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  • 矩阵理论及其应用

    2018-01-12 22:43:53
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    2012-07-20 17:22:01
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  • 矩阵理论应用答案

    2016-09-26 11:41:57
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  • 矩阵理论及其分析

    2018-04-15 21:09:32
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  • 矩阵分析与应用 课后答案

    热门讨论 2011-10-12 16:15:58
    张贤达 矩阵分析与应用 课后答案 矩阵分析的有用资料
  • 矩阵理论应用

    2019-01-10 23:08:47
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  • 矩阵论-范数理论及其应用

    千次阅读 2019-08-02 15:47:59
    范数理论及其应用2.1向量范数及其性质2.2矩阵范数 本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记,参考数目《矩阵论》–张凯院;整个文章的整理体系参照行书过程。 范数–非负实数,用于衡量线性空间元素(如:向量,...


    本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记,参考数目《矩阵论》–张凯院;整个文章的整理体系参照行书过程。

    范数–非负实数,用于衡量线性空间元素(如:向量,矩阵)的大小。凡是满足范数定义三个性质的 实值映射 都可以定义一种范数。最常见的范数:向量的2范数–用于计度量向量的欧式长度。

    2.1向量范数及其性质

    –>开篇 向量空间 R n R^n Rn 中的 向量序列 { x ( k ) } \{x^{(k)}\} {x(k)} k − > ∞ k->\infty k> 时 每个分量都收敛于一个特定的值,则向量序列 { x ( k ) } \{x^{(k)}\} {x(k)}收敛 x x x。差值向量 { x ( k ) − x } \{x^{(k)}-x\} {x(k)x} k − > ∞ k->\infty k> ,应当收敛于零向量。

    2.1.1向量范数的定义
    V V V是数域 K K K上的线性空间(线性空间:满足一定性质的集合),对于任意的 x ∈ V x \in V xV,如果一个实值函数 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| x满足下面三个性质,就说这个实值函数定义了一种向量范数。
    1.非负性:当 x ≠ 0 时 , ∣ ∣ x ∣ ∣ > 0 , x = 0 时 , ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0 x \ne0时,||x||>0,x=0时,||x||=0 x̸=0x>0,x=0,x=0
    2.其次性: ∣ ∣ a x ∣ ∣ = ∣ a ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ , ( a ∈ K x ∈ V ) ||ax||=|a| ||x||,(a \in K x \in V) ax=ax,(aKxV)
    3.三角不等式: ∣ ∣ x + y ∣ ∣ &lt; = ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣ ||x+y||&lt;=||x||+||y|| x+y<=x+y

    要证明一个函数是否定义了一种范数,只要验证是否满足上面三个条件就可以了。

    2.1.2性质3可以推导出:三角形任意两边的长度只差 < 第三边的长度:
    ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ − ∣ ∣ y ∣ ∣ ∣ &lt; = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ | ||x||-||y|| |&lt;=||x-y|| xy<=xy

    结合性质3,将用-y代替y,有
    ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ − ∣ ∣ y ∣ ∣ ∣ &lt; = ∣ ∣ x + y ∣ ∣ &lt; = ∣ ∣ x ∣ ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣ | ||x||-||y|| |&lt;=||x+y||&lt;=||x||+||y|| xy<=x+y<=x+y

    2.1.3常见的三种向量范数的定义
    1.向量的1范数: ∣ ∣ x ∣ ∣ = ∑ ∣ x i ∣ ||x||=\sum|x_i| x=xi×××××××××××××××××元素的绝对值的和
    2.向量的2范数: ∣ ∣ x ∣ ∣ = ( ∑ x i 2 ) 1 2 ||x||=(\sum x_i^2)^{\frac{1}{2}} x=(xi2)21 ××××××××××××××元素平方和,再开方,最熟悉的欧式距离
    3.向量的 ∞ \infty 范数: ∣ ∣ x ∣ ∣ = max ⁡ i ∣ x i ∣ ||x||=\max \limits_{i}|x_i| x=imaxxi ×××××××××××××最大绝对值元素

    对于三个定义,不难分别验证满足三条性质,即定义了三个范数。实际上,可以定义无限多种范数。

    更一般的 p p p范数的定义(上面三个范数都是p范数的特例):
    ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ ∣ x i ∣ p ) 1 p ||x||_p=(\sum |x_i|^p)^{\frac{1}{p}} xp=(xip)p1

    2.1.4简单的 范数理解:在二维空间中两个点之间的距离度量方式可以为(1)两个点之间的欧氏距离–直线距离–2范数、(2)两个点之间的直角边和距离–1范数、(3)两个点之间最长直角边距离–无穷范数。

    还可能会用到的范数:向量的椭圆范数、函数的积分范数P82

    2.1.5向量范数的等价性:有限维线性空间的不同范数是等价的。如果向量序列对于某一范数下是收敛的,那么在其他范数下也是收敛的。

    2.2矩阵范数

    2.2.1 矩阵范数定义
    ->定义: A ∈ C m ∗ n A \in C^{m*n} ACmn,一个实值函数 ∣ ∣ A ∣ ∣ ||A|| A 满足以下三个条件,则定义了一个 广义矩阵范数
    1.非负性:当 A ≠ O 时 , ∣ ∣ A ∣ ∣ &gt; 0 ; 当 A = O , ∣ ∣ A ∣ ∣ = 0 A \ne O时, ||A||&gt;0;当A=O,||A||=0 A̸=O,A>0;A=O,A=0
    2.其次性: ∣ ∣ α A ∣ ∣ = ∣ α ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ , ( α ∈ C ) ||\alpha A||=|\alpha| ||A||,(\alpha \in C) αA=αA,(αC)
    3,三角不等式: ∣ ∣ A + B ∣ ∣ &lt; ∣ ∣ A ∣ ∣ + ∣ ∣ B ∣ ∣ ( B ∈ C m ∗ n ) ||A+B||&lt;||A||+||B|| (B \in C^{m*n}) A+B<A+B(BCmn)

