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  • 初步实现M*N阶Smith标准型的计算方法
  • 资源中包含了行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现。运行环境为matlab R2017 资源中包含了行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式...
  • matlab求smith标准型

    千次阅读 2020-11-02 20:34:58
    matlab求smith标准型 直接调用matlab自带的smithForm函数 代码示例: 命令行输出: 注:simplify函数是把多项式形式转化为因式相乘的形式。

    matlab求smith标准型

    直接调用matlab自带的smithForm函数
    代码示例:
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    命令行输出:
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    注:simplify函数是把多项式形式转化为因式相乘的形式。

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  • 矩阵理论——Smith标准型的学习

    万次阅读 2019-11-01 19:14:24
    矩阵理论研究生学习(一)lambda矩阵lambda矩阵的初等变换行列式因子Smith标准型与不变因子证明题 lambda矩阵 lambda矩阵是含有参数lambda的矩阵,其中有元素是关于lambda的多项式,故又称多项式矩阵。数字矩阵则不...

    lambda矩阵

    lambda矩阵是含有参数lambda的矩阵,其中有元素是关于lambda的多项式,故又称多项式矩阵。数字矩阵则不含有lambda,是全为数字的矩阵。
    注意,数字矩阵的行列式值是固定的,要么其可逆,要么不可逆。而lambda矩阵的行列式值通常是不固定的,为lambda的多项式,因此,有时可逆有时不可逆!那么怎么定义秩呢?岂不是多项式矩阵中的子式有时候为零有时候不为零呢?定义,不恒为零的子式的最高阶数为多项式矩阵的秩。
    实际上,我在最初看到这里时,发现书上并没有从行列式是否为零来讨论多项式矩阵A是否可逆,而是从能否再找到一个多项式矩阵B,s.t. A*B=B*A=I来说明A是否可逆的。其中的原因我后来才发现。实际上,若多项式矩阵A可逆,则A可以通过初等变换化为单位阵I。原因在后说明。
    

    lambda矩阵的初等变换

    lambda矩阵也有初等变换,
    (1)某一行和另外一行交换;或者某一列和另外一列交换。
    (2)某一行乘以非零常数;或者列。
    (3)某一行加上另外一行的f(lambda)倍;或者列。
    乍看上去,好象和数字矩阵的初等变换没什么区别,但是注意,第三条不再是另外一行的常数倍,而是lambda倍,即乘以lambda的多项式。
    千万注意,第二条不能是乘以lambda的多项式,因为改变多项式矩阵的行列式值。
    因为初等变换是单位阵“稍微变化”而来,即将Eii=1换到Eij=1,Ejj=1换到Eji=1;
    Eii=1换到Eii=k;
    或者加入Eij=lambda;
    显然这些初等变换对应的矩阵都是可逆的。这里的第三种矩阵,就说明了,即使是含有lambda的多项式矩阵,也可以是可逆的,必须对任何的lambda值,都可逆,则多项式矩阵可逆。实际上,该矩阵正是通过单位阵经过初等变换而来,因此可逆,后面还将看到,该矩阵的Smith标准型是单位阵,所以可逆;如果Smith标准型不是单位阵,则不可逆。

    行列式因子

    多项式矩阵A的所有k阶非零子式的最大公因式为A的k阶行列式因子。

    Smith标准型与不变因子

    多项式矩阵A经过有限次初等变换后,可以得到一个对角阵。元素个数为r(A)个。
    设为d(1),d(2),d(3),…,d®.满足d(i)|d(i+1)且d(i)为首一多项式(lambda最高次数项系数为1),该对角阵即为Smith标准型。
    d(1),d(2),…,d®即为不变因子

    证明题

    两个矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价

    证明:
    必要性:设A与B相似,则存在可逆矩阵P,s.t.
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    充分性:设A与B的特征多项式等价,则有可逆lambda矩阵
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  • 若当标准型

    设A为复数域上的n阶方阵,即A∈Cn×n,A为:
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    A的特征矩阵λⅠ-A为:
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    设矩阵λⅠ-A的smith标准型为:
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    其中d1(λ)、d2(λ)、…、dn(λ)为λⅠ-A的不变因子,则λⅠ-A≌D,D为λⅠ-A的smith标准型。对于矩阵D,有∂(d1(λ))+∂(d2(λ))+…+∂(dn(λ))=n。假设λⅠ-A的smith标准型,即矩阵D的形式为:
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    矩阵D=矩阵S,对于n阶方阵S,左上角为n-p阶单位矩阵,hi(λ)的次数ni均大于0,即∂(hi(λ))=ni>0,其中i=1,2,…,p,∂(h1(λ))+∂(h2(λ))+…+∂(hp(λ))=n1+n2+…+np=n。

