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  • 例如:拉伸变换T(x)=3x,求标准矩阵。 解: 设e1是单位阵的第一列,e2为单位阵的第二列。 T(e1)=3e1=[3,0]T T(e2)=3e2=[0,3]T 则A=[3, 0; 0, 3]就是线性变换T的标准矩阵 同理: [1, 0]T旋转成为[cos a, sin ...

    关键:矩阵A完全由它对单位阵I的各列的作用所决定

     

    例如:拉伸变换T(x)=3x,求标准矩阵。

    解:

    设e1是单位阵的第一列,e2为单位阵的第二列。

    T(e1)=3e1=[3,0]T

    T(e2)=3e2=[0,3]T

    则A=[3, 0; 0, 3]就是线性变换T的标准矩阵

    同理:

    [1, 0]T旋转成为[cos a, sin a]T

    [0, 1]T旋转成为[-sin a, cos a]T

     

    总结:

    任意一个向量x,可以写成单位阵与该向量的乘积,即

    任意x,有x=Ix=[e1,e2,...,en]x=x1e1+x2e2+...+xnen

    T是线性变换,则

    T(x) = T(x1e1+x2e2+..+xnen) = x1T(e1)+...+xnT(en) = [T(e1), T(e2), T(e3), ... , T(en)]*[x1, x2, ... , xn]T = Ax

    转载于:https://www.cnblogs.com/sddai/p/5932095.html

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  • 矩阵旋转实质上是行与列的变换。 例如:3x4矩阵 8 6 0 2 1 5 8 7 8 5 1 4 (1)顺时针旋转90度 8 1 8 5 5 6 1 8 0 4 7 2 原始矩阵元素的行号[i]对应旋转矩阵的列号[M-i-1] 原始矩阵元素的列号[j]对应旋转...

    (1)分析

    矩阵旋转实质上是行与列的变换。

    例如:3x4矩阵

    8 6 0 2

    1 5 8 7

    8 5 1 4

    ①顺时针旋转90度

    8 1 8

    5 5 6

    1 8 0

    4 7 2

    原始矩阵元素的行号[i]对应旋转后矩阵的列号[M-i-1]

    原始矩阵元素的列号[j]对应旋转后矩阵的行号[j]

    即reverseArray[j][M - i - 1] = originArray[i][j]

    ②逆时针旋转90度

    2 7 4

    0 8 1

    6 5 5

    8 1 8

    原始矩阵元素的行号[i]对应旋转后矩阵的列号[i]

    原始矩阵元素的列号[j]对应旋转后矩阵的行号[N-j-1]

    即reverseArray[N-j -1][i] = originArray[i][j]

    (2)实现

    package com.test;
    
    public class ReverseMatrix {
    
    	private static final int M = 3, N = 4;
    
    	public static void main(String[] args) {
    
    		int[][] originMatrix = new int[M][N];
    		int[][] reversMatrix = new int[N][M];
    
    		// 初始化原始矩阵
    		for (int i = 0; i < M; i++)
    			for (int j = 0; j < N; j++)
    				originMatrix[i][j] = (int) (Math.random() * 10);
    
    		System.out.println("原始矩阵:");
    		printMatrix(originMatrix);
    
    		reverseMatrix1(originMatrix, reversMatrix);
    		System.out.println("顺时针旋转90度:");
    		printMatrix(reversMatrix);
    
    		reverseMatrix2(originMatrix, reversMatrix);
    		System.out.println("逆时针旋转90度:");
    		printMatrix(reversMatrix);
    
    	}
    
    	// 顺时针旋转90度
    	public static void reverseMatrix1(int[][] originArray, int[][] reverseArray) {
    		for (int i = 0; i < M; i++)
    			for (int j = 0; j < N; j++)
    				reverseArray[j][M - i - 1] = originArray[i][j];
    	}
    
    	// 逆时针旋转90度
    	public static void reverseMatrix2(int[][] originArray, int[][] reverseArray) {
    		for (int i = 0; i < M; i++)
    			for (int j = 0; j < N; j++)
    				reverseArray[N - j - 1][i] = originArray[i][j];
    	}
    
    	public static void printMatrix(int[][] matrix) {
    		int rows = matrix.length;
    		int cols = matrix[0].length;
    		for (int i = 0; i < rows; i++) {
    			for (int j = 0; j < cols; j++)
    				System.out.print(matrix[i][j] + " ");
    			System.out.println();
    		}
    	}
    
    }
    


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  • 题意:传送门 题解:可以知道第nnn等级由第n−1n-1n−1等级组成而来的,首先左上角那一部分是由n−1n-1n−1等级...第nnn等级的左下角部分是最复杂的部分,由第nnn等级的部分先绕左上角逆时针旋转90o90^o90o然后与xx...

