matlab求smith标准型
 
直接调用matlab自带的smithForm函数
 代码示例：
 
 命令行输出：
 
 
 
 
 注：simplify函数是把多项式形式转化为因式相乘的形式。

 
矩阵理论研究生学习（一）
 
lambda矩阵
lambda矩阵的初等变换
行列式因子
Smith标准型与不变因子
证明题

 
lambda矩阵
 
lambda矩阵是含有参数lambda的矩阵，其中有元素是关于lambda的多项式，故又称多项式矩阵。数字矩阵则不含有lambda，是全为数字的矩阵。
注意，数字矩阵的行列式值是固定的，要么其可逆，要么不可逆。而lambda矩阵的行列式值通常是不固定的，为lambda的多项式，因此，有时可逆有时不可逆！那么怎么定义秩呢？岂不是多项式矩阵中的子式有时候为零有时候不为零呢？定义，不恒为零的子式的最高阶数为多项式矩阵的秩。
实际上，我在最初看到这里时，发现书上并没有从行列式是否为零来讨论多项式矩阵A是否可逆，而是从能否再找到一个多项式矩阵B，s.t. A*B=B*A=I来说明A是否可逆的。其中的原因我后来才发现。实际上，若多项式矩阵A可逆，则A可以通过初等变换化为单位阵I。原因在后说明。
 
lambda矩阵的初等变换
 
lambda矩阵也有初等变换，
 （1）某一行和另外一行交换；或者某一列和另外一列交换。
 （2）某一行乘以非零常数；或者列。
 （3）某一行加上另外一行的f(lambda)倍；或者列。
 乍看上去，好象和数字矩阵的初等变换没什么区别，但是注意，第三条不再是另外一行的常数倍，而是lambda倍，即乘以lambda的多项式。
 千万注意，第二条不能是乘以lambda的多项式，因为改变多项式矩阵的行列式值。
 因为初等变换是单位阵“稍微变化”而来，即将Eii=1换到Eij=1,Ejj=1换到Eji=1；
 Eii=1换到Eii=k;
 或者加入Eij=lambda；
 显然这些初等变换对应的矩阵都是可逆的。这里的第三种矩阵，就说明了，即使是含有lambda的多项式矩阵，也可以是可逆的，必须对任何的lambda值，都可逆，则多项式矩阵可逆。实际上，该矩阵正是通过单位阵经过初等变换而来，因此可逆，后面还将看到，该矩阵的Smith标准型是单位阵，所以可逆；如果Smith标准型不是单位阵，则不可逆。
 
行列式因子
 
多项式矩阵A的所有k阶非零子式的最大公因式为A的k阶行列式因子。
 
Smith标准型与不变因子
 
多项式矩阵A经过有限次初等变换后，可以得到一个对角阵。元素个数为r(A)个。
 设为d(1),d(2),d(3),…,d®.满足d(i)|d(i+1)且d(i)为首一多项式（lambda最高次数项系数为1）,该对角阵即为Smith标准型。
 d(1),d(2),…,d®即为不变因子
 
证明题
 
两个矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价
 
证明：
 必要性：设A与B相似，则存在可逆矩阵P，s.t.
 
 充分性：设A与B的特征多项式等价，则有可逆lambda矩阵
 
 

设A为复数域上的n阶方阵，即A∈Cn×n，A为：
 
 A的特征矩阵λⅠ-A为：
 
 设矩阵λⅠ-A的smith标准型为：
 
 其中d1(λ)、d2(λ)、…、dn(λ)为λⅠ-A的不变因子，则λⅠ-A≌D，D为λⅠ-A的smith标准型。对于矩阵D，有∂(d1(λ))+∂(d2(λ))+…+∂(dn(λ))=n。假设λⅠ-A的smith标准型，即矩阵D的形式为：
 
 矩阵D=矩阵S，对于n阶方阵S，左上角为n-p阶单位矩阵，hi(λ)的次数ni均大于0，即∂(hi(λ))=ni>0，其中i=1,2,…,p，∂(h1(λ))+∂(h2(λ))+…+∂(hp(λ))=n1+n2+…+np=n。
 
