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  • 随机变量定义

    2016-11-07 16:50:17
    表示随机现象(在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象)各种结果的... 随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数,即基本空间Ω中每一个点,也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应。例如
    表示随机现象(在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象)各种结果的变量(一切可能的样本点)。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等,都是随机变量的实例。
      一个随机试验的可能结果(称为基本事件)的全体组成一个基本空间Ω 。 随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数,即基本空间Ω中每一个点,也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应。例如,随机投掷一枚硬币 ,可能的结果有正面朝上 ,反面朝上两种 ,若定义X为投掷一枚硬币时正面朝上的次数 , 则X为一随机变量,当正面朝上时,X取值1;当反面朝上时,X取值0。又如,掷一颗骰子 ,它的所有可能结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点 ,若定义X为掷一颗骰子时出现的点数,则X为一随机变量,出现1,2,3,4,5,6点时X分别取值1,2,3,4,5,6。
      要全面了解一个随机变量,不但要知道它取哪些值,而且要知道它取这些值的规律,即要掌握它的概率分布。概率分布可以由分布函数刻画。若知道一个随机变量的分布函数,则它取任何值和它落入某个数值区间内的概率都可以求出。
      有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如 ,子弹着点的位置需要两个坐标才能确定,它是一个二维随机变量。类似地,需要n个随机变量来描述的随机现象中,这n个随机变量组成n维随机向量 。描述随机向量的取值规律 ,用联合分布函数。随机向量中每个随机变量的分布函数,称为边缘分布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ,则称这些单个随机变量之间是相互独立的。独立性是概率论所独有的一个重要概念。 
      random variable 
      在不同的条件下由于偶然因素影响,其可能取各种不同的值,具有不确定性和随机性,但这些取值落在某个范围的概率是一定的,此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的,也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量,被测定量的取值可能在某一范围内随机变化,具体取什么值在测定之前是无法确定的,但测定的结果是确定的,多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于,后者的测定结果仍具有不确定性,即模糊性。 
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  • 定义 1.3.1: 设设设 EEE 为一个随机试验,其样本空间为一个随机试验,其样本空间为一个随机试验,其样本空间 S={e},X=X(e)S=\{e\},X=X(e)S={e},X=X(e) 及及及 Y(e)Y(e)Y(e) 是定义在 SSS 上的两个随机变量,由她们...

    1.3 多维随机变量及其分布


    一、二维随机变量


    定义 1.3.1: EE 为一个随机试验,其样本空间 S={e},X=X(e)S=\{e\},X=X(e) Y(e)Y(e) 是定义在 SS 上的两个随机变量,由她们构成的联合随机变量 (X,Y)(X,Y) 称为二维随机变量或二维随机向量。

    分布函数: (X,Y)(X,Y) 是定义在 SS上的二维随机变量,对于任意实数 x,y,x,y, 二元函数:
    F(x,y)=P{Xx,Yy} F(x,y) = P\{X \leq x,Y \leq y\}


    例题1:P{x1<Xx2,y1<Yy2}P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y \le y_2\} 转换为分布函数表达式









    答案:
    F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1) F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)


    1. 二维分布函数的性质:

    1. F(x,y)F(x,y) 是变量 xx yy 的不减函数,即
      x1x2,F(x1,y)F(x2,y) \forall x_1 \leq x_2,F(x_1,y) \leq F(x_2,y) y1y2,F(x,y1)F(x,y2)\forall y_1 \leq y_2,F(x,y_1) \leq F(x,y_2)
    2. 0F(x,y)10 \leq F(x,y) \leq 1,且对固定的 xxF(x,)=0F(x,-\infty) = 0且对固定的 yyF(,y)=0F(-\infty,y)=0F(,)=0F(- \infty,-\infty)=0F(+,+)=1F(+ \infty,+\infty)=1
    3. F(x,y)F(x,y) 关于变量 xxyy 均是右连续的,即 x,y\forall x,yF(x+0,y)=F(x,y)=F(x,y+0)F(x+0,y)=F(x,y)=F(x,y+0)
    4. 对于任意的 x1x2,y1y2x_1 \leq x_2,y_1 \leq y_2,下述不等式成立:F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0 F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1) \geq0

    2. 二维离散型随机变量:


    定义 1.3.3: 若二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的所有可能取值是有限对或可列多对:(X,Y)=(xi,yi)   i,j=1,2....(X,Y)=(x_i,y_i) \space\space\space i,j=1,2....

