差...

    最小二乘法Least-Square.

    • 一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
    • 例如方程 A x = b Ax=b Ax=b,如果 b b b 不在 A A A 的列空间中,我们可以使用最小二乘法求得 A x ∗ Ax^* Ax,它是 A A A 的列空间中在2-范数意义下距离 b b b 最近的向量。

    正规方程.

    在这里插入图片描述

    正规方程.

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    Reference.

    展开全文
  • (13)以上是最小二乘法或者叫正规方程来直接求出θ,但是很多情况下,θ不容易求出,所以机器学习中,常用的是通过不断的梯度下降来找到函数的极值点,从而找到对应的θ(或者w)。 欢迎交流,不喜勿喷~
    1. 概念:线性回归是为了找到一条合适的线或者面来拟合数据
    2. 引导过程:假设预测一个人能从银行贷多少款?我们要考虑他的年龄、工作、有无房产等等,这是,每个考虑的因素(特征值)用x代表,考虑的因素的重要性的高低用w表示,则这个人的贷款额度可以的用以下公式表示表达:
      f(x) = W1X1+W2X2+W3X3+b

    (PS:w叫权重,对结果有决定性的影响,是计算主要优化的对象。b叫偏置,对结果影响不大,以后计算中经常忽略)
    (2)对于上面的公式简化表达:在这里插入图片描述
    (PS:机器学习中,数据量比较大,采用向量化来计算,来提升效率,不然就得就for循环了)
    (3)误差:机器学习中预测模型跟真实值之间肯定是有误差(误差会在真实值的上下浮动),引入误差项表达:
    在这里插入图片描述
    (PS:y(i)代表真实的值,wTx+E(i)代表模型预测再加上与真实值存在的误差。其中每个人能贷款多少是彼此独立的,所以每个样本的误差也都是独立的,这里再次引入正态分布,也叫高斯分布的概念来形容每个单独的样本的误差分布情况)
    (4)正太分布公式如下:

    在这里插入图片描述
    (5)将正态分布引入公式后:(w与θ同义)
    在这里插入图片描述
    (6)引入极大似然估计的概念:极大似然估计通俗来说是什么概率的权重(或者叫参数)与不同的因素结合使得推测出的值更接近真实值。(正向的思维是我们根据条件来推测结果,似然函数就是根据结果来推测条件,跟参数估计意思应该是一样的。)(w与θ同义)
    在这里插入图片描述
    (7)对数似然:既然极大似然估计是说w与不同的因素x组合推测出真实的结果,极大似推导出的参数应该满足每一个样本,可以理解一下求独立事件的概率同时发生的情况是每个概率的乘积。所以,上面是个累乘的概念,但在计算过程中,乘法运算远比加法复杂的多,所以公式两边同时log一下,logAB=logA+logB,就能把乘法变成加法了。也就有了对数似然:(w与θ同义)
    在这里插入图片描述
    (8)化简:减号前面是m个样本的常数项的和,减号后面1/2单拿出来后面换算时方便使用。
    在这里插入图片描述
    (9)既然极大似然估计是想要找到概率的最大值,减号前半部分是个正的常数,减号后半部分是个正数,所以让其变小才能值越大,不看上面公式中的常数的部分:
    在这里插入图片描述
    PS:引入J函数,这就是常说的最小二乘法的意思了。也就是线性回归的目标函数了。
    (10)求偏导。公式实在是太难打了,我们为了能让J函数最小,就是找到θ使得J函数最小,偏导的意义就是通常情况下当偏导等于0时函数有极值(也可以联系到函数的凸凹性)。求出的偏导如下
    在这里插入图片描述
    (11)另偏导等于0 求出θ,X为输入数据,Y为真实值,θ就能直接求出来了。
    在这里插入图片描述
    (13)以上是最小二乘法或者叫正规方程来直接求出θ,但是很多情况下,θ不容易求出,所以机器学习中,常用的是通过不断的梯度下降来找到函数的极值点,从而找到对应的θ(或者w)。
    欢迎交流,不喜勿喷~

    展开全文
  • 答案是有的,可以用正规方程(Normal Equation)去求参数。   那么问题来了,什么是正规方程呢?这个方程长什么样子,就让我们来见识一下。 其中 X 是一个矩阵,这个矩阵的每一行都是一组特征值,y 是数据集...

