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  • 视频21四、连续函数闭区间上的性质函数在区间I上的最大值和最小值定义设函数f(x) 在区间I 上有定义如果x0 属于I,使得任意 x 属于 If(x0) <= f(x) (或 f(x0) >= f(x) ) 则称f(x0)是f(x)在区间I上的...
    视频21
    四、连续函数在闭区间上的性质
    函数在区间I上的最大值和最小值定义
    设函数f(x) 在区间I 上有定义如果x0 属于I,使得任意 x 属于 I
    f(x0) <= f(x) (或 f(x0) >= f(x) ) 
    则称f(x0)是f(x)在区间I上的最小值(f(x0)是区间I上的最大值)
    记为
    minf(x) = f(x0)(x属于区间I)
    maxf(x) = f(x0)(x属于区间I)


    1 最大最小值定理, 闭区间上的连续函数,在该区间上一定有最大值和最小值
    解释


    注意:“闭区间” 、“连续”  两个条件不可少
    例1 y=1/x 在 (0,1)连续, 它即无最大值、也无最小值
    例2 不连续的函数


    2 有界性定理:闭区间上连续的函数,在该区间上它一定有界。
    证明:设f(x) 在闭区间[a,b]上是连续的,由性质1可知,在闭区间[a,b]内一定存在最大值和最小值 使得m<=f(x)<=M,x属于[a,b],f(x)在闭区间[a,b]既有上界也有下界,从而推出f(x) 在区间【a,b】上有界


    3 零值点定理
    使得函数f(x)的函数值等于0的点x0, 即f(x0)=0,称x0为f(x)的零值点。
    设f(x)在[a,b]上是连续的, 且f(a)与f(b)的积小于0,则至少存在一点 ξ 使得 f(ξ) = 0


    4 介值定理
    设f(x) 属于[a,b],且f(a) = A,f(b) = B , A <> B, 则对于数C介于A与B之间, 则至少存在一点ξ使得f(ξ) = C,
    证明:使用3 证明 4


    推论:设f(x)在闭区间[a,b]上连续,令 
    m= minf(x),M = maxf(x) (x属于[a,b])
    而数μ,m < μ < M,则比存在一点 ξ 使得f(ξ) = μ 


    例1 
    f(ξ ) = [f(x1) + f(x2) + .. + f(xn) ] / n
    由推论证


    习题:2-6 , 9(2)(3)(4)(5)(7),11,12
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  • 文章目录闭区间连续函数的性质1.有界性定理2.最值定理3.零点存在定理4.介值定理5.一致连续定理(Cantor定理) 闭区间连续函数的性质 闭区间上的连续函数具有许多特殊的性质,在开区间上不一定具有。 1.有界性定理 命题...

    闭区间连续函数的性质

    闭区间上的连续函数具有许多特殊的性质,在开区间上不一定具有。

    1.有界性定理

    命题:若函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续,则它在[a,b][a,b]上有界。

    证明:用反证法。

    如果f(x)f(x)[a,b][a,b]上无界,则将[a,b][a,b]等分为两个小区间[a,a+b2],[a+b2,b][a,\dfrac{a+b}2],[\dfrac{a+b}{2},b],函数f(x)f(x)至少在其中一个小区间上无界,记作[a1,b1][a_1,b_1];继续等分,函数依然至少在一个半区间上无界,记作[a2,b2][a_2,b_2];依此进行,得到一个闭区间套{[an,bn]}\{[a_n,b_n]\},这样就存在一个唯一的实数ξ\xi属于所有区间[an,bn][a_n,b_n],且
    ξ=limnan=limnbn. \xi=\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n.
    由于f(ξ)f(\xi)[a,b][a,b]上连续,f(x)f(x)ξ\xi处连续,即f(ξ)=limxξf(x)f(\xi)=\lim\limits_{x\to \xi}f(x)存在,所以存在一个δ\delta,使得f(x)f(x)U(ξ,δ)U^\circ(\xi,\delta)有界(这是函数极限的有界性),结合函数的连续性,对于一切xU(ξ,δ)[a,b]x\in U(\xi,\delta)\cap [a,b]存在
    f(x)M. |f(x)|\le M.
    由于闭区间套的长度趋近于0,所以一定存在一个NN,使得n>Nn>N时,bnan<δ/2b_n-a_n<\delta/2,这就意味着
    [an,bn]U(ξ,δ), [a_n,b_n]\sub U(\xi ,\delta),
    然而f(x)f(x)[an,bn][a_n,b_n]上无界,在U(ξ,δ)U(\xi,\delta)上有界,这显然是矛盾的。

