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  • 二维随机变量 联合分布函数 定义 性质 边缘分布函数 联合密度 边缘密度 期望 方差

    1. 二维均匀分布

    在这里插入图片描述

    2. 二维正态分布【(ξ,ŋ) ~ N(μ1122,)】

    在这里插入图片描述

    性质:

    1. 相关系数为0 <=> 两个随即变量相互独立

    不相关 == 相互独立

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  • 今天做一道题,已知联合分布函数求边缘密度函数,这个二维随机变量是符合均匀分布的,并且给出了X,Y区间也就是分布区域D,这道题解题思路很简单,因为有公式可以套 解题思路: 首先根据二维随机变量均匀分布可以...

    引入
    今天做一道题,已知联合分布函数求边缘密度函数,这个二维随机变量是符合均匀分布的,并且给出了X,Y区间也就是分布区域D,这道题解题思路很简单,因为有公式可以套
    解题思路:
    首先根据二维随机变量均匀分布可以直接得到联合概率密度函数,然后再根据公式可以得到X和Y的边缘密度函数,公式一会用图贴出来,但是此时问题来了,为什么X的密度函数是对dy求积分还有积分的上下限怎么确定???
    提出问题
    接下来又扯出了之前面对概率论一直存在的问题:
    1、为什么引入随机变量
    2、引入之前,我们是如何计算概率,能解决哪些问题
    3、引入之后,随机变量帮我们解决了什么问题

    4、为什么连续型随机变量要用积分求
    5、连续型随机变量和离散型随机变量到底有什么区别
    6、生活中有哪些具体例子是离散型是连续型的

    本文引用例子
    以抛硬币为例,将一枚硬币抛掷3次,观察正面(H),反面(T)出现的情况

    解决问题
    1、引入随机变量之前我们怎么计算概率
    1)认识概率和频率的区别
    课本的定义:
    (1)频率:在相同条件下,进行n次实验,事件A发生的次数nA,称为A的频数,那么nA/n的比值称为事件A的频率
    (2)概率:设E是随机实验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,称为事件A的概率


    2)认识样本空间,事件
    (1)样本空间就是随机实验的所有结果,比如投掷一枚硬件三次,出现正反面的所有可能结果
    (2)我理解的事件就是对样本空间根据事件的定义进行不同的划分,比如出现一次正面为事件A1,出现两次正面为事件A2,出现的正面次数比反面次数多为事件B,当然此时事件B又可以划分为其他子事件比如事件B1={正面3次反面0次},B2={正面2次反面1次}

    3)事件的关系,独立性
    (1)根据课本的结构,还要认识事件的关系,比如互斥,对立,和,差等关系,重点要区分对立和互斥的区别,其实对立事件就是把样本空间一分为二,互斥可能就布置一分为2了,可能分成好几份,但是这几份或者其中的某两份不会同时发生就是了
    (2)对独立性的理解是,两个事件发生互不影响

    2、引入随机变量
    1)什么是随机变量
    官方解释:随机变量用X表示,X是定义在样本空间S上的实值单值函数.
    抠词:什么是实值单值函数?实值就是实数值,数分为实数虚数复数嘛,单值是什么意思呢,每一个样本点e,X都有一个数与之对应,因为我们还有多值函数等函数,然后既然是函数,那就有定义域和值域啊,在这里定义域就是样本空间,值域就是X的值,举个例子,一枚硬币抛掷3次,X表示出现正面的次数,X的值域就是(0,1,2,3),X=0时,定义域是不是就是{TTT},T表示硬币反面.

