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  • 递归与分治

    2021-05-30 09:23:33
    原问题子问题的唯一区别就是输入的规模不同。 递归的弊端就是会不断的消耗内存中的栈空间,并且有相关的值拷贝动作,函数不断压栈,导致资源不断消耗。 分治的过程 先将规模变小 递归处理小规模问题 将小规模...

    参考博文链接

    首先需要知道的是:
    递归是算法的实现方式,分治是算法的设计思想。
    迭代是不断地循环过程,递归是不断地调用自身。

    递归

    • 直接或间接调用自身的算法。
    • 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
    • 分治法产生的子问题往往是原问题的较小末世,这就是为使用递归技术提供了方便。原问题与子问题的唯一区别就是输入的规模不同。

    递归的弊端就是会不断的消耗内存中的栈空间,并且有相关的值拷贝动作,函数不断压栈,导致资源不断消耗。

    分治的过程

    1. 先将规模变小
    2. 递归处理小规模问题
    3. 将小规模问题合并为原始的问题的解

    需要注意的是:

    • 分解的条件要互斥,
    • 分解后所有的条件加在一起,能够覆盖原始问题的所有情况

    实例

    1.阶乘函数
    递归定义:
    在这里插入图片描述
    代码实现:

    //阶乘
    #include<iostream>
    using namespace std;
    //递归算法
    int factorial_recursive(int n){
        if(n==1)return 1;
        return n*factorial_recursive(n-1);
    }
    //一般算法
    int factorial_loop(int n){
        int res=1;
        for(int i=n;i>0;i--){
            res*=i;
        }
        return res;
    }
    int main(){
        int n;
        cout<<"输入阶乘的n值:";
        cin>>n;
        cout<<"使用递归算法:\n";
        cout<<n<<"! = "<<factorial_recursive(n)<<endl;
        cout<<"使用一般算法:\n";
        cout<<n<<"! = "<<factorial_loop(n)<<endl;
        return 0;
    }
    

    2.斐波那契数列

    递归定义:
    在这里插入图片描述
    代码实现:

    //斐波那契数列
    #include<iostream>
    using namespace std;
    //递归
    int fibonacci_recursive(int n){
        if(n==0 || n==1){
            return 1;
        }
        return fibonacci_recursive(n-1)+fibonacci_recursive(n-2);
    }
    //一般算法
    int fibonacci_loop(int n){
        if(n==0 || n==1){
            return 1;
        }
        int res1=1;
        int res2=1;
        int res=0;
        for(int i=1;i<n;i++){
            res=res1+res2;
            res1=res2;
            res2=res;
        }
        return res;
    }
    int main(){
        cout<<"你想要输出多少个斐波那契数列里的值:";
        int n;
        cin>>n;
        //递归算法
        cout<<"fibonacci implement by recursive:\n";
        for(int i=0;i<n;i++){
            cout<<fibonacci_recursive(i)<<" ";
        }
        cout<<endl;
        //一般算法
        cout<<"fibonacci implement by loop:\n";
        for(int i=0;i<n;i++){
            cout<<fibonacci_loop(i)<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    

    3.Ackerman函数
    当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这个函数是双递归函数:
    递归定义:
    在这里插入图片描述
    代码:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    long ackerman(long n, long m){
        if (n == 1 && m == 0)
            return (long)2;
        if (n == 0 && m >= 0)
            return 1;
        if (m == 0 && n >= 2)
            return n + 2;
        if (n >= 1 && m>= 1)
            return ackerman( ackerman(n-1,m) , m-1);
    }
    
    int main()
    {
        cout << "m = 0 : " << endl;
        cout << "ackerman(1,0) = " << ackerman(1,0) << endl;
        cout << "ackerman(2,0) = " << ackerman(2,0) << endl;
        cout << "ackerman(3,0) = " << ackerman(3,0) << endl;
        cout << "ackerman(4,0) = " << ackerman(4,0) << endl;
    
        cout << "m = 1 : " << endl;
        cout << "ackerman(1,1) = " << ackerman(1,1) << endl;
        cout << "ackerman(2,1) = " << ackerman(2,1) << endl;
        cout << "ackerman(3,1) = " << ackerman(3,1) << endl;
        cout << "ackerman(4,1) = " << ackerman(4,1) << endl;
    
