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  • smith标准型
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    2019-11-01 19:14:24

    lambda矩阵

    lambda矩阵是含有参数lambda的矩阵,其中有元素是关于lambda的多项式,故又称多项式矩阵。数字矩阵则不含有lambda,是全为数字的矩阵。
    注意,数字矩阵的行列式值是固定的,要么其可逆,要么不可逆。而lambda矩阵的行列式值通常是不固定的,为lambda的多项式,因此,有时可逆有时不可逆!那么怎么定义秩呢?岂不是多项式矩阵中的子式有时候为零有时候不为零呢?定义,不恒为零的子式的最高阶数为多项式矩阵的秩。
    实际上,我在最初看到这里时,发现书上并没有从行列式是否为零来讨论多项式矩阵A是否可逆,而是从能否再找到一个多项式矩阵B,s.t. A*B=B*A=I来说明A是否可逆的。其中的原因我后来才发现。实际上,若多项式矩阵A可逆,则A可以通过初等变换化为单位阵I。原因在后说明。
    

    lambda矩阵的初等变换

    lambda矩阵也有初等变换,
    (1)某一行和另外一行交换;或者某一列和另外一列交换。
    (2)某一行乘以非零常数;或者列。
    (3)某一行加上另外一行的f(lambda)倍;或者列。
    乍看上去,好象和数字矩阵的初等变换没什么区别,但是注意,第三条不再是另外一行的常数倍,而是lambda倍,即乘以lambda的多项式。
    千万注意,第二条不能是乘以lambda的多项式,因为改变多项式矩阵的行列式值。
    因为初等变换是单位阵“稍微变化”而来,即将Eii=1换到Eij=1,Ejj=1换到Eji=1;
    Eii=1换到Eii=k;
    或者加入Eij=lambda;
    显然这些初等变换对应的矩阵都是可逆的。这里的第三种矩阵,就说明了,即使是含有lambda的多项式矩阵,也可以是可逆的,必须对任何的lambda值,都可逆,则多项式矩阵可逆。实际上,该矩阵正是通过单位阵经过初等变换而来,因此可逆,后面还将看到,该矩阵的Smith标准型是单位阵,所以可逆;如果Smith标准型不是单位阵,则不可逆。

    行列式因子

    多项式矩阵A的所有k阶非零子式的最大公因式为A的k阶行列式因子。

    Smith标准型与不变因子

    多项式矩阵A经过有限次初等变换后,可以得到一个对角阵。元素个数为r(A)个。
    设为d(1),d(2),d(3),…,d®.满足d(i)|d(i+1)且d(i)为首一多项式(lambda最高次数项系数为1),该对角阵即为Smith标准型。
    d(1),d(2),…,d®即为不变因子

    证明题

    两个矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价

    证明:
    必要性:设A与B相似,则存在可逆矩阵P,s.t.
    在这里插入图片描述
    充分性:设A与B的特征多项式等价,则有可逆lambda矩阵
    在这里插入图片描述
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    前言

    之前介绍过几种矩阵分解方法,都可以有效的提升矩阵方程的数值求解问题,其中LU分解尤其适合于中小型、稠密矩阵的求解问题。我们最理想的矩阵就是可相似对角化的矩阵,直接可以分解成两个酉矩阵和一个对角矩阵的形式,那么如果一个矩阵不符合可相似对角化的条件应该怎么解决呢?这里提出Jordan分解,提供了对不可相似对角化矩阵分解的解决方案。

    一、Schur标准型定义

    给定一个矩阵A,可以通过相似正交变换成一个上三角矩阵(任意n阶方阵),其实可以将LU分解中的L进行施密特正交化。

    ,其中R是上三角矩阵,U是酉矩阵。

    上面将X分解为UR,其中U是酉矩阵,R是上三角矩阵。那么我们可以得出Schur分解的定义。Schur分解

    任意n阶方阵,酉相似于一个以其特征值为对角元的上三角矩阵R。

    2. 特殊矩阵的特征系统

    由Schur定理可以自然想到,什么样的矩阵会酉相似于对角矩阵呢?答案是正规矩阵。

    正规矩阵

    ,若

    ,则称

    为正规矩阵。

    H这里表示共轭,类比于实数矩阵的转置的概念,因为矩阵中会包含虚数,所以使用H表示共轭。

    Hermite矩阵:

    斜Hermite矩阵:

    酉阵:

    对于上面这四种特殊的矩阵,对应的R各有不同,这里直接可以记忆结论:A为正规矩阵,R是对角矩阵。

    A为Hermite矩阵时,R是实对角矩阵。

    A为斜Hermite矩阵时,R是纯虚对角阵。

    A为酉矩阵,R对角元的模为1

    二、代数重数与几何重数

    先来了解特征值的代数重数和几何重数的概念。对任意一个矩阵,我们都可以写出其特征值的表达形式,

    ,则其中

    就被称为特征值

    的代数重数,与之对应的线性无关特征向量的个数,即子空间

    的维数,称为

    的几何重数。

    代数重数与几何重数的关系

    对任何一个n阶方阵A的特征值

    对应的几何重数

    和代数重数

    ,总有

    半单与亏损

    设A为n阶方阵,

    为其特征值,

    分别为其代数重数和几何重数,如果总有

    ,那么我们称这个特征值是半单的,否则如果几何重数小于代数重数,则称这个特征值是亏损的。

    我们还可以引申出几条基本概念:代数重数为1的特征值一定是半单的。

    不同特征值对应的特征向量是线性无关的。

    每个特征值都是半单的矩阵等价于相似对角化。

    存在亏损的特征值的矩阵称为亏损矩阵等价于不可相似对角化。只要有一个特征值说亏损的就代表该方阵不可相似对角化。

    由上面的定理和推论,我们知道一般的矩阵可以分为,可以相似对角化和不可相似对角化矩阵,那么对于不可相似对角化的矩阵我们就提出了Jordan分解,接下来了解一下具体什么是Jordan分解。

    三、Jordan分解定义及Jordan标准块、Jordan标准型Jordan块

    我们称如下形式的矩阵为Jordan块,Jordan块

    2. Jordan标准型

    简单来说,由若干个Jordan块构成的矩阵就是Jordan标准型。严谨的定义如下所示,Jordan标准型

    特别注意的一点是,如果不计Jordan块的顺序,则Jordan标准型唯一。

    那么如何才能求解得到Jordan标准型呢?

    四、Jordan分解求解方法

    Jordan标准型的基本特点:

    ① Jordan标准型是一个块对角矩阵,对角元是矩阵A的特征值

    ②对于特征值

    ,他的代数重数是Jordan标准型中以

    为特征值的Jordan块的阶数之和。

    ③对于特征值

    ,它的几何重数,即与

    对应的线性无关的特征向量的个数,恰为以

    为特征值的Jordan块的个数。

    通过下面这张图片,更加清晰了解这个Jordan标准型的样貌。Jordan标准型

    直观来讲,如果有一个三阶矩阵,其三个特征值都相同,代数重数为3,几何重数为2,那么Jordan标准型如何呢?Jordan标准型

    那么其实对于该三阶矩阵来说其实Jordan标准型是唯一的(不考率Jordan块的顺序)。

    但是,很容易我们想到4阶矩阵,就存在问题,如果代数重数是4,几何重数为2,那么存在两种可能的Jordan标准型。两种可能的Jordan标准型

    那么我们还记得上面的概念提到过,如果不考虑Jordan块的顺序,则Jordan标准型唯一,那么我们如何确定到底哪个是正确的呢?

    这里引入一个判定公式:阶数判定公式

    为了计算上的简便,我们从一阶Jordan块开始计算,计算其阶数,如果其阶数为0,则我们就知道Jordan块是两个2阶的Jordan块。

    通过上面的过程我们可以确定J的形式,那么如何确定T的形式呢?

    求解变换矩阵T:

    根绝

    ,继而我们有

    ,假设

    ,推导过程如下,

    详细求解过程,可以参考下面的例题,例题

    Jordan分解的计算还是一如既往需要不断通过题目进行锤炼。

    归纳一下计算步骤:

    1.计算Jordan标准型计算矩阵的全部特征值

    计算特征值的代数重数

    计算特征值的几何重数

    利用定理确定每个Jordan块的阶数(从1阶开始计算)

    2.计算变换矩阵T求得Jordan标准型

    计算每个Jordan块对应的Jordan链若Jordan块阶数为1,直接计算特征向量

    若阶数大于1,则先计算特征向量,利用特征向量的线性组合得到链首,保证线性方程组有解,即

    五、Hamilton-Cayley定理及其应用

    利用Jordan变换,可以得到很重要的定理,Hamilton-Caylay定理,Hamilton-Caylay定理

    其应用非常广泛,可以通过这个定理简化矩阵计算。例题例题

    上面的

    的计算有两种方式,一种是多项式带余除数法,另一种是待定系数法。其中待定系数法,可以参看第三小问的求解方式,不论是这里还是之后的求解,都非常推荐使用待定系数法,降低计算量,提升计算的准确度。

    总结

    Jordan分解是非常重要的一种矩阵分解,应用非常广泛,无论是为了应试还是实际科研编程都是矩阵计算的利器,之后介绍的矩阵函数计算会再次使用到Jordan分解。

    下一节,介绍同样非常重要的奇异值分解。

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