本文通过实例对MATLAB曲线拟合工具箱进行详细讲解，帮助大家更容易理解曲线拟合工具箱（cftool）。

1.实例介绍

已知
x = [0 0.2 0.50.8 0.9 1.3 1.4 1.9 2.1 2.2 2.5 2.6 2.9 3.0];
y = [1.27792.1596 2.7311 2.5974 2.4068 1.6215 1.4178 0.9955 0.9666 0.8837 0.9639 1.00311.1233 1.1583];

并且根据某种物理或数学关系确定y=f(x)的表达形式，并求出拟合结果对应的系数。

2. 进入曲线拟合工具箱界面

两种方法，第一种：
打开app栏的曲线拟合工具箱（Curve Fitting），

第二种，直接在命令行窗口输入“cftool”：

进入界面后，弹出如下窗口：

3. 加载数据

新建一个.m文件，并写入如下代码：

clc;clear;
x = [0 0.2 0.5 0.8 0.9 1.3 1.4 1.9 2.1 2.2 2.5 2.6 2.9 3.0];
y = [1.2779 2.1596 2.7311 2.5974 2.4068 1.6215 1.4178 0.9955 0.9666 0.8837 0.9639 1.0031 1.1233 1.1583];

作为要拟合曲线所需要的数据。

4. 加载数据

在上述窗口中选中相应数据和拟合选项：

5. 选择拟合曲线的类型

通过下拉菜单选择拟合曲线的类型，

工具箱提供的拟合类型有：

• Custom Equations：用户自定义的函数类型；
• Exponential：指数逼近，有2种类型， $a\ast exp(b\ast x)$ 、 $a\ast exp(b\ast x)+c\ast exp(d\ast x)$；
• Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 $a0+a1\ast cos(x\ast w)+b1\ast sin(x\ast w)$；
• Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 $a1\ast exp(-((x-b1)/c1{)}^2)$；
• Interpolant：插值逼近，有4种类型，Nearest neighbor、Linear、Cubic、Shape-preserving（PCHIP）；
• Linear Fitting：线性拟合；
• Polynomial：多形式逼近；
• Power：幂逼近，有2种类型，$a\ast x^b$ 、$a\ast x^b+c$；
• Rational：有理数逼近；
• Smoothing Spline：平滑逼近；
• Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 $a1\ast sin(b1\ast x+c1)$；
• Weibull：只有一种，$a\ast b\ast x^{(}b-1)\ast exp(-a\ast x^b)$；

6. 进行曲线拟合

假设我们以$y=a\ast sin(b\ast x)\ast exp(c\ast x)+d$的表达形式进行拟合，则选择”Custom Equation”，在方框中输入相应的函数表达式，拟合过程及结果图像如下图所示：

可以发现，曲线和拟合程度较差。这是因为，对同一问题的拟合情况，每次可能都不一样，这取决对于参数a,b,c,d的StartPoint的选取。解决方法是在拟合过程中，将a，b，c和d也作为约束拟合的条件，例子中已知a,b,c,d的的取值范围(正负范围)，可以进行如下操作，点击[Fit Options]按钮，弹出的窗口如下：

可以调整a,b,c,d参数的StartPoint,Lower,Upper三个选项来是拟合更加准确，比如说，将a,b,d的Lower选项设为0（a,b,d>0），将c的Upper选项设为0（c<0），设置如下图所示：

设置完毕之后，就会自动出现重新拟合之后的图像，如下图所示。

可以看到，拟合程度较之前有了很大的提高.因此，可以预见的是，在拟合过程中，设置好待拟合函数的参数的StartPoint，Lower和Upper三者的值可以使拟合更加准确。

7. 拟合结果分析

在左侧的Result中显示拟合模型、参数以及拟合效果：

拟合效果评测：

• SSE：拟合误差平方和，接近0，表示与数据拟合的好，但是要小心过拟合；
• R-Square：实测数据与推理数据之间的相关系数平方值，趋近于1较好；
• RMSE：均方差；

