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  • 功限信号类型:正交信号,双正交信号,单纯信号等 特点:高维星座表征,功率效率高,带宽效率低 一、正交信号 信号矢量 最大相关准则判决 平均比特错误概率Pb=2k−12k−1Pe≈12PeP_b=\frac{2^{k-1}}{2^k-1}P_e≈\...

    功限信号类型:正交信号,双正交信号,单纯信号等
    特点:高维星座表征,功率效率高,带宽效率低

    一、正交信号

    • 信号矢量在这里插入图片描述
    • 最大相关准则判决
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    • 平均比特错误概率Pb=2k12k1Pe12PeP_b=\frac{2^{k-1}}{2^k-1}P_e≈\frac{1}{2}P_e,按照概率论排列组合推出来
    • 为了达到给定的比特错误概率,增加波形个数M可以减少对比特SNR的要求
    • 香农极限:在kM=2kk→无穷(即M=2k →无穷)的极限情况下,达到任意小的错误概率(Pe0P_e→0)所要求的最小SNR1.6dBSNR为-1.6dB
    • 特例:FSK,最小频率间隔Δf=l2T\Delta f=\frac{l}{2T},当Δf=0.715T\Delta f=\frac{0.715}{T}时错误概率最小

    二、双正交信号

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    • 最大判决规则:选取输出幅度的最大值作为判决信号;幅度的正负号用来确定发送信号是sm(t)sm(t)s_m(t)还是-s_m(t)
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  • 错误概率有两种1.误符号率:PeP_ePe​;2.误比特率:PbP_bPb​。 一、ASK信号 M个一维信号点 任意两个相邻点间最小距离为dmin=12log2MM2−1ϵbavgd_{min}=\sqrt{\frac{12log_2M}{M^2-1}\epsilon_{bavg}}dmin​=M2...

    信号类型:ASK,PSK,QAM
    主要特征:低带宽需求,传输方式具有低维度(1,2维),与发送信号数目无关,功率效率随消息数的增加而减少。
    错误概率有两种1.误符号率:PeP_e;2.误比特率:PbP_b

    一、ASK信号

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    • M个一维信号点
    • 任意两个相邻点间最小距离为dmin=12log2MM21ϵbavgd_{min}=\sqrt{\frac{12log_2M}{M^2-1}\epsilon_{bavg}}
    • 星座图中有两种类型的点,M-2个内点,2个外点
    • 采用最大相关度量判决,对于内点,Pe=2Q(dmin2N0)P_e=2Q(\frac{d_{min}}{\sqrt{2N_0}});对于外点,Pe=Q(dmin2N0)P_e=Q(\frac{d_{min}}{\sqrt{2N_0}}),外点错误概率是内点的一半
    • 总的错误概率Pe=2(M1)MQ(dmin2N0)=2(M1)MQ(6log2MM21ϵbavgN0)P_e=\frac{2(M-1)}{M}Q(\frac{d_{min}}{\sqrt{2N_0}})=\frac{2(M-1)}{M}Q(\sqrt{\frac{6log_2M}{M^2-1}\frac{\epsilon_{bavg}}{N_0}})
    • 当M增加时,dmind_{min}减小,PeP_e增大,要使PeP_e不变,必须提高SNR
    • M=2时,误符号率Pe=Q(2ϵbavg2N0)P_e=Q(\frac{2\epsilon_{bavg}}{\sqrt{2N_0}}),相当于二进制双极性信号PAM的错误概率

    二、PSK信号

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    • 二维,sm(t)=g(t)cos[2πfct+2πM(m1)]s_m(t)=g(t)cos[2\pi f_ct+\frac{2\pi}{M}(m-1)]
    • 普通情况误码率推导很复杂
    • M=2时,二进制相位调制,误比特率Pb=Q(2ϵb2N0)P_b=Q(\sqrt{\frac{2\epsilon_{b}}{2N_0}})
    • M=4时误比特率不变,误符号率Pe=1(1Pb)2P_e=1-(1-P_b)^2
    • Pe1kPeP_e ≈ \frac{1}{k}P_e
    • PSK默认使用相干解调,相干解调存在相位模糊问题,因为相干解调需要载波相位的信息。
    • 为了解决相位模糊问题,可以对前后相邻的信号间相位差进行编码,即差分编码PSK-DPSK
    • DPSK使用相干解调的错误概率近似于PSK的2倍;采用非相干解调的错误概率为Pb=12eϵb/N0P_b=\frac{1}{2}e^{-\epsilon_b/N_0}
    • DPSK虽然性能稍不如PSK,但是不需要用复杂的方法来估计载波相位,计算复杂度低