    在定义矩阵模时,考虑矩阵乘法 因素,就能够定义更常用的矩阵范数,同时满足4个的条件的实值映射 ∣ ∣ A ∣ ∣ ||A|| A A A A矩阵范数
    4 相容性: ∣ ∣ A B ∣ ∣ &lt; = ∣ ∣ A ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ B ∣ ∣ ||AB||&lt;=||A||*||B|| AB<=AB

    ->矩阵序列极限:当 A k − &gt; A A^k-&gt;A Ak>A,会有 ∣ ∣ A k ∣ ∣ − &gt; ∣ ∣ A ∣ ∣ ||A^k||-&gt;||A|| Ak>A

    2.2.2 矩阵F-范数

    相容定义: C m ∗ n C^{m*n} Cmn上矩阵范数 ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ M ||*||_M M C m 与 C n C^m与C^n CmCn的同类向量范数 ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ V ||*||_V V 相容,当且仅当满足下式子:
    ∣ ∣ A x ∣ ∣ V &lt; = ∣ ∣ A M ∣ ∣ × ∣ ∣ x ∣ ∣ V ||Ax||_V&lt;=||A_M||×||x||_V AxV<=AM×xV

    矩阵范数 与 向量范数 的 相容性=》 矩阵F-范数(各个元素平方和,再开方)

    ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 ) 1 2 = ( t r ( A H A ) ) 1 2 ||A||_F=(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2)^{\frac{1}{2}}=(tr(A^HA))^{\frac{1}{2}} AF=(i=1mj=1naij2)21=(tr(AHA))21

    以上矩阵范数与向量2范数相容:首先要证明是一个矩阵范数(满足矩阵定义4条性质),其次再证明与向量2范数相容。

    依据酉矩阵与F-范数的关系,有推论:和A酉相似的矩阵,其F-范数是相同的。

    2.2.3 向量范数 诱导 矩阵范数

    ∣ ∣ A ∣ ∣ = max ⁡ ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ||A||=\max\limits_{||x||=1}||Ax|| A=x=1maxAx

    右边向量范数形式 定义 左式的矩阵范数的形式,对应为:矩阵-1范数,2-范数,无穷-范数。

    证明上式定义了一个矩阵范数:有向量范数是其分量的连续函数的性质可知,对于每一个A而言,这个最大值都是可以达到的。也就是说能找到这样一个向量 x 0 x_0 x0满足 ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ = 1 ||x_0||=1 x0=1使得 ∣ ∣ A x 0 ∣ ∣ ||Ax_0|| Ax0最大。(p89证明4条性质成立)

    方阵 的 诱导矩阵范数 =1,但是方阵的 其他矩阵范数>=1

    由定义式导出三种矩阵范数的具体形式:
    矩阵1范数-列和范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ j ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ ||A||_1=\max\limits_{j}\sum_{i=1}^m|a_{ij}| A1=jmaxi=1maij

    矩阵2范数-谱范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ 1 ( λ 1 是 A H A 的 最 大 特 征 值 ) ||A||_2=\sqrt \lambda_1 (\lambda_1是A^HA 的最大特征值) A2=λ 1(λ1AHA)

    矩阵无穷范数-行和范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max ⁡ i ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_\infty=\max\limits_i\sum_{j=1}^n|a_{ij}| A=imaxj=1naij

    2.2.4范数的一些应用
    1.矩阵的谱半径 <= 矩阵范数(任意)

    矩阵的谱半径(矩阵最大特征值 取绝对值)
    ρ ( A ) = max ⁡ i ∣ λ i ∣ \rho(A)=\max\limits_i|\lambda_i| ρ(A)=imaxλi

    ρ ( A ) &lt; = ∣ ∣ A ∣ ∣ \rho(A)&lt;=||A|| ρ(A)<=A

    2.矩阵可逆条件:如果矩阵A的某种范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ &lt; 1 ||A||&lt;1 A<1,则矩阵 I − A I-A IA可逆:
    ∣ ∣ ( I − A ) − 1 ∣ ∣ &lt; = ∣ ∣ I ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ A ∣ ∣ ||(I-A)^{-1}||&lt;=\frac{||I||}{1-||A||} (IA)1<=1AI

    当A接近于 O O O矩阵时 I 与 ( I − A ) − 1 I与(I-A)^{-1} I(IA)1的逼近程度有一个公式:p93

    3.逆矩阵的摄动–矩阵存在扰动A 与 原矩阵 两个矩阵逆矩阵之间的关系。
    矩阵的条件数: c o n d ( A ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ × ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ cond(A)=||A||×||A^-1|| cond(A)=A×A1
    一般来说,矩阵的条件数越大,扰动矩阵的逆 与 原矩阵的逆 之间的差距越大。

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  • 矩阵低秩分解理论及其应用分析.ppt
  • 研究生矩阵及其应用课后答案习题一,研究生矩阵及其应用课后答案习题二在后面
  • 矩阵低秩分解理论及其应用

    千次阅读 2018-06-25 10:18:19
    参见https://wenku.baidu.com/view/7128ca3014791711cc791765.html

    参见

    https://wenku.baidu.com/view/7128ca3014791711cc791765.html

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