    矩阵S的左上角有n-p个1,有下式:
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    矩阵S通过初等变换可变为:
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    T为n阶方阵,S≌T,其中Ti为:
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    Ti为ni阶方阵,还是写一遍完整的矩阵T吧,如下:
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    上图中的①省略了Ti,其中i=3,4,…,p-1。对于每一个Ti中的hi(λ)进行质因式分解得:
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    上式的λi互不相同,其中i=1,2,…,k,r1+r2+…+rk=ni。对于ni阶方阵Ti
    在这里插入图片描述
    设hi(λ)=(λ-λ1)r1·(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ1)r1·g(λ),即g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk,有(λ-λ1)r1和g(λ)互质。

    对于ni阶方阵Ti,行列式因子为:

    (1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ni-1;

    (2)Dni(λ)=hi(λ)。

    设ni阶方阵Bi为:
    在这里插入图片描述
    有Bi≌Ti,因为Bi的行列式因子为:

    (1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ni-2;

    (2)Dni(λ)=hi(λ);

    (3)对于ni-1阶行列式因子,有:ni-1阶子式中不为0的有g(λ)、(λ-λ1)r1、hi(λ),其中hi(λ)有ni-2个,这三个多项式中前两个互质,因此最大公因式为1,即Dni-1(λ)=1。

    Bi与Ti的各k阶行列式因子相同,其中k=1,2,…,ni,因此Bi≌Ti

    对于g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk,分解为g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ2)r2·g1(λ),其中g1(λ)=(λ-λ3)r3·…·(λ-λk)rk,对于矩阵:
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    可证Ti与上述矩阵等价,一直分解g1(λ)下去,最后得到矩阵:
    在这里插入图片描述
    可证Ti与上述矩阵等价。因此:
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    记上图右面的矩阵为J(λ),其矩阵表示的左上方的第一块矩阵已给出,右下角即①部分省略了很多分块矩阵,其形式与左上角相同,有T≌J(λ)。

    现在先总结一下以上内容得到的矩阵关系:λⅠ-A≌D,矩阵D=矩阵S,S≌T,T≌J(λ),因此根据矩阵等价的传递性, 有:

    λⅠ-A≌J(λ)

    可对矩阵J(λ)进行分块为:
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    其中i=1,2,…,q,Ji(λ)∈Cri×ri[λ],ri阶方阵Ji(λ)为:
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    上式中(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子,i=1,2,…,q,其中可能有重复项。接下来要做的是寻找一个n阶数字方阵J,使其特征矩阵λⅠ-J=J(λ),其中J为:
    在这里插入图片描述
    对于矩阵Ji,有λⅠ-Ji≌Ji(λ),其中ri阶方阵Ji(λ)为:
    在这里插入图片描述
    对于ri阶方阵Ji(λ),其行列式因子为:

    (1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ri-1;

    (2)Dri(λ)=(λ-λi)ri

    于是需要矩阵λⅠ-Ji与Ji(λ)有相同的行列式因子。当λⅠ-Ji的主对角线元素均为λ-λi时,可以保证ri阶行列式因子为(λ-λi)ri。然后就是需要使1阶、2阶、…、ri-1阶行列式因子均为1了。当主对角线上方的次对角线均为1时,可以使1阶、2阶、…、ri-1阶行列式均为1。于是有:
    在这里插入图片描述
    因此Ji为:
    在这里插入图片描述
    但是主对角线上方的次对角线均为-1不好看,可以令Ji为:
    在这里插入图片描述
    Ji的行列式因子也为:

    (1)Dk(λ)=1,其中k=1,2,…,ri-1;

    (2)Dri(λ)=(λ-λi)ri

    此时λⅠ-Ji为:
    在这里插入图片描述
    即主对角线上方的次对角线均为-1。称Ji为Jordan块:
    在这里插入图片描述
    J为:
    在这里插入图片描述
    称J为Jordan标准型。

    下面到了总结的时候了。

    A为复数域上的n阶方阵,即A∈Cn×n,其特征矩阵λⅠ-A≌J(λ);对于n阶数字方阵J,其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)。因此:λⅠ-A≌λⅠ-J,因此A~J,即二者相似。那么一定存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=J。

    下面就求n阶方阵P。

    由P-1AP=J得AP=PJ,其中J为:
    在这里插入图片描述
    其中ri阶方阵Ji为:
    在这里插入图片描述
    将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq],其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri],i=1,2,…,q,有:AP=A·[P1,P2,…,Pq]=[P1,P2,…,Pq]·diag(J1,J2,…,Jq)=PJ,则APi=PiJi,i=1,2,…,q,即APi=A·[pi1,pi2,…,piri]=[pi1,pi2,…,piri]·Ji=PiJi,即:
    在这里插入图片描述
    根据矩阵的乘法,可得:

