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  • 矩阵相似对角化与不能对角化的解释 矩阵相似对角化的进一步理解,几何加本质 对一般矩阵的研究转化为幂零矩阵的研究, 把矩阵当作变换,研究 特征方向不够多是因为映射的幂零性造成的 若当块幂零阵把一个空间...

    矩阵不相似于对角阵的几何解释

    本文从矩阵为什么要对角化讲到为什么不能对角化,解释不能对角化是什么意思可参看视频,主要思想表述如下:

    矩阵相似对角化与不能对角化的解释

    矩阵相似对角化的进一步理解,几何加本质

    1. 对一般矩阵的研究转化为幂零矩阵的研究,
    2. 把矩阵当作变换,研究
    3. 特征方向不够多是因为映射的幂零性造成的
    4. 若当块幂零阵把一个空间所有向量拉到一个方向,就是特征方向
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  • 所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化,现把该部分的知识点总结如下:★一般方阵的相似对角化理论这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,会判断给定的矩阵是否可以相似对角化,另外还要会矩阵相似对角化的...

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    矩阵相似对角化要点

    矩阵的相似对角化是考研的重要考点,该部分内容既可以出大题,也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化,现把该部分的知识点总结如下:★一般方阵的相似对角化理论这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,会判断给定的矩阵是否可以相似对角化,另外还要会矩阵相似对角化的计算问题,会求可逆阵以及对角阵。事实上,矩阵相似对角化之后还有一些应用,主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上,这些应用在历年真题中都有不同的体现。1、判断方阵是否可相似对角化的条件:(1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;(2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k(3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;(4)充分条件:如果An是实对称矩阵,那么An一定可以相似对角化。【注】分析方阵是否可以相似对角化,关键是看线性无关的特征向量的个数,而求特征向量之前,必须先求出特征值。2、求方阵的特征值:(1)具体矩阵的特征值:这里的难点在于特征行列式的计算:方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0,然后利用行列式的展开定理计算;(2)抽象矩阵的特征值:抽象矩阵的特征值,往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求,灵活性较大。★实对称矩阵的相似对角化理论其实质还是矩阵的相似对角化问题,与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外,还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,在考试的时候会经常用到这些考点的。这块的知识出题比较灵活,可直接出题,即给定一个实对称矩阵A,让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的,这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量,从而确定出矩阵A。最重要的是,掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(1)不同特征值的特征向量一定正交(2)k重特征值一定满足满足n-r(λE-A)=k【注】由性质(2)可知,实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知,实对称矩阵一定可以正交相似对角化。2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是:只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化,不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不正交)。3、实对称矩阵的特殊考点实对称矩阵一定可以相似对角化,利用这个性质可以得到很多结论,比如:(1)实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数这个结论只对实对称矩阵成立,不要错误地使用。(2)两个实对称矩阵,如果特征值相同,一定相似同样地,对于一般矩阵,这个结论也是不成立的。4、实对称矩阵在二次型中的应用使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。◆◆典型习题◆◆71101fe1aab8ee7dda3b6d655ab4b070.png71101fe1aab8ee7dda3b6d655ab4b070.png

    习题

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    ◆◆答案解析◆◆7ecccd8ceb79d7c6e8085a0f533c7a2b.gif7ecccd8ceb79d7c6e8085a0f533c7a2b.gif7ecccd8ceb79d7c6e8085a0f533c7a2b.gif71101fe1aab8ee7dda3b6d655ab4b070.png71101fe1aab8ee7dda3b6d655ab4b070.png

    你做对了吗?

    答案解析

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  • 线性代数 矩阵相似对角化的理解 矩阵的相似对角化,是一种基变换,或者说是坐标系变换,本质上是将线性变换在原坐标系(标准坐标系)中的表示变换为在新的坐标系下的表示,而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组...

    线性代数 矩阵相似对角化的理解

    矩阵的相似对角化,是一种基变换,或者说是坐标系变换,本质上是将线性变换在原坐标系(标准坐标系)中的表示变换为在新的坐标系下的表示,而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组线性无关的特征向量作为基建立的。

    在n维空间中的n个线性无关的向量张成了这个n维空间,它们是这个n维空间的一组基底。一般地,二维空间,我们用i和j两个单位正交基来建立坐标系表示,也就是我们的x轴和y轴。同样的道理,我们也可以用任意一组基底建立坐标系描述,将原来的坐标系下的一个或者一组向量变换到新基底下的表示方式,就是基变换

    对于一组原空间下的向量(或者说一个变换),我们如何将其转化为用新的一组基底表示呢?

