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  • 连续时间信号的卷积计算为主,因为离散情况下很简单,慢慢滑动一个个对应着来就OK。因为连续时间信号的卷积涉及积分,对上下限的考量需要对卷积定义比较清晰才行 典型例题来袭 在着手开始分析第一个例子之前,...

    相比于前两篇 BlogBlog 中关于卷积物理意义以及性质的讨论,这篇 BlogBlog 重点归纳卷积计算的技巧和方法。以连续时间信号的卷积计算为主,因为离散情况下很简单,慢慢滑动一个个对应着来就OK。因为连续时间信号的卷积涉及积分,对上下限的考量需要对卷积定义比较清晰才行

    典型例题来袭

    注:勘误!!下面的例题中,关于 h(τ)h(-τ) 的函数波形,在 t=2Tt = -2T的时候的函数值应该为 2T2T

    在着手开始分析第一个例子之前,我们回顾一下连续信号的卷积公式:y(t)=+x(τ)h(tτ)dτ y(t) = \int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t-τ)dτ
    其中,x(τ)x(τ)h(tτ)h(t-τ) 代表两者的重叠部分,具体的值是两个重叠部分函数值的乘积。 ττ 应该是两者重叠部分的时间范围

    其实,这个表达式是一个囊括了不同情况的综合表达式,很多时候,我们计算的卷积往往是分段函数,这时,积分的上下限就不能是简单的 ++∞-∞

    【例题一】:求以下两个信号的卷积

    Step1Step 1:先画出 x(τ)x(τ)h(τ)h(-τ)

    还记得我们在关于卷积的第一篇 BlogBlog 里面谈到的吗:h(tτ)h(t - τ) 代表的是对 h(τ)h(-τ) 原点的移动,,具体把 h(τ)h(-τ) 的原点移动到什么地方呢?就是看 x(τ)x(τ) 图像中,我们要求的 τ=tτ = t 的位置

    Step2Step2:我们要大致观察以下 tt 取什么值的时候二者有重叠部分,取什么值的时候没有重叠部分
    从本题,很明显,在 t<0t < 0,以及 t>3Tt > 3T 的时候,二者没有重叠,因此也有:y(t)=0y(t)=0

    而在 0<t<T0 < t < TT<t<2TT < t < 2T 以及 2T<t<3T2T < t < 3T 的部分都会有重叠,因此我们分别讨论。

    (1)在 0<t<T0 < t < T 时,

    黄色区域是二者重叠部分,不过我们重点关系的,是这个重叠部分的范围,显然,是:[0,t][0, t]
    因此,ττ 的范围就是:0<τ<t0 < τ < t,在这个范围下,那条斜线就是 h(tτ)h(t - τ),横线就是 x(τ)x(τ)。那么我们可以知道:在此范围下,x(τ)=1x(τ) = 1h(tτ)=(τt)h(t-τ) = -(τ - t)(因为 h(tτ)h(t-τ) 在本题中始终是一条斜率为 -1 ,始终过点 (t, 0) 的直线)

    因此,我们就带入公式,得:y(t)=0t(τt)dτ=12t2 y(t) = \int_{0}^{t}-(τ - t)dτ = \frac{1}{2}t^2

    至此,我们完成了第一个重叠区间的卷积积分的计算

    对于 T<t<2TT < t < 2T 时,如下图所示:

    黄色区域是重叠部分,重叠部分的范围是 [0,T][0, T],因此,0<τ<T0 < τ < T,重叠区域两函数表达式和第一种情况一样,因此,我们有:y(t)=0T(τt)dτ=Tt12T2 y(t) = \int_{0}^{T}-(τ - t)dτ = Tt - \frac{1}{2}T^2

    后面的情况,处理方法一样,这里就不赘述啦。最终的结果和 y(t)y(t) 的图像如下:

    始终贯穿这一方法,卷积积分的计算也就不那么困难了!

    好啦!这篇 BlogBlog 到这里就结束辽!和之前的两篇 BlogBlog 结合在一起,就成了 “卷积三剑客”。希望这三篇 BlogBlog 能对今后卷积的学习带来帮助!

    “卷积笔记三剑客地址”:

    【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界 1【详细整理+个人理解】

    【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界 2【系统基本性质和卷积的关系】

    【信号与系统学习笔记】—— 一起走进“卷积”的世界3 【技巧方法篇】 连续时间信号的卷积计算技巧

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  • 摘 要:介绍了用MATLAB软件计算连续时间信号卷积的一般方法,分析了选取参数对卷积结果影响。 关键词:连续时间信号卷积;MATLAB 计算机高度发展今天,在理工科大学专业基础课程中引入计算软件已成为...
  • 用MATLAB计算连续时间信号的卷积两个离散时间信号相卷积,可直接利用MATLAB M文件中的conv函数;两个连续时间信号相卷积若采用数值解,首先要对连续时间信号采样得到离散信号f1和f2,再用conv(f1,f2)进行卷积运算...