    综上所述,闭区间上的连续函数有界。

    开区间上连续函数无界的例子:f(x)=1xf(x)=\dfrac 1x(0,1)(0,1)上无界。

    2.最值定理

    命题:若f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续,则它在[a,b][a,b]上必能取到最大值和最小值,即存在ξ,η[a,b]\xi,\eta\in [a,b],对于一切x[a,b]x\in [a,b],有f(ξ)f(x)f(η)f(\xi)\le f(x)\le f(\eta)

    证明:可以先找比最值稍弱的值——确界,再通过确界向最值逼近。

    由有界性定理得f(x)f(x)[a,b][a,b]上有界,所以f(x)f(x)的值域RfR_f存在下确界α=infRf\alpha=\inf R_f和上确界β=supRf\beta =\sup R_f。要证明存在ξ[a,b]\xi\in [a,b]使得f(ξ)=αf(\xi)=\alpha

    根据下确界的定义,一方面f(x)αf(x)\ge \alpha,另一方面ϵ>0,x,f(x)<α+ϵ\forall \epsilon>0,\exist x,f(x)<\alpha+\epsilon,于是取{ϵn}\{\epsilon_n\}趋近于00,不妨设ϵn=1n\epsilon_n=\dfrac 1n,由此得到数列{xn}\{x_n\},其中αf(xn)<α+1n\alpha\le f(x_n)<\alpha+\frac 1n

    由于{xn}\{x_n\}是一个有界数列,所以存在收敛子列{xnk}\{x_{n_k}\},由于{xn}\{x_n\}的构造方式,有
    αf(xnk)<α+1nk<α+1k. \alpha\le f(x_{n_k})<\alpha+\frac 1{n_k}<\alpha+\frac 1k.
    两边同时关于kk取极限,有f(xnk)αf(x_{n_{k}})\to \alpha。不妨设xnkxx_{n_{k}}\to x',那么由函数的连续性,有
    f(x)=f(limkxnk)=limkf(xnk)=α, f(x')=f(\lim_{k\to \infty}x_{n_k})=\lim_{k\to \infty}f(x_{n_k})=\alpha,
    这就证明了x,f(x)=α=infRf\exist x',f(x')=\alpha=\inf R_f,证明了f(x)f(x)[a,b][a,b]上取得到最小值。

    同理构造收敛子列,可以证明f(x)f(x)[a,b][a,b]上取得到最大值。

    3.零点存在定理

    命题:若函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续,且f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0,则一定存在ξ(a,b)\xi\in (a,b)使得f(ξ)=0f(\xi)=0

    证明:要证明存在这样的ξ\xi,关键是将其构造出来。

    不失一般性,设f(a)<0,f(b)>0f(a)<0,f(b)>0,可以定义集合V={xf(x)<0,x[a,b]}V=\{x|f(x)<0,x\in [a,b]\},显然集合VV有界非空(至少含有点aa),所以必有上确界,设为ξ=supV\xi=\sup V,现在想要证明ξ(a,b),f(ξ)=0\xi\in (a,b),f(\xi)=0

    先证明ξ(a,b)\xi\in (a,b),由于f(a)<0f(a)<0,所以存在一个δ1\delta_1使得x[a,a+δ1]\forall x\in [a,a+\delta_1]f(x)<0f(x)<0;由于f(b)>0f(b)>0,所以存在一个δ2\delta_2使得x[bδ2,b]\forall x\in [b-\delta_2,b]f(x)>0f(x)>0,这样就有a+δ1ξbδ1a+\delta_1\le \xi\le b-\delta_1,所以ξ(a,b)\xi\in(a,b)

    xnV,xnξx_n\in V,x_n\to \xi,因为f(xn)<0f(x_n)<0,所以f(ξ)=f(limnxn)=limnf(xn)0f(\xi)=f(\lim\limits_{n\to \infty}x_n)=\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)\le 0,下证明f(ξ)<0f(\xi)<0是不可能存在的。

    f(ξ)<0f(\xi)<0,则根据f(x)f(x)ξ\xi的连续性,存在一个δ\delta,使得[ξδ,ξ+δ][\xi-\delta,\xi+\delta]内的xx满足f(x)<0f(x)<0,这就与ξ\xiVV的上确界矛盾(因为ξ+δ>ξ\xi+\delta>\xif(ξ+δ)<0f(\xi+\delta)<0),所以必定有f(ξ)=0f(\xi)=0

