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  • 证明:不同特征值对应的特征向量线性无关

    千次阅读 多人点赞 2020-12-07 11:16:48
    证明 设λ1,...,λk\lambda_1, ..., \lambda_kλ1​,...,λk​ 为方针 An×nA^{n\times n}An×n的kkk 个不同特征值,对应的...k) 线性无关(如果有必要交换特征向量顺序),而x1,...,xr,xr+1x_1, ..., x_r, x_{r+1}x

    证明

    λ 1 , . . . , λ k \lambda_1, ..., \lambda_k λ1,...,λk 为方针 A n × n A^{n\times n} An×n k k k 个不同特征值,对应的特征向量分别为 x 1 , . . . , x k x_1, ..., x_k x1,...,xk

    假设 x 1 , . . . , x r ( r < k ) x_1, ..., x_r(r<k) x1,...,xr(r<k) 线性无关(如果有必要交换特征向量顺序),而 x 1 , . . . , x r , x r + 1 x_1, ..., x_r, x_{r+1} x1,...,xr,xr+1 线性相关,则存在不全为 0 0 0 c 1 , . . . , c r + 1 c_1, ..., c_{r+1} c1,...,cr+1 使得:

    c 1 x 1 + . . . + c r x r + c r + 1 x r + 1 = 0 (1) c_1 x_1 + ... + c_r x_r + c_{r+1}x_{r+1} = 0 \tag{1} c1x1+...+crxr+cr+1xr+1=0(1)

    c r + 1 c_{r+1} cr+1 不为 0 0 0,否则 x 1 , . . . , x r x_1, ..., x_r x1,...,xr 线性相关。

    对(1) 式左右两边同时乘以 A A A

    c 1 A x 1 + . . . + c r A x r + c r + 1 A x r + 1 = 0 (2) c_1 A x_1 + ... + c_r A x_r + c_{r+1} A x_{r+1} = 0 \tag{2} c1Ax1+...+crAxr+cr+1Axr+1=0(2)

    也即

    c 1 λ 1 x 1 + . . . + c r λ r x r + c r + 1 λ r + 1 x r + 1 = 0 (3) c_1 \lambda_1 x_1 + ... + c_r \lambda_r x_r + c_{r+1} \lambda_{r+1} x_{r+1} = 0 \tag{3} c1λ1x1+...+crλrxr+cr+1λr+1xr+1=0(3)

    (1) 式乘以 λ r + 1 \lambda_{r+1} λr+1 与(3) 式子相减得

    c 1 ( λ r + 1 − λ 1 ) x 1 + . . . + c r ( λ r + 1 − λ r ) x r = 0 (4) c_1 (\lambda_{r+1} - \lambda_1) x_1 + ... + c_r (\lambda_{r+1} - \lambda_r) x_r = 0 \tag{4} c1(λr+1λ1)x1+...+cr(λr+1λr)xr=0(4)

    由于特征根不同, λ r + 1 − λ i ( i = 1 , . . . , r ) ≠ 0 \lambda_{r+1} - \lambda_i(i=1,...,r) \neq 0 λr+1λi(i=1,...,r)=0,故(4) 式表明特征向量 x 1 , . . , x r x_1, .., x_r x1,..,xr 线性相关,与假设矛盾。因此, x 1 , . . . , x r , x r + 1 x_1, ..., x_r, x_{r+1} x1,...,xr,xr+1 线性无关。

    证毕


    分析

    该证明利用反证法,有一定的技巧性,一是要把线性无关转化为方程只有零解的形式;二是要利用特征值、特征向量与原矩阵的关系。

    此处证明不同特征值对应的特征向量线性无关,但是一个特征值对应的多个特征向量是否线性无关并没有证明。

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  • 学习矩阵对角化(diagonalization)时需要了解一个定理:**不同特征值对应的特征向量线性无关**。我们知道,一个 n 维矩阵是否可以对角化取决于其是否具有 n 个线性无关的特征向量。所以,在上面的定理的基础上可以...