矩阵S的左上角有n-p个1，有下式：
 
 矩阵S通过初等变换可变为：
 
 T为n阶方阵，S≌T，其中Ti为：
 
 Ti为ni阶方阵，还是写一遍完整的矩阵T吧，如下：
 
 上图中的①省略了Ti，其中i=3,4,…,p-1。对于每一个Ti中的hi(λ)进行质因式分解得：
 
 上式的λi互不相同，其中i=1,2,…,k，r1+r2+…+rk=ni。对于ni阶方阵Ti：
 
 设hi(λ)=(λ-λ1)r1·(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ1)r1·g(λ)，即g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk，有(λ-λ1)r1和g(λ)互质。
 
对于ni阶方阵Ti，行列式因子为：
 
（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ni-1；
 
（2）Dni(λ)=hi(λ)。
 
设ni阶方阵Bi为：
 
 有Bi≌Ti，因为Bi的行列式因子为：
 
（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ni-2；
 
（2）Dni(λ)=hi(λ)；
 
（3）对于ni-1阶行列式因子，有：ni-1阶子式中不为0的有g(λ)、(λ-λ1)r1、hi(λ)，其中hi(λ)有ni-2个，这三个多项式中前两个互质，因此最大公因式为1，即Dni-1(λ)=1。
 
Bi与Ti的各k阶行列式因子相同，其中k=1,2,…,ni，因此Bi≌Ti。
 
对于g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk，分解为g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ2)r2·g1(λ)，其中g1(λ)=(λ-λ3)r3·…·(λ-λk)rk，对于矩阵：
 
 可证Ti与上述矩阵等价，一直分解g1(λ)下去，最后得到矩阵：
 
 可证Ti与上述矩阵等价。因此：
 
 记上图右面的矩阵为J(λ)，其矩阵表示的左上方的第一块矩阵已给出，右下角即①部分省略了很多分块矩阵，其形式与左上角相同，有T≌J(λ)。
 
现在先总结一下以上内容得到的矩阵关系：λⅠ-A≌D，矩阵D=矩阵S，S≌T，T≌J(λ)，因此根据矩阵等价的传递性， 有：
 
λⅠ-A≌J(λ)
 
可对矩阵J(λ)进行分块为：
 
 其中i=1,2,…,q，Ji(λ)∈Cri×ri[λ]，ri阶方阵Ji(λ)为：
 
 上式中(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子，i=1,2,…,q，其中可能有重复项。接下来要做的是寻找一个n阶数字方阵J，使其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)，其中J为：
 
 对于矩阵Ji，有λⅠ-Ji≌Ji(λ)，其中ri阶方阵Ji(λ)为：
 
 对于ri阶方阵Ji(λ)，其行列式因子为：
 
（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ri-1；
 
（2）Dri(λ)=(λ-λi)ri。
 
于是需要矩阵λⅠ-Ji与Ji(λ)有相同的行列式因子。当λⅠ-Ji的主对角线元素均为λ-λi时，可以保证ri阶行列式因子为(λ-λi)ri。然后就是需要使1阶、2阶、…、ri-1阶行列式因子均为1了。当主对角线上方的次对角线均为1时，可以使1阶、2阶、…、ri-1阶行列式均为1。于是有：
 
 因此Ji为：
 
 但是主对角线上方的次对角线均为-1不好看，可以令Ji为：
 
 Ji的行列式因子也为：
 
（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ri-1；
 
（2）Dri(λ)=(λ-λi)ri。
 
此时λⅠ-Ji为：
 
 即主对角线上方的次对角线均为-1。称Ji为Jordan块：
 
 J为：
 
 称J为Jordan标准型。
 
下面到了总结的时候了。
 
A为复数域上的n阶方阵，即A∈Cn×n，其特征矩阵λⅠ-A≌J(λ)；对于n阶数字方阵J，其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)。因此：λⅠ-A≌λⅠ-J，因此A～J，即二者相似。那么一定存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=J。
 
下面就求n阶方阵P。
 
由P-1AP=J得AP=PJ，其中J为：
 
 其中ri阶方阵Ji为：
 
 将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq]，其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri]，i=1,2,…,q，有：AP=A·[P1,P2,…,Pq]=[P1,P2,…,Pq]·diag(J1,J2,…,Jq)=PJ，则APi=PiJi，i=1,2,…,q，即APi=A·[pi1,pi2,…,piri]=[pi1,pi2,…,piri]·Ji=PiJi，即：
 