    求一个函数的参数,例如下面这个方程,我们一般都会用梯度下降法去求。

    未命名图片.png

    还会不会有其他方法求参数呢?答案是有的,可以用正规方程(Normal Equation)去求参数。

     

    那么问题来了,什么是正规方程呢?这个方程长什么样子,就让我们来见识一下。

    未命名图片.png

    其中 X 是一个矩阵,这个矩阵的每一行都是一组特征值,y 是数据集结果的向量。

     

    举个例子,还是求房价,现在有 4 组训练集,如下表:

    未命名图片.png

     ?0 就代表常数项。在这个例子中,矩阵 X 为:

    未命名图片.png

    可以看出,矩阵 X 的每一行都代表一组数据集的特征值。向量 y 为:

    未命名图片.png

    这样通过正规方程就可以很容易地求出参数 θ(一定要注意,这里的参数 θ 是一个向量)。

     

    既然求参数 θ 有两种方法,一个为梯度下降法,一个为正规方程,那么他俩之间一定会有优缺点,下表就是这两种方法的优缺点的对比:

    未命名图片.png

    当特征值 n 非常大时,正规方程工作效率低的原因是要求一个非常大的矩阵的逆矩阵。

     

    提到逆矩阵,就会出现矩阵的不可逆性,如果我们遇到了矩阵不可逆该怎么办呢?

     

    正规方程有两种情况会出现不可逆性,也就是这个矩阵无法得出。

    未命名图片.png

     

    第一种情况:出现了两个相似的特征,这个两个特征可以用一个线性关系进行表示。例如,米和英尺,这两个都是用来描述长度的单位,且他们之间可以进行相互转化,如果特征值同时出现他们两个,就会出现矩阵不可逆的情况。

    解决方法:去掉任意一个即可。

     

    第二种情况:特征值的数量特别多,但是数据集的数量特别少。

    解决方法:增加数据集或减少特征值。

     

    ps. 本篇文章是根据吴恩达机器学习课程整理的学习笔记。如果想要一起学习机器学习,可以关注微信公众号「SuperFeng」,期待与你的相遇。

     

     

     

    展开全文
  • 如何理解正规方程

    千次阅读 2019-02-09 18:34:32
    在理解线性回归时,我们提到了使用梯度下降来求解最小二乘问题,但在线性回归中,还有一种不需要迭代的方法来求解最小二乘问题,这就是正规方程。这是基于矩阵求导来及计算的 还是上次的数据 x = [[1, 1, 1, 1, 1]...
  • 对于如下图中红框中的特征及其对应结果(房屋价格),添加一列特征值x0,构造成一个矩阵X 令Y为n维列向量:价格矩阵。...结论:当特征值较小时采取正规方程法,当特征数较大(>>10000)时选择梯度下降法 ...
  • W表示所有的系数(包含0w0),是一维向量,根据向量乘法规律,可以这么写:   ̂=y^=WTX 1 2、正规方程 1.1 2.1、最小二乘法矩阵表示   最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组(其方程式数目...
  • 构造出拟合之后的线性数据,然后画出原始数据的散点图和预测直线进对比 #通过正规方程解出w的值 w = normal_equation(x,y).reshape(-1) #拟合出直线数据 c = np.linspace(data['人口'].min(), data['人口'].max(), ...
  • 处理完单变量线性回归的梯度下降解法,跟着黄老师的实验思路,开始处理多变量的线性回归,也有两种解决方式,一种是正规方程,另一种是梯度下降,这篇博客主要是利用这两种思路解决问题。 一、导入库文件 import ...
  • 一: 线性回归方程 ​ 线性回归(英语:linear regression)是利用称为线性回归方程的最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量 之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性...
  • 文章目录线性回归简介线性回归应用场景什么是线性回归定义与...求f`(x)3.2 y=ln(sinx), 求dy/dx矩阵(向量)求导 [了解]线性回归的损失和优化损失函数优化算法正规方程什么是正规方程正规方程求解举例正规方程的推...
  • 以上方法是使用梯度下降方法来求theta值的,还可以通过正规方程的方法来求。 本文会讲到: (1)另一种线性回归方法:Normal Equation; (2)Gradient Descent与Normal Equation的优缺点; ...
  • 说明:本文使用的工具为Python3+Jupyter Notebook。 利用批量梯度下降 先导入要用到的各种包: %matplotlib notebook import numpy as np ...构造并查看数据: # 构造数据集: data = {'Ones':[1,1,1,1,1...
  • 最近在学机器学习,关于正规方程的求导,网上的求解方法基本都用到了矩阵的求导,这个对于本渣渣来说一时有点无法理解 想到之前学习的教材里也有关于正规方程的求解,遂翻书来看看,结果轻描淡写一句直接给出了结论...
  • 梯度下降和正规方程对比 梯度下降 正规方程 需要选择适当的学习率 α\alphaα 不要学习率 α\alphaα 需要进行多步迭代 不需要进行迭代,在 Matlab 等平台上,矩阵运算仅需一行代码就可完成 对多特征适应性较好,能...
  • 本文介绍了多元线性回归以及两个相关的算法,分别是多元梯度下降法以及正规方程法,除此之外还讨论了特征以及多项式回归的问题。 多元线性回归是一种新的线性回归版本,适用于多个变量或者多特征量的情况。 多元梯度...
  • 首先,利用两个单调函数的自反单调变换构造了等式限定算子,推广了等式限定运算,处理了存在负模糊情况下关于乘法运算的不可逆问题。 并将等式限定运算思想应用到求解模糊线性方程中,给出了模糊解的结构元表示方法和解...
  • 构造一程序,由此程序构造正规式r1|r2(或运算)的NFA(将其状态转换矩阵及初态、终态信息保存在指定文件中)。程序采用GUI图形界面, 语言不限项目介绍项目地址本构造正规式r1|r2(或运算)的NFA的程序实现(Java实现版本)...
  • java 怎么解多元一次不定方程

