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  • 算法图解-动态规划

    2018-04-23 14:18:00
    动态规划,它将问题分成小问题,并先着手解决这些小问题 学习如何设计问题的动态规划解决方案 9.1 背包问题  如何让背包内装的商品价值最高? 如果尝试所有的可能性,运行时间为O(2n)。 9.2 背包问题...

    内容:

    • 动态规划,它将问题分成小问题,并先着手解决这些小问题
    • 学习如何设计问题的动态规划解决方案

    9.1 背包问题

      如何让背包内装的商品价值最高?

    如果尝试所有的可能性,运行时间为O(2n)。

    9.2 背包问题FAQ

      9.2.7处理相互依赖的情况

        动态规划仅当每个子问题是离散的情况下才管用。即子问题之间不能有依赖。

      9.2.8根据动态规划的设计,最多只需合并两个自背包,即根本不涉及两个以上的子背包,但子背包可能又含有子背包。

      9.2.9最优解可能导致背包没装满9

    9.3最长公共子串

    • 动态规划可在给定约束条件下找到最优解
    • 在问题可分解为彼此独立且离散的子问题时,就可使用动态规划来解决

    9.4小结

    • 需要给定约束条件下右下某种指标时,动态规划很有用
    • 问题可分为离散子问题时,可使用动态规划来解决
    • 每种动态规划方案都涉及网格
    • 单元格中的值通常就是你要优化的值
    • 每个单元格都是一个子问题,因此需要考虑如何将问题分为子问题
    • 没有房子四海皆准的计算动态规划解决方案的公式

    动态规划C语言

    https://blog.csdn.net/qq_34207422/article/details/69067708

    转载于:https://www.cnblogs.com/mofei004/p/8918872.html

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  • 算法图解读后感(理解概念)贪婪算法、动态规划、K最近邻算法 、其他有用的算法

    第八节、贪婪算法与NP完全问题

    贪婪算法很简单:每步都采取最优的做法。用专业术语说,就是你每步都选择局部最优解,最终得到的就是全局最优解。
    贪婪并非在任何情况下都适用,比如背包问题
    贪婪算法易于实现、运行速度快,是不错的近似算法。

    集合覆盖问题只能使用贪婪算法。
    步骤一、选出覆盖最多未覆盖元素的子集,即便这个子集覆盖了一些已经覆盖的元素也没有关系
    步骤二、重复第一步,直到覆盖了所有的元素
    大O表示法,O(n^2)
    幂集(power set) 集合A(有n个数)的子集的数量是 2^n ,也就是幂集。

    NP完全问题

    NP完全问题的简单定义是,以难解著称的问题,如旅行商问题和集合覆盖问题。很多非常聪明的人都认为,根本不可能编写出可快速解决这些问题的算法。(使用近似算法即可)
    比如、集合覆盖问题和旅行商问题

    在这里插入图片描述

    NP完全问题旅行商问题和最短路径狄克斯特拉算法之间的区别

    最短路径狄克斯特拉算法的起点和终点是确定的,旅行商问题的起点和终点是不确定的。


    第九节、动态规划

    背包问题
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    假设你在杂货店行窃,可偷成袋的扁豆和大米,但如果整袋装不下,可打开包装,再将背包倒满。在这种情况下,不再是要么偷要么不偷,而是可偷商品的一部分。如何使用动态规划来处理这种情形呢?
    答案是没法处理。使用动态规划时,要么考虑拿走整件商品,要么考虑不拿,而没法判断该不该拿走商品的一部分。
    但使用贪婪算法可轻松地处理这种情况!首先,尽可能多地拿价值最高的商品;如果拿光了,再尽可能多地拿价值次高的商品,以此类推。

    注意:

    1、使用动态规划,要么考虑拿走整件商品,要么不拿,而没办法判断该不该拿走商品的一部分。
    2、动态规划功能强大,它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。但仅当每个子问题都是离散的,即不依赖于其他子问题时,动态规划才管用。
    3、最有解可能导致背包每装满。

    最长公共子串

    例子、比较fish和hish的最长公共子串

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    需要注意的一点是,这个问题的最终答案并不在最后一个单元格中!对于前面的背包问题,
    最终答案总是在最后的单元格中。但对于最长公共子串问题,答案为网格中最大的数字——它可 能并不位于最后的单元格中。

    最长公共子序列

    最长公共子串和最长公共子序列的区别
    最长公共子串比较的是连续子串数量
    在这里插入图片描述

    最长公共子序列比较的都有的序列中包含的元素的数量

    继承上次计算的最长公共子串
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述


    第十节、K最近邻算法

    K最近邻(k-nearest neighbours,KNN)算法

    分类算法
    建立坐标,使用毕达哥拉斯公式计算方位距离
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    回归