    用MATLAB计算连续时间信号的卷积

    两个离散时间信号相卷积,可直接利用MATLAB M文件中的conv函数;两个连续时间信号相卷积若采用数值解,首先要对连续时间信号采样得到离散信号f1和f2,再用conv(f1,f2)进行卷积运算得到离散时刻上的卷积结果,最后将这些离散时刻

    用MATLAB计算连续时间信号的卷积

    两个离散时间信号相卷积,可直接利用MATLAB M文件中的conv函数;两个连续时间信号相卷积若采用数值解,首先要对连续时间信号采样得到离散信号f1和f2,再用conv(f1,f2)进行卷积运算得到离散时刻上的卷积结果,最后将这些离散时刻上的结果相连(插值)来近似连续函数的卷积结果。图1分别表示了求[ε(t-1)-ε(t-2)]×[ε(t-2)-ε(t-3)],当采样周期T=0.01和T=0.1时的卷积结果,发现纵坐标结果不同。这说明计算连续时间信号的卷积,要考虑采样周期的大小。

    考虑激励信号x(t)作用于因果系统h(t)引起的响应为:

    (有图)

    当T足够小时,有:(有图)

    利用式(6)可方便地计算连续时间信号卷积的数值解。MATLAB语句为conv(x,h)×T。应当指出,式(6)是将h(λ)进行“零阶”近似后得到的,误差精度较差,但计算简单,适合于较平坦的曲线。要提高精度,可用梯形法,此时式(3)中:

    下面讨论当被卷积函数中出现有始无终的函数时,如何截断函数及截断后的误差分析。由于数值计算只能计算有限长度的序列,所以有始无终的信号必须截断。

    考虑te-tε(t)×[ε(t)-ε(t-1)],由于ε(t)-ε(t-1)的非零值为有限区间(0,1),对有始无终信号te-tε(t)进行截断,若采用的截断阈值α=0.01,由于该信号在t=1处有最大值e-1,由te-1ε(t)=αe-1,可得截断时刻t=7.6,采样区间取(0,8),采样周期设为T=0.01, 用MATLAB计算他们的卷积结果,为便于比较,将解析运算的准确结果也画在同一张图上,图2示出他们的结果对比。

    (有图)

    从图2可知,当t<8时,误差是较小的;当t>8后,误差较大,这是由于在(0,8)区间无截断误差,而在t>8后则存在截断误差的原因。截断后视被卷积函数为零,尽管被截去的部分已经较小(

    图3示出了截断区间为(0,10)时,两者的计算结果对比,误差已经可以忽略。

    t=10时,te-t=0.5404×10-4,截断阈值已近0.0001。在此截断,对原函数的截断误差较小,截断误差对后面的卷积运算结果影响小。(有图)

    由前面的分析过程,我们可得到用MATLA计算连续时间信号卷积的一般方法。

    (1) 选取合适的采样周期对连续信号进行采样,得,计算T·conv(x,h);

    (2) 采样周期愈小,计算结果愈准确,但计算负担愈重,应在计算量与计算准确度之间折衷。

    (3) 需要对被卷积函数截断时,考虑合适的截断阈值。

    由于还有附图,所以把文件也上传了,谢谢各位的指导和帮助!!!!!

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  • 9.2 连续时间信号卷积运算MATLAB 实现一、实验目的(1)理解掌握卷积的概念及物理意义。 (2)理解单位冲激响应概念及物理意义。二、实验原理连续信号卷积运算定义为1212()()*()()()f t f t f t f f t d τττ∞-∞...

    9.2 连续时间信号卷积运算的MATLAB 实现

    一、实验目的

    (1)理解掌握卷积的概念及物理意义。 (2)理解单位冲激响应的概念及物理意义。

    二、实验原理

    连续信号卷积运算定义为

    1212()()*()()()f t f t f t f f t d τττ

    -∞==

    -?

    卷积计算可以通过信号分段求和来实现,即

    1212120

    ()()*()()()lim

    ()()k f t f t f t f f t d f k f t k τττ∞

    ?→=-∞

    -∞

    ==

    -=?-??∑

    ?

    如果只求当t n =?(n 为整数)时()f t 的值()f n ?,则由上式可得

    1212()()()()[()]k k f n f k f n k f k f n k ∞

    =-∞

    =-∞

    ?=

    ??-?=??-?∑

    式中的

    12()[()]k f k f n k ∞

    =-∞

    ?-?∑

    实际上就是连续信号1()f t 和2()f t 经等时间间隔?均

    匀抽样的离散序列1()f k ?和2()f k ?的卷积和。当?足够小时,()f n ?就是卷积积分的结果——连续时间信号()f t 的较好的数值近似。

    三、实验内容

    1、用MATLAB 实现连续信号)(1t f 和)(2t f 卷积的过程如下: (1)

    将连续信号)(1t f 和)(2t f 以时间间隔?进行抽样,得到离散序列1()f k ?和

    2()

    f k ?;

    (2)

    构造与1()f k ?和2()

    f k ?相对应的时间向量

    1

    k 和

    2

    k (注意,此时时间序号向量

    1

    k 和

    2

    k 的元素不再是整数,而是抽样时间间隔

    ?的整数倍的时间间隔点

    );

    (3) 调用conv ()函数计算卷积积分)

    (t f 的近似向量

    )

    (?n f ;

    (4)

    构造

    )

    (?n f 对应的时间向量k 。

    2、实验参考程序

    以下是MATLAB 实现连续信号卷积的通用函数sconv():

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  • 1 实验目的 (1)熟悉卷积的定义和表示; (2)掌握利用计算机进行卷积运算原理和方法; (3)熟悉连续信号卷积运算...(6)掌握用卷积计算连续时间系统零状态响应; (7)能够应用Matlab对系统进行时域分析。
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    前言

    用matlab也可以实现的卷积计算操作,主要有两种方法,第一种直接用符号运算,第二种就是用数值运算。


    一、卷积是什么?