    三、QAM

    • 二维,sm(t)=Amccos2πfctAmsg(t)sin2πfcts_m(t)=A_{mc}cos2\pi f_ct-A_{ms}g(t)sin2\pi f_ct
    • 采用最大相关度量检测,判决域取决于信号星座的形状,故而QAM的错误概率与信号点的星座图有关
    • 星座图平均发送信号能量计算:
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    • 每一路MPMPAM=2(M1)MQ(3log2MM1ϵbavgN0)\sqrt{M}的错误概率为P_{\sqrt{M}-PAM}=\frac{2(\sqrt{M}-1)}{\sqrt{M}}Q(\sqrt{\frac{3log_2M}{M-1}\frac{\epsilon_{bavg}}{N_0}})
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  • 最后,我们提出并比较了两种信号检测方案,即将ISI视为噪声的简单线性最小均方误差(LMMSE)接收机和考虑了ISI的最大似然序列检测(MLSD)方案。 结果表明,在信道ISI下,MLSD明显优于LMMSE。 所提出的ISI信道模型...
  • 因此,所提出的信号具有类似于扩频信号的有利的低概率检测特性。 在目标接收机上,提出了一种基于主动混叠的欠采样方法。 这样,预期的接收器可以相干地收集所有子带上的发射信号功率,并可靠地提取信息。 我们还...
  • 接收机是雷达系统和通信系统的重要组成部分,为了达到最好的接收效果,分析噪声通过接收机后的输出概率特性及其统计特性对分析接收机的抗干扰性能,信号检测与估计是十分重要的。本文建立了窄带随机过程和线性包络...
  • 信号检测与估计ppt

    2010-06-10 18:48:42
    在接收端对收到的受干扰的信号时利用信号概率和噪声功率等信息按照一定的准则判定信号的存在,称为信号检测。在接收端利用收到的受干扰的发送信号序列尽可能精确地估计该发送信号的某些参数值(如振幅、频率、相位、...
  • 基带信号检测通信系统中至关重要的一环,知道如何选取判决门限以及通信系统的误码率计算可以更好地辅助我们对通信系统进行设计和优化。下面我们从理论的角度一起推导一下: 首先,我们在本文中的推导是基于二...

    基带信号的检测是通信系统中至关重要的一环,知道如何选取判决门限以及通信系统的误码率计算可以更好地辅助我们对通信系统进行设计和优化。下面我们从理论的角度一起推导一下:

    首先,我们在本文中的推导是基于二进制的通信系统。我们假设这个系统会发送两种符号(0和1),发送0的概率是 p(s0)p(s_0) ;发送1的概率是 p(s1)p(s_1)。即:an={a11"a20" a_n = \begin{cases} a_1\quad 发送 “1"\\ a_2\quad 发送 “0" \end{cases}
    (从上面的表达式我们可以知道现在我们用的是单极性不归零编码)

    我们回顾一下基带信号成型的公式:s(t)=n=+angT(tnT) s(t) = \sum_{n=-∞}^{+∞}a_ng_T(t-nT)

    所以我们可以知道发送符号 “1” 的时候,在一个码元周期内就是一个方波信号;如果发发送的是符号 “0”,那么在一个码元周期内就没有信号。我们用简单的记法:s1(t)s_1(t)s0(t)s_0(t) 来表示不同的符号波形。即:s(t)={s1(t)1"s2(t)2" s(t) = \begin{cases} s_1(t)\quad 发送符号 “1"\\ s_2(t)\quad 发送符号 “2"\\ \end{cases}

