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  • beizer曲线
    2019-05-22 17:35:44

    在这里插入图片描述
    已知曲线上的三个拟合曲线:

    C++:

    
    //Beizer曲线的三个点分别对应ptLeft(左侧点),ptMid(中间的某一点),ptRight(右侧点)
    
    	Point2f ptLeft,ptMid,ptRight;
    	//曲线中的t值,中间点在左右两点的
        float locRatio = (ptMid.x-ptLeft.x)/(ptRight.x -ptLeft.x);
    	//求出控制点位置
    	Point2f ptControl;
        ptControl.x =(ptMid.x -(1-locRatio)*(1-locRatio)*ptLeft.x-locRatio*locRatio*ptRight.x)/2/locRatio/(1-locRatio);
    	ptControl.y =(ptMid.y -(1-locRatio)*(1-locRatio)*ptLeft.y-locRatio*locRatio*ptRight.y)/2/locRatio/(1-locRatio);
    	//显示拟合出的曲线
    	Point2f calcuatePoint;
        //以固定固定长度拉伸ptLeft,ptRight之间长度,改变曲线
    
    	for (float idx =1;idx <ptRight.x -ptLeft.x;idx++)
    	{
    		locRatio = idx/(ptRight.x-ptLeft.x-1);
            //这里求出对应的每一处x,对应新的y值
    
    
    		calcuatePoint.x = ptLeft.x +idx;
    		calcuatePoint.y =(1-locRatio)*(1-locRatio)*ptLeft.y +2*locRatio*(1-locRatio)*ptControl.y +locRatio*locRatio*ptRight.y;
    	}
    

    Python:

    
    
    	def beizerCurve(pt_left,pt_mid,pt_right):
    
        locRatio = float(pt_mid[0] - pt_left[0]) / float(pt_right[0] - pt_left[0]);
    
        #控制点位置
        ptControl=[0,0]
        ptControl[0] = (pt_mid[0] - (1 - locRatio) * (
                    1 - locRatio) * pt_left[0] - locRatio * locRatio * pt_right[0]) / 2 / locRatio / (1 - locRatio);
        ptControl[1] = (pt_mid[1] - (1 - locRatio) * (
                    1 - locRatio) * pt_left[1] - locRatio * locRatio * pt_right[1]) / 2 / locRatio / (1 - locRatio);
    
        curve =[]
        for idx in range(pt_right[0] - pt_left[0]):
            calcuatePoint = [0, 0]
            locRatio = float(idx) / float(pt_right[0] - pt_left[0]-1)
            calcuatePoint[0] = pt_left[0] +idx
            calcuatePoint[1] = int((1.0-locRatio)**2*pt_left[1]+2*locRatio*(1-locRatio)*ptControl[1]+locRatio**2*pt_right[1])
            curve.append(calcuatePoint)
    
    
        return curve
    
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    1 三次Beizer曲线方程介绍

    Beizer曲线的一些特性这里不再赘述,大家可以去网上查看一些资料,很详细。最近用到轮廓拟合,所以用三次Beizer曲线效果还可以,有插值和近似拟合(插值就是曲线过点,近似拟合则不过点),就学习了一下。我是做的Beizer曲线插值,插值和近视拟合无非就是控制点选取不一样。
    Beizer总方程为
    PiKni(t) (1),
    三次Beizer曲线方程:
    Bn(t)=P0(1t)3+3P1t(1t)2+3P2t2(1t)+P3t3,tϵ[0,1] (2),
    这里的 P1 P2 就是所谓的控制点A、B点。关于控制点AB的求法很多种,我是采用参数设定法构造控制点,思路我是参考百度文库一篇文章,“确定控制点文章链接”。文章写的很详细,对于闭合轮廓的话就想象成一个循环,第0个点的前两个点为n-1和n-2,第n-1个点的后两个点为0和1,文章很好理解。对于参数a和b,通常都是0.25,但我看别人论文中有a=0.125,b=0.05,拟合出来的效果很接近真实曲线,所以我也是采用这个参数。