    满足以下性质:

    1. pij0    i,j=1,2....p_{ij} \geq 0 \space\space\space\space i,j=1,2....
    2. i=1j=1pij=1\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1

    分布函数: F(x,y)=P{Xx,Yy}=xixyjypijF(x,y)=P\{X \leq x,Y\leq y\} = \sum_{x_i \leq x}\sum_{y_j \leq y}p_{ij}

    X的边缘分布律: pi.=P{X=xi}=j=1pij   i=1,2...p_{i.}=P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij} \space\space\space i=1,2...

    X的边缘分布函数: FX(x)=F(x,+)=xixyj+pij=xix(j=1pij)=xixpi.F_X(x)=F(x,+\infty)=\sum_{x_i \leq x}\sum_{y_j \leq +\infty}p_{ij}=\sum_{x_i \leq x}(\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij})=\sum_{x_i\leq x}p_{i.}

    同理:

    Y的边缘分布律: p.j=P{Y=yj}=i=1pij   j=1,2...p_{.j}=P\{Y=y_j\}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}\space\space\space j=1,2...

    Y的边缘分布函数: FY(y)=F(+,y)=xi+yiypij=yjy(i=1pij)=yjyp.jF_Y(y)=F(+\infty,y)=\sum_{x_i \leq +\infty}\sum_{y_i \leq y}p_{ij}=\sum_{y_j \leq y}(\sum_{i = 1}^{\infty}p_{ij})=\sum_{y_j\leq y}p_{.j}


    例题2:

    • 补满下表
    x\y 1 2 3 pi.p_{i.}
    1 0 16\frac{1}{6} 112\frac{1}{12}
    2 16\frac{1}{6} 16\frac{1}{6} 16\frac{1}{6}
    3 112\frac{1}{12} 16\frac{1}{6} 0
    p.jp_{.j}









    x\y 1 2 3 pi.p_{i.}
    1 0 16\frac{1}{6} 112\frac{1}{12} 14\frac{1}{4}
    2 16\frac{1}{6} 16\frac{1}{6} 16\frac{1}{6} 12\frac{1}{2}
    3 112\frac{1}{12} 16\frac{1}{6} 0 14\frac{1}{4}
    p.jp_{.j} 14\frac{1}{4} 12\frac{1}{2} 14\frac{1}{4} 1
    • 根据上表求 FX(2),FY(3)F_X(2),F_Y(3)







    FX(2)=34,FY(3)=1F_X(2)=\frac{3}{4},F_Y(3)=1


    3. 二维连续型随机变量:

    定义1.3.5: 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的分布函数为 F(x,y)F(x,y) 若存在一个非负可积函数的二元函数 f(x,y)f(x,y)使使它对于任意实数 x,yx,y 都有 F(x,y)=xyf(x)dxdyF(x,y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(x)dxdy
    则称 (X,Y)(X,Y) 为二维连续随机变量函数 f(x,y)f(x,y) 称为二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的概率密度,或称为随机变量 XXYY 的联合概率密度。

    满足以下性质:

    1. f(x,y)0   <x,y<+f(x,y) \geq 0 \space\space\space -\infty < x,y < +\infty
    2. ++f(x)dxdy=1\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dxdy=1
    3. f(x,y)f(x,y) 在点 (x,y)(x,y) 连续,则δ2F(x,y)δxδy=f(x,y)\frac{\delta^2F(x,y)}{\delta x\delta y}=f(x,y)
    4. 随机点 (X,Y)(X,Y) 落在平面区域 DD 内的概率 P{(x,y)D}=Df(x,y)dxdyP\{(x,y)\in D\}={\int\int}_Df(x,y)dxdy

