首先了解什么是牛顿迭代法。
太多公式符号了，这个编辑器打出来能累死人。直接上手写图。

以上推导出牛顿迭代式，可以看出该迭代式是一种近似根求方程的好方法。
Python代码实现求某数的立方根

n=float(input())
last=n
new=last-((last**3-n)/(3*last**2))
while abs(new-last)>0.000001:#精度要求
    last=new
    new=last-((last**3-n)/(3*last**2))
print(format(new,'.1f'))

# -*- coding: UTF-8 -*-
# 求解立方根
# 题目描述
# 计算一个数字的立方根，不使用库函数。
# 保留一位小数
#
# 输入描述:
# 待求解参数，为double类型（一个实数）
# 输出描述:
# 输入参数的立方根。保留一位小数。
# 示例1
# 输入
# 216
# 输出
# 6.0
# 方案1
n = float(input())
x = 1
while abs(x ** 3 - n) > 1e-7:
    x = (2 * x / 3) + n / 3 / x / x
print
round(x, 1)

#方案二
number = float(raw_input().strip())
t = 5
while abs(t * t * t - number) > 0.01:
    t = t - (t * t * t * 0.1 - number * 0.1) / (3.0 * t * t)
print
"%.1f" % t

#方案三
n = float(input())
if n == 0:
    print(0)
if n > 0:
    sig = 1
else:
    sig = -1
n = abs(n)

if n > 1:
    start = 0
    end = n
else:
    start = n
    end = 1
mid = (start + end) / 2
while abs(mid ** 3 - n) > 0.001:
    if mid ** 3 > n:
        end = mid
    else:
        start = mid
    mid = (start + end) / 2
print(round(sig * mid, 1))