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  • 自相关与互相关
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    2020-05-25 21:02:43

    在统计学中的定义,自相关函数就是将一个有序的随机变量系列与其自身作比较。每个不存在相位差的系列,都与其都与其自身相似,即在此情况下,自相关函数值最大

    信号定义,他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度,即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度,自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度。

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  • 自相关与互相关

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    相关(Autocorrelation),也叫序列相关,是一个信号与其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说,相关是对同一信号在不同时间的两次观察,通过对比来评判两者的相似程度。相关函数就是信号x(t)和它的时移...

    自相关(Autocorrelation),也叫序列相关,是一个信号与其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说,自相关是对同一信号在不同时间的两次观察,通过对比来评判两者的相似程度。自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t-τ)的乘积平均值。它是时移变量τ的函数。

    这是从书上抄来的话,到底是什么意思呢?

    说人话!好吧,让我来编一个有关潜伏的故事:

    话说余则成要到火车站去交换情报,他需要在火车靠站的短短几分钟内找到这位情报员并完成交换工作,在熙熙攘攘的火车站里,除非事先知道情报员所在的车厢,否则根本来不及。任务的前一天,他收到了含有情报员所在车厢的密电,密电如下:

    这是什么鬼?

    这是一段随机信号,但在其中隐藏了一个正弦,你能看得出来吗?

    余则成同志的智商是比较高的,也是上过大学的,他的眼睛在杂乱无章的随机曲线上来回快速扫描,运用自己所有的知识,希望能找出那个正弦来。半个小时后……终于,

    他什么也没发现。

    余则成想了一个笨办法,他让翠平把曲线照猫画虎地描出一小段来,然后拿着翠平的画样在整个曲线上一点一点地进行对比。

    怎么对比呢?无非是“加、减、乘、除”之类。但因为“加、减”属于同量级的变化,用肉眼就能大概地完成,而“除”则具有缩小功能。所以,为放大曲线中的差异,显然“乘法”大概是比较好的选择。

    然后怎么办呢?总不能用“有点像”、“很像”、“很不像”这样的词来评价吧。他将整个比较过程分为四个步骤:

    第一步:将“画样”与原信号中的开始端对齐,逐点一一对应地相乘,得到一小段新曲线;

    第二步:将新曲线上各个点的值进行算术平均,得到一个均值;

    第三步:将得到的均值描绘在最终曲线图中;

    第四步:将“画样”向后挪动一点(“步距”),重复上述过程,直至“画样”移动到曲线末端。

    这个工作很繁琐,但好在不太难,余则成教会翠平后就忙着应付陆桥山去了,等晚上回到家,看到的结果虽然不是太满意,但最终的曲线中还是表现出了很强的规律性,他拿尺子量了所有“锯齿”的间距,取了个平均值,得到了Δt≈0.2s,取倒数便是5Hz。第二天,余则成顺利地在5号车厢与情报员完成了交接。

    好吧,我承认,这个故事编的不太认真,不过戏剧性本来也不是我们这里讨论的重点哈。

    我们只是想通过这个小栗子来说明,“自相关”这种数据处理方法,可以发现隐藏在杂乱信号中的有用信息。这个能力是相当重要的,因为工程实际中的信号,不可避免地要受到各种干扰,严重的时候会完全淹没真正有用的数据。自相关能找出重复信息(被噪声掩盖的周期信号),或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频,它常用于时域信号的分析。

    用数学的语言表述,则是:自相关函数是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系。

    另外,上面的这个例子也仅是故事性的,并不满足数学的严格性。实际上,数学上是这样定义的:

    这个公式中,τ是进行“比较”时移动的“步距”。而整个公式的意思是“将x(t)进行时移,得到x(t+τ),然后将其与x(t)在整个范围内逐点进行相乘,得到一条新曲线,这条曲线下方所围成的面积就是一个R值。改变τ的取值,再来一次,……,如此不断重复,R的一系列值将成为R(τ)曲线,这就是自相关曲线”。