    4.介值定理

    命题:如果函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续,则它一定能取到最大值M=max{f(x)x[a,b]}M=\max\{f(x)|x\in [a,b]\}和最小值m=min{f(x)x[a,b]}m=\min\{f(x)|x\in [a,b]\}之间的任何一个值。

    证明:建立介值定理与零点存在定理的联系。

    由最值定理,存在ξ,η[a,b]\xi,\eta\in [a,b]使得f(ξ)=m,f(η)=Mf(\xi)=m,f(\eta)=M,不妨假设ξ<η\xi<\eta

    对于任意中间值CCm<C<Mm<C<M,考察辅助函数
    g(x)=f(x)C, g(x)=f(x)-C,
    显然g(x)g(x)[a,b][a,b]上也是连续函数,且g(ξ)=mC<0,g(η)=MC>0g(\xi)=m-C<0,g(\eta)=M-C>0,由零点存在定理,必定有ζ(ξ,η)\zeta\in (\xi,\eta),使得
    g(ζ)=0=f(ζ)C,f(ζ)=C. g(\zeta)=0=f(\zeta)-C,\quad f(\zeta)=C.
    这就证明了介值定理。同时,介值定理表明了f(x)f(x)[a,b][a,b]上的值域为Rf=[m,M]R_f=[m,M]

    5.一致连续定理(Cantor定理)

    一致连续性:设f(x)f(x)定义在区间XX上,ε>0,δ(ε)>0\forall \varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon)>0,只要x1x2<δ(x1,x2X)|x_1-x_2|<\delta(x_1,x_2\in X),就有f(x1)f(x2)<ε|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon,就称f(x)f(x)在区间XX上一致连续。

    一致连续的充要条件:f(x)f(x)XX上一致连续,等价于对任何点列{xn},{xn}(xn,xnX)\{x_n'\},\{x_n''\}(x_n',x_n''\in X),有
    limn(xnxn)=0limn(f(xn)f(xn))=0. \lim_{n\to \infty}(x_n'-x_n'')=0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}(f(x_n')-f(x_n''))=0.
    命题(Cantor):若函数f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b]上连续,则它在[a,b][a,b]上一致连续。

    证明:采用反证法。

    如果f(x)f(x)[a,b][a,b]上不是一致连续的,则存在ε0>0\varepsilon_0>0与点列{xn},{xn}\{x_n'\},\{x_n''\}满足
    xnxn<1n,f(xn)f(xn)ε0. |x_n'-x_n''|<\frac 1n,\quad |f(x_n')-f(x_n'')|\ge\varepsilon_0.
    由致密性定理,存在收敛的子列{xnk}\{x_{n_k}'\}使得limkxnk=ξ,ξ[a,b]\lim\limits_{k\to \infty}x_{n_k}'=\xi,\xi\in[a,b],在点列{xn}\{x_n''\}中选取同样下标的点列{xnk}\{x_{n_k}''\},则xnxnk<1nk|x_{n}'-x_{n_k}''|<\frac 1{n_k},且f(xnk)f(xnk)ε0|f(x_{n_k}')-f(x_{n_k}'')|\ge \varepsilon_0,且
    limkxnk=limk(xnkxnk)+limkxnk=ξ. \lim_{k\to \infty}x_{n_k}''=\lim_{k\to \infty}(x_{n_k}''-x_{n_k}')+\lim_{k\to \infty}x_{n_k}'=\xi.
    由于函数f(x)f(x)ξ\xi连续,所以
    limkf(xnk)=limkf(xnk)=f(ξ). \lim_{k\to \infty}f(x_{n_k}')=\lim_{k\to \infty}f(x_{n_k}'')=f(\xi).
    于是
    limk[f(xnk)f(xnk)]=0, \lim_{k\to \infty}[f(x_{n_k}')-f(x_{n_k}'')]=0,
    这与f(xnk)f(xnk)ε0f(x_{n_k}')-f(x_{n_k}'')\ge \varepsilon_0矛盾,因此一定是一致连续的。