    例题3: 已知随机变量 XXYY 的联合概率密度为 f(x,y)={Ce(2x+y)   x>0,y>00   }f(x,y)=\begin{Bmatrix}Ce^{-(2x+y)} \space\space\space x>0,y>0 \\ 0 \space\space\space 其他 \end{Bmatrix}

    (1) 试求 CC 的值
    (2) P{X<Y}P\{X<Y\}










    答案:

    (1)
    1=++f(x,y)dxdy=0+0+Ce(2x+y)dxdy=1=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}Ce^{-(2x+y)}dxdy= C0+e2xdx0+eydy=C(12e2y0+)(ey0+)=C2C\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx\int_{0}^{+\infty}e^{-y}dy=C(-\frac{1}2{}e^{-2y}|_{0}^{+\infty})(-e^{-y}|_{0}^{+\infty})=\frac{C}{2}C=2C=2f(x,y)={2e(2x+y)   x>0,y>00   }f(x,y)=\begin{Bmatrix}2e^{-(2x+y)} \space\space\space x>0,y>0 \\ 0 \space\space\space 其他 \end{Bmatrix}

    (2)
    P{X<Y}=x<yf(x,y)dxdy=0+dxx+2e2xydy=20+e2xdxx+eydy=P\{X<Y\}={\int\int_{x<y}}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{+\infty}dx\int_{x}^{+\infty}2e^{-2x-y}dy=2\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx\int_{x}^{+\infty}e^{-y}dy= 20+e2xdx (ey)x+=20+e2xdx ex=20+e3xdx=2(13e3x)0+=232\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx \space* (-e^{-y})|_{x}^{+\infty}=2\int_{0}^{+\infty}e^{-2x}dx \space * e^{-x}=2\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx=2(-\frac{1}{3}e^{-3x})|_{0}^{+\infty}=\frac{2}{3}


    XX 边缘概率密度函数:fX(x)=+f(x,y)dyf_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy
    XX 的边缘分布函数 FX(x)=xfX(x)dxF_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(x)dx

    同理:

    YY 边缘概率密度函数:fY(y)=+f(x,y)dxf_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx
    YY 的边缘分布函数 FY(y)=yfY(y)dyF_Y(y)=\int_{-\infty}^{y}f_Y(y)dy


    二. 条件分布


    1. 条件分布律

    P{Y=yjX=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xj}=pijpi.=pji   j=1,2...P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_j\}}=\frac{p_{ij}}{pi.}=p_{j|i}\space\space\space j=1,2...
    P{X=xiY=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp.j=ij   i=1,2...P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p.j}=_{i|j}\space\space\space i=1,2...

    例题4:(X,Y)(X,Y) 的概率分布如下表,试求 X=2X=2 的条件分布律

    x\y 0 1 2
    -1 110\frac{1}{10} 120\frac{1}{20} 720\frac{7}{20}
    2 310\frac{3}{10} 110\frac{1}{10} 110\frac{1}{10}









    答案:

    • 首先计算 X=2X=2 的边缘分布律为 12\frac{1}{2}
    • X=2X=2 的条件分布律为 P{Y=0X=2}=31012=35,P{Y=1X=2}=11012=15,P{Y=2X=2}=31012=15P\{Y=0|X=2\}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{5},P\{Y=1|X=2\}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5},P\{Y=2|X=2\}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}