    在这里插入图片描述

    机器学习简介

    机器学习旨在让计算机更聪明。

    OCR

    OCR指的是光学字符识别(optical character
    recognition),这意味着你可拍摄印刷页面的照片,计算机将自动识别出其中的文字。

    在这里插入图片描述

    创建垃圾邮件过滤器
    在这里插入图片描述


    第十一节、其他有用的算法

    1、反向索引
    在这里插入图片描述
    2、傅里叶变换

    在这里插入图片描述

    3、并行算法

    在这里插入图片描述

    4、分布式算法

    MapReduce是一种流行的分布式算法,你可通过流行的开源工具Apache Hadoop来使用它

    在这里插入图片描述
    映射函数

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    归并函数
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    5、布隆过滤器和 HyperLogLog

    布隆过滤器是一种概率型数据结构,它提供的答案有可能不对,
    但很可能是正确的。为判断网页以前是否已搜集,可不使用散列表,而使用布隆过滤器。使用散列表时,答案绝对可靠,而使用布隆过滤器时,答案却是很可能是正确的。
    但是使用散列表的时候,如果数据量特别大,散列表需要占用大量的存储空间

    布隆过滤器

    1、可能出现错报的情况,即Google可能指出“这个网站已搜集”,但实际上并没有搜集。
    2、不可能出现漏报的情况,即如果布隆过滤器说“这个网站未搜集”,就肯定未搜集。

    HyperLogLog

    HyperLogLog是一种类似于布隆过滤器的算法。

    面临海量数据且只要求答案八九不离十时,可考虑使用概率型算法!

    6、SHA算法

    安全散列算法(secure hash algorithm,SHA)给定一个字符串,SHA返回其散列值。
    用于创建散列表的散列函数根据字符串生成数组索引,而SHA根据字符串生成另一个字符串。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    SHA实际上是一系列算法:SHA-0、SHA-1、SHA-2和SHA-3。,SHA-0和SHA-1已被发现存在一些缺陷。如果你要使用SHA算法来计算密码的散列值,请使用SHA-2或SHA-3。当前,最安全的密码散列函数是bcrypt,但没有任何东西是万无一失的。

    7、局部敏感的散列算法Simhash

    SHA还有一个重要特征,那就是局部不敏感的。假设你有一个字符串,并计算了其散列值。如果你修改其中的一个字符,再计算其散列值,结果将截然不同!

    如果你对字符串做细微的修改,Simhash生成的散列值也只存在细微的差别。这让你能够通过比较散列值来判断两个字符串的相似程度,这很有用!

    在这里插入图片描述

    8、Diffie-Hellman 密钥交换

    Diffie-Hellman使用两个密钥:公钥和私钥。顾名思义,公钥就是公开的,可将其发布到网站上,通过电子邮件发送给朋友,或使用其他任何方式来发布。你不必将它藏着掖着。有人要向你发送消息时,他使用公钥对其进行加密。加密后的消息只有使用私钥才能解密。只有你知道私钥能解密消息!
    Diffie-Hellman算法及其替代者RSA依然被广泛使用。

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  • 动态规划将大问题拆解为小问题,逐步计算最大价值。 由于纵轴粒度加大,需要扩充表格 但仅当每个子问题都是离散的,即不依赖于其他子问题时,动态规划才管用。 动态规划实例: 当填入表格时,每次填最优解,填第二...

    动态规划将大问题拆解为小问题,逐步计算最大价值。
    由于纵轴粒度加大,需要扩充表格
    但仅当每个子问题都是离散的,即不依赖于其他子问题时,动态规划才管用。

    动态规划实例:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    当填入表格时,每次填最优解,填第二行时可以用当前以及之前用过的元素。

    在这里插入图片描述

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  • 算法图解part9:动态规划 1.动态规划(dynamic programming)2.背包问题2.1 简单算法2.2 动态规划3.背包问题FAQ4.旅行行程最大化5 最长公共子串6.总结7.参考资料

    1.动态规划(dynamic programming)

    百度百科
    动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》,这是该领域的第一本著作。

    简单直接的描述,就是指动态规划先解决子问题,再逐步解决大问题。

    公式: 在这里插入图片描述

    与分而治之(part4)、贪婪算法类似,动态规划算法是一种解决问题的方案。

    2.背包问题

    假设你是一名小偷,背着一个可装4磅的背包。
    你可以盗窃的东西如下三件,为了让偷到的东西价值最高,你该选择那些商品?
    在这里插入图片描述

    2.1 简单算法

    尝试各种可能的商品组合,并找出价值最高的组合:
    在这里插入图片描述

    • 这种算法的运行时间O(2n)O(2^n),n为商品的数量

    只要商品数量够多,这种算法就行不通。如果用贪心算法,可以找到近似解,但可能并不是最优解。
    有木有其它方法找最优解呢?

