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  • 系数矩阵的秩
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    2021-12-13 10:39:11
    • 本文说明以下重要结论

      n n n 元齐次线性方程组的解空间的维数(基础解系中向量个数),加上此方程组系数矩阵的秩 r r r,等于未知量个数 n n n


    • 考虑一个 n n n 元齐次线性方程组如下,它总共有 n n n 个未知数和 m m m 个方程(显式约束)
      { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + . . . + a m n x n = 0 \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=0 \\...\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+...+a_{mn}x_n=0 \end{matrix}\right. a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=0...am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn=0

    1. 行向量视角

    • 将系数矩阵 A m × n \pmb{A}_{m\times n} AAAm×n m m m n n n 维行向量 α i = [ a i 1 , a i 2 , . . . , a i n ] ⊤ \pmb{\alpha}_i=[a_{i1},a_{i2},...,a_{in}]^\top αααi=[ai1,ai2,...,ain] 表示,原方程组变形为
      A x = [ α 1 , α 2 , . . . , α m ] ⊤ x = [ α 1 x , α 2 x , . . . , α m x ] ⊤ = 0 \begin{aligned} \pmb{Ax} &= [\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m]^\top\pmb{x} \\&= [\pmb{\alpha}_1\pmb{x},\pmb{\alpha}_2\pmb{x},...,\pmb{\alpha}_m\pmb{x}]^\top = \pmb{0} \end{aligned} AxAxAx=[ααα1,ααα2,...,αααm]xxx=[ααα1xxx,ααα2xxx,...,αααmxxx]=000 设秩 rank ( A ) = r \text{rank}(\pmb{A})=r rank(AAA)=r,根据性质 “矩阵的秩 = 列向量组的秩 = 行向量组的秩”,得到行向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的秩也为 r r r
    • 行向量组秩为 r r r,说明只要 r r r 个方程,就能线性表示全部 m m m 个方程,这样就能通过行初等变换消去多余的方程(高斯消元法),留下的有效方程(约束)个数只有 r r r
    • n n n 个未知数只能约束 r r r 个,剩余的 n − r n-r nr 个未知数就可以任意取值,因此解空间维数,即基础解系中(线性无关)向量个数为 n − r n-r nr
    • 综上,解空间的维数 n − r n-r nr + 系数矩阵秩 r r r = 未知数个数 n n n