    1.4 随机变量的数字特征


    一. 数学期望的概念


    定义1.4.1: 设离散型随机变量 XX 的分布律为 P{X=xk}=pk   k=1,2...,P\{X=x_k\}=p_k \space\space\space k=1,2..., 若级数收敛,则称 E(X)=k=1xkpkE(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k XX 的数学期望或概率均值,简称均值或期望
        \space\space\space\space 设连续型是随机变量 XX 的概率密度为 f(x)f(x)+xf(x)dx若积分\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx 绝对收敛则称 E(X)=+xf(x)dxE(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx 为连续型随机变量 XX 的数学期望。
        \space\space\space\space XX 的分布律为 P{X=xk}=pk   k=1,2...,k=1+g(xk)pkP\{X=x_k\}=p_k \space\space\space k=1,2...,且\int_{k=1}^{+\infty}g(x_k)p_k 绝对收敛,则函数 Y=g(X)Y=g(X) 的期望为 E(Y)=E[g(X)]=k=1g(xk)pkE(Y)=E[g(X)]=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k 其中 gg 为连续函数
        \space\space\space\space 若连续型随机变量 XX 的概率密度为 f(x)f(x) ,+f(x)dx,且\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx 绝对收敛,则函数 Y=g(X)Y=g(X) 的期望为 E(Y)=E[g(X)]=+g(x)f(x)dxE(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx

    数学期望的性质:

    1. (线性法则):E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b
    2. (加法法则): E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)
    3. (乘法法则):当随机变量 X,YX,Y 相互独立时 E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)
    4. (柯西-许瓦兹不等式): E(XY)2E(X2)E(Y2) |E(XY)|^2 \leq E(X^2)E(Y^2)

    柯西-许瓦兹不等式证明过程


    均值向量表示: E(x)=avg(x)=1TxnE(x)=avg(x)=\frac{1^Tx}{n}
    去均值向量: x~=xavg(x)1\tilde{x} = x-avg(x)1

    在这里插入图片描述
    去均值向量的特性:avg(x~)=0avg(\tilde{x})=0


    例题5:XX 的分布律为

    X -2 -1 0 1
    pkp_k 14\frac{1}{4} 18\frac{1}{8} 12\frac{1}{2} 18\frac{1}{8}

    Y=X21Y=X^2 -1 的数学期望。


    二. 方差的概念


    定义1.4.2: XX 是一个随机变量,若 E{[XE(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\} 存在,则称 E{[XE(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\} XX 的方差,记做 D(X)D(X) Var(X)Var(X) σx2\sigma_x^2 。即 D(X)=Var(X)=E{[XE(X)]2}=σx2D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\}=\sigma_x^2 σx=σ(X)=D(X)\sigma_x=\sigma(X)=\sqrt{D(X)}XX 的标准差或均方差。

    由方差的性质易得:D(X)=E(X2)[E(X)]2D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 E(X2)=D(X)+[E(X)]2E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2









    证明过程:D(X)=E{[XE(X)]2}=E{X22XE(X)+[E(X)]2}D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}=E\{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2\} 由期望的加法性质 E(aX+b)=aE(x)+bE(aX+b)=aE(x)+b 可得 D(X)=E(X2)2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2D(X)=E(X^2)-2E(X)E(X)+[E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2

    方差是反应数据疏散程度特征得量。方差大,说明数据疏散;方差小,说明数据集中。


    方差的矩阵表示: D(x)=x~Tx~n=<x~,x~>n=x~22nD(x)=\frac{\tilde{x}^T\tilde{x}}{n}=\frac{<\tilde{x},\tilde{x}>}{n}=\frac{||\tilde{x}||_2^2}{n}


    三. 协方差、相关系数


    定义1.4.3: (X,Y)(X,Y) 为二维随机变量,称 Cov(X,Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] XX YY 的协方差

    由方差和协方差性质易得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)









    证明过程:

    1. Cov(X,Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]=E[XYYE(X)XE(Y)+E(X)E(Y)]=Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)]= E(XY)E(Y)E(X)E(X)E(Y)+E(X)(Y)=E(XY)E(X)E(Y)E(XY)-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
    2. D(X+Y)=E[(X+YE(X+Y))2]=E[(XE(X)+YE(Y))2]=D(X+Y)=E[(X+Y-E(X+Y))^2]=E[(X-E(X)+Y-E(Y))^2]= E[(XE(X))2+(YE(Y))2+2(XE(X))(YE(Y))]=E[(X-E(X))^2+(Y-E(Y))^2+2(X-E(X))(Y-E(Y))]= E[(XE(X))2]+E[(YE(Y))2]2E[(XE(X))(YE(Y))]=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)E[(X-E(X))^2]+E[(Y-E(Y))^2]-2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

    协方差得基本性质:

    1. Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
    2. Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)
    3. Cov(X1±X2,Y)=Cov(X1,Y)±Cov(X2,Y)Cov(X_1\pm X_2,Y)=Cov(X_1,Y)\pm Cov(X_2,Y)
    4. Cov(X,Y)D(X)D(Y)|Cov(X,Y)|\leq \sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}
    5. Cov(X,X)=D(X)Cov(X,X)=D(X)
    6. XXYY 相互独立,则 Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0
    7. Cov(aX±b,cY±d)=acCov(X,Y)Cov(aX\pm b,cY\pm d)=acCov(X,Y)

    协方差是反映量随机变量 XXYY 相关关系的特征量,它与 XXYY 是同量纲的,而反应 XXYY 相关关系的无量纲的是相关系数。


    协方差的矩阵表示: Cov(a,b)=a~Tb~n=<a~,b~>nCov(a,b)=\frac{\tilde{a}^T\tilde{b}}{n}=\frac{<\tilde{a},\tilde{b}>}{n}


    定义1.4.4: (X,Y)(X,Y) 为二维随机变量D(X),D(Y),Cov(X,Y)D(X),D(Y),Cov(X,Y) 分别为 (X,Y)(X,Y) 方差与协方差,称 ρXY=Cov(X,Y)D(X)D(Y)\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} 为随机变量 XXYY 相关系数。

    相关系数的性质:

    1. ρXY1|\rho_{XY}|\leq 1ρ\rho 是一个表征 (X,Y)(X,Y) 同线性相关紧密程度的量, ρ|\rho| 较大表示 (X,Y)(X,Y) 线性相关程度较高,反之较低。
    2. (X,Y)(X,Y) 相互独立,且 D(X),D(Y)>0D(X),D(Y)>0,则 ρXY=0\rho_{XY}=0。若 (X,Y)(X,Y) 的相关系数 ρXY=0\rho_{XY}=0,则称 XXYY 不相关。

    相关系数矩阵表示: ρab=a~Tb~na~Ta~nb~Tb~n=a~Tb~a~Ta~b~Tb~=a~Tb~a~2b~2=cos(a~,b~)\rho_{ab}=\frac{\frac{\tilde{a}^T\tilde{b}}{n}}{\sqrt{{\frac{\tilde{a}^T\tilde{a}}{n}}}\sqrt{{\frac{\tilde{b}^T\tilde{b}}{n}}}}=\frac{\tilde{a}^T\tilde{b}}{\sqrt{\tilde{a}^T\tilde{a}}\sqrt{\tilde{b}^T\tilde{b}}}=\frac{\tilde{a}^T\tilde{b}}{||\tilde{a}||_2||\tilde{b}||_2}=\cos\angle(\tilde{a},\tilde{b})

    在这里插入图片描述

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  • 文章目录二元随机变量,离散型随机变量分布律二元随机变量二元离散型随机变量(一)离散型随机变量的联合概率分布...设 X=X(e)X=X(e)X=X(e) 和 Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e) 是定义在 SSS 上的随机变量,由它们构成的向量 (X...