    题意:传送门
    题解:可以知道第nn等级由第n1n-1等级组成而来的,首先左上角那一部分是由n1n-1等级先绕左上角逆时针转270o270^o,然后与xx轴对称得到,第nn等级的右上角那块直接由第nn等级平移过来,第nn等级的右下角也是平移相对应的位置得到,第nn等级的左下角部分是最复杂的部分,由第nn等级的部分先绕左上角逆时针旋转90o90^o然后与xx轴对称得到,然后再平移相应的位置得到,这里的平移相应的位置都可以进行手算推导出来,重点在于点逆时针旋转θ\theta度后坐标的变换,公式为:(x,y)[cosθsinθsinθcosθ]=[xcosθysinθxsinθ+ycosθ]\left ( x,y \right )*\begin{bmatrix} cos\theta &amp; sin\theta\\ -sin\theta &amp; cos\theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x*cos\theta-y*sin\theta\\ x*sin\theta+y*cos\theta \end{bmatrix}证明自己可以画图然后自证即可。属于递归中的困难题目了。
    附上代码:

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<ll,ll>Pll;
    int T;
    ll n,a,b;
    Pll calc(ll n,ll m)
    {
        if(n==0)return {0,0};
        ll len=1ll<<(n-1),cnt=1ll<<(2*n-2);
        auto pos=calc(n-1,m%cnt);
        auto x=pos.first,y=pos.second;
        auto z=m/cnt;
        if(z==0)return {y,x};
        if(z==1)return {x,y+len};
        if(z==2)return {x+len,y+len};
        return {2*len-1-y,len-1-x};
    }
    int main()
    {
        cin>>T;
        while(T--){
            cin>>n>>a>>b;
            auto ac=calc(n,a-1);
            auto bc=calc(n,b-1);
            double x=ac.first-bc.first,y=ac.second-bc.second;
            printf("%.0f\n",sqrt(x*x+y*y)*10);
        }
        return 0;
    }
    
    
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  • 旋转变换矩阵推导

    2020-06-06 17:20:46
      如果要求PPP逆时针旋转θ\thetaθ得到的P′P^{'}P′,记QQQ为PPP逆时针旋转90°后的向量,即(−Py,Px)(-P_y,P_x)(−Py​,Px​),则PPP与QQQ正好组成了该平面内的一组正交向量,任何向量都可由其线性表出,由基本...

    介绍

      先介绍二维旋转变换,然后得到三维绕坐标轴旋转,再推广得到绕三维任意轴旋转的罗德里格斯旋转公式。

    1.二维旋转变换

      如果要求PP逆时针旋转θ\theta得到的PP^{'},记QQPP逆时针旋转90°后的向量,即(Py,Px)(-P_y,P_x),则PPQQ正好组成了该平面内的一组正交向量,任何向量都可由其线性表出,由基本几何和三角学可得到:
    P=Pcosθ+Qsinθ P^{'}=Pcos\theta+Qsin\theta


    Px=PxcosθPysinθPy=PysinθPxcosθ \begin{aligned}P_x^{'}&=P_xcos\theta-P_ysin\theta\\ P_{y}^{'}&=P_ysin\theta-P_xcos\theta\\ \end{aligned}
    写成矩阵为
    P=[cosθsinθsinθcosθ]P P^{'}=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}P

    2.三维旋转变换

    在这里插入图片描述
      注意Ry(θ)R_y(\theta)与其他不同是因为如果按照逆时针旋转,由x×z=yx\times z=-y,则得到yy轴负方向,因此需改为顺时针,即θ-\theta,这无论是在左手坐标系还是右手系都是相同的。

    3.向量PP绕任意轴AA旋转θ\theta角度证明:

      不妨设AA为单位向量,同时PP可分解为与AA平行和垂直的两个分量,分别为:
    PprojA=(AP)A=AATPPperpA=P(AP)A=PAATP \begin{aligned}P_{projA}&=(A\cdot P)A=AA^TP\\P_{perpA}&=P-(A\cdot P)A=P-AA^TP\end{aligned}
    如图所示
    在这里插入图片描述

    故最终结果
    P=PperpA+PProjA P^{'}=P_{perpA}^{'}+P_{ProjA}
    其中PPerpAP_{PerpA}^{'}PperpAP_{perpA}旋转θ\theta后得到的向量,如图
    在这里插入图片描述

    为求得其值,需找到一组线性组合来表示它,可选PperpAP_{perpA}与其旋转90°后的向量这两个向量作为组合,可以得知A×PA\times P即为该向量,同时它的长度是与PperpAP_{perpA}相等的,这是因为
    A×P=Psinα=P(AP)A |A\times P|=|P|sin\alpha=|P-(A\cdot P)A|
    所以
    PperpA=[P(AP)A]cosθ+(A×P)sinθ P_{perpA}^{'}=[P-(A\cdot P)A]cos\theta+(A \times P)sin \theta
    所以
    P=[P(AP)A]cosθ+(A×P)sinθ+(AP)A=Pcosθ+A×Psinθ+(AP)A(1cosθ) \begin{aligned}P^{'}&=[P-(A\cdot P)A]cos\theta+(A \times P)sin \theta+(A\cdot P)A\\&=Pcos\theta+A\times P sin\theta+(A\cdot P)A(1-cos\theta)\end{aligned}
    II为单位阵,则矩阵形式为
    P={Icosθ+[0AzAyAz0AxAyAx0]sinθ+AAT(1cosθ)}P P^{'}=\{Icos\theta+\begin{bmatrix} 0&-A_z&A_y\\A_z&0&-A_x\\-A_y&A_x&0\end{bmatrix}sin\theta+AA^T(1-cos\theta)\}P
    其中记
    R=Icosθ+[0AzAyAz0AxAyAx0]sinθ+AAT(1cosθ) R=Icos\theta+\begin{bmatrix} 0&-A_z&A_y\\A_z&0&-A_x\\-A_y&A_x&0\end{bmatrix}sin\theta+AA^T(1-cos\theta)
    为罗德里格斯旋转公式,而将其展开写成一个矩阵就可得到旋转矩阵。

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空空如也

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逆时针旋转变换矩阵