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  • 数据归一化

    2018-07-16 14:12:17
    数据归一化学习链接最大最小归一化和Z-score...最大最小归一化是线性变化,类似支持向量机的线性核,而z-score是高斯归一化,类似支持向量机的高斯核。最大最小归一化如果出现新的最小最大值需要重新进行归一化。...

    数据归一化学习链接

    最大最小归一化和Z-score归一化。

    最大最小归一化是线性变化,类似支持向量机的线性核,而z-score是高斯归一化,类似支持向量机的高斯核。

    最大最小归一化如果出现新的最小最大值需要重新进行归一化。

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  • 目录高斯变量基础高斯分布概率密度函数性质复高斯分布概率密度函数应用零均值循环对称复高斯随机变量零均值化卡方分布补充归一化标准化 高斯变量基础 高斯分布 概率密度函数 性质 复高斯分布 若复高斯分布Z=X+iY,...

    高斯变量基础

    高斯分布

    概率密度函数

    在这里插入图片描述

    性质

    复高斯分布

    若复高斯分布Z=X+iY, 且满足在这里插入图片描述
    则有在这里插入图片描述

    概率密度函数

    注:复高斯随机变量的密度函数,分母已经没有根号

    应用

    零均值循环对称复高斯随机变量

    特殊的,当μ=μx=μy=0时,Z称为零均值循环对称复高斯随机变量(zero mean circle symmetric complex gaussian,ZMCSCG),σ2称为每个实数维度上的方差。

    以上分析得出复高斯随机变量与每一实数维度高斯随机变量的关系

    零均值化

    将每个像素的值减去训练集上所有像素值的平均值,比如已计算得所有像素点的平均值为128,所以减去128后,现在的像素值域即为[-128,127],即满足均值为零。
    在这里插入图片描述

    卡方分布

    设X1,X2,X3,…,i.i.d∼N(0,1), 令, 则X是服从自由度为n的χ2分布,记为X∼χ2(n)
    卡方分布为特殊的Gamma分布,服从参数为G(n/2,1/2)

    在这里插入图片描述

    注意:
    复高斯随机变量概率表达式的分母
    复高斯随机变量模平方的分布与卡方分布、指数分布、Gamma分布之间的关系

    补充

    归一化、标准化、零均值化核心思想:平移+缩放

    归一化

    在这里插入图片描述
    【作用】将某个特征的值映射到[0,1]之间,消除量纲对最终结果的影响,使不同的特征具有可比性,使得原本可能分布相差较大的特征对模型有相同权重的影响,提升模型的收敛速度,深度学习中数据归一化可以防止模型梯度爆炸。

    标准化

    在这里插入图片描述
    【作用】将原值减去均值后除以标准差,使得得到的特征满足均值为0,标准差为1的正态分布,使得原本可能分布相差较大的特征对模型有相同权重的影响。举个例子,在KNN中,需要计算待分类点与所有实例点的距离。假设每个实例(instance)由n个features构成。如果选用的距离度量为欧式距离,数据预先没有经过归一化,那些绝对值大的features在欧式距离计算的时候起了决定性作用。

    从经验上说,标准化后,让不同维度之间的特征在数值上有一定比较性,得出的参数值的大小可以反应出不同特征对样本label的贡献度,可以大大提高分类器的准确性。

    【二者比较】具体应该选择归一化还是标准化呢,如果把所有维度的变量一视同仁,

    ①在计算距离中发挥相同的作用,应该选择标准化,标准化更适合现代嘈杂大数据场景。

    ②如果想保留原始数据中由标准差所反映的潜在权重关系,或数据不符合正态分布时,选择归一化。

    参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/183591302
    https://www.cnblogs.com/zwwangssd/p/12540280.html

    加性高斯白噪声

    高斯是指概率分布是正态函数,白噪声是指他的二阶矩不相关,一阶矩为常数,是指先后信号在时间上的相关性。高斯白噪声是研究信道加性噪声的理想模型,通信中的主要噪声源—热噪声就属于这类噪声。
    在这里插入图片描述

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  • 归一化高斯距离图割线用于图像分割
  • 归一化推导证明: 期望(一阶矩)推导证明: 二阶矩推导证明: 方差推导证明: 写在前面的唠叨: 最近这段时间一直在研究深度学习之类的东西,虽然如今对几种常见的神经网络都有了很好的了解,用起来也比较顺手...