    2. 列向量视角

    • 将系数矩阵 A m × n \pmb{A}_{m\times n} AAAm×n n n n m m m 维列向量 α i = [ a 1 i , a 2 i , . . . , a m i ] ⊤ \pmb{\alpha}_i=[a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}]^\top αααi=[a1i,a2i,...,ami] 表示,原方程组变形为
      A x = [ α 1 , α 2 , . . . , α n ] x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = 0 \begin{aligned} \pmb{Ax} &= [\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n]\pmb{x} \\ &= x_1\pmb{\alpha}_1+x_2\pmb{\alpha}_2 +...+x_n\pmb{\alpha}_n = \pmb{0} \end{aligned} AxAxAx=[ααα1,ααα2,...,αααn]xxx=x1ααα1+x2ααα2+...+xnαααn=000 设秩 rank ( A ) = r \text{rank}(\pmb{A})=r rank(AAA)=r,根据性质 “矩阵的秩 = 列向量组的秩 = 行向量组的秩”,列向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 的秩也为 r r r
    • 把矩阵 A \pmb{A} AAA 通过初等行变换化阶梯型 B \pmb{B} BBB,得到同解方程组 x 1 β 1 + x 2 β 2 + . . . + x n β n = 0 x_1\pmb{\beta}_1+x_2\pmb{\beta}_2 +...+x_n\pmb{\beta}_n = \pmb{0} x1βββ1+x2βββ2+...+xnβββn=000这时有
      1. 由于来自阶梯型矩阵,每个列向量 β i \pmb{\beta}_i βββi 的非零元素都集中在上方
      2. 由于初等行变换不改变列向量线性相关性(说明见此文第2节), β 1 , β 2 , . . . , β n \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_n βββ1,βββ2,...,βββn 的秩也为 r r r
      3. 由于同解,下面仅分析新方程的情况
    • 由于秩为 r r r B \pmb{B} BBB 中一共有 r r r 个阶梯,从每层阶梯任取一个列向量组成极大线性无关组。为了符号简便,不妨假设前 r r r 个列向量 β 1 , β 2 , . . . , β r \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_r βββ1,βββ2,...,βββr 组成极大线性无关组,这意味着:
      1. r r r 个列向量组成的齐次线性方程组 x 1 β 1 + x 2 β 2 + . . . + x r β r = 0 x_1\pmb{\beta}_1+x_2\pmb{\beta}_2 +...+x_r\pmb{\beta}_r = \pmb{0} x1βββ1+x2βββ2+...+xrβββr=000 只有零解
      2. n − r n-r nr 个列向量组成的向量组 β r + 1 , β r + 2 , . . . , β n \pmb{\beta}_{r+1},\pmb{\beta}_{r+2},...,\pmb{\beta}_n βββr+1,βββr+2,...,βββn 的秩 r ′ ≤ r r' \leq r rr
      3. 由于每个列向量 β i \pmb{\beta}_i βββi 的非零元素都集中在上方,极大线性无关组 β 1 , β 2 , . . . , β r \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_r βββ1,βββ2,...,βββr 可以唯一地线性表出任意后 m − r m-r mr 个元素为 0 0 0 m m m 维列向量 b = [ b 1 , b 2 , . . . , b r , 0 , 0 , . . . , 0 ] ⊤ ∈ R m \pmb{b} = [b_1,b_2,...,b_r,0,0,...,0]^\top \in R^m bbb=[b1,b2,...,br,0,0,...,0]Rm同理 β r + 1 , β r + 2 , . . . , β n \pmb{\beta}_{r+1},\pmb{\beta}_{r+2},...,\pmb{\beta}_n βββr+1,βββr+2,...,βββn 可以线性表出(不一定唯一)任意后 m − r ′ m-r' mr 个元素为 0 0 0 m m m 维列向量 b ′ = [ b 1 ′ , b 2 ′ , . . . , b r ′ ′ , 0 , 0 , . . . , 0 ] ⊤ ∈ R m \pmb{b}' = [b_1',b_2',...,b'_{r'},0,0,...,0]^\top \in R^m bbb=[b1,b2,...,br,0,0,...,0]Rm
    • 对化阶梯型得到的同解齐次线性方程组移项,把极大线性无关组向量和其他向量分别放在等号两边,即
      x 1 β 1 + x 2 β 2 + . . . + x r β r = − x r + 1 β r + 1 − x r + 2 β r + 2 − . . . − x n β n x_1\pmb{\beta}_1+x_2\pmb{\beta}_2 +...+x_r\pmb{\beta}_r = -x_{r+1}\pmb{\beta}_{r+1}-x_{r+2}\pmb{\beta}_{r+2}-...-x_n\pmb{\beta}_n x1βββ1+x2βββ2+...+xrβββr=xr+1βββr+1xr+2βββr+2...xnβββn 这时,等号右边的 n − r n-r nr 个未知数 x r + 1 , x r + 2 , . . . , x n x_{r+1},x_{r+2},...,x_n xr+1,xr+2,...,xn 可以任取以组合出任意后 m − r ′ m-r' mr 个元素为 0 0 0 m m m 维列向量,由于 r ′ ≤ r r'\leq r rr,根据前述分析,左边 x 1 , . . . , x r x_1,...,x_r x1,...,xr 必有唯一取值使得等号成立。因此解空间维数,即基础解系中(线性无关)向量个数为 n − r n-r nr
    • 综上,解空间的维数 n − r n-r nr + 系数矩阵秩 r r r = 未知数个数 n n n
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  • 系数矩阵与增广矩阵的如何判断

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    方法:阶级矩阵,两行不为e68a8462616964757a686964616f313334313766390的“行”,所以秩为2。矩阵,行的秩等于列的秩。纯粹只为矩阵求秩的话,也可以通过列变换把右边两列变为0。

    系数矩阵是矩阵中的众多类型之一,简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解 。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系,比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。

    增广矩阵(又称扩增矩阵)就是在系数矩阵的右边添上一列,这一列是线性方程组的等号右边的值。对系数矩阵进行的一个增广矩阵,切勿以为增广矩阵只是右端添加一列,其实是在原矩阵的右端添加一个矩阵,而线性方程组的右端恰好是一个列数为1的矩阵。

    扩展资料:

    矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年,程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年,科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中,矩阵被翻译为“矩阵式”。

    方块矩阵翻译为“方阵式”,而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年,中国数学会审查后,中华民国教育部审定的《数学名词》(并“通令全国各院校一律遵用,以昭划一”)中,“矩阵”作为译名首次出现。

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  • 矩阵秩的几何意义

    2022-06-02 11:20:06
    线性代数矩阵的几何理解

    矩阵的秩是什么?