    前言

    学习矩阵对角化(diagonalization)时需要了解一个定理:不同特征值对应的特征向量线性无关。我们知道,一个 n 维矩阵是否可以对角化取决于其是否具有 n 个线性无关的特征向量。所以,在上面的定理的基础上可以得出结论:一个具有 n 个相互不同的特征值的 n 维矩阵必可对角化

    本文的中心便是要证明该定理——不同特征值对应的特征向量线性无关。

    证明

    给定一个 n 维矩阵 A ,其具有 n 个不等的特征值,分别为 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn,而 x 1 , . . . , x 2 x_1,...,x_2 x1,...,x2 为分别对应 n 个不等特征值的特征向量。我们需要证明这些特征向量线性无关。

    先假设这些特征向量线性相关,则存在 n 个不全为零的常数( c i c_i ci)使得如下式子成立:
    c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n = 0 (1) c_1x_1 + c_2x_2 +...+c_nx_n = 0 \tag{1} c1x1+c2x2+...+cnxn=0(1)
    用矩阵 A 左乘式 ( 1 ) (1) (1) ,根据 A x i = λ i x i Ax_i = \lambda_i x_i Axi=λixi 得:
    c 1 λ 1 x 1 + c 2 λ 2 x 2 + . . . + c n λ n x n = 0 (2) c_1\lambda_1x_1 + c_2\lambda_2x_2 +...+c_n\lambda_nx_n = 0 \tag{2} c1λ1x1+c2λ2x2+...+cnλnxn=0(2)
    再用式 ( 2 ) (2) (2) 减去 λ n ∗ ( 1 ) \lambda_n * (1) λn(1) ,得:
    c 1 ( λ 1 − λ n ) x 1 + c 2 ( λ 2 − λ n ) x 2 + . . . + c n − 1 ( λ n − 1 − λ n ) x n − 1 = 0 (3) c_1(\lambda_1-\lambda_n)x_1 + c_2(\lambda_2-\lambda_n)x_2 + ... + c_{n-1}(\lambda_{n-1}-\lambda_n)x_{n-1} = 0 \tag{3} c1(λ1λn)x1+c2(λ2λn)x2+...+cn1(λn1λn)xn1=0(3)
    接下来,可将 x i x_i xi 前面的系数 c i ( λ i − λ n ) c_i(\lambda_i-\lambda_n) ci(λiλn) 用常数 d i d_i di 代替,则式 ( 3 ) (3) (3) 可写成:
    d 1 x 1 + d 2 x 2 + . . . + d n − 1 x n − 1 = 0 (4) d_1x_1 + d_2x_2 +...+d_{n-1}x_{n-1} = 0 \tag{4} d1x1+d2x2+...+dn1xn1=0(4)
    ( 4 ) (4) (4) 是不是与式 ( 1 ) (1) (1) 形式一样?只是少了一个 x n x_n xn。那么对式 ( 4 ) (4) (4) 也进行类似式 ( 1 ) (1) (1) 的处理,可得:
    d 1 ( λ 1 − λ n − 1 ) x 1 + d 2 ( λ 2 − λ n − 1 ) x 2 + . . . + d n − 2 ( λ n − 2 − λ n − 1 ) x n − 2 = 0 (5) d_1(\lambda_1-\lambda_{n-1})x_1 + d_2(\lambda_2-\lambda_{n-1})x_2 + ... + d_{n-2}(\lambda_{n-2}-\lambda_{n-1})x_{n-2} = 0 \tag{5} d1(λ1λn1)x1+d2(λ2λn1)x2+...+dn2(λn2λn1)xn2=0(5)

    若是按照前面的步骤(式 ( 1 ) (1) (1) 至式 ( 3 ) (3) (3))重复进行 n − 2 n - 2 n2 次(每次都用一个不同的单个字符代替 x i x_i xi 前面的系数)后,可得:
    m 1 ( λ 1 − λ 3 ) x 1 + m 2 ( λ 2 − λ 3 ) x 2 = 0 (6) m_1(\lambda_1-\lambda_3)x_1 + m_2(\lambda_2-\lambda_3)x_2 = 0 \tag{6} m1(λ1λ3)x1+m2(λ2λ3)x2=0(6)

    n i n_i ni 代替式 ( 6 ) (6) (6) x i x_i xi 的系数,即令 n 1 = m 1 ( λ 1 − λ 3 ) n_1 = m_1(\lambda_1-\lambda_3) n1=m1(λ1λ3) n 2 = m 2 ( λ 2 − λ 3 ) n_2 = m_2(\lambda_2-\lambda_3) n2=m2(λ2λ3)