    目录

     

    写在前面的唠叨:

    归一化推导证明:

    期望(一阶矩)推导证明:

    二阶矩推导证明:

    方差推导证明:


    写在前面的唠叨:

    最近这段时间一直在研究深度学习之类的东西,虽然如今对几种常见的神经网络都有了很好的了解,用起来也比较顺手,但是越学也越觉得瓶颈越来越明显了,最大的问题觉得还是数学基础不行,学习那些常见的模型已经把线性代数的知识捡的差不多了,而到了想自己设计模型的时候,才忽然发现微积分也是十分重要的,而这两年我都还给老师了呀T_T。所以把PRML这本书又翻了出来,推导一下里面的公式。

    然而刚看到高斯分布里面的方差推导就抽了我一嘴巴,去网上查了查发现这部分推导大家写的都挺乱的,于是自己总结了一下,留作记录,省的以后在看的时候到处乱查,重新推……

     


    归一化推导证明:

    证明归一化,即证明:

    $$ \begin{aligned} \int_{-\infty }^{+\infty}N(x|\mu, \sigma^2)dx &=1 \end{aligned} $$

     

    首先我们将其展开:

    $$ \begin{aligned} \int_{-\infty }^{+\infty}N(x|\mu, \sigma^2)dx &=& \int_{-\infty }^{+\infty}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx \\ &=& \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }\int_{-\infty }^{+\infty}exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx \end{aligned} $$

     

    这里将 x-\mu替换掉有:

    \int_{-\infty }^{+\infty}N(x|\mu, \sigma^2)dx = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }\int_{-\infty }^{+\infty}exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx

     

    这里假设:

    $$ \begin{aligned} I &= \int_{-\infty }^{+\infty}exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx \end{aligned} $$

    这个积分直接计算比较困难,但是可以绕个弯,采用极坐标的方式计算,首先我们将其求其平方:

    $$ \begin{aligned} I^2 & = \int_{-\infty }^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty}exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x^2 + y^2)\}dxdy \end{aligned} $$

    在将其转化为极坐标,令x = cos\theta r ,\ y = sin\theta r可得:

    $$ \begin{aligned} I^2 & = \int_{0 }^{2\pi}\int_{0 }^{+\infty}exp\{-\tfrac{r^2}{2\sigma^2}\}rdrd\theta \\ &= \pi \int_{0}^{+\infty}exp\{-\tfrac{r^2}{2\sigma^2}\}dr^2 \\ &= 2 \pi \sigma^2 \end{aligned} $$

     

    即:

    $$ \begin{aligned} \int_{-\infty }^{+\infty}N(x|\mu, \sigma^2)dx &=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma } I \\ & = 1 \end{aligned} $$

    恩!大功告成!


    期望(一阶矩)推导证明:

    证明期望就比较简单了~

    $$ \begin{aligned}E(X) & = \int_{-\infty }^{+\infty}xN(x|\mu, \sigma^2)dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}x\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx \end{aligned} $$

    将 x-\mu替换掉有:

    $$ \begin{aligned}E(X) &= \int_{-\infty }^{+\infty}(x+\mu)\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}x\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx + \int_{-\infty }^{+\infty}\mu\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx \\ \end{aligned} $$

    这里\int_{-\infty }^{+\infty}x\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx为奇函数,所以该项积分为0,所以:

    $$ \begin{aligned}E(X) &= \int_{-\infty }^{+\infty}\mu\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx \\ &= \mu \int_{-\infty }^{+\infty}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx \\ &= \mu \int_{-\infty }^{+\infty}N(x|0, \sigma^2)dx \\ &= \mu\end{aligned} $$


    二阶矩推导证明:

    就是这个东西,推了一上午都没推出来,最后还是的问了周围考研的同学,真是耻辱,被挂起来抽。这里给出了两种推导方式:

    1. 展开利用Gamma函数进行求解:

    $$ \begin{aligned}E(X^2) & = \int_{-\infty }^{+\infty}x^2N(x|\mu, \sigma^2)dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}x^2\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx \\ \end{aligned}$$