    然后我们这个 s(t)s(t) 信号经过加性高斯噪声的干扰,到达接收端之后的形式就是:r(t)={s1(t)+n(t)1s2(t)+n(t)0 r(t) = \begin{cases} s_1(t)+n(t)\quad 发送符号 “1”\\ s_2(t)+n(t)\quad 发送符号 “0” \end{cases}
    接下来因为经过了低通滤波器,匹配滤波器和均衡器之后,我们到达判决器。值得注意的是:在到达判决器之前的信号是已经经过采样的了。而采样的时间点,因为我们之前经过了匹配滤波器,而匹配滤波器的采样时刻就是在一个码元周期结束的时刻 TT。所以对于一个二元基带传输系统,经过抽样之后得到的样值我们就可以表示成:z(T)={a1+n(T)1a2+n(T)0 z(T) = \begin{cases} a_1+n(T)\quad 发送符号 “1”\\ a_2+n(T)\quad 发送符号 “0”\\ \end{cases}

    值得注意的是,因为原本的 n(t)n(t) 是高斯白噪声,假设信号之前经历的那些低通滤波器等都是采用的线性滤波器,那么经过抽样处理之后的 n(T)n(T) 仍然是高斯噪声。 我们写一下高斯白噪声的概率密度函数:p(n)=12πσen22σ2 p(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} σ}e^{-\frac{n^2}{2 σ^2}}

    下面我们看看 z(T)z(T) 在发送不同符号时的概率密度函数:当发送符号 “1”时,因为我们的 aa是一个常数,因此常数加上高斯分布仍然满足高斯分布,只不过均值变了。因此有:p(zs1)=12πσe(za1)22σ2 p(z|s_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} σ}e^{-\frac{(z-a_1)^2}{2 σ^2}}

    当发送符号 0 时,那很简单,就是:p(zs2)=12πσe(za2)22σ2 p(z|s_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} σ}e^{-\frac{(z-a_2)^2}{2 σ^2}}

    下面我们把这两个概率密度函数画出来:
    在这里插入图片描述

    上图中的 γ0γ_0 就是一个判决门限,比如说如果我接收到的信号z(T)=a+n(T)z(T) = a + n(T) ,如果这个 z(T)>γ0z(T)>γ_0 那么就被判决为 s1s_1。那么读者已经可以发现了:这个 γ0γ_0 我们其实是可以任意取值的,你取在哪里都可以,但是显然不同的取值对最终判决的准确率有很大的影响。

    下面我们的工作是如何把这个最合适的判决门限:首先我们来表示一下误码率 PEP_EPE=P(s1)γ0p(zs1)dz+P(s2)γ0+p(zs2)dz P_E = P(s_1)\int_{-∞}^{γ_0}p(z|s_1)dz+P(s_2)\int_{γ_0}^{+∞}p(z|s_2)dz

    因为我们前面说了不同的 γ0γ_0 将会影响 PEP_E,所以我们需要找到一个γ0γ_0 使得 PEP_E最小。那么我们就让 PEP_Eγ0γ_0 计算偏导,如下:PEγ0=P(s1)p(γ0s1)P(s2)p(γ0s2)=0 \frac{\partial P_E}{\partial γ_0}=P(s_1)p(γ_0|s_1)-P(s_2)p(γ_0|s_2)=0
    所以有:P(s1)p(γ0s1)=P(s2)p(γ0s2) P(s_1)p(γ_0|s_1)=P(s_2)p(γ_0|s_2)
    我们把具体的概率密度函数带进去,得:P(s1)12πσe(γ0a1)22σ2=P(s2)12πσe(γ0a2)22σ2 P(s_1)\frac{1}{\sqrt{2\pi} σ}e^{-\frac{(γ_0-a_1)^2}{2 σ^2}} = P(s_2)\frac{1}{\sqrt{2\pi} σ}e^{-\frac{(γ_0-a_2)^2}{2 σ^2}}
    即:P(s1)P(s2)=e(γ0a2)22σ2e(γ0a1)22σ2 \frac{P(s_1)}{P(s_2)} = \frac{e^{-\frac{(γ_0-a_2)^2}{2 σ^2}}}{e^{-\frac{(γ_0-a_1)^2}{2 σ^2}}}
    连边同时取 lnln,整理一下可以把 γ0γ_0 算出来了:γ0=σ2a2a1(lnP(s1)P(s2)+a222σ2a122σ2) γ_0 = \frac{σ^2}{a_2-a_1}(ln\frac{P(s_1)}{P(s_2)}+\frac{a_2^2}{2σ^2}-\frac{a_1^2}{2σ^2})