    2.2 动态规划

    动态规划先解决子问题,再逐步解决大问题。
    每个动态规划都从一个网格开始,背包问题的网格如下:

    在这里插入图片描述
    网格最初是空的,动态规划就是逐步将网格填满。

    吉他行

    第一个单元格表示背包的容量为1磅。 吉他的重量也是1磅, 这意味着它能装入背包! 因此这个单元格包含吉他, 价值为1500美元。 来看下一个单元格,这个单元格表示背包的容量为2磅, 完全能够装下吉他!这行的其他的单元格也是如此,因为你目前只能把吉他装入背包,其他两种商品还未出现,所以第一行变成下图:
    在这里插入图片描述
    注意:这行表示的是当前的最大价值。

    音响行

    现在来到第二行,在每一行,可偷的商品都是当前行的商品和之前各行的商品。因此,当前你已经解锁了音响和吉他,但是笔记本电脑还未解锁。现在来看第一个单元格,它表示容量为1磅的背包。 在此之前, 可装入1磅背包的商品的最大价值为1500美元。 背包的容量为1磅, 能装下音响吗? 音响太重了, 装不下! 由于容量1磅的背包装不下音响, 因此最大价值依然是1500美元。 接下来的两个单元格的情况与此相同。
    在这里插入图片描述
    现在来到了第四个单元格,也就是说背包容量为4磅,终于能装下音响,由于音响的价值为3000美元,比1500美元的吉他值钱多了,所以还是偷音响吧。
    在这里插入图片描述
    笔记本电脑行

    下面以同样的方式处理笔记本电脑。 笔记本电脑重3磅, 没法将其装入容量为1磅或2磅的背包, 因此前两个单元格的最大价值还是1500美元。
    在这里插入图片描述

    对于容量为3磅的背包, 原来的最大价值为1500美元, 但现在你可选择盗窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他, 这样新的最大价值将为2000美元!
    在这里插入图片描述
    现在来到这个问题最关键的单元格,对于容量为4磅的背包,当前的最大价值为3000美元, 你可不偷音响, 而偷笔记本电脑, 但它只值2000美元。但是笔记本电脑的重量只有3磅, 背包还有1磅的容量没用! 在1磅的容量中, 可装入的商品的最大价值之前计算过。根据之前计算的最大价值可知, 在1磅的容量中可装入吉他, 价值1500美元。于是有了下面的比较:
    在这里插入图片描述
    于是我们得到了最终的结果:
    在这里插入图片描述
    在这个过程中,我们填入单元格时用到了下面的公式:
    在这里插入图片描述

    3.背包问题FAQ

    ①沿着一列往下走时, 最大价值有可能降低吗?
    答案: 不可能。 每次迭代时, 你都存储当前的最大价值。 最大价值不可能比以前低!

    ②行的排列顺序发生变化时结果将如何变化?
    答案:没有变化。 也就是说, 各行的排列顺序无关紧要。

    ③可以逐列而不是逐行填充网格吗?
    答案:就这个问题而言, 这没有任何影响, 但对于其他问题, 可能有影响。

    ④增加一件更小的商品将如何呢?
    答案:单元格的按最小商品的重量划分。

    ⑤可以偷商品的一部分吗?
    答案:没法处理。 使用动态规划时, 要么考虑拿走整件商品, 要么考虑不拿, 而没法判断该不该拿走商品的一部分。

    但使用贪婪算法可轻松地处理这种情况! 首先, 尽可能多地拿价值最高的商品; 如果拿光了, 再尽可能多地拿价值次高的商品, 以此类推。 例如有以下商品可选:

    在这里插入图片描述
    第一个藜麦最贵,因此要尽量往背包中装藜麦!如果装满,结果就是最佳的;如果藜麦没装满,就接着装入下一个价格最高的商品,以此类推。

    ⑥动态规划可以处理相互依赖的情况吗?(请参考 4.旅行行程最大化的例子)
    答案:没办法建模。 动态规划功能强大, 它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。 但仅当每个子问题都是离散的, 即不依赖于其他子问题时, 动态规划才管用 。

    ⑦计算最终的解时会涉及两个以上的子背包吗?
    答案:根据动态规划算法的设计, 最多只需合并两个子背包, 即根本不会涉及两个以上的子背包。 不过这些子背包可能又包含子背包。
    在这里插入图片描述