    将 x-\mu替换掉有:

    $$ \begin{aligned}E(X^2) & = \int_{-\infty }^{+\infty}(x+\mu)^2\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}x^2\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx + \int_{-\infty }^{+\infty}2x\mu\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx + \int_{-\infty }^{+\infty}\mu^2\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}x^2\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx + 0 + \mu^2 \\ &=\tfrac{4\sigma}{\sqrt{2\pi} }\int_{0 }^{+\infty}\tfrac{x^2}{2\sigma^2 }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}x^2\}dx + \mu^2 \end{aligned}$$

    这里令第一项中\tfrac{x^2}{2\sigma^2 } = t,即有:

    $$ \begin{aligned}E(X^2) & = \tfrac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi} }\int_{0 }^{+\infty}\sqrt{t}e^{-t}dx + \mu^2 \\ &= \tfrac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi} }\Gamma ( \tfrac{3}{2}) + \mu^2 \\ &= \tfrac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi} } \tfrac{\sqrt{\pi}}{2 } + \mu^2 \\ &= \sigma^2 + \mu^2 \end{aligned}$$

    这里用到了\Gamma()函数,也就是我们通常说的伽马函数,它的定义是这样的:

    \Gamma(z) = \int_{0 }^{+\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t}dt

    这里有几个特殊值,感兴趣的话可以记一下。

    \begin{array}{rcccl} \Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &\approx& 2.363\,271\,801\,207 \\ \Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{\pi} &\approx& -3.544\,907\,701\,811 \\ \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &=& \sqrt{\pi} &\approx& 1.772\,453\,850\,906 \\ \Gamma(1) &=& 0! &=& 1 \\ \Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &\approx& 0.886\,226\,925\,453 \\ \Gamma(2) &=& 1! &=& 1 \\ \Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &=& \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &\approx& 1.329\,340\,388\,179 \\ \Gamma(3) &=& 2! &=& 2 \\ \Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &=& \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &\approx& 3.323\,350\,970\,448 \\ \Gamma(4) &=& 3! &=& 6 \end{array}

    特殊值内容来自中文wiki,所以出错了不负责哦,嘿嘿……

    当然这里用到了伽马函数,也可以采用不用伽马函数的方法。

     

    2. 直接积分求解:

    啊~这个就是我同学的方法,实名感谢猛某,如果多年后您看见这篇博客别忘了朝我要稿费。

    $$ \begin{aligned}E(X^2) & = \int_{-\infty }^{+\infty}x^2N(x|\mu, \sigma^2)dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}x^2\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}\tfrac{(x-\mu)(x+\mu) +\mu^2}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}\tfrac{(x-\mu)(x+\mu)}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx + \mu^2\int_{-\infty }^{+\infty}\tfrac{ 1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx \\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}-\tfrac{(x+\mu)\sigma}{\sqrt{2\pi} }dexp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\} + \mu^2 \\ &= -\tfrac{(x+\mu)\sigma}{\sqrt{2\pi} }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}|^{+\infty}_{-\infty} + \int_{-\infty }^{+\infty}\tfrac{\sigma}{\sqrt{2\pi} }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx + \mu^2 \\ &= 0 + \sigma^2\int_{-\infty }^{+\infty}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma }exp\{-\tfrac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}dx + \mu^2 \\ &= \sigma^2 + \mu^2 \end{aligned}$$


    方差推导证明:

    既然我们已经求的了一阶矩、二阶矩,那么再求方差就简单了:

    $$ \begin{aligned}D(X) & = E(X^2) - E(X)^2 \\ &= \sigma^2 + \mu^2 - \mu^2\\ &= \sigma^2 \end{aligned}$$

     

    当然方差也可以直接求,因为这部分已经有前辈推导过了,我就直接上图了!(才不是嫌麻烦,不想写latex代码

    这里标明出处,前辈的推导很棒,给了我很大帮助。


    留个坑:

    本来是想写个PRML的全公式推导的读书笔记,然而码完了这些代码,突然觉得好麻烦收获好大,尽力吧,如果时间充裕会补一补,留个坑,溜……

     

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  • 高斯函数Gram-Schmidt正交归一化介绍Gram-Schmidt OrthonormalizationGram-Schmidt Orthonormalization 介绍Gram-Schmidt Orthonormalization 首先介绍一下任意函数的Gram-Schmidt Orthonormalization操作,然后将其...