    前言

    相信大家刚开始学线性代数时,都会接触到一个重要的概念,矩阵的秩。矩阵的秩的定义很好理解,可是这矩阵秩的背后有啥奥秘呢?通过自己的学习和大家分享下我理解的秩的概念。


    一、矩阵秩的定义?

    矩阵秩的数学定义:在 m × n m \times n m×n矩阵 A A A 中,任取 k 行与 k 列( k ≤ m ; k ≤ n k \leq m;k \leq n kmkn),位于这些行列交 叉处的 k 2 k^2 k2个元素,不改变它们在 A A A中所处的位置次序而得的 k k k 阶行列式,称为矩阵 A A A k k k 阶子式。

    设在矩阵 A A A 中有一个不等于 0 的 r r r 阶子式 D D D,且所有 r + 1 r+1 r+1阶子式 (如果存在的话)全等于 0,那么 D D D 称为矩阵 A A A 的最高阶非零子式,数 r r r称为矩阵 A A A 的秩,记作 R ( A ) R(A) R(A)

    二、矩阵乘法的几何意义

    我们先做个准备,理解下矩阵乘法的几何意义
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    一句话概括就是, C = A B C=AB C=AB,把 A A A看成一个“函数 f ( x ) f(x) f(x)”,将 B B B的每一列向量看成 x x x,最终将空间某一个位置的 x x x移动到空间的另外一个位置(长度可能发生变化)。

    三、几何上理解矩阵的秩

    1.矩阵 A A A是方阵时

    1. 举个例子假如 A A A =

    ( 2 1 1 1 ) \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right) (2111)

    看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵,因为两行不成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。但这不是我们想要的直观上的理解。什么是几何上的理解呢?

    x x x是任意的一个取值为实数的向量 ( x 1 x 2 ) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right) (x1x2),我们知道 A x Ax Ax是一个两行一列的向量,当我们让 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2取遍一切实数, A x Ax Ax就能铺满整个二维平面(想象一下上面的矩阵相乘的几何意义)。因为
    A x = x 1 ( 2 1 ) + x 2 ( 1 1 ) Ax=x_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) Ax=x1(21)+x2(11),我们可以把 ( 2 1 ) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) (21) ( 1 1 ) \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) (11)看成是一个二维平面的基,确实也可以,因为它们线性无关。

    重要:1.矩阵A的秩等于2,不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗,
           矩阵A的列向量生成的空间是二维平面,二维平面是2维的空间。
    	 2.这里矩阵A的秩等于2也可以理解为,无穷多个向量通过矩阵的作用,都落在二维平面上。
    
    1. 再举一个例子,假如 B B B =

    ( 1 2 1 2 ) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right) (1122)

    看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为1的矩阵,因为两行成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢?

    x x x是任意的一个取值为实数的向量 ( x 1 x 2 ) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right) (x1x2),我们知道 A x Ax Ax是一个两行一列的向量,当我们让 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2取遍一切实数, A x Ax Ax就不能铺满整个二维平面。因为
    A x = x 1 ( 1 1 ) + x 2 ( 2 2 ) Ax=x_1\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) Ax=x1(11)+x2(22) ( 1 1 ) \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) (11) ( 2 2 ) \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \right) (22)是两个共线的向量,由它们生成的空间只能是一条直线,这条直线为 y = x y=x y=x它不是整个二维平面,我们可以称呼向量 ( 2 2 ) \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \right) (22)是垃圾向量,因为它对生成整个二维平面没有一点贡献。

    重要:矩阵A的秩等于 1,不刚好等于矩阵列向量线性组合生成的一维空间的维数吗,
          由于矩阵A第二列是垃圾向量,最终只能生成一维的直线。
    

    3.高维矩阵 n ∗ n n*n nn也是这样理解的。

    2.矩阵 A A A是方阵时(3*3)

    举个例子假如 A A A =

    ( 2 1 2 1 1 2 3 1 2 ) \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} \right) 213111222

    看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵,因为有两行成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢?

    x x x是任意的一个取值为实数的向量 ( x 1 x 2 x 3 ) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) x1x2x3,我们知道 A x Ax Ax是一个三行一列的向量,当我们让 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2, x_3 x1,x2,x3取遍一切实数, A x Ax Ax就不能生成整个三维空间,只能生成三维空间的一个平面。因为
    A x = x 1 ( 2 1 3 ) + x 2 ( 1 1 1 ) + x 3 ( 2 2 2 ) Ax=x_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)+x_3\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right) Ax=x1213+x2111+x3222 ( 1 1 1 ) \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) 111 ( 2 2 2 ) \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right) 222共线, ( 2 2 2 ) \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right) 222对生成三维空间没有做出任何贡献。