8.其他常用拟合方法

当然，除了上面提到的拟合方法之外，还有两种常用的拟合方法：

• Interpolant
  插值逼近，该方法的优势在于会连接所有点，而使其SSE为0，R-square为1，如下图所示：
  
• Smoothing Spline
  平滑逼近，该方法的会尽可能逼近所有点，使其SSE尽可能逼近0，R-square尽可能逼近1，如下图所示：
  

9.输出拟合参数

如果希望只显示拟合图像，可以点击“文件”——>“Print to figure”

这样就可以只显示拟合图像了，如下图所示。

如果希望导出拟合后的曲线数据，可以点击“文件”——>“Generate Code”

生成代码后，默认函数名为createFit，可以自行修改，直接保存，就可以调用了。比如说，我要导出五次多项式Polynomial逼近结果，按照上述方式导出后，可以查看生成代码的信息：

其中，fitresult是函数的输出，是一个结构体，可以用fitresult.p1得到p1的系数，同理其它系数也可得。

如果想导出拟合后的曲线数据，只需要把横坐标传给fitresult就可以了：

y = fitresult(x)';

10.结论

本文主要讨论了MATLAB曲线拟合工具箱（cftool）的拟合过程。通过工具箱模块可以非常方便地对曲线进行拟合，不需要太多的编程，曲线拟合方法多样，效果较好。

ok，以上便是曲线拟合工具箱的全部内容了，如果对你有所帮助，记得点个赞哟~

笔记整理来自《清风数学建模》

目录

一、打开matlab拟合工具箱

二、拟合工具箱的使用

三、自定义拟合函数——Custom Equation（建模用的较多）

 四、多项式拟合（建模用的较多）

 五、如何导出拟合的高清图像

六、调用拟合工具箱自动生成的代码

七、利用拟合工具箱预测美国人口

1. 题目

2. 使用拟合工具箱进行拟合

 3. 自动生成拟合的代码

 4. 预测未来的人口数

八、优秀论文中cftool的应用

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一、打开matlab拟合工具箱

方法1：直接输入“cftool”

方法2：选择“apps”"curve fitting"

拟合工具箱：

二、拟合工具箱的使用

 数据：

x	4.2	5.9	2.7	3.8	3.8	5.6	6.9	3.5	3.6	2.9	4.2	6.1	5.5	6.6	2.9	3.3	5.9	6	5.6
y	8.4	11.7	4.2	6.1	7.9	10.2	13.2	6.6	6	4.6	8.4	12	10.3	13.3	4.6	6.7	10.8	11.5	9.9

（1）导入数据：load data1.mat

(2) 选择合适的函数进行拟合。

 参数解释：

Linear model Poly1:
     f(x) = p1*x + p2
Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =       2.095  (1.886, 2.304) %表明p1有95%的可能性落在[1.886,2.304]这个区间
       p2 =      -1.055  (-2.072, -0.03775)

Goodness of fit:
  SSE: 5.728%误差平方和
  R-square: 0.9635%拟合优度
  Adjusted R-square: 0.9613%调整后的拟合优度
  RMSE: 0.5805%均方误差

在拟合里面，最重要的两个参数是误差平方和SSE和拟合优度R^2,拟合优度越接近于1，说明误差越小，拟合效果越好。

三、自定义拟合函数——Custom Equation（建模用的较多）

在matlab拟合工具箱中，可以自定义函数的参数和表达式，matlab会自动计算出参数的值。

当拟合函数设置成一元二次函数时，可以发现拟合优度变大了，这是不是说明该二次函数比一次函数更好呢？

实际上，二次函数和一次函数的SSE和R^2的值都相差不大。在这种情况下，尽量拟合函数越简单越好，否则很可能出现龙格现象（过拟合）。

 四、多项式拟合（建模用的较多）

多项式拟合可以自定义函数的阶数。

 五、如何导出拟合的高清图像

（1）选择“打印图像”

（2） 选择“导出设置”“导出”或者选择“编辑”“复制图片”

分辨率可以改成“600”，这样图像的清晰度会更高一些。 

 