    介绍Gram-Schmidt Orthonormalization

    首先介绍一下任意函数的Gram-Schmidt Orthonormalization操作,然后将其应用到高斯函数上

    Gram-Schmidt Orthonormalization

    “Gram-Schmidt orthogonalization, also called the Gram-Schimdt process, is a procedure which takes a nonorthogonal set of linearly independent functions and constructs an orthongonal basis over an arbitary interval with respect to an arbitary weighting function w(x)w(x).”
    Given an original set of linearly independent functions {un}n=0\{u_n\}_{n=0}^{\infty}, let {ψn}n=0\{\psi_n\}_{n=0}^{\infty} denote the orthogonalized (but not normalized) functions, {ϕn}n=0\{\phi_n\}_{n=0}^{\infty} denote the orthornomarlized functions, and define
    ψ0(x)u0(x)ϕ0(x)ψ0(x)ϕ02(x)w(x)dxϕ1(x)u1(x)+a10ϕ0(x)ϕ02(x)wdx=1a10=u1ϕ0wdxψ1=u1(x)[u1ϕ0wdx]ϕ0(x)ϕ1(x)=ψ1(x)ϕ12(x)w(x)dxϕi(x)=ψi(x)ϕi2(x)w(x)dxψi(x)=ui+ai0ϕ0+ai1ϕ1++ai,i1ϕi1aij=uiϕjwdx \psi_0(x)\equiv u_0(x) \\ \phi_0(x)\equiv {\psi_0(x)\over{\sqrt {\phi^2_0(x)w(x)dx}}} \\ \phi_1(x) \equiv u_1(x)+a_{10}\phi_0(x) \\ \int{\phi^2_0(x)}wdx=1 a_{10}=-\int u_1\phi_0wdx \\ \psi_1=u_1(x)-[\int u_1\phi_0wdx]\phi_0(x) \\ \phi_1(x)={\psi_1(x)\over{\sqrt {\phi^2_1(x)w(x)dx}}} \\ \phi_i(x)={\psi_i(x)\over{\sqrt {\phi^2_i(x)w(x)dx}}} \\ \psi_i(x)=u_i+a_{i0}\phi_0+a_{i1}\phi_1 +\ldots+ a_{i,i-1}\phi_{i-1} \\ a_{ij}=-\int u_i\phi_jwdx
    If the functions are normalized to NjN_j instead of 1, then
    ab[ϕj(x)]2wdx=Nj2ϕj(x)=Niψi(x)ψi2(x)wdxaij=uiϕjwdxNj2 \int_{a}^{b}[\phi_j(x)]^2wdx=N_j^2 \\ \phi_j(x)=N_i{\psi_i(x)\over\sqrt{\psi^2_i(x)wdx}} a_{ij}=-{{\int u_i\phi_jwdx}\over{N^2_j}}

    Gram-Schmidt Orthonormalization应用在高斯基函数上

    高斯基函数的径向函数为Rl(r)=rle(αr2)R_l(r)=r^{l}e^{(-\alpha r^2)}, 积分区间为r(0,)r\in(0,\infty),weight functions是w(r)=r2w(r)=r^2,下面以两个高斯基函数为例进行Gram-Schmidt Orthonormalization:
    u0(r)=rle(α1r2)u1(r)=rle(α2r2)w(r)=r2ψ0(r)u0(r)=rle(α1r2)ϕo(x)ψ0(x)ψ02(r)w(r)dr=rle(α1r2)r2le(2α1r2)r2dr u_0(r)=r^{l}e^{(-\alpha_1 r^2)}\\ u_1(r)=r^{l}e^{(-\alpha_2 r^2)}\\ w(r)=r^2\\ \psi_0(r)\equiv u_0(r) = r^{l}e^{(-\alpha_1 r^2)}\\ \phi_o(x)\equiv {\psi_0(x)\over{\sqrt {\psi^2_0(r)w(r)dr}}} \\ ={r^{l}e^{(-\alpha_1 r^2)}\over {\sqrt {r^{2l}e^{(-2\alpha_1 r^2)}\cdot r^2dr}}} \\

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高斯归一化