        cout << "m = 2 : " << endl;
        cout << "ackerman(1,2) = " << ackerman(1,2) << endl;
        cout << "ackerman(2,2) = " << ackerman(2,2) << endl;
        cout << "ackerman(3,2) = " << ackerman(3,2) << endl;
        cout << "ackerman(4,2) = " << ackerman(4,2) << endl;
    
        cout << "m = 3 : " << endl;
        cout << "ackerman(1,3) = " << ackerman(1,3) << endl;
        cout << "ackerman(2,3) = " << ackerman(2,3) << endl;
        cout << "ackerman(3,3) = " << ackerman(3,3) << endl;
        cout << "ackerman(4,3) = " << ackerman(4,3) << endl;
    
        return 0;
    }
    

    4.排列问题
    将数列全排列:
    n=1时:只有一种排列;
    n>1时:将

    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    void perm_recursion(int list[],int k,int m){
        if(k==m){
            for(int i=0;i<=m;i++)
                cout<<list[i]<<" ";
            cout<<endl;
        }
        else{
            for(int i=k;i<=m;i++){
                swap(list[k],list[i]);
                perm_recursion(list,k+1,m);
                swap(list[k],list[i]);
            }
        }
    }
    
    int main(){
        int list[]={0,1,2};
        cout<<"permutation implement by recursion:"<<endl;
        perm_recursion(list,0,2);
        cout<<endl;
        return 0;
    }
    

    5.整数划分问题
    将正整数n表示为一系列正整数的和。不同的划分个数称为n的划分数,记作p(n),
    在正整数n的所有不同划分中,将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。
    正整数n的划分数p(n) = q(n,n)
    在这里插入图片描述
    代码实现:

    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    int q(int n ,int m){
        if(n<1||m<1)
            return 0;
        if(n==1||m==1)
            return 1;
        if(n<m)
            return q(n,n);
        if(n==m)
            return 1+q(n,m-1);
        return q(n,m-1)+q(n-m,m);
    }
    int p(int n){
        return q(n,n);
    }
    int main(){
        for(int i=1;i<7;i++){
            cout<<"interger_partition("
            <<i<<") ="<<p(i)<<endl;
        }
        return 0;
    }
    

    6.汉诺塔问题
    hanoi(n, a, b, c)表示按照游戏规则,n块圆盘从a塔移至b塔,c塔作为辅助塔。

    move(a, b)表示将塔a最上面的圆盘移至塔b,并输出这一步骤。
    代码实现:

    展开全文
  • 很明显,题目中分号表明递归与后两者是不同层次概念。 递归: 我更倾向于递归是一种编程技巧,递归逻辑简单,但是内存占用大(栈存储变量、操作等等);常见递归问题如爬楼梯、汉诺塔、快排等等。 分治...

    本文介绍算法中易混淆的几个概念,分别是递归,分治与动态规划。很明显,题目中的分号表明递归与后两者是不同层次的概念。

     递归:
    我更倾向于递归是一种编程技巧,递归的逻辑简单,但是内存占用大(栈存储变量、操作等等);常见的递归问题如爬楼梯、汉诺塔、快排等等。

    分治策略:
    将原问题分解为若干个规模较小但类似于原问题的子问题(Divide),「递归」的求解这些子问题(Conquer),然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解。因为在求解大问题时,需要递归的求小问题,因此一般用「递归」的方法实现,即自顶向下。

    动态规划(Dynamic Programming)
    动态规划其实和分治策略是类似的,也是将一个原问题分解为若干个规模较小的子问题,递归的求解这些子问题,然后合并子问题的解得到原问题的解。
    区别在于这些子问题会有重叠,一个子问题在求解后,可能会再次求解,于是我们想到将这些子问题的解存储起来,当下次再次求解这个子问题时,直接拿过来就是。
    其实就是说,动态规划所解决的问题是分治策略所解决问题的一个子集,只是这个子集更适合用动态规划来解决从而得到更小的运行时间。
    即用动态规划能解决的问题分治策略肯定能解决,只是运行时间长了。因此,分治策略一般用来解决子问题相互对立的问题,称为标准分治,而动态规划用来解决子问题重叠的问题。

    将「动态规划」的概念关键点抽离出来描述就是这样的:

    1.动态规划法试图只解决每个子问题一次
    2.一旦某个给定子问题的解已经算出,则将其记忆化存储,以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。动态规划自底向上(迭代而非递归)求解问题,避免重复计算。
    动态规划的例子如爬台阶问题(以斐波那契数列迭代求解)、挖金矿问题(当前金矿挖或不挖)。

    展开全文
  • 递推与递归分治法、贪心、动态规划的区别动态规划 简介:贪心法 简介:动态规划法 分治法 比较:贪心法 动态规划法 比较:递推 和 递归 区别: 动态规划 简介: 动态规划(Dynamic Programming, DP) : 是一种...