    重要: 1.矩阵A的秩等于 2 ,不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗,
    	    矩阵A的列向量生成的空间是二维平面,二维平面是 2 维的空间。
    	  2.当用无穷多个 3 维列向量与矩阵作用时,最终向量全部坍缩在一个二维平面内。
    		我们可以形象称呼这个矩阵不怎么“健壮”,明明是 3*3 的矩阵,最终只能生成2维平面。
    

    3.矩阵 A A A非方阵时(3*2)

    举个例子假如 A A A =

    ( 2 1 1 1 1 1 ) \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) 211111

    看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢?

    x x x是任意的一个取值为实数的向量 ( x 1 x 2 ) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right) (x1x2),我们知道 A x Ax Ax是一个三行一列的向量,当我们让 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2取遍一切实数, A x Ax Ax生成三维空间的一个平面。因为
    A x = x 1 ( 2 1 1 ) + x 2 ( 1 1 1 ) Ax=x_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) Ax=x1211+x2111

    重要:矩阵A的秩等于 2,不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗,
         矩阵A的列向量生成的空间是二维平面,二维平面是 2 维的空间。
    

    总结

    1.所以,矩阵的秩就是,当用相应的无穷多个向量去与矩阵作用时,最终它们铺满空间的维数。
    2.在三维几何空间中,如果铺满的是一个二维平面,就说矩阵秩为 2 ,如果填充满三维空间,就说矩阵秩为 3

    参考

    1.线性代数的几何意义----任广千,谢聪等
    2.线性代数的本质 — 3Blue1Brown

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     高等代数是一门逻辑思维比较强和理论知识比较深的学科, 它具有丰富的数学知识, 涉及许多重要的数学思想, 其在数学领域的应用很广泛, 如行列式、矩阵的相关计算和求解线性方程组的解方面的应用等, 求矩阵运算是...

    摘    要: 高等代数是一门逻辑思维比较强和理论知识比较深的学科, 它具有丰富的数学知识, 涉及许多重要的数学思想, 其在数学领域的应用很广泛, 如行列式、矩阵的相关计算和求解线性方程组的解方面的应用等, 求矩阵的秩运算是矩阵研究的一个重要内容, 此外数学软件MATLAB在矩阵计算方面也提供了很多方法, 本文主要介绍应用MATLAB求矩阵的秩运算的方法。

    关键词: 矩阵; 秩; 高等代数; MATLAB;

    4bb4d1b82db2c2ac8966ba4cde242ab1.png

    1、 矩阵秩的基础理论及在现性方程组上的应用

    1.1、 矩阵秩的理论知识

    定义1:一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数称为该矩阵的秩, 若一个矩阵没有不等于零的子式, 就说明这个矩阵的秩是零。

    定义二:矩阵的最大阶非零的子式的阶数就称为矩阵的秩;矩阵的行向量的秩等于矩阵列向量的秩等于矩阵的秩。

    定理:矩阵的秩是n的充分必要条件是矩阵中存在一个n阶子式不等于零而且其一切的n+1阶子式都等于零[2]。

    1.2、 矩阵秩在解方程上的应用:

    设非齐次现性方程组AX=b (1)

    齐次现性方程组AX=0 (2)

    其中把线性方程组的系数矩阵用A表示, 方程组的个数设为n个, 令R (A) 为矩阵A的秩, R (A, b) 为增广矩阵的秩, 在判断方程组 (1) 和 (2) 的解为无解、唯一解或多解时, 可以通过判断方程组的系数矩阵的秩、增广矩阵的秩及方程个数之间的关系来判断。在解方程组时, 我们一般先判断现性方程组是否存在解, 如果不存在解, 则直接可以停止计算, 得出结论;在方程组有解的情况下再进一步判别方程组是存在独一无二的解还是无穷多解, 这样可以省去许多不必要的计算过程。当R (A) ≠R (A, b) 时, 即系数矩阵与增光矩阵的秩不相等, 方程组 (1) 和 (2) 都不存在解;当R (A) =R (A, b) =n时, 方程组 (1) 只可能有一个零解, 方程组 (2) 有唯一非零解X=A-1b;当R (A) =R (A, b)