    自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值,它是时移变量τ的函数。

    如果能明确地看出原始数据有周期性,那么就不必在整个数轴范围(-∞~+∞)内进行移动比较了,只需要移动一个周期(T)即可:

    明白了自相关,互相关也就好懂了。其实,大多数教材都是先讲互相关的。因为,所谓相关性,从字面的意思就是指两组数据,把它们相互比较,看看有没有关联。自相关是自己和自己比,互相关呢,自然就是两个不同信号之间相互比:

    基本定义介绍完了,我们来看看,自相关函数有什么特点。

    假设有一个余弦信号: 

    它的自相关函数是什么呢?根据定义,有:

    可以看到,自相关函数仍为余弦,且频率不变。如果信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,同样可以证明,余弦信号的自相关函数还是是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率,但丢失了相角的信息。

    自相关函数具有如下主要性质

    (1). 自相关函数为偶函数, ,其图形对称于纵轴。因此,不论时移方向是导前还是滞后(τ为正或负),函数值不变;

    (2). 当τ=0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值;

    (3). 周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号;

    (4). 若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,自相关函数趋于信号平均值的平方。

    典型应用:

    (1). 检测信号回声(反射)。若在宽带信号中存在着带时间延迟τ0的回声,那么该信号的自相关函数将在τ=τ0处也达到峰值(另一峰值在τ=0处),这样可根据τ0确定反射体的位置。

    (2). 检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的,而随机噪声信号随着延迟增加,它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后,被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息,而排除了随机信号的干扰。

    另外,相关函数的计算与卷积的计算有点关系。

    从定义式中可以看到,互相关函数和卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,x(t)和y(t)做相关等于x(t)与y(-t)做卷积。

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     1) 首先我们仅考虑实信号。 自相关的直观含义就是:把一个信号平移一段距离,跟原来有多相似。...于是就有了自相关的定义: ...如果只谈自相关,其实...它跟自相关的定义很相似,包含了“卷、移、乘、积”四步操作
    

    1) 首先我们仅考虑实信号。
    自相关的直观含义就是:把一个信号平移一段距离,跟原来有多相似。
    于是就有了自相关的定义:
    R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty x(t) x(t-\tau)\, \text{d}t
    它代表了移、乘、积这三步操作。

    如果只谈自相关,其实到此就可以结束了。
    只不过,在信号处理领域中还有一个叫卷积的东西,在别的地方(已知线性时不变系统的冲激响应和输入,求响应)有用。
    它跟自相关的定义很相似,包含了卷、移、乘、积四步操作:
    (x*y)(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) y(\tau-t) \, \text{d}t
    左边有时也写作x(t)*y(t),表示这个函数是由x(t)y(t)卷积而得的,但它的自变量是\tau

    我们发现卷积比自相关多了一步的操作,为了去掉这个多余的操作,我们先把原信号自己卷一下,就可以抵消掉卷积中的操作了。这就是自相关与卷积的关系:
    R(\tau) = x(t) * x(-t)

    2) 现在扩展到复数域。
    自相关是要刻画一个信号平移后与原始信号的相似性。显然,不平移时应该是最相似的。
    我们希望x(t)x(t)本身相乘后积分时,各时间点的值能够因叠加而增强。
    在实数域上x(t)直接自乘没有问题。在复数域上,x(t)自乘后辐角还是乱的。
    如果对其中一个x(t)取一下共轭,相乘后辐角就统一变成0了,积分时就能够取得叠加增强的效果。
    所以在复数域上,自相关是这样的:
    R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \overline{x(t-\tau)} \, \text{d}t
    (共轭取在前者还是后者上都可以,取决于作者的习惯)

    扩展一下,复数域上线性空间的内积的定义中也有共轭,其动机与此处相同。
    相关这个运算其实就是一种内积。

     