    2 代码实现

    上述讲了三次Beizer曲线方程,用在轮廓拟合中怎么实现呢。当然,你先得找到轮廓中的特征点,然后根据两个相邻的特征点拟合成一段三次Beizer曲线,控制点AB是借助周围几个点得到的。思路大概就是这样的。下面讲一下具体步骤。
    ###2.1 得到控制点AB
    控制点AB方程在刚才那篇百度文科文章中有,所以直接根据那个方程来编写代码,下面是我求控制点AB的代码,很简单,大家有需要的可以参考。

    //求得控制点AB
    void ControlAB(double *Xi,double *Yi, double *Ai_x,double *Ai_y, double *Bi_x,double *Bi_y,int n, double a, double b,int boundType)
    {
        if(boundType==1)
        {
            Ai_x[0]=Xi[0]+(Xi[1]-Xi[n-1])*a;
            Ai_y[0]=Yi[0]+(Yi[1]-Yi[n-1])*a;
    
            Bi_x[n-2]=Xi[n-1]-(Xi[0]-Xi[n-2])*b;
            Bi_y[n-2]=Yi[n-1]-(Yi[0]-Yi[n-2])*b;
    
            Ai_x[n-1]=Xi[n-1]+(Xi[0]-Xi[n-2])*a;
            Ai_y[n-1]=Yi[n-1]+(Yi[0]-Yi[n-2])*a;
            Bi_x[n-1]=Xi[0]-(Xi[1]-Xi[n-1])*b;
            Bi_y[n-1]=Yi[0]-(Yi[1]-Yi[n-1])*b;
        }
        for(int i=1;i<n-1;i++)
        {
            Ai_x[i]=Xi[i]+(Xi[i+1]-Xi[i-1])*a;
            Ai_y[i]=Yi[i]+(Yi[i+1]-Yi[i-1])*a;
        }
        for(int i=0;i<n-2;i++)
        {
            Bi_x[i]=Xi[i+1]-(Xi[i+2]-Xi[i])*b;
            Bi_y[i]=Yi[i+1]-(Yi[i+2]-Yi[i])*b;
        }
    }

    代码注意:代码不要瞎贴,这里有些自定义数组,Xi、Yi是点的x、y。

    ###2.2 拟合曲线生成与绘制
    求得AB控制点,可以将 P1 P2 、A和B代入方程(2)中,得到 P1 P2 中间的一段三次Beizer曲线方程,就拟合出来了。这时需要看到效果。我用的是C++的MFC画出来的曲线,当然也可以Python,Python一搜有很多例子,网上可以荡到的。我画二维曲线用的是MFC,大家可以参考我的博客“MFC绘制二维曲线”,给个我实验拟合出来的闭合轮廓,其中参数a=0.125,b=0.05。
    原轮廓原轮廓
    这里写图片描述拟合轮廓

    可以看到,拟合效果还是不错的。图中的小黑点是我给的特征点,MFC画出来就是这个样子。

    3 总结

    三次Beizer曲线拟合算法还是很简单的,主要是控制点的选取,还有最关键的特征点选取。特征点是最基本的。当然Beizer也有一些不足之处,对于非闭合轮廓的情况拟合情况不是很理想,这就需要其他的曲线拟合,我会再发一篇B样条曲线拟合算法的。

