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  • 泊松分布推导

    千次阅读 2018-07-02 10:37:30
    结论:泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式 二项分布是说,已知某件事情发生的概率是p,那么做n次试验,事情发生的次数就服从于二项分布。 泊松分布是指某段 连续的时间内 某件事情发生的次数,而且“某...

    https://blog.csdn.net/u013346007/article/details/53044417


    结论:泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式

    二项分布是说,已知某件事情发生的概率是p,那么做n次试验,事情发生的次数就服从于二项分布。

    泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数,而且“某件事情发生所用的时间”是可以忽略的。

    二项分布的数学期望E(X),即时间发生次数的期望,即是泊松分布的lambda


    先说结论:泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式

    二项分布是说,已知某件事情发生的概率是p,那么做n次试验,事情发生的次数就服从于二项分布。

    泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数,而且“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。例如,在五分钟内,电子元件遭受脉冲的次数,就服从于泊松分布。

    假如你把“连续的时间”分割成无数小份,那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内,电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”,这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份,因此n(试验次数)很大。所以,泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。

    因为二项分布其实就是一个最最简单的“发生”与“不发生”的分布,它可以描述非常多的随机的自然界现象,因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。


    可以用等公交车作为例子:
    某个公交站台一个小时内出现了的公交车的数量 就用泊松分布来表示
    某个公交站台任意两辆公交车出现的间隔时间 就用指数分布来表示

    知乎:https://www.zhihu.com/question/26441147


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  • 推导泊松分布公式,先理解一些概念   目录 先说说什么是二点分布 再说说二项分布 下面进入主题说说泊松分布 先说说什么是二点分布 抛一枚硬币,会出现两种情况: 出现花的一面设定为1...

    推导泊松分布公式,先理解一些概念

     

    目录

    先说说什么是二点分布

    再说说二项分布

    下面进入主题说说泊松分布


    先说说什么是二点分布

    抛一枚硬币,会出现两种情况:

    出现花的一面设定为1或者出现字的一面设定为0,假设出现花的一面概率为p, 则出现字的一面为1-p

    则有以下的分布列表

     

    1

    0

    概率

    p

    1-p

     

    写成概率函数为: P = p^k(1-p)^{1-k}

    即表示, 当出现花面时,则k=1,P=p; 同理k=0, P=1-p

    两点分布的期望和方差

    期望公式:E=1*p+0*(1-p)=p

    方差公式: D=E(x)^2-E(x^2) = p^2-p=p(1-p)

     

    再说说二项分布

    具体概念不说, 请自行百度, 或通过与二点分布的不同自行领悟

    二项分布与二点分布有什么区别呢?

    性质不同

    1、两点分布:在一次试验中,事件A出现的概率为P,事件A不出现的概率为q=l -p,若以X记一次试验中A出现的次数,则X仅取0、I两个值。

    2、二项分布:是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。

    特点不同

    1、两点分布:是试验次数为1的伯努利试验。

    2、二项分布:是试验次数为n次的伯努利试验。

    二项分布的期望与方差:

    假设次数X为n次的集合体, 即X = {x1,x2,x3,x4......xn}

    P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p

    由二点分布的期望方差可知相关公式

    则二项分布的期望为:

    E=E(\sum_{i=1}^{n}Xi)=\sum_{i=1}^{n}E(Xi)=np

    则二项分布的方差为:

    D=\sum_{i=1}^{n}D(Xi) =np(1-p)

     

    下面进入主题说说泊松分布

    泊松分布是最重要的离散分布之一,它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数,是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。

    为方便记,设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n,把时间段[0,1)分为等长的n段:

    我们做如下两个假定:

    1. 在每段li内,恰发生一个事故的概率,近似的与这段时间的长\tfrac{1}{n}成正比,可设为p。当n很大时,\tfrac{1}{n}很小时,在li这么短暂的一段时间内,要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在li这段时间内不发生事故的概率为1-p

    2. li,....ln各段是否发生事故是独立的把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段li,....ln内有事故的时段数,则按照上述两个假定,X应服从二项分布。于是,我们有泊松分布的概率函数

    P(X=i)=\lim_{n\to +00}(_{i}^{n})p^i(1-p)^{n-i}

    怎么对概率函数进行简化呢?设期望为u

    则有E=E(\sum_{i=1}^{n}Xi)=\sum_{i=1}^{n}E(Xi)=np=u,则p=\tfrac{u}{n}, 则公式为:P(X=i)=\lim_{n\to +00}(_{i}^{n})(\tfrac{u}{n})^i(1-\tfrac{u}{n})^{n-i}