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    目录

    1 概念

    2 自相关函数

    2.1 定义

    2.2 性质

    3 互相关(cross-correlation)函数

    3.1 定义

    3.2 性质

    3.3 线性互相关(linear cross-correlation)

    3.4 循环互相关(Circular Cross-Correlation)的定义和计算

    3.5 用线性互相关处理周期性信号

    3.6 相关问题QA

    3.7 参考资料


    1 概念

          相关函数是描述信号X(s)Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义:

            

            称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。相关系数越大,相关性越大,但肯定小于或者等于1.。

            

            相关函数分为自相关互相关

    • 自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2 的取值之间的相关程度。
    • 互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s,t的取值之间的相关程度

    自相关函数

    2.1 定义

            自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。自相关函数,是对信号自身的互相关, 表示同一序列不同时刻的相关程度。是用寻找重复模式的数字工具,就如一个存在被覆盖噪声的周期信号,或识别丢失的基频。它经常被用于信号处理中的分析函数或序列,如时域信号 。定义式:

            

    或者:

            

    2.2 性质

    主要性质如下:

    自相关系数:

    3 互相关(cross-correlation)函数

    3.1 定义

            自相关是互相关的一种特殊情况.。互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻 s,t 的取值之间的相关程度,其定义为: 

               

            对于连续函数,有定义:

          

           对于离散的,有定义:

          

            从定义式中可以看到,互相关函数卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,f(t)g(t) 做相关等于 f*(-t)g(t) 做卷积。

            在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是 f(t),则自相关函数定义为 R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

    3.2 性质

    互相关函数的性质:

    互相关系数:

            正如卷积有线性卷积(linear convolution)循环卷积(circular convolution)之分;互相关也有线性互相关(linear cross-correlation)循环互相关(circular cross-correlation)。线性互相关和循环互相关的基本公式是一致的,不同之处在于如何处理边界数据。其本质的不同在于它们对原始数据的看法不同。

    3.3 线性互相关(linear cross-correlation)

            假设我们手里有两组数据,分别为个和个,表示为:长,即。序列之间的线性互相关操作表示为,其结果也是一个序列,表示为。具体的操作是用这两个序列进行的一种类似“滑动点积”的操作,如图1和图2所示。

    图1. 线性互相关的计算过程示意

    图2. 线性互相关结果序列中单个值计算示意

            得到的互相关序列总长度为,该序列的前和后个数值是无效的,有效的数据共个。线性互相关的有效数据第个分量的值为:

    注意,线性互相关并不满足交换律,即:

            

            一个简单的应证是,等式两侧操作所得结果的有效数据个数都不一致。

            线性相关的实际意义是,向量中的各个与向量等长的子向量与向量的相似程度。这样,中值最大的索引就是与向量中与最相似的子向量的起始索引。通常,为了获得有效的互相关数据,我们总是用较短的数据去滑动点积较长的数据。

            用一个实际的应用例子来验证一下吧。如图3的第一个子图表示雷达声纳发射了一个探测信号。经过一段时间之后,收到了如图3的第二个子图所示的回波(带有一定的噪声)。此时我们关注的是如何确定回波中从何时开始是对探测信号的响应,以便计算目标距雷达的距离,这就需要用到线性互相关。在第三个子图中的‘Valid’曲线即是有效互相关数据,其中清晰地呈现出两处与探测信号相似的回波的位置。

    图3. 相关计算的一个例子:雷达回波分析

            线性互相关中,还有一些概念值得注意:

    • 一是补零。由线性相关的计算式不难发现,为了计算出个完整的相关系数序列(包含那些“无效数据”在内的所有结果),需要用到一些“不存在”的点。这就需要人为地对这些值进行补充,在线性相关的计算中,对这些超出原始数据储存的区域取值为零。
    • 二是末端效应。由图1可以发现,一头一尾的个互相关数据并没有完全“嵌入”两个原始数组的全部信息,它们或多或少地受到了人为补零的影响。因此一般认为这些数据是不可用的。
    • 三是计算模式的选择。这个问题其实是由问题二衍生而来的,就Python语言中的函数而言,至少有两个可以直接计算线性相关:

    numpy.correlate(a, v, mode)scipy.signal.correlate(a, v, mode)