    千次阅读 2021-03-17 14:20:01
    多元一次不定方程的强力算法---同余筛数法uniqueleion6152018-10-24Python100例——第五章----不定方程的解wdt338516542013-07-19高斯消元求解多元一次方程组nikelong021632016-03-26二元一次不定方程的快速解法...
  • |ε通过联立方程组求正规表达式:A = Aa|Sb|a = Aa|(Aa|ε)b|a= Aa+(Aa+ε)b+a=Aa+(Aab+b)+a=Aa+Aab+b+a=A(a+ab)+(b+a)根据方程X=Xt+r 必有X=t*r解的论断,可得A=(a+ab)*(b+a),进而可求得:S = Aa|ε = Aa+ε = Aa ...
  • 梯度下降和正规方程实现简单线性回归。
  • 在一些优化,拟合等问题中经常出现,我们常考虑方程多于未知数元数的情况------超定方程组。 首先对于平凡解x=0我们一般不感兴趣,一般我们会寻求方程组的非零解。 如果x是方程组的一个解,那么对于,也是齐次方程...
  • 编译原理学习笔记——正规文法与有限自动机

    千次阅读 多人点赞 2018-04-06 21:25:34
    正规文法中的每个非终结符表示成关于它的一个正规方程,获得一个联立方程组 依照求解规则: 若 x = αx | β (或 x = αx + β ) 则解为 x = α*β (右线性) 若 x = xα | β (或 x = xα + ...
  • 在前文 线性代数(1)—— 行列式中,我们已经对行列式有了比较直观的理解。 行列式最初用于表示线性方程组的系数,其值可以用于判别齐次线性方程组的解情况,也可以用于... 第二公理化构造1.1 从线性方程入手1.2 一.
  • (这里所谓“物体”,在数学上有专门的名字“流形”,对于这点我不想展开太多了)其实,这才是关于流的比较正规的定义。 从另外一个角度上看,固定x,我们追踪这一个点的运动: 那么就是初始位置(t=0时的位置)为x...
  • 在MVG(多视图几何)和机器学习领域,求解线性方程组几乎是所有算法的根本,本文旨在帮助读者搞懂矩阵分解与线性方程组的关系,并给出利用SVD求解线性方程组的实战代码。
  • 方程与伽罗瓦群

    2021-08-13 15:29:25
    甲: 方程根式可解的数学定义: 就是一个一元N次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来,就是可以根式求解的; 如果不能以这种方式表达,那就是不可以根式求解的。 这样的定义...
  • 目录1 微分方程2 微分方程解决的主要问题3 微分方程模型4 微分方程解决问题的一般步骤第一步第二步第三步5 微分方程举例6 经典的微分方程模型7 课后习题 1 微分方程 (1)概念:微分方程是含有函数及其导数的方程,...
  • ... ...式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。...(3) 写出正规方程组,求出 ...正规方程组为 ...得正规方程组 ...因此正规方程组(4)必有...(k=0,1,…,n)是正规方程组(4)的解,所以满足式(2),因此有 ...
  • )其实,这才是关于流的比较正规的定义。 从另外一个角度上看,固定$x$,我们追踪这一个点的运动, \[y_x ( t ) = S(t, x)\] 那么$y_x$就是初始位置($t=0$时的位置)为$x$的点的运动过程——也叫做运动曲线(curve) ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,222
精华内容 888
热门标签
关键字:

构造正规方程