    另外,当两个符号是先验等概的时候,有:γ0=a1+a22 γ_0 = \frac{a_1+a_2}{2}


    下面我们推导误码率公式,为了简单期间,我们就考虑两个符号先验等概的情况(先验不等概的情况完全一样,只不过门限就换了一个数罢了):PE=P(s1)γ0p(zs1)dz+P(s2)γ0+p(zs2)dz P_E = P(s_1)\int_{-∞}^{γ_0}p(z|s_1)dz+P(s_2)\int_{γ_0}^{+∞}p(z|s_2)dz

    即:PE=12(a1+a22p(zs1)dz+a1+a22+p(zs2)dz) \begin{aligned} P_E&=\frac{1}{2}(\int_{-∞}^{\frac{a_1+a_2}{2}}p(z|s_1)dz+\int_{\frac{a_1+a_2}{2}}^{+∞}p(z|s_2)dz)\\ \end{aligned}

    这个式子比较复杂,而且积分又好像难以合并,这时该怎么做呢?我们回想刚刚看到的图,其实因为积分表示的就是面积,巧的是 s0s_0s1s_1 错误判决的部分的面积是一样的。即:a1+a22p(zs1)dz=a1+a22+p(zs2)dz \int_{-∞}^{\frac{a_1+a_2}{2}}p(z|s_1)dz=\int_{\frac{a_1+a_2}{2}}^{+∞}p(z|s_2)dz
    所以我们可以将上面的式子写成:PE=a1+a22+p(zs2)dz=a1+a22+12πσe(za2)22σ2dz \begin{aligned} P_E&=\int_{\frac{a_1+a_2}{2}}^{+∞}p(z|s_2)dz\\ &=\int_{\frac{a_1+a_2}{2}}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2\pi} σ}e^{-\frac{(z-a_2)^2}{2 σ^2}}dz \end{aligned}

    我们希望把误码率化成Q函数的形式,即:Q(x)=x+12πez22dz Q(x) = \int_{x}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz

    所以有:PE=a1+a22+p(zs2)dz=a1+a22+12πσe(za2)22σ2dz=a1+a22+12πe(za2σ)22d(za2σ) \begin{aligned} P_E&=\int_{\frac{a_1+a_2}{2}}^{+∞}p(z|s_2)dz\\ &=\int_{\frac{a_1+a_2}{2}}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2\pi} σ}e^{-\frac{(z-a_2)^2}{2 σ^2}}dz\\ &=\int_{\frac{a_1+a_2}{2}}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\frac{z-a_2}{σ})^2}{2}}d(\frac{z-a_2}{σ}) \end{aligned}

    我们令:u=za2σu = \frac{z-a_2}{σ},因此积分区间就变成了:PE=u=a1a22σ+12πeu22du=Q(a1a22σ) P_E = \int_{u=\frac{a_1-a_2}{2σ}}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du = Q(\frac{a_1-a_2}{2σ})

    至此,我们就成功地推导出了二进制基带系统的误码率公式以及其最佳判决门限啦。

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  • 本文论述了含加性高斯白噪声的二进制信号检测过程,包含两个基本步骤。第一步,将接收波形转换为一个独立数值;第二步,比较该数值与门限值,并且判断发送信号。其次讨论了如何选择最佳门限值的问题,还证明了采用...

    3.0-通信系统
      基带信号传输中的接收波形已经是脉冲形式,为什么还需要解调器来恢复脉冲波形呢?原因是到达的基带波形不是理想脉冲(每个码元只占据自己的码元间隔) 。由于发送端滤波器和信道的原因,接收脉冲序列存在着码间串扰(ISI),从而产生拖尾信号,这些信号不利于采样检测。解调器(接收滤波器)的目的是消除码间串扰,恢复具有大信噪比(SNR)的基带信号。本文讲述的均衡技术就能够实现这个目的。虽然并不是所有的通信信道都需要均衡,但由于它是一种补偿信道干扰的综合信号处理技术,因此成为许多系统非常重要的组成部分。

      后续将论述的检测过程的带通模型,本质上与本文介绍的基带模型相同,因为在检测之前,必须先将带通信号转换为基带信号。对于线性系统来说,信号检测的数学表达式不受频率搬移的影响,并有下面的等价定理(equivalence theorem):先对带通信号做线性处理,然后用外差法将信号转换为基带信号; 其结果与先用外差法将信号转换为基带信号,然后对基带信号做相应的线性处理相同。“外差”(heterodying)是指一种称为“频率转换”(frequency conversion)或“混频”(frequency mixing)的信号处理过程,它实现了信号的频谱搬移。该等价定理的一个推论是,所有的线性仿真处理过程对基带信号(一般比较简单)作用的结果与对带通信号作用的结果都是相同的,这表明可以把大部分数字通信系统当做基带系统进行描述和分析