    二元随机变量,离散型随机变量分布律


    二元随机变量


    定义:EE 是一个随机实验,样本空间 S={e}S=\{e\};设 X=X(e)X=X(e)Y=Y(e)Y=Y(e) 是定义在 SS 上的随机变量,由它们构成的向量 (X,Y)(X,Y) 称为二维随机向量二元随机变量

    image.png

    二元离散型随机变量


    定义: 若二元随机变量 (X,Y)(X,Y) 全部可能取到的不同值是有限时或可列无线对,则称 (X,Y)(X,Y)二元离散型随机变量

    (一)离散型随机变量的联合概率分布律

    (X,Y)(X,Y) 所有可能取值为 (xi,yj)(x_i,y_j),称 P(X=xi,Y=yj)=Piji,j=1,2,P(X=x_i,Y=y_j)=P_{ij},i,j=1,2,\cdots 为二元离散型随机变量 (X,Y)(X,Y)联合概率分布律。也可简称 (X,Y)(X,Y) 的分布律。可以用如下图的表格来表示

    XYy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij \begin{array}{c|ccccc} _X\bcancel{\quad^Y} &y_1&y_2&\cdots&y_j&\cdots \\ \hline x_1 &p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1j}&\cdots \\ x_2 &p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2j}&\cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \\ x_i &p_{i1}&p_{i2}&\cdots&p_{ij}& \cdots \\ \vdots &\cdots&\quad&\cdots&\quad&\cdots \end{array}

    联合分布律的性质

    1. pij0,p_{ij}\geq 0,
    2. i=1j=1pij=1\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1
    3. P((X,Y)D)=(xi,yj)DpijP((X,Y)\in D)=\sum_{(x_i,y_j)\in D}p_{ij}

    其中 pij=P(X=xj,Y=yj),i,j=1,2,p_{ij}=P(X=x_j,Y=y_j),i,j=1,2,\cdots

    image.png


    例 1: 一盒子中有 10 件产品,其中 6 件正品 ,4 件次品。从中取 1 件产品检验,不放回,再取 1 件检验。引入如下的随机变量 XXYY

    X={0,第 1 次取到次品1,第 1 次取到正品Y={0,第2次取到次品1,第2次取到正品, X=\begin{cases} 0, &\text{第 1 次取到次品} \\ 1, &\text{第 1 次取到正品}, \end{cases} \quad Y=\begin{cases} 0, &\text{第2次取到次品} \\ 1, &\text{第2次取到正品}, \end{cases}

    (X,Y)(X,Y) 的联合分布律。

    解: (XY)(X,Y) 可能的取值数对有:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).

    由乘法公式 P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)=P(A)P(B|A) 得:

    P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0X=0)=410×39=215P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{3}{9}=\cfrac{2}{15}

    同理得:P(X=0,Y=1)=410×69=415P(X=0,Y=1)=\cfrac{4}{10}\times\cfrac{6}{9}=\cfrac{4}{15}

    P(X=1,Y=0)=610×49=415,P(X=1,Y=1)=610×59=515P(X=1,Y=0)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{4}{9}=\cfrac{4}{15},P(X=1,Y=1)=\cfrac{6}{10}\times\cfrac{5}{9}=\cfrac{5}{15}

    XY0102154151415515 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 \\ \hline 0 & \cfrac{2}{15} & \cfrac{4}{15} \\ 1 & \cfrac{4}{15} & \cfrac{5}{15} \end{array}


    例 2: 设随机变量 XX 在 1、2、3、4 四个正数中等可能地取一个值,另外一个随机变量 YY1X1\sim X 中等可能地取一整数值,试求 (X,Y)(X,Y) 的联合概率分布及 XYX、Y 的分布。

    解: XYX、Y 的取值情况均为 1,2,3,4;当 i,j=1,,4i,j=1,\cdots,4

    P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=jX=i)={14×1i,ij14×0,i<jP(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &i<j \end{cases}

    联合概率分布律如下:

    XY12341140002181800311211211204116116116116 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{8} & \cfrac{1}{8} & 0 & 0 \\ \\ 3 & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & 0 \\ \\ 4 & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} \end{array}

    XYX、Y 分布律

    P(X=i)=1/4,i=1,2,3,4.P(X=i)=1/4, i=1,2,3,4.

