一:杭电原题摘录

http://acm.hdu.edu.cn/game/entry/problem/show.php?chapterid=2&sectionid=2&problemid=8

二.题目分析

很容易就能想到递归,但是超出内存

int fac(int a,int b,int n)//超出内存 
{
	int f;
	if (n== 1||n==2)
  	f=1;
  	else
  	f=(a*fac(a,b,n-1)+b*fac(a,b,n-2) )%7; 
	return f;
}

因为f(n)的值要对7取余,所以不难想到f(n)的值可能存在周期. 

那我们就去找周期,看是否存在?

周期不就是一直重复T个数,那么我们就说这组数存在周期,且为T.

在这个问题中具体化为,如果存在一个数T,使得f(T)=f(T+1)=1,那不说明开始重复了吗.(代码中,break跳出的i是T+2,不想改了)

三.我的收获

周期是一般规律的一种,上一篇分蛋糕是递归同样是对规律的科学精准预测,周期的发现往往使问题变得简单.当然也不会重复使用一些数,致使空耗内存.

四.AC代码

 
#include <iostream>
using namespace std;

int main(int argc, char** argv)
{
	int A,B,n,i,T;
    int a[1000];
    cin >> A >> B >> n;
    while( A!=0 || B!=0 || n!=0)
    {
        a[2]=1;
		a[1]=1;
        for(i=3;i<1000;i++){ 
            a[i] = ( A * a[i-1] + B * a[i-2]) % 7;
           // cout<<"a["<<i<<"]"<<"="<<a[i]<<endl;
        if(a[i] == 1 && a[i-1] == 1)              
                break;  } 
        //cout<< "T:"<<i<<endl;
        T=i-2;
        if(n%T==0) cout<<a[T]<<endl;    
        else cout<<a[n%T]<<endl;
        cin >> A >> B >> n;
    }
    return 0;
}

 

Number Sequence

 A number sequence is defined as follows:

f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

Input
The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.
Output
For each test case, print the value of f(n) on a single line.
Sample Input

1 1 3
1 2 10
0 0 0

Sample Output

2
5

题意：

题意很简单就是给你一个数n，让你求F(n)

分析：

网上有很多博客上写找规律，找循环节，但是当你们问他为什么这个周期是这些，却很难回答。如果它真的具有规律并具有固定周期，一定可以通过某种方法证明，只不过我们不会，但对于这个题目应该是没法证明的，看hduoj的discuss中就给了下面几组测试数据：
input
247 602 35363857
376 392 9671521
759 623 18545473
53 399 46626337
316 880 10470347
0 0 0
output
4
3
5
2
3
这几组测试数据如果是通过所谓规律AC的代码，有几个实际上是不对的

因此考虑到斐波那契数列的性质，这个题和斐波那契数列很类似，发现我们应该使用矩阵快速幂来做，矩阵很小，模板直接写。

$$\begin{equation} \begin{array}{c c} \left( \begin{array}{ccc} f(3) \\ f(2) \\ \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} f(2)\\ f(1) \\ \end{array} \right) \end{array} \end{equation}$$
$f(3) = a + b$
$$\begin{equation} \begin{array}{c c} \left( \begin{array}{ccc} f(n) \\ f(n-1) \\ \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^{n-2} & \left( \begin{array}{ccc} f(2)\\ f(1) \\ \end{array} \right) \end{array} \end{equation}$$
设 $A = \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^{n-2}$
那么 $ans = (A[0][0] + A[0][1]) \% 7$

但是我做这题的时候就掉进了一个坑，我的结构体写了构造函数，导致快速幂每次调用乘法的时候都会调用构造函数，导致超时。。。这回真的是记住了

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Matrix{
    int m[2][2];
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix ans;
    for(int i = 0; i < 2; i++){
        for(int j = 0; j < 2; j++){     
            ans.m[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 2; k++){
                ans.m[i][j] = (ans.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % 7) % 7;
            }

        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int A,B,n;
    while(scanf("%d%d%d",&A,&B,&n) != EOF){
        if(A == 0 && B == 0 && n == 0) break;
        if(n <= 2){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        Matrix a,ans;
        a.m[0][0] = A;
        a.m[0][1] = B;
        a.m[1][0] = 1;
        a.m[1][1] = 0;
        ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;
        ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;
        n -= 2;
        while(n){
            if(n & 1)
                ans = mul(ans,a);
            n >>= 1;
            a = mul(a,a);
        }
        printf("%d\n",(ans.m[0][0] + ans.m[0][1]) % 7);
    }
    return 0;
}

ACM模版

描述

题解

一看公式就知道这道题在51Nod上做过一次，于是按照老思路准备水过，可是却意外发现了自己曾经的写法实在是想当然了，如果不是这道题51Nod数据比较水，我一定过不去~~~

以前在做这道题时，感觉循环一定是从第一项开始的，也就是循环节的前两项一定是1、1，然而事实并非如此，当我依然用这种思路写时，HDU给我的结果是WA，于是我改掉了这个可能存在的问题，结果顺利AC了……

看来有一句话说的真不假，你样例过了，并不能代表你对了，甚至你AC了，同样不能确保你是对的！！！

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 300;
const int MOD = 7;

int f[MAXN] = {1, 1, 1};

int main(int argc, const char * argv[])
{
    int A, B, n;
    while (cin >> A >> B >> n)
    {
        if (A == 0 && B == 0 && n == 0)
        {
            break;
        }

        int beg = 1;
        int end = 1;
        int cycle = 1;
        bool flag = false;
        for (int i = 3; i <= n && !flag; i++)
        {
            f[i] = (A * f[i - 1] + B * f[i - 2]) % MOD;
            for (int j = 2; j < i; j++)
            {
                if (f[i] == f[j] && f[i - 1] == f[j - 1])
                {
                    cycle = i - j;
                    beg = j - 1;
                    end = i - 1;
                    flag = true;
                    break;
                }
            }
        }

        if (flag)
        {
            cout << f[beg + (n - end) % cycle] << '\n';
        }
        else
        {
            cout << f[n] << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

参考

51Nod 1126 求递推序列的第N项