    考虑原坐标系(标准坐标系)下的一线性变换A,以基底P建立的新坐标系下有一向量X,X各个维度的值是基底P中各个基底向量方向的坐标,P中的各个基底还是原坐标系(标准坐标系)下的表示方式,那么X在原坐标系下的表示自然就是PX,X在原坐标系下线性变换后得到的结果自然就是APX。我们既然将新坐标系下的某个向量左乘基底P得到原坐标系下的向量,那么再左乘一个P-1,就可以变换回新坐标系。因此,P-1APX就是X经过原坐标系下的线性变换A后在新坐标系下得到的向量。换个角度看,P-1AP就是原坐标系下的线性变换A在新坐标系下的表示。

    因此我们知道了

    P-1AP

    就是原坐标系下的矩阵变换为以P为基底的新坐标系的矩阵的方式。

    进一步地,这不就是矩阵相似的定义吗。现在我们知道了,矩阵的相似,本质上就是矩阵的坐标系变换。

    而相似对角化,相似变换矩阵P就是矩阵A的线性无关特征向量组,以这些特征向量作为基底,得到的矩阵A对应的变换在新坐标系下就是延长或者缩短新坐标系的基底,自然是一个对角矩阵,因此便被称为相似对角化。这个对角矩阵对角线上的值就是每个基底被缩放的值,也就是对应的特征值了。

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  • 实对称矩阵相似对角化Matlab程序,用到的朋友可以下载看看。
  • 实对称矩阵(3):正交变换前 言(1)今天我们来讨论利用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的问题。(2)常规的相似变换, 可逆矩阵P的逆矩阵较难求。引入正交变换, 正交矩阵的逆就是它的转置, 计算量较小。正交矩阵具有什么...

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    实对称矩阵(3):正交变换

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    前 言

    (1)今天我们来讨论利用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的问题。(2)常规的相似变换, 可逆矩阵P的逆矩阵较难求。引入正交变换, 正交矩阵的逆就是它的转置, 计算量较小。正交矩阵具有什么样的基本性质, 这里不再赘述, 请同学们注意复习巩固。(3)由之前证明的结论可知, 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。那么这里求正交矩阵的关键就在于, k重特征值的k个线性无关的特征向量不一定是正交的, 那么要做怎样的处理才能使他们正交呢?①Schmidt正交化是比较容易想到的思路和方法。注意“每日一题20201107”对Schmidt正交化的系统讲解, 熟练掌握。②②除了Schmidt正交化, 还有一种“预处理”法, 可以直接求出同一特征值正交的特征向量。注意视频中我对该方法解题思路和方法的系统归纳小结, 尤其是涉及到的一些逻辑推理, 请重点关注、仔细推敲。(4)行列式的计算则是利用A和f(A)特征值的关系, 以及行列式和特征值之间的关系。

    题 目

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    讲 解

    文 稿

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  • 可逆矩阵(定义、充要条件、与初等矩阵)、分块矩阵相似对角化、正交矩阵(定义、充要条件及性质)
  • Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化。1.对角阵概念2.矩阵与对角阵相似的条件3.一般矩阵相似对角化4.实对称矩阵相似对角化5.协方差矩阵相似对角化(end)...
  • 相似矩阵矩阵相似对角化

    万次阅读 2016-10-19 19:12:47
    特殊的,如果A∼Λ,Λ是对角矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关的特征向
  • 下面,我们就通过矩阵相似对角化:来简单从数学角度解释下面几个问题:为什么要进行矩阵相似对角化?什么样的矩阵可以相似对角化?如何进行矩阵相似对角化矩阵相似对角化的几何理解。在这之前你必须了解...
  • 1 ,对称矩阵 : 定于 : 1 ,如果 :矩阵 A = A 的转置 2 ,那么 :A 为对称矩阵 如图 : 2 ,对角矩阵 : ...1 ,主对角线的元素不为 0 ...3 ,正定矩阵 : ... 0 ,这样的矩阵叫正定矩阵 ...2 ,则称这个过程是对角化
  • 矩阵相似对角化的条件