    2、 求矩阵秩的两种方法

    在高等代数中, 与矩阵有关的计算主要涉及几个方面, 如求行列式的值, 求矩阵的秩、矩阵的逆、转置、加、减、乘运算, 矩阵LU等分解, 求矩阵特征值、特征向量, 方程组解等问题。1) 求矩阵A中不等于0的子式的最高阶数。这种方法对于行数和列数较低时, 计算量不大, 但当矩阵的行数与列数较高时, 按定义的方法求矩阵的秩时计算量就大大增加了, 计算过程变得很复杂;关于相对直观的阶梯型矩阵而言, 能够很直观得出矩阵的秩就是非零行的行数。一般情况下, 不建议采用定义法求解矩阵的秩。2) 矩阵的初等变换法:对矩阵实行初等变换时不会改变矩阵秩的大小, 对于任意的一个矩阵, 我们能够对其做适当的初等变换, 将其化解为比较简单的阶梯型矩阵, 化解措施为:一是可以对矩阵的行做任意两行的交换或列之间的交换 (互换性) ;二是用一个数乘矩阵中的某一行或列, 即用一个数乘矩阵的某一行 (列) 的每一个元素 (倍乘型) ;三是用某一数乘矩阵的某一行或列后再加到另一行或列, 即用某一个数乘矩阵的某一行 (列) 的每一元素后再加到另一行 (列) 与之对应的元素上 (倍加型) 。通过三种初等变换, 最后能够把矩阵化解为一个简单的阶梯型矩阵, 其中非零的最大阶数就是所求矩阵的秩。其中用来乘矩阵的数最好是非零的, 如果该数为零, 则相当于没做运算, 操作没意义。

    3、 应用MATLAB求解矩阵的秩

    当今, 数学软件MATLAB的应用已经变得越来越广泛, 被大多数行业的人所使用。MATLAB的用途可以表现在很多领域, 如数值分析、工程与科学绘图、科学计算、仿真、信息处理、建模, 矩阵的相关计算等诸多领域。在高等代数中, MATLAB的运用也很普遍, 本节主要以求矩阵的秩为例, 介绍利用MATLAB来求解矩阵的秩的一种简便方法。其步骤如下:在窗口中按行、自左至右依次输入元素;

    矩阵中的元素对与不同的行而言, 行与行之间必须用分号隔开, 以达到换行的目的, 对同一行元素而言, 元素之间用空格、逗号隔开;

    求矩阵的秩的命令是rank (A) ;

    c2a54848d382b303407c2ba1c8b2b38e.png

    执行命令后, 在窗口中显示的结果就是所求矩阵的秩。

    1) 初等变换法, 通多多次应用矩阵的三种初等变换, 将矩阵化为阶梯型。2) 用MATLAB求解, 在MATLAB中输入矩阵A

    A=[1, -2, 1, -1, 1;2, 1, -1, 2, -3;3, -2, -1, 1, -2;2, -5, 1, -2, 2], 再调用命令R (A) =rank (A) , 执行结果为rank (A) =3;

    例3:求矩阵的秩。

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    即可得矩阵B的秩4

    在MATLABZ中输入矩阵B=[0, 1, 1, -1, 2;0, 2, -2, -2, 0;0, -1, -1, 1, 1;1, 1, 0, 1, -1];

    即R (B) =4;

    4、 结束语

    高等代数是一门培养数学思想的重要学科, 它包含大量的数学知识、数学思想以及处理数学问题的技能等。其中涉及矩阵的相关运算是高等代数的所研究的方向之一, 利用矩阵的秩解决高等代数中的方程组减少许多计算的流程, 从而提高我们计算的效率。此外, 软件MATLAB在高等代数中的应用也很广泛, 如求矩阵的秩、行列式、矩阵的逆, 现性方程组解等, 如果借助数学软件Matlab来辅助解决高等代数中的许多问题, 能够大大提高处理数学问题的效率。

    参考文献:

    [1]王萼芳, 石生明.高等代数.3版.[M].北京:高等教育出版社, 2003.

    [2]孙霞, 王新民.分块初等变换在矩阵的秩中的应用[J].聊城大学学报 (自然科学版) , 2015, 28 (02) :29-33.

    [3]左可正.关于若干个矩阵和的秩等式与不等式[J].湖北师范学院学报 (自然科学版) , 2010, 30 (01) :1-4

    [4]罗雪梅, 孟艳双, 郑艳琳.浅析矩阵的秩[J].高等数学研究, 2003 (2) :2.

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空空如也

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系数矩阵的秩

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