    1. 信号和噪声

    1.1 通信系统中差错性能的劣化

      检测器的目的,是以尽可能少的差错从已经产生失真的接收波形中恢复原信息流。引起差错性能下降的主要原因有两个。第一个原因是第 3 节将介绍的发送端、信道和接收端的滤波的影响,非理想的系统传递函数会引起码元“拖尾”而产生码间串扰ISI)。

      另一个原因是电子噪声以及其他各种噪声源的干扰,如宇宙大气噪声、开关瞬态噪声、互调噪声和来自其他噪声源的干扰信号。采用适当的预防措施可以有效地减少甚至消除许多接收器中的噪声和干扰。但是,有一种噪声是无法消除的,就是导体中电子热运动产生的热噪声,该噪声是一种加性噪声,存在于放大器和电路中。运用量子力学已获知了热噪声的统计特性。

      在《Part 1——信号和频谱》的 5.5 小节已介绍,热噪声的主要统计特性是噪声振幅服从正态或高斯分布,如图 1.7。由该图可知,振幅值主要集中在零点附近。从理论上讲,噪声可以达到无穷大,但是这种情况发生的概率很小。在通信系统中,热噪声的主要频谱特性是: 在所讨论的频率范围内双边功率谱密度 Gn(f)=N02G_n\left( f \right) =\dfrac{N_0}{2}。换言之,热噪声高频部分(至 1012 Hz10^{12}\text{ Hz})的功率谱密度与低频部分的功率谱密度相同。当噪声的功率谱密度为常数时,称为白噪声(white noise)。因为热噪声存在于所有的通信系统中, 并且在许多系统中都是主要噪声源,所以在信号检测过程或接收机设计中,通常利用热噪声的特性( 加性、白的、高斯的,即 AWGN)建立噪声模型。若信道为 AWGN 信道且没有其他减损,就可以认为信道减损是由热噪声引起的。

    1.2 解调和检测

      在给定信号间隔 TT 内, 二进制基带系统可能发送的信号波形有两种,分别记做 g1(t)g_1\left( t \right)g2(t)g_2\left( t \right)。 类似地, 二进制带通系统可能发送的信号波形也有两种,分别记为 s1(t)s_1\left( t \right)s2(t)s_2\left( t \right)。 既然带通信号和基带信号的一般解调检测方法是相同的,那么这里就可以用 si(t)s_i\left( t \right) 作为发送波形的一般表示,而不必区分是带通系统还是基带系统,这就使得本文介绍的大多数基带信号解调/检测处理与后续将介绍的带通信号的相关处理是一致的。 因而,在任何二进制信道中,定义在码元间隔 (0,T)\left( 0,T \right) 上的发送信号可以表示为
    si(t)={s1(t),0tT(二进制1)s2(t),0tT(二进制0) s_i\left( t \right) =\begin{cases}\begin{aligned} &s_1\left( t \right) ,&0\leqslant t\leqslant T&\left( \text{二进制}1 \right)\\ &s_2\left( t \right) ,&0\leqslant t\leqslant T&\left( \text{二进制}0 \right)\\ \end{aligned}\end{cases} 信道的冲激响应为 hc(t)h_c\left( t \right),噪声为 n(t)n\left( t \right),相应的接收信号 r(t)r\left( t \right)
    r(t)=si(t)hc(t)+n(t),  i=1,,M r\left( t \right) =s_i\left( t \right) \ast h_c\left( t \right) + n\left( t \right) ,\,\,i=1,\cdots ,M 其中,n(t)n\left( t \right) 假定是均值为零的加性高斯白噪声(AWGN),\ast 表示卷积运算。对理想信道的二进制传输来说,卷积 hc(t)h_c\left( t \right) 不会产生干扰(因为理想信道中 hc(t)h_c\left( t \right) 是冲激函数),此时 r(t)r\left( t \right) 的表达式可以简化为
    r(t)=si(t)+n(t),  i=1,2,  0tT r\left( t \right) =s_i\left( t \right) + n\left( t \right),\,\,i=1,2,\,\, 0\leqslant t\leqslant T   图 3.1 给出了典型的数字接收机解调/检测示意图。 在这里,“解调”指信号波形的恢复(恢复为无失真基带脉冲),“检测”则指采样判决过程。 如果没有纠错编码,检测器的输出是信息码元的估计成 m^i\widehat{m}_i(也称为硬判决)。如果采用纠错编码,则检测器的输出是信道码元(编码位)的估计 n^i\widehat{n}_i,它可以是硬判决也可以是软判决。 为简化表述,在不引起混淆的情况下,用“检测”表示包括判决过程在内的所有接收机信号处理过程图 3.1 中解调器部分的“频率下搬移”(frequency down-conversion)方框的作用是将射频(RF)信号进行频谱搬移,这个功能的具体实现方法有多种。 该方框既可以放在接收机前端,也可以置于解调器中,或略去不用。

