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  • Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化。1.对角阵概念2.矩阵与对角阵相似的条件3.一般矩阵的相似对角化4.实对称矩阵的相似对角化5.协方差矩阵的相似对角化(end)...

    Note:PCA主成分分析用到实对称阵的相似对角化,用个文章复习一下相关概念和计算过程。

    1.对角矩阵

    如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个对角阵:

    (1)是一个方阵

    (2)只有对角线元素是非零元素

    形状如:


    2.数量矩阵

    如果一个矩阵满足如下条件,则它就是一个数量矩阵:

    (1)是一个方阵

    (2)只有主对角线上元素是非零元素

    (3)主对角线上元素都相等!

    也就是:对角线元素都相等的对角矩阵是数量矩阵。

    可知单位矩阵E是数量矩阵的特殊情况

    3.正对角阵

    只有正对角线上元素为非零值时,称为正对角阵,如下所示:


    4.反对角阵

    只有副对角线上元素为非零值时,称为反对角阵,如下所示:


    5.线性相关、线性无关

    在下面理解矩阵与对角阵相似的过程中,涉及到了线性无关,记录下。

    线性相关:在一组数据中,有一个或者多个量可以被其余量表示

    线性无关:在一组数据中,没有一个量可以被其余量表示

    6.矩阵与对角阵相似的条件

    如果一个矩阵A满足如下条件,则此矩阵就可以说是对角矩阵相似:

    (1)A是一个方阵,因为对角阵是方阵

    (2)矩阵A有n个线性无关的特征向量


    如何用计算方阵A的特征值的方法来判断方阵A 是否与对角阵相似?

    答,步骤如下:

    (1)先求出方阵A的所有特征值

    (2)如果所有特征值互异,则方阵与对角阵相似

    即:如果n阶方阵A有n个互异的特征值,则方阵A与对角阵相似


    7.一般矩阵的相似对角化

    如果方阵A与对角阵相似,则一定存在一个可逆矩阵P,按照下面公式求出方阵A的相似对角矩阵

    求方阵A相似对角阵的步骤:


    8.一般矩阵对角化的练习题

    此例题来自:点我



    9.实对称矩阵的相似对角化

    方法:可以用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵

    10.实对称矩阵的相似对角化的练习题

    此例题来自:点我





    11.协方差矩阵的相似对角化

    因为协方差矩阵是实对称矩阵,所以协方差矩阵的对角阵求解方法 可以按照 实对称矩阵的对角阵求解方法来计算,如上所示。

    (end)

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  • 矩阵的相似对角化

    2019-02-26 23:14:00
    转载自:https://blog.csdn.net/LSGO_MYP/article/details/68483934 转载于:https://www.cnblogs.com/TAL2SCB/p/10440897.html

    转载自:https://blog.csdn.net/LSGO_MYP/article/details/68483934

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/TAL2SCB/p/10440897.html

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  • 相似矩阵、矩阵的相似对角化

    万次阅读 2016-10-19 19:12:47
    特殊,如果A∼Λ,Λ是对角矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关特征向

    相似矩阵的定义

    A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称A相似于B,记作AB
    特殊的,如果AΛ,Λ, 则称A可以相似对角化。Λ是相似标准形。

    矩阵可相似对角化的充要条件

    • n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。

      注意这里说的不是A的秩为满,也不是λEA矩阵秩满时,可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程|λEA|=0可以取得n个特征值。
      一个特征值下有多少无关的特征向量呢?需要代入方程(λEA)x=0计算。

    • 不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关(相同特征值还有重数的概念)。即,若λ1λ2,则A的对应于λ1λ2的特征向量线性无关。

      由此引出的推论是:若A有n个互不相同的特征值,那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化,且主对角线元素是n个特征值。

    如果,A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话,将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。

    • λi是n阶矩阵A的ri重特征值,则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于ri个。

    推论:每一个ri重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时,等价于n阶矩阵A可以相似对角化。

    综合上面可以看到,矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值,这些特征值不必各个不同,可以部分相同,相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数,二者比较,可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。

    也就是说,充要条件的限制很大,或者说可选的范围很小。也因此,必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。

    矩阵相似的必要条件

    A simB=(1)|λEA|=|λEB|,(2)r(A)=r(B),(3)AB,(4)|A|=|B|=ni=1λi,(5)ni=1aii=ni=1bii=ni=1λi

    值得注意的是,当两个矩阵相似时,不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。

    初等行变换后,特征值一般会变化。这也是值得注意的点。

    基本上我们常常研究的秩,行列式,特征值,特征方程都相同,但也只是必要条件。

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    在上一篇文章我们证明了任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量,在本篇文章中我们一起讨论实对称矩阵的性质以及二次型的标准化。

    我们先讨论实对称矩阵的一些特殊的性质:

    ,
    ,
    ,即矩阵
    是实数域
    上的一个n阶实对称矩阵,设复数
    为实对称矩阵
    的特征值,复向量
    为对应的特征向量,

    ,

    由于

    是实对称矩阵,所以
    ,故

    于是有

    综上有

    移向得

    因为

    ,所以
    ,

    所以

    ,即
    ,所以实对称矩阵
    的特征值均为实数。

    所以我们得到性质1:实对称矩阵的特征值均为实数。

    是实对称矩阵
    的两个特征值,
    是对应的特征向量,则有


    于是

    因为

    ,故
    ,即
    正交。

    所以我们得到性质2:实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的。

    这条性质尤为重要,正是根据这条性质我们才能证明出实对称矩阵最重要的一条性质,即实对称矩阵一定可以用正交矩阵进行正交相似对角化。

    在上一篇文章中,我们知道任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量,在本篇文章,我们的主角是实对称矩阵,那么实对称矩阵怎样才可以相似对角化呢?

    答案是任意一个实对称矩阵都可以相似对角化,即等价于任意一个n阶的实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量,这个结论的证明较为复杂,在这里我们姑且当做结论记住,等笔者学过这部分的内容后再补充在这里。并且实对称矩阵还十分的特殊,不仅任意一个实对称矩阵可以用正交矩阵进行正交相似对角化,证明如下:

    证明:由于实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量,不妨设n阶实对称矩阵

    的n个线性无关的特征向量为
    ,则有

    由于

    线性无关,

    由于同一个特征值

    可以对应无穷多个特征向量,特征值
    对应的线性无关的特征向量为
    ,可以用施密特正交化将其化成标准正交基
    ,在
    中任意两个向量之间均是正交的,并且每个向量的模长均为1,同理可以将特征值
    对应的特征向量
    化成标准正交基
    ,由于
    是实对称矩阵,由性质2知
    也是一组标准正交基,于是我们可以通过反复使用施密特正交化的方法将特征值
    对应的特征向量
    化成一个正交矩阵

    因此有

    即实对称矩阵

    可以用正交矩阵进行相似对角化,因为正交矩阵的逆等于正交矩阵的转置,故有

    正是由于性质2的成立,即实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的,所以才能够通过施密特正交化构造出正交矩阵,使得实对称矩阵正交相似与对角矩阵。

    因此我们得到性质3:实对称矩阵一定可以相似对角化,并且相似的对角矩阵为该实对称矩阵线性无关的特征向量对应的特征值按顺序排列在对角矩阵的对角线上,并且实对称矩阵还可以通过施密特正交化构造正交矩阵进行正交相似对角化。

    注:实对称可以用正交矩阵进行正交相似对角化,当然也可以用普通的矩阵进行相似对角化,具体问题应当具体分析。

    实对称矩阵的正交相似对角化正是我们将二次型化成标准型的理论基础,下面让我们来引出二次型标准化的相关问题

    所谓二次型,实际上指的是某一数域

    上的n元齐次多项式,任意一个n元二次型
    可以用这样的矩阵与向量的乘积表示,即

    ,
    ,其中

    于是

    ,其中
    是一个实对称矩阵,若是采用这样的形式表达式表示一个二次型,则每一个二次型与一个实对称矩阵是一一对应的。

    对于任意一个二次型,我们认为只含平方项的二次型的形式最为简洁,因此我们希望通过线性换元,使得原来的二次型化为只含有平方项的二次型,令

    , (
    为n阶可逆矩阵)带入原来的二次型的表达式

    ,则

    故二次型做线性替换后仍然是二次型。

    并且满足关系式

    ,称矩阵
    与矩阵
    为合同关系。

    回到刚才的问题,我们希望所做的线性替换

    使得矩阵
    为对角矩阵,这个问题等价于实对称矩阵的正交相似对角化问题,因为任意一个实对称矩阵一定可以进行正交相似对角化,故我们总可以找到这样的矩阵
    ,使得
    为对角矩阵。

    对于任意一个二次型

    ,我们给出将其化成标准型的一般方法:

    (1)写出二次型对应的实对称矩阵

    ;

    (2)求出二次型矩阵

    的特征值
    ;

    (3)将这些特征值反带回特征多项式

    ,求出二次型矩阵
    的n个线性无关的特征向量
    ;

    (4)将同一特征值对应的线性无关的特征向量进行施密特正交标准化,于是得到n个两两相互正交的单位向量

    ,将这n个两两正交的单位向量按照原来的顺序拼成一个正交矩阵
    ,于是有

    由于

    是正交矩阵,所以

    即我们要寻找的矩阵

    即为正交矩阵

    知,
    ,便可写出所做的线性变换。

    注:将二次型化成标准型之后的平方项的系数就是对角矩阵的对角线上的元素,也就是矩阵

    的特征值。

    在下篇文章中将继续介绍关于二次型理论部分的一些内容

    未完待续...

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