    4.旅行行程最大化

    去伦敦度假,假期两天,但是想要游玩的地方很多,因此列个单子:
    在这里插入图片描述
    对于想去浏览的每个名胜,都列出所需的时间以及你有多想去看看。这里背包问题的约束条件是有限的时间。据此绘制动态规划网格。
    在这里插入图片描述
    答案如下:
    在这里插入图片描述

    • 处理相互依赖的情况:

    假如你还想去巴黎,巴黎景点如下:
    在这里插入图片描述
    从伦敦到巴黎,需要半天0.5天,如果三个地方都去玩,是不是总计4.5天呢?
    不是的,因为,去每个地方都得先去巴黎。到达巴黎后,每个地方都只需要1天,总计3.5天即可玩完。
    将埃菲尔铁塔 放入背包后,卢浮宫等 将更便宜。此时子问题是相互依赖的。

    动态规划功能强大, 它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。 但仅当每个子问题都是离散的, 即不依赖于其他子问题时, 动态规划才管用

    5 最长公共子串

    举个栗子:
    Alex输入了hish,那他原本要输入的是fish还是vista呢?

    5.1 绘制网格

    解决上面问题的网格应该怎么构建,要考虑下面几点:

    • ①单元格中的值是什么?在这个例子中,你要找出两个单词的最长公共子串,这就是你要计算的值。
    • ②如何将这个问题划分为子问题?你可能需要比较子串:不是比较hish和fish,而是先比较his和fis。
    • ③网格的坐标轴是什么?每个单元格都将包含这两个子串的最长公共子串的长度。这也给你提供了线索,让你觉坐标轴很可能是这两个单词。

    因此,网格可能类似于下面这样:
    在这里插入图片描述

    5.2 填充网格

    填充时用什么公式呢?费曼算法(Feynman algorithm)步骤如下:(这怕不是再说废话= =!废慢算法?)

    • ①将问题写下来
    • ②好好思考
    • ③将答案写下来

    5.3 揭晓答案

    在这里插入图片描述
    查找单词hish和vista的最长公共子串时,网格如下:
    在这里插入图片描述

    对于背包问题,最终答案总在最后的单元格中;但对于最长公共子串而言,答案是网格中最大的数字——不一定在最后的单元格中。

    那么问题的答案出来了,hish和fish的最长公共子串包含三个字母,而hish和vista的最长公共子串包含两个字母。因此Alex很可能原本要输入的是fish。

    5.4 最长公共子序列

    5.4.1 最长公共子序列问题

    假设Alex不小心输入了fosh,他原本想输入的是fish还是fort呢?我们使用最长公共子串公式来比较它们:
    在这里插入图片描述
    所以都为2,长度相同,但是fosh和fish更像。那应该找出更合适的区分公式:
    比较最长公共子序列:两个单词中都有的序列包含的字母数。

    5.4.2 最长公共子序列解决方案:

    在这里插入图片描述
    上图的公式:
    在这里插入图片描述

    6 实际应用&练习

    动态规划的实际应用:

    • ①生物学家根据最长公共序列来确定DNA链的相似性,进而判断度两种动物或疾病有多相似。最长公共序列还被用来寻找多发性硬化症治疗方案。
    • ②你使用过诸如 git diff 等命令吗?它们指出两个文件的差异,也是使用动态规划实现的。
    • ③前面讨论了字符串的相似程度。编辑距离(levenshtein distance)指出了两个字符串的相似程度,也是使用动态规划计算得到的。编辑距离算法的用途很多,从拼写检查到判断用户上传的资料是否是盗版,都在其中。
    • ④你使用过诸如Microsoft Word等具有断字功能的应用程序吗?它们如何确定在什么地方断字以确保行长一致呢?使用动态规划!

    Q:请绘制并填充用来计算blue和clues最长公共子串的网格。
    A:
    在这里插入图片描述

    7.总结

    • 需要在给定约束条件下优化某种指标时, 动态规划很有用。
    • 问题可分解为离散子问题时, 可使用动态规划来解决。
    • 每种动态规划解决方案都涉及网格
    • 单元格中的值通常就是你要优化的值
    • 每个单元格都是一个子问题, 因此你需要考虑如何将问题分解为子问题。

    8.参考资料

    《算法图解》第九章:详细的程序思路介绍

    此部分学习算法也可参考:https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMjE5MTE1Nw==&mid=2653190796&idx=1&sn=2bf42e5783f3efd03bfb0ecd3cbbc380&chksm=8c990856bbee8140055c3429f59c8f46dc05be20b859f00fe8168efe1e6a954fdc5cfc7246b0&scene=21#wechat_redirect

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