    动态规划 简介:

    动态规划(Dynamic Programming, DP) : 是一种用来解决一类 最优化问题 的算法思想。简单来说,动态规划将一个 复杂的问题分解成若干个子问题,通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。需要注意的是,动态规划会将每个求解过的子问题的解记录下来,这样当下一次碰到同样的子问题时,就可以直接使用之前记录的结果,而不是重复计算。

    使用动态规划算法的两个基本要素
    (1)重叠子问题;
    (2)最优子结构特性。

    一般可以使用递归或者递推的写法来实现动态规划,其中递归写法在此处又称作记忆化搜索。

    贪心法 简介:

    贪心法:是指所求问题的 整体最优解 可以通过一系列 局部最优 得到,总是做出在当前看来是最好的选择。不从整体最优上加以考虑,所做出的是在某种意义上的局部最优解,不能保证对所有问题都能得到整体最优解

    动态规划法 与 分治法 比较:

    1. 共同点:都是将问题分解为子问题,然后合并子问题的解得到原问题的解。
    2. 区别:
      动态规划 解决的问题一定是最优化问题,并且拥有重叠子问题
      分治法 解决的问题不一定是最优化问题,分解出的子问题是不重叠的(如归并排序、快速排序)

    贪心法 与 动态规划法 比较:

    1. 共同点:都要求原问题必须有最优子结构(“最优子结构” 指的是:一个问题的最优解可以由其子问题的最优解有效的构造出来)。

    2. 区别:
      贪心法:类似于“自顶向下”,但是并不等待子问题求解完毕后再选择使用哪一个, 而是通过某种策略直接选择一个子问题去求解,没被选择的子问题就不去求解了,直接抛弃,是一种单链的流水方式。最终不一定能得到最优解

      动态规划:不论是自底向上还是自顶向下的计算方式,都是从边界开始向上得到目标问题的解。即:他总会考虑所有子问题。

    递推 和 递归 区别:

    1. 使用递推写法的计算方式是自底向上(Bottom-up Approach),即从边界开始,不断向上解决问题,直到解决了目标问题;
    2. 而使用递归写法的计算方式是自顶向下(Top-down Approach), 即从目标问题开始,将它分解成子问题的组合,直到分解至边界为止。
    展开全文
  • 递归与分治法经典例子

    千次阅读 2019-06-23 15:06:44
    文章目录关于算法递归与分治法基本概念递归经典例子hanoi塔分治法经典例子整数排列(全排列问题)*整数划分*二分搜索*大数乘法棋盘覆盖合并排序、归并排序循环赛程表最接近点对 关于算法 问题1:算法基本概念/...


    关于算法

    问题1:算法基本概念/算法和程序:定义和区别是什么?
    概念/定义和区别:

    • 算法:指解决问题的方法或过程。
    • 程序:是算法用某种程序设计语言的具体实现。
    • 程序可以不满足算法性质的有限性。

    问题2:算法的复杂性统计/复杂性分析和估算:简单分析与估算。

    • 算法复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源的多少,所以有时间复杂性和空间复杂性之分。
    • 为简化算法复杂性的分析,引入渐进符号:O(上界)、Ω(下界)、Θ(同阶)、o、ω

    递归与分治法基本概念

    • 递归:直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
    • 分治:大问题分解为小问题,对这k个子问题分别求解。将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。

    递归经典例子

    hanoi塔

    有三根针a、b、c。a 针上有N个盘子,大的在下,小的在上,要求把这N个盘子从 a 针移到 b 针,在移动过程中可以借助 c 针,每次只允许移动一个盘,且在移动过程中在三根针上都保持大盘在下,小盘在上。
    解决思路:

    1. 当 n=1 时,直接将圆盘从 a 移到 b。
    2. 当 n>1 时,需要利用 b,将 n-1 个圆盘移到 c 上,然后将剩下的最大圆盘移到 b
    3. 最后利用 a,将 n-1 个较小的圆盘从 c 移到 b 上(递归子问题 n-1)。

    我们将n个圆盘的移动问题就分解成了两次 n-1 个圆盘的移动问题。

    递归算法:

    		public static void hanoi(int n,int a,int b,int c){
    			if(n==1){
    				move(a,b);
    			}else{
    				hanoi(n-1,a,c,b);
    				move(a,b);
    				hanoi(n-1,c,b,a);
    			}
    		}
    

    分治法经典例子

    整数排列(全排列问题)

    解决思路:
    依次将待排列的数组的后n-1个元素与第一个元素交换,则每次递归处理的都是后n-1个元素的全排列。当数组元素仅有一个时为此递归算法的出口。

    伪代码:

    		public void Perm(int[] a,int k,int n){
    			if(k==m){
    				for(int i=0;i<n;i++){
    					System.out.println(a[i]);
    				}
    			}else{
    				for(int i=k;i<n;i++){
    					swap(a,i,k);
    					perm(a,k+1,m);
    					swap(a,i,k);
    				}
    			}
    		}
    

    整数划分

    问题:将给定正整数n表示成一系列正整数之和
    n=n1+n2+…+nk,其中n1≥n2≥…≥nk≥1,k≥1。
    求正整数n的不同划分个数p(n)
    解决思路:
    设 n 是要划分的数,最大加数 ni 不大于 m,用 f(n,m) 表示整数 n 在最大加数为 m 时的划分个数,则可以得到如下递归式。
    1
    特别注意:f(n,m) = f(n-m,m)+f(n,m-1)

    • f(n-m,m):包含 m 的情况,则需要减去要划分的数为n-m,最大数为m
    • f(n,m-1):不包含m的情况

    伪代码:

    		public int solution(int n,int m){
    			if(n==1 || m==1){
    				return 1;
    			}
    			if(n<m){
    				return solution(n,n)
    			}
    			if(n==m){
    				return 1+solution(n,m-1);
    			}
    			if(n>m){
    				return solution(n-m)+solution(n,m-1);
    			}
    		}
    

    二分搜索

    问题:给定已排好序的 n 个元素,要在这 n 个元素中找出特定的元素 x。
    解决思路:
    将 n 个元素分成个数大致相同的两半,将第 n/2 个元素与 x 进行比较,直到找到与 x 相等的元素。

    伪代码:

    		public static int binarySearch(int[] a,int x,int n){
    			int left = 0;
    			int right = n-1;
    			while(left<=right){
    				int mid = (left+right)/2;
    				if(x==a[mid])
    					return mid;
    				if(x<a[mid])
    					right = mid-1;
    				else
    					left = mid+1;
    			}
    			return -1;
    		}
    

    大数乘法

    解决思路:
    将 n 位二进制整数 X 和 Y,分成两段:

    • X 的前 n/2 位为 A,后 n/2 位为 B,则 X = A2^(n/2) + B
    • Y的前 n/2 位位 C,后 n/2 位为 D,则 Y = C2^(n/2) + D

    则相乘可以写成 XY = AC2^n + ((A-B)(D-C)+AC+BD)2^(n/2) + BD

    分析:
    当 n=1 时,T(n) = O(1)
    当 n>1 时,3T(n/2)+O(n),由此时间复杂性将为O(n^1.59)


    棋盘覆盖

    2
    解决思路:
    当 k>0 时,将 2^k × 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) × 2^(k-1) 子棋盘,其中一个子棋盘必定会有一个特殊方格,为了其余 3 个子棋盘也有特色放个,可以用一个 L 型的覆盖汇合处:
    3
    这样就将原问题转化位 4 个较小规模的棋盘覆盖问题,直到棋盘简化为 1 × 1 棋盘。