    其中(_{i}^{n})表示组合数C_{i}^{n}

    C_{i}^{n}=\frac{n!}{i!(n-i)!} 具体推导请百度,再自行领悟,或者查看最下方获得答案

    则P的最新公式为:P(X=i)=\lim_{n\to +00}\frac{n!}{i!(n-i)!}(\tfrac{u}{n})^i(1-\tfrac{u}{n})^{n-i}

    继续推导工作:\lim_{n\to +00}\frac{n!}{i!(n-i)!} = \lim_{n\to +00}\frac{n(n-1)(n-2)....(n-i+1)}{i!}

    \lim_{n\to +00}(1-\tfrac{u}{n})^{n-i} = \lim_{n\to +00}(1-\tfrac{u}{n})^{-i}(1-\tfrac{u}{n})^{n}

     

    则P的最新公式为:

    P(X=i)=\lim_{n\to +00}(\tfrac{u}{n})^i\frac{n(n-1)(n-2)....(n-i+1)}{i!}(1-\tfrac{u}{n})^{-i}(1-\tfrac{u}{n})^{n}=\lim_{n\to +00}(\frac{u^i}{i!})\frac{n(n-1)(n-2)....(n-i+1)}{n^i}(1-\tfrac{u}{n})^{-i}(1-\tfrac{u}{n})^{n}

     

    由于n无穷大则\lim_{n\to +00}\frac{n(n-1)(n-2)....(n-i+1)}{n^i}(1-\tfrac{u}{n})^{-i}=1\lim_{n\to +00}(1-\tfrac{u}{n})^{n}=e^{-u}

     

    \lim_{n\to +00}(_{i}^{n})(\tfrac{u}{n})^i(1-\tfrac{u}{n})^{n-i}=(\frac{u^i}{i!})e^{-u}

     

    最后P的公式:

           P(X=i)=(\frac{u^i}{i!})e^{-u}

    正规的泊松分布

    是不是很相似?

    只需要换个符号,这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

    如有相关推导公式不清楚,可以添加微信公众号,进行留言即可

     

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  • 泊松分布由二项分布演进而来。 二项分布即,假设硬币正面向上概率为p,抛n次硬币,这n次中硬币朝上k次(k)的概率为 p(k)=Cknpk(1−p)n−k (1) p(k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) 硬币朝上...

    Introduction

    • 泊松分布由二项分布演进而来。
    • 二项分布即,假设硬币正面向上概率为p,抛n次硬币,这n次中硬币朝上k次(k<=n)的概率为
      • p(k)=Cknpk(1p)nk            (1)
    • 硬币朝上的期望值为:
      • E(k)=pn                                  (2)
    • 如果我们把期望值看做一个恒值  λ  。即:现在我能根据n的大小来控制  p  ,即  n  越大,  p  越小,硬币朝上的次数的期望不变(恒为  λ  ):
      • E(k)=pn=λ                           (3)
      • OK,引子到此结束,下面开始正式推导!!!

    Derivation of Poisson distribution

    1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234

        limn>,p>0=Cknpk(1p)nk                          (4)

    =limn>,p>0n!k!(nk)!pk(1p)nk                    (5)

    =limn>,p>0n(n1)...[n(k1)]k!pk(1p)nk  (6)

    =limn>,p>0nkk!(λn)k(1p)λpk                                (7)

    =limn>,p>0nkn!λkk![(1p)1p]λ(11p)k               (8)

    =limn>,p>01λkk!(1λn)n(1λn)k                        (9)

    =limn>,p>01λkk!(1λn)n1                                       (10)

    - 回顾  eλ  的定义:
    -
    limn>(1λn)n=eλ

    - - then,formula(10)can be rewrite as:
    =limn>,p>0λkk!eλ                                                  (11)

    1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234

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  • 每日学习,泊松分布公式推导

    千次阅读 2019-08-25 20:17:11
    以前学习泊松分布,但是不知道为啥公式长那样,现在发现一个很好的推导过程,就是把他看成二项式分布。

    以前学习泊松分布,但是不知道为啥公式长那样,现在发现一个很好的推导过程,就是把他看成二项式分布。
    在这里插入图片描述
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  • 从二项分布推导泊松分布

    千次阅读 2018-12-22 19:56:39
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    千次阅读 2021-03-03 18:06:37
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  • 认识生活中的泊松分布

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    1. 百度百科–泊松分布推导过程值得研究) 2. wiki pedia –poisson distrubtion(讲的够详细) 3. 一篇大神博文–泊松分布和指数分布:10分钟教程(至少阐述明白了泊松分布用来干嘛)正文问题首先

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