    再按照前面的步骤(式 ( 1 ) (1) (1) 至式 ( 3 ) (3) (3))进行一次处理,可得 n 1 ( λ 1 − λ 2 ) x 1 = 0 n_1(\lambda_1-\lambda_2)x_1=0 n1(λ1λ2)x1=0 n 1 n_1 n1 为常数),由于特征向量不为零且各特征值都不相等,所以只能是 n 1 = 0 n_1 = 0 n1=0,又因为 n 1 = m 1 ( λ 1 − λ 3 ) n_1 = m_1(\lambda_1-\lambda_3) n1=m1(λ1λ3),所以 m 1 = 0 m_1=0 m1=0,带入到式 ( 6 ) (6) (6) 中可得 m 2 = 0 m_2=0 m2=0,如此往后迭代最终可得:
    c i = 0 for i  = 1 , 2 , . . . , n c_i=0 \quad \text{for i } = 1,2,...,n ci=0for i =1,2,...,n
    则说明前面的假设(n 个特征向量 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn 是线性相关)是错误的,故 矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关 得证。

    参考源

    • 《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 著
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  • 线性无关向量不一定正交

    千次阅读 2020-10-31 17:23:14
    本文以矩阵特征向量为例说明线性无关向量不一定正交 1. 线性无关向量组定义1        如果x1\pmb{x}_1xxx1​,x2\pmb{x}_2xxx2​,...\pmb{...}.........,xr(r≥1)\pmb{x}_r(r\...
    1. 线性无关向量组定义1

           如果 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r ( r ≥ 1 ) \pmb{x}_r(r\ge1) xxxr(r1)为线性空间 V V V中一组向量, k 1 {k}_1 k1 k 2 {k}_2 k2 . . . {...} ... k r {k}_r kr是数域 P P P中的数,那么向量 x = k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k r x r (1) \pmb{x}=k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r \tag{1} xxx=k1xxx1+k2xxx2+.........+krxxxr(1) 称为向量 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr的一个线性组合,有时也可以说向量 x \pmb{x} xxx可用向量组 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr线性表示。
           如果式 ( 1 ) (1) (1)中的 k 1 {k}_1 k1 k 2 {k}_2 k2 . . . {...} ... k r {k}_r kr不全为零,且使 k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k r x r = 0 (2) k_1\pmb{x}_1+k_2\pmb{x}_2+\pmb{...}+k_r\pmb{x}_r = \pmb{0} \tag{2} k1xxx1+k2xxx2+.........+krxxxr=000(2)则称向量组 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr线性相关,否则就称其为线性无关。换句话说,如果等式 ( 2 ) (2) (2)只有在 k 1 = k 2 = . . . = k r = 0 k_1 = k_2 = \pmb{...} = k_r = 0 k1=k2=.........=kr=0时才成立,则称 x 1 \pmb{x}_1 xxx1 x 2 \pmb{x}_2 xxx2 . . . \pmb{...} ......... x r \pmb{x}_r xxxr线性无关。

    2. 以两个线性无关向量为例

            v 1 = ( − 1 ,    2 , − 1 ) , v 2 = (        0 ,    2 , − 1 ) \pmb{v}_1=(-1,\;2,-1), \pmb{v}_2=(\;\;\;0,\;2,-1) vvv1=(1,2,1),vvv2=(0,2,1)向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1,vvv2的线性组合为
    v = k 1 v 1 + k 2 v 2 = k 1 ( − 1 , 2 , − 1 ) + k 2 ( 0 , 2 , − 1 ) \pmb{v}=k_1\pmb{v}_1+k_2\pmb{v}_2=k_1(-1,2,-1)+k_2(0,2,-1) vvv=k1vvv1+k2vvv2=k1(1,2,1)+k2(0,2,1) v \pmb{v} vvv 0 \pmb{0} 000时,可得到如下线性方程组
    { − k 1 + 0        = 0    2 k 1 + 2 k 2 = 0 − k 1 −      k 2 = 0 \begin{cases} -k_1+0 \;\;\;=0 \\ \;2k_1+2k_2=0 \\ -k_1-\;\;k_2=0 \end{cases} k1+0=02k1+2k2=0k1k2=0
    只有当 k 1 , k 2 \pmb{k}_1,\pmb{k}_2 kkk1,kkk2同时为0时,才满足上述线性方程组,因此向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1,vvv2线性无关,但向量 v 1 , v 2 \pmb{v}_1,\pmb{v}_2 vvv1,vvv2的内积 ( v 1 , v 2 ) = 0 + 4 + 1 = 5 ≠ 0 (\pmb{v}_1,\pmb{v}_2)=0+4+1=5\ne0 (vvv1,vvv2)=0+4+1=5=0,因此并不正交。

    线性无关向量组可使用施密特(Schmidt)正交化方法进行正交化。


    1. 方保镕,周继东,李医民. 矩阵论. 北京:清华大学出版社,2004.11(P8) ↩︎

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  • 矩阵向量线性无关

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    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0

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