六、调用拟合工具箱自动生成的代码

 第一步：选择“文件”“自动生成代码”

 第二步：点击保存，保存为函数格式.m的文件

第三步：点击下面的代码执行即可。

[fitresult, gof] = createFit(x, y)

 通过生成的代码，可以更改坐标轴、图像标题等信息。

七、利用拟合工具箱预测美国人口

1. 题目

下表给出了近2个世纪的美国人口统计数据（单位：百万人），请使用最下面给定的拟合函数预测后30年的美国人口。

2. 使用拟合工具箱进行拟合

导入数据，调出拟合工具箱： 

year = 1790:10:2000;
population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
cftool

输入自定义的拟合函数：（需要将f(x)改为f(t)）

xm/(1+((xm/3.9)-1)*exp((-r)*(t-1790)))

 发现拟合函数图像有问题，提示：

Fit computation did not converge:拟合计算未收敛：
Fitting stopped because the number of iterations or function evaluations exceeded the specified maximum.拟合停止，因为迭代次数或函数求值次数超过了指定的最大值。

说明拟合参数xm和r的初始值设置有问题，这就需要我们更改拟合参数xm和r的值，我们可以一个个数去试

【结果】：

General model:
     f(t) = xm/(1+((xm/3.9)-1)*exp((-r)*(t-1790)))
Coefficients (with 95% confidence bounds):
       r =     0.02735  (0.0265, 0.0282)
       xm =       342.4  (311, 373.8)

Goodness of fit:
  SSE: 1225
  R-square: 0.9924
  Adjusted R-square: 0.992
  RMSE: 7.826

在这里，由于该函数不是线性函数，所以不用拟合优度解释拟合的效果，而应该用误差平方和SSE进行解释。这里SSE=1225，说明误差还比较小。

 3. 自动生成拟合的代码

和第五点的操作方法一样，自动生成代码，改变一些标题等。

自动生成的代码：

function [fitresult, gof] = createFit(year, population)

%% Fit: 'untitled fit 1'.
[xData, yData] = prepareCurveData( year, population );

% Set up fittype and options.
ft = fittype( 'xm/(1+((xm/3.9)-1)*exp((-r)*(t-1790)))', 'independent', 't', 'dependent', 'y' );
opts = fitoptions( ft );
opts.Display = 'Off';
opts.Lower = [-Inf -Inf];
opts.StartPoint = [0.757740130578333 41];
opts.Upper = [Inf Inf];

% Fit model to data.
[fitresult, gof] = fit( xData, yData, ft, opts );

% Plot fit with data.
figure( 'Name', '拟合函数图像' );
h = plot( fitresult, xData, yData );
legend( h, '样本点', '拟合曲线', 'Location', 'NorthEast' );
% Label axes
xlabel( '年份' );
ylabel( '人口数（百万人）' );
grid on

图像：

 4. 预测未来的人口数

【分析】指导预测人口y=f(x)的函数关系式后，可以根据年份算出人口数。需要注意的时，计算预测的人口数时需要用点乘/除的形式，保证一个x对应一个唯一的y值，按照对应的值进行计算。

t = 2001:2030;
xm = 342.4;   
r =  0.02735;
predictions = xm./(1+(xm./3.9-1).*exp(-r.*(t-1790)));  % 计算预测值（注意这里要写成点乘和点除,这样可以保证按照对应元素进行计算）

计算结果：（predictions即为预测的人口数）

年份	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024	2025	2026	2027	2028	2029	2030
人口	269.4898	271.047	272.5795	274.0874	275.5707	277.0295	278.4638	279.8738	281.2595	282.621	283.9585	285.2722	286.5621	287.8285	289.0715	290.2913	291.4881	292.6621	293.8136	294.9428	296.0498	297.135	298.1986	299.2408	300.2619	301.2622	302.2419	303.2013	304.1407	305.0603

plot(year,population,'o',t,predictions,'.')  % 绘制预测结果图

八、优秀论文中cftool的应用