    该定理在开区间上不成立,是因为ξ\xi可能取到区间的边界。

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  • 回顾 什么叫函数闭区间连续? 用图像表示 定理1:最值定理 若f(x)∈c[a,b],则在[a,b]上一定能够取到最小值m和...注解: 由定理1我们知道,函数闭区间连续,则函数闭区间上可以取到最小值和最大值,即函数

    回顾

    什么叫函数在闭区间上连续?
    在这里插入图片描述
    用图像表示在这里插入图片描述
    定理1:最值定理
    在这里插入图片描述
    若f(x)∈c[a,b],则在[a,b]上一定能够取到最小值m和最大值M,即存在x1,x2属于[a,b]使得f(x1)=m,f(x2)=M
    注解: 函数在闭区间上连续能取到最小值和最大值的充分不必要条件,如图在这里插入图片描述

    定理2:有界定理
    若f(x)∈c[a,b],则存在k,对任意的x∈[a,b]有|f(x)|≤k,即函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上有界
    注解: 由定理1我们知道,函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上可以取到最小值和最大值,即函数有上下界,则函数在闭区间内有界

    定理3:零点定理
    零点:f(x)在x=a处的值为0,则x=a称为f(x)的零点
    若f(x)∈c[a,b],且f(a)×f(b)<0,则存在f(x0)=0(至少有一个)
    在这里插入图片描述
    定理4:介值定理
    啥叫介值呢?画个图
    在这里插入图片描述
    f(x)∈c[a,b],在[a,b]上有最小值m和最大值M
    用英文解释一下:The value between m and M 翻译过来,介于闭区间上最小值和最大值的值都叫介值
    介值定理的内容:任取t∈[m,M],至少有一个t0使得f(t0)=t,则t0∈[a,b],即介于m和M之间的值,f(x)都能取到

    小结

    ①f(x)∈c[a,b],存在t∈(a,b)…命题为闭区间,证明开区间,首选零点定理
    ②f(x)∈c[a,b],出现条件有函数值之和,或t∈[a,b],首选介值定理

    例题

    例1
    在这里插入图片描述
    例2
    在这里插入图片描述

    总结

    本篇内容为f(x)在闭区间上连续的四个定理,当命题中有证明开区间上点的时候,首选零点定理,当命题中证明闭区间上的点或出现函数值之和时,首选介值定理,使用介值定理的惯例——先取出最小值和最大值

    截止到本篇,高等数学第一章《函数、极限、连续》的内容已经基本完结,为什么说基本完结呢?因为第一章的内容相对基础(虽然基础但绝对重要),在后续的学习中可能会不断补充相关的新的知识。
    接下来我们进入第二章——《导数与微分》

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  • 1、 闭区间及无线区间上连续函数的性质

    1、 闭区间及无线区间上连续函数的性质
    在这里插入图片描述

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  • 闭区间连续函数的性质
  • 根据实数理论,分析了闭区间连续函数的映射特点,得到了一个反映其规律的结论。
  • 闭区间连续函数的性质

    千次阅读 2020-03-05 12:22:12
    一、有界性与最大最小值定理 二、零点定理与介值定理 2.1、零点定理 2.2、介值定理 2.2.1、推论
  • 若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续,则对f(x)f(x)f(x)在该区间内的最大值M和最小值N而言, 必然有ϵ,ξ∈[a,b]\epsilon,\xi\in[a,b]ϵ,ξ∈[a,b]使得: N=f(ϵ)≤f(x)≤f(ξ)=MN=f(\epsilon)≤f(x)≤f(\xi)=MN=...
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  • 020:闭区间连续函数性质之零点定理、介值定理
  • 定理1:最值定理 定理2:有界定理 定理3:零点定理 定理4:介值定理
  • 设$[a,b]$是$\mathbf{R}$上的闭区间,且$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续. 证明:反证法.假设$f(x)$在$[a,b]$上不是一致连续的,则必定存在这么两个序列,其中$$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$$...
  • 1. 问题引入——任意面积的大理石,是否可以用锯子以直线锯口...3. 最值定理(闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;引理:闭区间上的连续函数一定有界) 4. 零值定理 5. 介值定理 ...
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  • 转载于:https://www.cnblogs.com/ccczf/p/9678438.html
  • 对于开区间,本身已经不包含两端点值,所以根本满足不了连续...在已经证得该函数在该闭区间连续,之后在两端点处,左极限等于左端点的函数值,右极限等于右端点的函数值,那么就可以说明函数在该闭区间连续。 举例
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连续函数闭区间