    3.1-数字信号解调-检测的两个基本步骤

    图3.1 数字信号解调/检测的两个基本步骤

      接收滤波器(receiving filter, 本质上属于解调器)位于图 3.1 所示的解调和采样方框中间,它的作用是恢复信号波形,为接下来非常重要的一个步骤——检测做准备。由于发送机和信道的滤波作用,接收序列存在着码间串扰,因而不适宜直接进行采样检测。接收滤波器的目标是,在无码间串扰的前提下,恢复具有最大信噪比的基带脉冲。能够实现这个目标的最佳接收滤波器称为匹配滤波器(matched filter)或相关器(correlator),此部分内容将在 2.2 小节2.3 小节中介绍。若信道产生的码间串扰使信号发生失真,则可以在接收滤波器之后接一个均衡器。为了强调它们各自的功能,接收滤波器和均衡器以两个分离的方框出现。但是在大多数情况下,当采用均衡器时,单个滤波器应当设计成两个功能的合并,即它能同时补偿发送器和信道产生的信号失真。这样的合成滤波器通常简称为均衡滤波器(equalizing filter)或接收均衡滤波器(receiving and equalizing filter)。

      图 3.1 突出了解调/检测过程的两个步骤。第一个步骤是从波形到采样信号的转化,由解调器之后的采样器完成。在采样器的输出端,将每个码元间隔 TT 的末端点,即预检测点处的采样记为 z(T)z\left( T\right),有时也称为检验统计量。z(T)z\left( T\right) 的电压值与接收信号的能量成正比,与噪声能量成反比。第二个步骤是根据采样信号的数字意义做出判决(检测)。假定输入噪声是高斯随机过程,解调器中的接收滤波器是线性的。由于高斯随机过程的线性变换仍然是高斯随机过程,因此滤波器的输出噪声也是高斯的。第一个步骤的输出是如下的检验统计量:
    z(T)=ai(T)+n0(T),  i=1,2 z\left( T \right) =a_i\left( T \right) +n_0\left( T \right) ,\,\,i=1,2 其中,ai(T)a_i\left( T \right) 是所需的信号分量,n0(T)n_0\left( T \right) 是噪声分量。为了简化表述,通常将上式表示为 z=ai+n0z=a_i+n_0。噪声分量 n0n_0 是均值为零的高斯随机变量,所以 zz 是均值为 a1a_1a2a_2 的高斯随机变量(具体是哪一个取决于发送的二进制信息是 0 还是 1)。高斯随机变量 n0n_0 的概率密度函数(pdf)为
    p(n0)=1σ02πexp[12(n0σ0)2] p\left( n_0 \right) =\frac{1}{\sigma _0\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{n_0}{\sigma _0} \right) ^2 \right] 其中,σ02\sigma_0^2 是噪声方差。因此由上两式可得条件概率密度函数 p(zs1)p\left( z \mid s_1 \right)p(zs2)p\left( z \mid s_2 \right) 的表达式为
    p(zs1)=1σ02πexp[12(za1σ0)2] p\left( z \mid s_1 \right) =\frac{1}{\sigma _0\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{z-a_1}{\sigma _0} \right) ^2 \right] p(zs2)=1σ02πexp[12(za2σ0)2] p\left( z \mid s_2 \right) =\frac{1}{\sigma _0\sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{z-a_2}{\sigma _0} \right) ^2 \right] 其曲线表示见图 3.2。右边的条件概率密度函数 p(zs1)p\left( z \mid s_1 \right) 称为 s1s_1 的似然(likelihood)函数,表示在已知输入为 s1s_1 的条件下随机变量 z(T)z\left( T \right) 的概率密度函数。同样地,左边的条件概率密度函数 p(zs2)p\left( z \mid s_2 \right) 称为 s2s_2 的似然函数,表示在已知输入为 s2s_2 的条件下随机变量 z(T)z\left( T \right) 的概率密度函数。横坐标 z(T)z\left( T \right) 表示图 3.1 中第一个步骤采样输出的取值范围。