    卷积积分是信号与系统时域分析中的重要方法之一。连续信号的卷积积分定义如下:
    在这里插入图片描述

    MATLAB进行卷积计算可以通过符号运算方法和数值计算方法来实现。
    符号运算求解主要是从卷积积分的定义出发,采用积分公式直接计算,此时要注意积分变量和积分限的选取。
    数值计算方法是通过时间间隔取足够小的离散时间信号的来实现的。可调用MATLAB中的conv()函数近似地数值求解连续信号的卷积积分。如果对连续时间信号和进行等时间间隔均匀抽样,则连续信号变为离放序列。当取样间隔够小时,即为连续时间信号和。因此连续时间信号的卷积积分运算转换为
    在这里插入图片描述
    采用数值计算法,只求当t=n▲的卷积积分的值,n为整数,即
    (3-3)

    实际上就是离散序列和的卷积和。当▲足够小时,上式就是卷积积分的结果,即对连续时间信号的较好数值近似
    当取样间隔足够够小时,有
    3-4)
    通过 MATLAB实现连续信号和的卷积,可以利用各自抽样后的离散时间序列的卷积再乘上抽样间隔。抽样间隔越小,误差也就越小。

    二、计算方法

    1.符号运算

    其中用heaviside(t)表示阶跃函数,subs()是符号计算函数,表示将符号表达式中的某些符号变量替换为指定的新的变量,再进行积分操作,类似我们用图示法求解卷积的过程。

    syms tao; 
    t=sym('t','positive'); %t是限定符号变量
    xt1=str2sym('heaviside(t)-heaviside(t-2)');
    xt2=str2sym('heaviside(t)-heaviside(t-3)+heaviside(t-1)-heaviside(t-2)');
    xt_tao=subs(xt1,t,tao)*subs(xt2,t,t-tao);
    yt=int(xt_tao,tao,0,t);
    yt=simplify(yt)
    ezplot(yt,[0,10]),grid on
    title('符号运算法求解卷积');
    

    2.数值运算

    conv函数用于多项式乘法计算和矩阵卷积,用在离散信号相乘结果比较合适,然后再进行一些细节上的操作和绘图。
    最后一个是阶跃函数的封装,matlab中的表示为
    y=(t>0)

    dt=0.001;t1=-0.5:dt:3.5;
    f1=uCT(t1)-uCT(t1-2);
    t2=t1;
    f2=uCT(t2)+uCT(t2-1)-uCT(t2-2)-uCT(t2-3);
    [t,f]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt);
    
    function[f,t]=ctsconv(f1,f2,t1,t2,dt)
    f=conv(f1,f2);
    f=f*dt;
    ts=min(t1)+min(t2);
    te=max(t1)+max(t2);
    t=ts:dt:te;
    subplot(221)
    plot(t1,f1);grid on;
    axis([min(t1),max(t1),min(f1)-abs(min(f1)*0.2),max(f1)+abs(max(f1)*0.2)])
    title('f1(t)');xlabel('t')
    subplot(222)
    plot(t2,f2);grid on;
    axis([min(t2),max(t2),min(f2)-abs(min(f2)*0.2),max(f2)+abs(max(f2)*0.2)])
    title('f2(t)');xlabel('t')
    subplot(212)
    plot(t,f);grid on;
    axis([min(t),max(t),min(f)-abs(min(f)*0.2),max(f)+abs(max(f)*0.2)])
    title('f(t)-f1(t)*f2(t)');xlable('t')
    
    
    function f=uCT(t)
    f=(t>0);
    end
    

    遇到的一些问题和解决方法

    1.sym还是str2sym
    在吧heaviside表示为阶跃函数的符号定义中采用的sym在matlab版本中报错,修改为strtosym可以正常运行。
    在这里插入图片描述
    2,Heaviside还是heaviside
    在这里插入图片描述
    根据报错信息,修改为小写即可。

    一些总结

    采用了两种方法来计算卷积,第一种是比较直观的符号计算法,采用sym定义符号变量,得到要计算的两个函数符号表示,其中阶跃函数采用heaviside来进行表示,然后再利用subs操作换元,进而进行积分计算,简化后得到最终结果,ezplot绘图。第二种是更难理解的数值计算方法。巧妙利用了conv函数近似数值求解连续信号的积分。

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空空如也

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连续时间信号的卷积计算