    展开全文
  • 使用C语言编写,borland库 自己的作品,为了积分才上传的。。。
  • 关键代码: Bezier曲线: void CalcBZPoints(){ float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; a0=pt[0].x; a1=-3*pt[0].x+3*pt[1].x; a2=3*pt[0].x-6*pt[1].x+3*pt[2].x; a3=-pt[0].x+3*pt[1].x-3*...
    关键代码: 
    Bezier曲线:
    void CalcBZPoints(){
           float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3;
           a0=pt[0].x;
           a1=-3*pt[0].x+3*pt[1].x;
           a2=3*pt[0].x-6*pt[1].x+3*pt[2].x;
           a3=-pt[0].x+3*pt[1].x-3*pt[2].x+pt[3].x;
           b0=pt[0].y;
           b1=-3*pt[0].y+3*pt[1].y;
           b2=3*pt[0].y-6*pt[1].y+3*pt[2].y;
           b3=-pt[0].y+3*pt[1].y-3*pt[2].y+pt[3].y;
           float t = 0;
           float dt = 0.01;
           for(int i = 0; t<1.1; t+=0.1, i++){
                  bz[i].x = a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t;
                  bz[i].y = b0+b1*t+b2*t*t+b3*t*t*t;           
           }
    }
    画点函数:
    void ControlPoint(vector<Point> vpt){
           glPointSize(2);//点的粗细
           for(int i=0; i<vpt.size(); i++){
                  glBegin (GL_POINTS);	  
                  glColor3f (1.0f, 1.0f, 0.5f);//控制点颜色
    			  glVertex2i (vpt[i].x,vpt[i].y);
                  glEnd ();
           }
    }
    连线函数:
    void PolylineGL(Point *pt, int num) {
           glBegin (GL_LINE_STRIP);
           for(int i=0;i<num;i++){           
                  glColor3f (0.0f, 0.0f, 0.0f);//线的颜色
                  glVertex2i (pt[i].x,pt[i].y);           
           }
           glEnd ();
    }
    画点画线:
    void myDisplay(){
           glColor3f (0.0f, 0.0f, 0.0f);//线的颜色为黑色
    	   glPointSize(5);//点的宽度
           if (vpt.size() > 0) {
                  ControlPoint(vpt);
           }
           if(bDraw){ 
                  CalcBZPoints();
                  PolylineGL(bz, 11);//画曲线
           }
           glFlush();
    }
    初始:
    void Init(){
    	glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0);//背景颜色
    	glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//清除当前帧的颜色-黑色
    	glShadeModel(GL_SMOOTH);
    	printf("Please Click left button of mouse to input control point of Bezier Curve!\n");
    }
    鼠标控制四个控制点:
    void mouse(int button, int state, int x, int y){
    switch (button){
    	case GLUT_LEFT_BUTTON:
    	if (state == GLUT_DOWN){
    	if (nInput == 0){
    	pt[0].x = x;
    	pt[0].y = 480 - y;
    	printf("(%.3f,%.3f)",pt[0].x/640.0,pt[0].y/480.0);//输出控制顶点坐标0
    	nInput = 1;
    	vpt.clear();
    	vpt.push_back(pt[0]);
    	bDraw = false;
    	glutPostRedisplay();
    	}
    	else if (nInput == 1){
    	pt[1].x = x;
    	pt[1].y = 480 - y;
    	printf("(%.3f,%.3f)",pt[1].x/640.0,pt[1].y/480.0);//输出控制顶点坐标1
    	vpt.push_back(pt[1]);
    	nInput = 2;
    	glutPostRedisplay();//
    	}
    	else if (nInput == 2){
    	pt[2].x = x;
    	pt[2].y = 480 - y;
    	printf("(%.3f,%.3f)",pt[2].x/640.0,pt[2].y/480.0);//输出控制顶点坐标2
    	vpt.push_back(pt[2]);
    	nInput = 3;
    	glutPostRedisplay();//
    	}
    	else if (nInput == 3){
    	pt[3].x = x;
    	pt[3].y = 480 - y;
    	printf("(%.3f,%.3f)\n",pt[3].x/640.0,pt[3].y/480.0);//输出控制顶点坐标3
    	bDraw = true;
    	vpt.push_back(pt[3]);
    	nInput = 0;
    	glutPostRedisplay();
    	}
    	}
    	break;
    	default:
    	break;
    	}
    }
    void KeyboardFunc(unsigned char Key,int x,int y){
    if(Key == 'w' || Key == 'W'){ //按键清屏
            glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//清屏
    		printf("清屏一次\n");
        }
    	if(Key == 'x' || Key == 'X'){ //按键清除上次所画区域——将所画曲线变为背景色
            glColor3f (1.0f, 1.0f, 1.0f);
    		if (vpt.size() > 0) {
    		ControlPoint(vpt);
    		}
    		if(bDraw){
    			CalcBZPoints();
    			glBegin (GL_LINE_STRIP);
    			for(int i=0;i<101;i++){
    				glColor3f (1.0f, 1.0f, 1.0f);//线颜色
    				glVertex2i (bz[i].x,bz[i].y);
    			}
    			glEnd ();
    		}
    		glFlush();
    		printf("取消上次所画内容\n");
        }
    }
    