    {X=1},,{X=4}事件 \{X=1\},\cdots,\{X=4\}{Y=j}\{Y=j\} 前导事件组,由全概率公式得:

    P(Y=j)=i=14P(X=i)P(Y=jX=i),j=1,2,3,4.P(Y=j)=\sum_{i=1}^{4}P(X=i)P(Y=j|X=i),j=1,2,3,4.

    所以,XYX、Y 分布律就是在联合分布律表中横向、纵向相加!


    例 3: 袋中有 1 个红球, 2 个黑球,3 个白球,现有放回地取两次,每次取一球,以 X,Y,ZX,Y,Z 分别表示两次取球所得的红、黑、白球个数。求:

    (1)P(X=1Z=0)P(X=1|Z=0)

    (2)P(X=1,Z=0)P(X=1,Z=0)

    (3)(X,Y)(X,Y) 概率分布。

    解:

    (1) 这一问表示的意思是取到不是白球的前提下,取到 1 个红球的概率,所以:

    P(X=1Z=0)=13×23+23×13=49\quad P(X=1|Z=0)=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2}{3}+\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{4}{9}

    (2)这一问表达的是取出 1 个红球跟 0 个白球的概率,所以:
    P(X=1,Z=0)=16×26+26×16=19\quad P(X=1,Z=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{2}{6}+\cfrac{2}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{9}

    这里需要注意两问的区别!

    (3)XYX,Y 的取值范围均为 0, 1, 2.

    P(X=0,Y=0)=36×36=14P(X=0,Y=0)=\cfrac{3}{6}\times\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{4}\quad\quad 2 球均为白球

    P(X=0,Y=1)=26×36×2=13P(X=0,Y=1)=\cfrac{2}{6}\times\cfrac{3}{6}\times2=\cfrac{1}{3}\quad\quad 黑白或者白黑

    P(X=1,Y=2)=0P(X=1,Y=2)=0\quad\quad 这里总数超过 2 个,不符合条件。

    P(X=2,Y=0)=16×16=136P(X=2,Y=0)=\cfrac{1}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{36}\quad\quad 两球均为红球

    其余情况类似可得!

    所以 (X,Y)(X,Y) 的概率分布为:

    XY0120141319116190213600 \begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & \cfrac{1}{4} & \cfrac{1}{3} & \cfrac{1}{9} \\ \\ 1 & \cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{9} & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{36} & 0 & 0 \\ \\ \end{array}


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  • 随机变量是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。 它是由于随机而获得的非确定值,是概率中的一个基本概念。 在经济活动中,随机变量是某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生的事件。 例如...

    借鉴大佬的
    下面附上网址
    https://blog.csdn.net/ckk727/article/details/103435150

    随机变量

    随机变量是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。
    它是由于随机而获得的非确定值,是概率中的一个基本概念。
    在经济活动中,随机变量是某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生的事件。
    例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等,
    都是随机变量的实例。

    离散型随机变量

    定义
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    分布函数性质
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    个人觉得十分棒的图(思路很清晰)
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    离散型随机变量的常用分布
    (1)0-1分布
    (2)二项分布
    (3)几何分布
    (4)超几何分布
    (5)泊松分布

    连续型随机变量的常用分布
    (1)均匀分布
    (2)指数分布
    (3)正态分布

    详解

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    核心
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    核心
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    核心(跟0-1分布差不多)
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    核心

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    核心
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    连续型随机变量的常用分布

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    补充
    借鉴大佬
    下面附上网址
    https://blog.csdn.net/wangqingbang/article/details/91869130
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    讲的可详细了

    我在这里补充一下
    这是解题思路
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    x的值域,通过x的值域去求y的值域
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    调换顺序然后求导
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    他俩相等(我当时自己迷半天)
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    最后用这个公式就好
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    例子
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    对称性
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    理解:注意,σ 越小,则曲线越陡

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