    3.2-两个条件概率密度函数

    图3.2 两个条件概率密度函数

      对接收信号采样后,波形的实际形状已经不重要了;所有采样结果相同的波形对于检测目的来说都是等价的。后面将看到,只要输入信号的能量相等,第一个步骤(见图 3.1)中的最佳接收滤波器(匹配滤波器)的输出 z(T)z\left( T \right) 都是相同的。所以接收信号的能量( 而不是波形)是信号检测过程最重要的参数,这也是基带信号的检测分析与带通信号的检测分析相同的原因。因为 z(T)z\left( T \right) 是与接收码元能量成正比的电压信号,所以 z(T)z\left( T \right) 越大,检测过程信号受噪声的影响就越小。在第二个步骤中,通过比较 z(T)z\left( T \right) 与所选择门限值的大小做出判决,即比较下式:
    z(T)H1H2γ z\left( T \right) \underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}}\gamma 其中,H1H_1H2H_2 是两种可能的( 二进制)假设。该不等式表明,z(T)>γz\left( T \right) > \gamma,则选择 H1H_1;若 z(T)<γz\left( T \right) < \gamma,则选择 H1H_1;若 z(T)=γz\left( T \right) = \gamma,可任选其一。选择 H1H_1 等价于判决 s1(t)s_1\left(t\right) 为输入波形,发送信息为二进制 1;类似地,选择 H2H_2 等价于判决 s2(t)s_2\left(t\right) 为输入波形,发送信息为二进制 0

    1.3 信号和噪声的矢量表示

      本节将给出一种适合基带信号波形和带通信号波形的几何(矢量)表示方法。用 NN 个线性独立的函数 {ϕj(t)}\left\{ \phi _j\left( t \right) \right\}(称为基函数)构成的空间表示一个 NN 维正交空间(orthogonal space),该空间中的任意一个函数都可以由基函数线性表示。基函数必须满足以下条件:
    0Tψj(t)ψk(t)dt=Kjδjk;  0tT;  j,k=1,,N \int_0^T{\psi _j\left( t \right) \psi _k\left( t \right) \text{d}t}=K_j\delta _{jk};\,\,0\leqslant t\leqslant T;\,\,j,k=1,\cdots ,N 式中的算子 δjk={1,j=k      0,otherwise\delta_{jk}=\begin{cases}\begin{aligned}&1,&j=k\quad\;\;\;\\&0,&\mathrm{otherwise}\end{aligned}\end{cases} 称为 δ\delta 函数。当 KjK_j 是非零常数时,信号空间是正交的。若标准化基函数使 Kj=1K_j=1,则该信号空间称为标准正交空间。对正交的基本要求是基函数两两不相关,在检测过程中互不干扰。从几何角度看,ψj(t)\psi_j\left(t\right) 垂直于 ψk(t)\psi_k\left(t\right),其中 jkj\ne k图 3.3 给出了 N=3N=3 正交空间的一个几何示意图,图中的三个互相垂直的坐标轴分别为 ψ1(t)\psi_1\left(t\right)ψ2(t)\psi_2\left(t\right)ψ3(t)\psi_3\left(t\right)。如果 ψj(t)\psi_j\left(t\right) 对应于信号分量的实值电压或电流,假定负载为 1Ω1\,\Omega,那么运用 ExT=T2T2x2(t)dtE_{x}^{T}=\displaystyle\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x^2\left( t \right) \text{d}t} 和上式可以求得 TT 秒内附在负载上消耗的归一化能量(用焦表示)为:
    Ej=0Tψj2(t)dt=Kj E_j=\int_0^T{\psi _{j}^{2}\left( t \right) \text{d}t}=K_j 3.3-信号波形s_m(t)的矢量表示