    由于作业要求,数据会每点击一下,输出一个坐标点。

    取消上次所画内容是为了画起来方便点,不过只能取消一次。其实就是给覆盖了。看着网上有说用异或会比较好,但是现在还不会用,以后会试着改进。

     

    int main(int argc, char *argv[])
    {
    	printf("清屏请按w或W\n取消上次所画内容x或X(仅限于清除线)\n注意不能连续取消代码!\n");
    	glutInit(&argc, argv);
    	glutInitDisplayMode(GLUT_RGB | GLUT_SINGLE);
    	glutInitWindowPosition(100, 100);
    	glutInitWindowSize(640, 480);
    	glutCreateWindow("Hello World!");
    	Init();
        glutKeyboardFunc(KeyboardFunc);//数字、字母键的按键检测的回调函数
    	glutDisplayFunc(myDisplay);
    	glutReshapeFunc(Reshape);
    	glutMouseFunc(mouse);
    	glutMainLoop();
    	return 0;
    }


        其中glutKeyboardFunc(KeyboardFunc);需要写在glutDisplayFunc(myDisplay);前面,不能写最后!

     

    所画如图:这个图是照着个海报画的,水平一般尝试做画

    周围会看到一些点。有颜色的话做图比较方便但美观性可能差一些

    展开全文
  • 贝塞尔曲线matlab代码贝塞尔曲线 Matlab代码,用于生成2D贝塞尔曲线。 包含的m文件是用于计算De-Casteljau-Algorithm方面Bézier曲线的简单实现。 只要您引用作者,就可以在项目中随意使用基础代码。
  • Bezier曲线(附Python实现代码)

    千次阅读 2021-05-11 10:35:07
    上一讲讲解了伯恩斯坦多项式,现在就开始对Bezier曲线进行研究。首先Bezier曲线采用伯恩斯坦多项式作为基函数。 首先,我们定义Bezier曲线的表达式: C(t)=∑k=0nPkBkn(t)(1) \begin{aligned} \mathcal{C}(t) = \sum...

    上一讲讲解了伯恩斯坦多项式,现在就开始对Bezier曲线进行研究。Bezier曲线采用伯恩斯坦多项式作为基函数。

    首先,我们定义Bezier曲线的表达式:
    C ( t ) = ∑ k = 0 n P k B k n ( t ) (1) \begin{aligned} \mathcal{C}(t) = \sum_{k=0}^n \mathbf{P}_k B_k^n(t) \end{aligned} \tag{1} C(t)=k=0nPkBkn(t)(1)

    其中, ( P ) 0 ≤ k ≤ n \left( \mathbf{P} \right)_{0 \le k \le n} (P)0kn是Bezier的控制顶点。虽然该表达式看起来很简单,但还是不那么直观,下面我们使用代码实现一下Bezier曲线。

    计算伯恩斯坦多项式的值

    要绘制出Bezier曲线,首先需要先求出 n n n次伯恩斯坦多项式在 t t t处的值,这里我们使用伯恩斯坦多项式的递归定义
    B k , n ( t ) = ( 1 − t ) B k , n − 1 ( t ) + t B k − 1 , n − 1 ( t ) B_{k,n}(t)=(1-t)B_{k,n-1}(t)+tB_{k-1,n-1}(t) Bk,n(t)=(1t)Bk,n1(t)+tBk1,n1(t)
    代码实现如下

    def all_bernstein(n, t):
        b = np.zeros(n+1)
        b[0] = 1.
        t1 = 1.-t
        for j in range(1, n+1):
            saved = 0.
            for i in range(0, j):
                tmp = b[i]
                b[i] = saved + t1*tmp
                saved = t*tmp
            b[j] = saved
        return b
    

    计算Bezier曲线的值

    我们根据式(1),可以直接求得Bezier曲线在某一点处的值。伯恩斯坦多项式的次数根据控制顶点 P \mathbf{P} P的个数确定。

    def point_on_bezier_curve(P,t):
        n = len(P) - 1
        b = all_bernstein(n, t)
        c = 0.
        for k in range(0, n+1):
            c += b[k]*P[k]
        return c
    

    一些例子

    下面例子中的ts表示在参数域的采样点

    def example_1():    
        nt = 200
        ts = np.linspace(0., 1., nt)
    
        P = np.zeros((2, 2))
        P[:, 0] = [0., 1.]
        P[:, 1] = [1., 0.]
    