    我的理解 :随机变量,实值单值函数,那么就抓住定义域和值域,定义域对应样本空间,值域看你事件是怎么定义的,一般是对应的样本的空间的概率.其实就是包装了一下实质不也是求一定条件下某样本空间的概率嘛


    2)离散还是连续
    官方定义关键字:离散就是,样本点是有限或者可列无限多个
    我的理解:只可意会不可言传,因为时间有限,有些内容不多说,自习百度
    在理解离散型随机变量时,顺带理解一下他的分布律,其实也是求每个事件对应的概率啦,然后还有一些比较特殊的分布,(0-1)分布其实就是对立事件的概率,因为他的实验结果只能有两种,然后是二项分布,就是对(0-1)分布进行多次实验得到的概率,然后是泊松分布,比较有趣的是他可以来表示医院在一天内的急诊病人数等等,当然如果病人数一直增多概率到最后是一直变小,因为一个医院容纳病人数是有限的

    3)分布函数
    这个得好好理解,分布函数为什么而存在,它是为了区间概率而存在,一般如果我们要知道点概率,如果是离散型变量看分布律就可以知道,如果是连续型那就把点带入概率密度函数也可以知道该点的概率,但是如果是分布函数表示的意义就不同了,他要表示负无穷到x的概率,是区间概率,
    离散型的分布函数就把x之前的点概率加起来就是F(x)的值,那么连续型也是一样,但是连续把所有点加起来就会发现是一个面积,求面积就得用积分啊

    4)连续型变量:均匀分布,指数分布,正态分布
    这些应用公式可以解决,还有一般的正态分布如果转成正态分布

    边缘分布
    见课本P65

    其实重点理解,分布函数,和概率密度函数,以及随机变量就可以了,计算概率嘛实质就是抓住样本空间和对应的概率就可以了

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  • 对于边缘分布和条件分布而言,密度函数都是一元函数。为计算随机变量取值落入指定区间I=(a,b)I=(a, b)I=(a,b)的概率P(X∈I)=∫abf(x)dxP(X\in I)=\int_{a}^{b}f(x)dxP(X∈I)=∫ab​f(x)dx,可以调用scipy.integrate...

    对于连续型随机向量(X,Y)(X,Y)的边缘分布和条件分布而言,密度函数都是一元函数。为计算随机变量取值落入指定区间I=(a,b)I=(a, b)的概率P(XI)=abf(x)dxP(X\in I)=\int_{a}^{b}f(x)dx,可以调用scipy.integrate包中的quad函数。该函数的调用接口为:
    quad(f, a, b)\text{quad(f, a, b)}
    其中,参数f表示被积函数f(x)f(x),a和b分别表示积分下限aa和上限bb
    例1(X,Y)(X, Y)的密度函数为
    f(x,y)={1y<x<2y,0<y<10其他{f(x,y)=}\begin{cases} 1&y<x<2-y, 0<y<1\\ 0&\text{其他} \end{cases}
    计算(1)P(0.5<X<3/1.5)P(0.5<X<3/1.5);(2)fYX(yx)f_{Y|X}(y|x);(3)P(0.1<Y0.4X=1.5)P(0.1<Y\leq0.4|X=1.5)在这里插入图片描述
    :(1)为计算P(0.5<X<1.5)P(0.5<X<1.5),先算得XX的边缘密度函数fX(x)f_X(x)。由于对x0x\leq0x2x\geq2f(x,y)=0f(x, y)=0,故此时fX(x)=+f(x,y)dy=0f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=0。下设x(0,2)=(0,1](1,2)x\in(0, 2)=(0, 1]\cup(1, 2)
    x(0,1]x\in(0, 1]时,
    fX(x)=+f(x,y)dy=0xdy=xf_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=\int_{0}^{x}dy=x
    x(1,2)x\in(1, 2)时,
    fX(x)=+f(x,y)dy=02xdy=2xf_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=\int_{0}^{2-x}dy=2-x
    综上所述,
    fX(x)={x0<x12x1<x<20其他{f_X(x)=}\begin{cases}x&0<x\leq1\\ 2-x&1<x<2\\ 0&\text{其他} \end{cases}
    于是
    P(0.5<X<1.5)=0.51.5fX(x)dx=0.51xdx+11.5(2x)dx=x220.51+211.5x2211.5=0.75 P(0.5<X<1.5)=\int_{0.5}^{1.5}f_X(x)dx=\int_{0.5}^{1}xdx+\int_{1}^{1.5}(2-x)dx\\ =\frac{x^2}{2}\big|_{0.5}^1+2\big|_{1}^{1.5}-\frac{x^2}{2}\big|_{1}^{1.5}=0.75
    (2)我们知道,fYX(yx)=f(x,y)fX(x)f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}仅在fX(x)0f_X(x)\not=0处存在,故当x(0,1]x\in(0, 1]时,
    fYX(yx)={1x0<y<x0其他{f_{Y|X}(y|x)=}\begin{cases} \frac{1}{x}&0<y<x\\ 0&\text{其他} \end{cases}
    而当x(1,2)x\in(1,2)时,
    fYX(yx)={12x0<y<2x0其他f_{Y|X}(y|x)=\begin{cases} \frac{1}{2-x}&0<y<2-x\\ 0&\text{其他} \end{cases}
    (3)由于x=1.5(1,2)x=1.5\in(1, 2),故
    fYX(y1.5)={121.50<y<21.50其他{f_{Y|X}(y|1.5)=}\begin{cases} \frac{1}{2-1.5}&0<y<2-1.5\\ 0&\text{其他} \end{cases}