    (1)Api1i·pi1

    (2)Api2=pi1i·pi2

    (3)Api3=pi2i·pi3

    (4)…

    (5)Apiri=piri-1i·piri

    其中i=2,…,q,所以有:

    (1)(A-λiⅠ)pi1=0;

    (2)(A-λiⅠ)pi2=pi1

    (3)(A-λiⅠ)pi3=pi2

    (4)…

    (5)(A-λiⅠ)piri=piri-1

    其中i=2,…,q。于是P是这样求解的:

    1、对矩阵A求其特征矩阵λⅠ-A的不变因子,有两种方法:① 通过求各阶行列式因子,然后得到不变因子;② 对λⅠ-A做初等变换求出其smith标准型,则对角线上的元素即为不变因子;

    2、根据求出的不变因子得出λⅠ-A的初等因子,假设(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子,其中i=1,2,…,q,其中可能有重复项;

    3、每一个(λ-λi)ri对应一个若当块Ji,其中i=1,2,…,q,ri阶方阵Ji为:
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    4、矩阵A的若当标准型J为:
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    5、一定存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=J。将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq],其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri],i=1,2,…,q,对于每一个Ji,这样求Pi

    (1)(A-λiⅠ)pi1=0;

    (2)(A-λiⅠ)pi2=pi1

    (3)(A-λiⅠ)pi3=pi2

    (4)…

    (5)(A-λiⅠ)piri=piri-1

    在第5步求解过程中,pi1的选取要保证pi2可以求出,类似地pi2的选取(因为pi2的选定并不唯一,只要适当选取一个即可)也要保证pi3可以求出,如此等等。

    6、最后P=[P1,P2,…,Pq]。

    求解可逆方阵P结束,现在得到的n阶可逆矩阵P,可使得P-1AP=J,其中J为n阶数字方阵A的Jordan标准型。

    任何一个n阶数字矩阵都对应一个Jordan标准型

    Jordan标准型的应用之一就是求矩阵A的方幂,如Ak

    因为P-1AP=J,所以A=PJP-1有Ak=PJkP-1,其中Jk为:
    在这里插入图片描述
    ri阶方阵Ji为:
    在这里插入图片描述
    则Jik为:
    在这里插入图片描述


    END

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  • 第二章 矩阵的标准型

    2013-11-26 18:00:11
    矩阵标准型进行了,非常详尽的介绍,是自学的理想课件
  • 这一章的知识太杂了,有必要整理一下   什么是矩阵 ...矩阵的Smith标准型(不要和Smith正交化搞混) 任何一个矩阵都等价于一个对角型矩阵 对角元素称作是此矩阵的不变因子。 初等变换法...

    这一章的知识太杂了,有必要整理一下

     

    什么是\lambda矩阵

    矩阵元素是\lambda的多项式就是\lambda矩阵

    \lambda矩阵的秩

    行列式可以是\lambda的多项式但是能是零,就可以求

    \lambda矩阵的逆

    首先,求它的行列式,只有行列式为常数且非0;这个矩阵才有逆。

    然后求伴随矩阵,再除于这个行列式

    \lambda矩阵的Smith标准型(不要和Smith正交化搞混)

    任何一个\lambda矩阵都等价于一个对角型矩阵

    对角元素称作是此\lambda矩阵的不变因子

    初等变换法求\lambda矩阵的Smith标准型

    我们知道任何\lambda矩阵都和对角矩阵等价,所以一定可以用初等变换去求这个对角矩阵。

    练习:p60--63

    smith标准型是唯一的

    也就是:一旦两个\lambda矩阵等价,它们的行列式因子相同;不变因子也相同。

    另外:\lambda矩阵可逆的充要条件是行列式是非零常数,或者\lambda矩阵和单位矩阵等价。

     

    初等因子

    什么是初等因子

    由此可知:如果两个\lambda矩阵等价,那么它们的不变因子相等(因为smith矩阵唯一),不变因子相等也就意味着,初等因子相等。

    所以:两个\lambda矩阵等价的充要条件又多了一个;初等因子相等且秩相等(因为初等因子是排除了不变因子的常数的)

    不变因子与初等因子 相似条件

    从不变因子中求初等因子:就是不要 1 ,并将 不变因子 以底数不同而分开;有重复;具体看上面的例子;

    从不变因子求smith标准型:初等因子,求  不变因子就是Smith矩阵的对角元素

    行列式因子求不变因子:不变因子等于行列式因子之间做除法

    矩阵的特征多项式是不变因子的乘积

    知道初等因子就可以求Jordan标准型:初等因子的次数决定了对角线的元素个数,初等因子的\lambda决定了元素。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    展开全文
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