    它们的调用参数完全相同。在调用时有三种模式可供选择,它们计算的内容是相同的,但是返回值长度各不相同:
    mode = ‘valid’:只返回有效的那一部分相关数据,共$M-N+1$个;
    mode = ‘same’:只返回与 等长的那一部分相关数据,共$N$个;
    mode = ‘full’:返回全部相关数据,共$M+N-1$个。
    图3的第三个子图展示了这三种模式的计算结果,在那个例子中,‘valid’模式是最合适的。

    3.4 循环互相关(Circular Cross-Correlation)的定义和计算

            循环互相关是表征两组等长周期性数据之间相似性的操作,其与线性互相关的区别也正由“等长”“周期性”这个两特点产生。在循环互相关中,被处理的原始数据是等长的,即。序列之间的线性互相关操作表示为,其结果也是一个序列,表示为。其计算式与线性互相关的写法是一致的:

            

            只是得到的互相关序列长度也为。循环互相关的计算的具体过程如图4所示,注意到在计算时要用到超出原始数据索引范围的数据,其数据补充方式并不是“补零”而是“周期延拓”:即。这意味着对于循环互相关,不存在不同的计算模式之分,所有的数据都是有效数据

    图4. 循环互相关的计算过程示意

            注意,循环互相关也不满足交换律

            这里给出了一个关于循环相关的算例。两路原始数据分别由如下函数生成:

            

            

            如果视为某个线性系统的周期输入信号,而视为这个线性系统的输出信号。由于存在外接干扰,因此输出信号不完全由输入信号决定。此时,循环互相关的实际意义是,分辨输出信号中的哪一个部分(频率成分)是由该输入信号产生的。

     

    图5. 时域数据,从上到下:和他们的循环互相关

    图6. 频谱,从上到下:和他们的循环互相关

            从图5和图6可以看出,循环互相关的频谱准确地说明了那些测试信号的相关性。

            遗憾的是,在Python几大数值计算库中,并没有直接可计算循环相关的函数。但是可以采用如下代码构造出一个可用的(经过归一化的)cxcorr(a, v)函数出来:

    def cxcorr(a,v):
    nom = np.linalg.norm(a[:])*np.linalg.norm(v[:])
    return fftpack.irfft(fftpack.rfft(a)*fftpack.rfft(v[::-1]))/nom

            图4中的数据就是通过这个函数计算出来的。其中用到了傅里叶变换反变换来计算循环互相关,这是可行的。它们之间的关系在第四小节的QA中专门讨论。

    3.5 用线性互相关处理周期性信号

            实际上,线性相关也可以处理周期信号,前提是将两组信号采样成长度差异较大的序列。这样,其有效线性互相关也可以完美地反应数据之间的相关性。

            同样采用第二节中的例子。这时为了保证足够的有效线性互相关数据,两组数据的长度故意不一致(但都足够表征其特征),如图7所示。它们的频谱如图8所示,仍然完美地体现了测试数据的相关性。

    图7. 时域数据,从上到下:和他们的线性互相关

    图8. 频谱,从上到下:和他们的线性互相关

            既然线性互相关也能处理周期性数据,为什么还要专门搞一个基于等长序列和周期延拓的循环互相关呢?实际上,正如后文QA中专门讨论的,这是为了利用快速傅利叶变换加速计算。

    3.6 相关问题QA

            至此,两种常用的互相关评价方法及其计算已经总结完毕。然而其中还有一些细节尚待分辨。例如,序列之间的互相关的计算式:

            

            与卷积(convolution)的定义式:

            

    如此类似,如果再联想起傅里叶变换的卷积定理,那么,至少会产生如下的问题:

    Q.1:它们之间有更深意义上的联系吗?
    A.1:文献[1]的答复是坚决的:“不要让求卷积和互相关的数学相似性迷惑你,它们描述了不同的信号处理过程。卷积是系统输入信号、输出信号和冲激响应之间的关系互相关是一种在噪声背景下检测已知信号的方法。二者在数学上的相似仅仅是一种巧合。”实际上,只要注意到卷积操作是满足交换律的,而互相关操作并不满足交换律。仅此一点也许就能说明它们有着本质的不同吧。

    Q.2:可以利用Python中计算卷积的函数来计算互相关吗?
    A.2可以,但是只能用以计算线性互相关。Python中的numpy.convolve()函数就可以计算两个序列之间的卷积。在卷积的计算过程中也会自动进行补零(而不是周期延拓,这就是为什么只能计算线性相关的原因),这种卷积有时被称为线性卷积,同样涉及末端效应、有效数据长度等考虑。具体地,根据相关和卷积的表达式,如果希望计算序列之间的线性互相关序列。等效地,只需要计算序列之间的卷积。表示序列的“反置”,即将序列[1,2,3]反置为[3,2,1]。

    Q.3:可以根据傅立叶变换的性质中有卷积定理,利用傅立叶正/逆变换计算互相关吗?
    A.3可以,但是只能用于计算循环互相关。傅立叶变换的卷积定理中所涉及的卷积是循环卷积。与前述的线性卷积是不同的。实际上不同的并不是卷积本身,它们的计算式是一致的,而是在如何看待参与卷积计算的数据,线性卷积认为参与计算的序列之外都是零,而循环卷积认为参与计算的序列是一个无限循环的数据的一段——这导致了它们对“越界”数据的补齐方式不一样。正如线性互相关和循环互相关的区别!先将循环互相关等效为一个循环卷积,再利用快速傅里叶变换计算卷积即可。实际上本文给出的cxcorr(a, v)函数正是利用这一性质来计算循环相关的。其对计算速度的提升是相当明显的。

    Q.4:怎样进行归一化(normalization),以便于比较互相关数据?
    A.4:根据参考[4],用公式:

    3.7 参考资料

    [1] Steven W. Smith. Digital Signal Processing: A Practical Guide for Engineering and Scientists [M].
    张瑞峰, 詹敏晶 等译. 实用数字信号处理,从原理到应用[M]. 人民邮电出版社, 北京, 2010.
    [2] Mark Owen. Practical Signal Processing [M].
    丘天爽, 李丽, 赵林 译. 实用信号处理 [M]. 电子工业出版社, 北京, 2009.
    [3] 关于MATLAB中的xcorr() 的论述
    http://www.mathworks.cn/cn/help/signal/ref/xcorr.html
    [4] 关于MATLAB中的cxcorr() 的论述
    http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/4810-circular-cross-correlation
    [5] 网络论坛Stackoverflow关于此问题的讨论
    http://stackoverflow.com/questions/6991471/computing-cross-correlation-function
    http://stackoverflow.com/questions/12323959/fast-cross-correlation-method-in-python
    http://stackoverflow.com/questions/9281102/n-fold-fft-convolution-and-circular-overlap
    http://stackoverflow.com/questions/6855169/convolution-computations-in-numpy-scipy
    http://stackoverflow.com/questions/4688715/find-time-shift-between-two-similar-waveforms
    [6] 关于Cross-correlation的定义
    http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
    http://paulbourke.net/miscellaneous/correlate/
    http://en.wikipedia.org/wiki/Cross-correlation
    [7] 关于 Circular Cross-correlation的定义
    http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_convolution
    http://cnx.org/content/m22974/latest/

     

     

     

    自相关函数与互相关函数:http://www.doc88.com/p-5129647069822.html

    互相关(cross-correlation)及其在Python中的实现:https://blog.csdn.net/icameling/article/details/85238412

    第五章:自相关: https://thinkdsp-cn.readthedocs.io/zh_CN/latest/05-autocorrelation.html

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