    fYX(y1.5)={20<y<0.50其他{f_{Y|X}(y|1.5)}=\begin{cases} 2&0<y<0.5\\ 0&\text{其他} \end{cases}
    于是
    P(0.1<Y0.4X=1.5)=0.10.4fYX(y1.5)dy=0.10.42dy=0.6.P(0.1<Y\leq0.4|X=1.5)=\int_{0.1}^{0.4}f_{Y|X}(y|1.5)dy=\int_{0.1}^{0.4}2dy=0.6.
    下列代码验算本例计算结果。

    from scipy.integrate import quad			#导入quad
    fx=lambda x: x if x<=1 else 2-x				#X的边缘密度函数
    p, _=quad(fx, 0.5, 1.5)						#计算P(0.5<X<1.5)
    print('P(0.5<X<1.5)=%.2f'%p)
    f=lambda x: 1/0.5 if x>0 and x<0.5 else 0	#X|Y=1.5的密度函数
    p, _=quad(f, 0.1, 0.4)						#计算P(0.1<Y<=0.4|X=1.5)
    print('P(0.1<Y≤0.4|X=1.5)=%.4f'%p)
    

    根据各行注释,不难理解该程序。需要注意的是,由于区间(0.5,1.5)(0.5,1.5)位于fX(x)f_X(x)的非零区间(0,2)(0,2)内,故计算P(0.5<X<1.5)P(0.5<X<1.5)的积分式中只取fX(x)f_X(x)对应的非零表达式(见第2行)。相仿地,第5行设置fYX(y1.5)f_{Y|X}(y|1.5)时,也仅考虑其非零表达式“2”。运行程序,输出:

    P(0.5<X<1.5)=0.75
    P(0.1<Y≤0.4|X=1.5)=0.60
    

    此即为本例的计算结果。
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  • 文章目录3.2 边缘分布边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布连续型随机变量边缘分布 边缘分布函数 定义: 已知分布函数:这个取无穷就是消除这个随机变量对分布函数的影响。用图形解释:对y取+∞+\infty+∞...

    3.2 边缘分布

    边缘分布函数

    定义:
    在这里插入图片描述

    • 已知分布函数:这个取无穷就是消除这个随机变量对分布函数的影响。用图形解释:对y取++\infty就是把分布函数的图形朝y轴正方向压下去。之前的三维图形就变成了在zoxzox平面内的一个二维图形了。
    • 已知密度函数:这个取(+,)(+\infty,-\infty)这个区间的积分就相当于在分布函数中取++\infty.

    离散型随机变量的边缘分布律

    在这里插入图片描述
    这个其实很简单,看一道例题就好了。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    -这个很好理解:由联合分布到边缘分布主要求和就好了,但是从边缘分布到联合分布如何将和数拆分就有很多中情况了。

    连续型随机变量的边缘分布

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    例:
    在这里插入图片描述
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    解析:
    这道题是已知密度函数求边缘分布函数,所以对相应的随机变量在(+,)(+\infty,-\infty)这个区间里积分就好了。

    在这里插入图片描述
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    解析:
    这个是已知分布函数求边缘分布函数,所以把相应的随机变量取++\infty即可。

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