    伪代码:

    		public void chessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){
    		//tr,tc:左上角方格的行列号;dr,dc:特殊方格所在行列号;size:棋盘的k
    			int t=i++;//用来表示第i块L型
    			int s = size/2;//划分后新的size
    			if(size==1)
    				return;
    			//左上角
    			if(dr<tr+s && dc<tc+s){//特殊方格在这个子棋盘
    				chessBoard(tr,tc,dr,dc,s);//递归覆盖其余方格
    			}else{
    				board[tr+s-1][tc+s-1] = t;//board表示棋盘,无特殊方格右下角填充L型
    				chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);//递归覆盖其余方格
    			}
    			//右下角、左下角、右下角同理...
    		}
    

    分析:
    当 k=0 时,T(k) = O(1)
    当 k>0 时,4T(K-1) + O(1)


    归并排序、快速排序

    归并排序思路:
    将待排序元素分成大小大致相同的 2 个子集合,分别对 2 个子集合进行排序,最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。

    		public static void mergeSort(Comparable[] a){
    			Comparable[] b = new Comparable[a.length];
    			int s=1;
    			while(s<a.length){
    				mergePass(a,b,s);
    				s += s;
    				mergePass(b,a,s);
    				s += s;
    			}
    		}
    

    快速排序思路:

    1. 将 a[p:r] 分成三段:a[p:q-1]、a[q]、a[q+1:r],使得 a[p:q-1] 中的任何元素都小于等于 a[q],a[q+1,r] 中的任何元素都大于等于 a[q]。
    2. 分别对 a[p:q-1] 和 a[q+1:r] 进行递归调用快速排序算法,最后得到的 a[p:r] 就是排好序的。
    		public static void qSort(int p,int r){
    			if(p<r){
    				int q = partion(p,r);
    				qSort(p,q-1);
    				qSort(q+1,r);
    			}
    		}
    

    循环赛程表

    问题:有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表:
    (1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次;
    (2)每个选手一天只能参赛一次;
    (3)循环赛在n-1天内结束。
    请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。在表中的第i行,第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。其中1≤i≤n,1≤j≤n-1。
    解决思路:
    (1)由初始化的第一行填充第二行
    4
    (2)由s控制的第一部分填完。然后是s++,进行第二部分的填充
    5
    (3)最后是第三部分的填充
    6
    伪代码:

    		public static table(int k,int[][] a){
    			int n=1;
    			for(int i=1;i<=k;i++)
    				n *= 2;
    			for(int i=1;i<=n;i++)
    				a[1][i] = i;
    			int m = 1;
    			for(int s=1;s<=k;s++){
    				n /= 2;
    				for(int t=1;t<=n;t++){
    					for(int i=m+1;i<=2*m;i++){
    						for(int j=m+1;j<=2*m;j++){
    							a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];
    							a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];
    						}
    					}
    				}
    				m *= 2;
    			}
    		}
    

    最接近点对

    问题:定平面上n个点,找其中的一对点,使得在n个点的所有点对中,该点对的距离最小。严格地说,最接近点对可能多于1对。为了简单起见,这里只限于找其中的一对。

    解决思路:
    首先对集合进行如下的划分:
    d = min{d1,d2}
    7
    可能存在 p∈P1,q∈P2,且 distance(p,q)<d 的情况,所以,需要计算 P1 中的每个点 p,是否在 P2 中存在这样的点 q,因为距离小于 d,所以一定落在如下图的 R 中:
    8
    又因为 P2 中的点对距离都不小于 d,所以极端情况就是 R 的每个角上都有一个点,即最多只有 6 个点是需要我们计算的 q。
    此外,我们可以在计算前,将 P1 和 P2 中的点安装 y 坐标排序,将 p 和 P2 的点投影到 l 上,那么就只要检查 p 点附近距离 d 内的点(最多6个)就行了。

    伪代码:

    		public static double cpair{
    			n = |S|;
    			if(n<2)
    				return -1;
    			m = S中各点x坐标的中位数。
    			S1={p∈S|x(p)<=m}, S2={p∈S|x(p)>m}
    			d1 = cpair(S1);
    			d2 = cpair(S2);
    			dm = min(d1,d2);
    			P1,P2分别是距 l 的距离在 dm 之间的所有点集合
    			将 P1,P2 依 y 坐标排好序,点列分别为 X,Y
    			扫描 X,对于 X 的每个点检查 Y 中每个点与其距离在 dm 之内的所有点距离,最小记录为 dl
    			d = min(dm,dl);
    			return d;
    		}
    
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