    万次阅读 2020-06-20 16:40:27
    1.实对称矩阵必定可以相似对角化 2.如果特征值两两互不相同或,那么也可以立马断定矩阵可以相似对角化 3.如果有k重特征值λ,那么n-r(λE-A)=k,因为只有这个等式成立,才能说明特征值取λ时有k个线性无关的解向量...
  • 4.一定可以用正交矩阵相似对角化(满足的矩阵为正交阵),步骤如下 (1)求A的特征值λ1、λ2、λ3 (2)求特征向量α1、α2、α3 (3)改造特征向量 a. 如λi≠λj 只需要单位化 ...
  • 对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一...
  • 相似矩阵相似对角化

    千次阅读 2018-05-24 19:34:48
    对称矩阵对角化(方阵) 对称矩阵的一些性质: 1:对称矩阵的特征值为实数 2:设λ1λ1\lambda_1和λ2λ2\lambda_2是对称矩阵AAA的两个特征值,p1p1\mathbf{p}_1,p2p2\mathbf{p}_2是对应的特征向量,若λ1≠λ2...
  • 如果一个方阵有n个线性无关的特征向量,那么就可以对角化,去相似,去拟合 在这里插入图片描述 相似:是一种关系,自己定义的 类似于前面讲过的等价变换 其中p矩阵就是特征向量组 B的对角矩阵,就是对角元素时特征...
  • 实对称矩阵相似对角化

    千次阅读 2020-05-18 10:11:28
    每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵,实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得,且存在正交矩阵Q,使得 实对称矩阵化为对角矩阵的步骤: 1.找出全部特征...
  • 量子力学中的一项基本假定是代表力学量的算符是Hermite算符,由力学量算符的本征方程解出的全部本征值,就是相应力学量的...本文先从数学上严格证明了Hermite矩阵可以酉相似对角化,然后结合物理实例分析了其物理意义。
  • 森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系​zhuanlan.zhihu.com森屿瑾年:浅谈矩阵相似对角化(一)​zhuanlan.zhihu.com在上一篇文章我们证明了任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性...
  • 线性代数张宇9讲 第八讲 相似矩阵相似对角化 易错题和难题记录
  • 文章目录相似矩阵矩阵对角化对称矩阵对角化对称阵A对角化的步骤 相似矩阵 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P−1AP=B,P^{-1}AP=B,P−1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P−1APP^{-1...
  • 矩阵相似对角化

    2019-02-26 23:14:00
    转载自:https://blog.csdn.net/LSGO_MYP/article/details/68483934 转载于:https://www.cnblogs.com/TAL2SCB/p/10440897.html
  • 本微信图文从变换的角度解释了相似矩阵对角化
  • /////////////////////01相似对角化的判定,若A 可相似对角化,求可逆矩阵P方法点睛:矩阵相似对角化,是线性代数的高频考点,命题常以选择题、填空题出现,经常以解答题形式出大题.(1)n 阶矩阵A 可相似对角化⇔A 有n 个...
  • 森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系​zhuanlan.zhihu.com森屿瑾年:浅谈矩阵相似对角化(一)​zhuanlan.zhihu.com森屿瑾年:浅谈矩阵相似对角化(二)​zhuanlan.zhihu.com在上一篇文章中,我们一起讨论了...
  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵对角矩阵相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...
  • 线代---相似矩阵相似对角化

    热门讨论 2017-11-26 18:59:23
    一、矩阵相似  定义:设A、B是两个n阶方阵,若存在n阶可逆阵P,使得P的逆乘A乘P等于B,则称A相似于B,记成A~B.  性质:若A~B,则有1、r(A)=r(B) 2、|A|=|B| 3、具有相同的特征值
  • 森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系​zhuanlan.zhihu...由于对角矩阵具有良好的性质,因此我们希望通过选取合适的基,使得线性变换在这组基下的矩阵对角矩阵,这个问题等价于寻找一个可逆矩阵 ,使得 ,在讨论...
  • 转载于:https://www.cnblogs.com/invisible2/p/10728044.html
  • 实对称矩阵的PPP除了满足可逆之外,还是正交矩阵 特征值篇4——实对称矩阵的特殊性 正规矩阵的PPP除了满足可逆之外,还是酉矩阵相似对角阵的充要条件

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矩阵相似对角化