 根据矩阵的乘法，可得：
 
（1）Api1=λi·pi1；
 
（2）Api2=pi1+λi·pi2；
 
（3）Api3=pi2+λi·pi3；
 
（4）…
 
（5）Apiri=piri-1+λi·piri。
 
其中i=2,…,q，所以有：
 
（1）(A-λiⅠ)pi1=0；
 
（2）(A-λiⅠ)pi2=pi1；
 
（3）(A-λiⅠ)pi3=pi2；
 
（4）…
 
（5）(A-λiⅠ)piri=piri-1。
 
其中i=2,…,q。于是P是这样求解的：
 
1、对矩阵A求其特征矩阵λⅠ-A的不变因子，有两种方法：① 通过求各阶行列式因子，然后得到不变因子；② 对λⅠ-A做初等变换求出其smith标准型，则对角线上的元素即为不变因子；
 
2、根据求出的不变因子得出λⅠ-A的初等因子，假设(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子，其中i=1,2,…,q，其中可能有重复项；
 
3、每一个(λ-λi)ri对应一个若当块Ji，其中i=1,2,…,q，ri阶方阵Ji为：
 
 4、矩阵A的若当标准型J为：
 
 5、一定存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=J。将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq]，其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri]，i=1,2,…,q，对于每一个Ji，这样求Pi：
 
（1）(A-λiⅠ)pi1=0；
 
（2）(A-λiⅠ)pi2=pi1；
 
（3）(A-λiⅠ)pi3=pi2；
 
（4）…
 
（5）(A-λiⅠ)piri=piri-1。
 
在第5步求解过程中，pi1的选取要保证pi2可以求出，类似地pi2的选取（因为pi2的选定并不唯一，只要适当选取一个即可）也要保证pi3可以求出，如此等等。
 
6、最后P=[P1,P2,…,Pq]。
 
求解可逆方阵P结束，现在得到的n阶可逆矩阵P，可使得P-1AP=J，其中J为n阶数字方阵A的Jordan标准型。
 
任何一个n阶数字矩阵都对应一个Jordan标准型。
 
Jordan标准型的应用之一就是求矩阵A的方幂，如Ak。
 
因为P-1AP=J，所以A=PJP-1有Ak=PJkP-1，其中Jk为：
 
 ri阶方阵Ji为：
 
 则Jik为：
 
 
 
END

这一章的知识太杂了，有必要整理一下
 
 
 
什么是矩阵
 
矩阵元素是的多项式就是矩阵
 
矩阵的秩
 
行列式可以是的多项式但是能是零，就可以求
 
矩阵的逆
 
首先，求它的行列式，只有行列式为常数且非0；这个矩阵才有逆。
 
然后求伴随矩阵，再除于这个行列式
 
矩阵的Smith标准型（不要和Smith正交化搞混）
 
任何一个矩阵都等价于一个对角型矩阵
 
 
对角元素称作是此矩阵的不变因子。
 
初等变换法求矩阵的Smith标准型
 
我们知道任何矩阵都和对角矩阵等价，所以一定可以用初等变换去求这个对角矩阵。
 
练习：p60--63
 
smith标准型是唯一的
 
也就是：一旦两个矩阵等价，它们的行列式因子相同；不变因子也相同。
 
另外：矩阵可逆的充要条件是行列式是非零常数，或者矩阵和单位矩阵等价。
 
 
 
初等因子
 
什么是初等因子
 
 
由此可知：如果两个矩阵等价，那么它们的不变因子相等（因为smith矩阵唯一），不变因子相等也就意味着，初等因子相等。
 
所以：两个矩阵等价的充要条件又多了一个；初等因子相等且秩相等（因为初等因子是排除了不变因子的常数的）
 
不变因子与初等因子 相似条件
 
从不变因子中求初等因子：就是不要 1 ，并将 不变因子 以底数不同而分开；有重复；具体看上面的例子；
 
从不变因子求smith标准型：初等因子，求  不变因子就是Smith矩阵的对角元素
 
行列式因子求不变因子：不变因子等于行列式因子之间做除法
 
矩阵的特征多项式是不变因子的乘积
 
知道初等因子就可以求Jordan标准型：初等因子的次数决定了对角线的元素个数，初等因子的决定了元素。