        Q = np.zeros((nt, 2))
        for i,t in enumerate(ts):
            Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)
    
        plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-b')
        plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--ok', linewidth=0.7)
        
        for i in range(0, 2):
            x,y = P[i,:]
            plt.text(x+0.05,y+0.05,'$\mathbf{P}_{' + str(i) + '}$')
    
        plt.axis([-0.2, 1.2, -0.2, 1.2])
    
        #ax = plt.axes()
        #ax.set_aspect('equal', 'box')
    
        
    example_1()
    

    下载

    def example_3a():    
        nt = 200
        ts = np.linspace(0., 1., nt)
    
        P = np.zeros((4, 2))
        P[:, 0] = [1., 1., 0., -1.]
        P[:, 1] = [0., 1., 1.,  0.]
    
        Q = np.zeros((nt, 2))
        for i,t in enumerate(ts):
            Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)
    
        plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-b')
        plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--ok', linewidth=0.7)
        
        for i in range(0, 3):
            x,y = P[i,:]
            plt.text(x+0.05,y+0.05,'$\mathbf{P}_{' + str(i) + '}$')
        i = 3
        x,y = P[i,:]
        plt.text(x-0.05,y+0.05,'$\mathbf{P}_{' + str(i) + '}$')
    
        plt.axis([-1.2, 1.2, -0.2, 1.2])
    
        #ax = plt.axes()
        #ax.set_aspect('equal', 'box')
    
        
    example_3a()
    

    下载

    复合Bezier曲线

    def plot_composite_bezier_curve():
        n = 2
    
        nt = 200
        ts = np.linspace(0., 1., nt)
    
        # ...
        P = np.zeros((3, 2))
        P[:, 0] = [1., 1., 0.]
        P[:, 1] = [0., 1., 1.]
    
        Q = np.zeros((nt, 2))
        for i,t in enumerate(ts):
            Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)
    
        plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-r')
        plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--or', linewidth=0.7)
        # ...
    
        # ...
        P = np.zeros((3, 2))
        P[:, 0] = [0., -1., 0.]
        P[:, 1] = [1., -1., -1.]
    
        Q = np.zeros((nt, 2))
        for i,t in enumerate(ts):
            Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)
    
        plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-b')
        plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--ob', linewidth=0.7)
        # ...
    
        # ...
        P = np.zeros((3, 2))
        P[:, 0] = [1., 1., 0.]
        P[:, 1] = [0., -1., -1.]
    
        Q = np.zeros((nt, 2))
        for i,t in enumerate(ts):
            Q[i,:] = point_on_bezier_curve(P,t)
    
        plt.plot(Q[:,0], Q[:,1], '-g')
        plt.plot(P[:,0], P[:,1], '--og', linewidth=0.7)
        # ...
    
        #plt.axis('equal')
        #plt.title('Composite Bézier curve')
    
    plot_composite_bezier_curve()
    

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    一些Beizer曲线的性质

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    • 控制顶点数=伯恩斯坦基函数的个数
    • 伯恩斯坦基函数的个数=伯恩斯坦基函数次数+1
    • 物理域的取值只和控制顶点的取值有关
    展开全文
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  • 应用python实现贝塞尔曲线,并应用wx python图像显示功能展现所画曲线。使用时需安装wx(内付安装程序)
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  • 使用c# + GDI+进行SVG等绘图,绘制带控制点的Bezier曲线。可用于点阵图像及矢量图形(如SVG)绘图。
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  • 贝塞尔曲线简单介绍

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    基于贝塞尔曲线的变道轨迹规划 车辆的换道与超车是驾驶员常见的驾驶操作之一,无人驾驶车辆在行驶过程中也会频繁的面临此工况,车辆行驶过程中必须根据行驶环境中车车之间的相对速度与距离,以及车辆周边其他环境的...

空空如也

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