    图3.3 信号波形sm(t)的矢量表示

      采用正交信号空间的一个重要原因,是在此空间中可以容易地表示出信号的欧几里得距离,而欧氏距离是信号检测的基础。即使信号波形不能构成这样的正交系,也可以表示为一组正交波形的线性组合形式。可以证明,任何一组数目有限、持续时间为 TT、物理可实现的波形 {si(t)}(i=1,,M)\left\{ s_i\left( t \right) \right\} \left( i=1,\cdots ,M \right) 都可以用 NN 个相互正交的波形 ψ1(t),ψ2(t),,ψN(t)(NM)\psi _1\left( t \right) ,\psi _2\left( t \right) ,\cdots ,\psi _N\left( t \right) \left( N\leqslant M \right) 线性表征,即
    s1(t)=a11ψ1(t)+a12ψ2(t)++a1NψN(t)s2(t)=a21ψ1(t)+a22ψ2(t)++a2NψN(t)sM(t)=aM1ψ1(t)+aM2ψ2(t)++aMNψN(t) s_1\left( t \right) =a_{11}\psi _1\left( t \right) +a_{12}\psi _2\left( t \right) +\cdots +a_{1N}\psi _N\left( t \right) \\ s_2\left( t \right) =a_{21}\psi _1\left( t \right) +a_{22}\psi _2\left( t \right) +\cdots +a_{2N}\psi _N\left( t \right) \\ \vdots \\ s_M\left( t \right) =a_{M1}\psi _1\left( t \right) +a_{M2}\psi _2\left( t \right) +\cdots +a_{MN}\psi _N\left( t \right) 上式可以简化为
    si(t)=j=1Naijψj(t);  i=1,,M;  NM s_i\left( t \right) =\sum_{j=1}^N{a_{ij}\psi _j\left( t \right)};\,\,i=1,\cdots ,M;\,\,N\leqslant M 其中
    aij=1Kj0Tsi(t)ψj(t)dt;  i=1,,M;  j=1,,N;  0tT a_{ij}=\frac{1}{K_j}\int_0^T{s_i\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t};\,\,i=1,\cdots ,M;\,\,j=1,\cdots ,N;\,\,0\leqslant t\leqslant T 相关系数 aija_{ij} 是信号 si(t)s_i\left( t \right)ψj(t)\psi _j\left( t \right) 分量值。这里没有指定 {ψj(t)}\left\{ \psi _j\left( t \right) \right\} 的形状,该波形依赖于信号波形,且应该比较简单。信号波形 {si(t)}\left\{ s_i\left( t \right) \right\} 可以看做一组矢量 {si}={ai1,ai2,,aiN}\left\{ s_i \right\} =\left\{ a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{iN} \right\}。例如,若 N=3N=3,可以根据波形:
    sm(t)=am1ψ1(t)+am2ψ2(t)+am3ψ3(t) s_m\left( t \right) =a_{m1}\psi _1\left( t \right) +a_{m2}\psi _2\left( t \right) +a_{m3}\psi _3\left( t \right) 找出对应矢量 sms_m 在三维欧氏空间中的点,其坐标为 (am1,am2,am3)\left( a_{m1},a_{m2},a_{m3} \right)图 3.3 所示。矢量方向描述了信号间的关系(关于相位和频率)矢量振幅 {si}\left\{ \mathbf{s}_i \right\} 代表一个码元间隔内信号能量的量度。一般地, 一旦确定了 NN 个正交基函数,则每个发送信号波形 si(t)s_i\left( t \right) 可以由对应矢量:
    si=(ai1,ai2,,aiN),  i=1,,M \mathbf{s}_i=\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{iN} \right) ,\,\,i=1,\cdots ,M 的系数完全确定。

      现用 {s}\left\{ \mathbf{s} \right\}{s(t)}\left\{ s\left( t \right) \right\} 分别表示信号矢量、信号波形以简化描述。用信号矢量可以方便地表述检测问题,如图 3.4 所示。矢量 sj\mathbf{s}_jsk\mathbf{s}_k 代表 MM 波形集 {si(t)}\left\{ s_i\left( t \right) \right\} 的原型或参照矢量。接收机预知 MM 信号集的每个参照矢量在信号空间中的位置。由于信号在传输过程中受到噪声干扰,因此接收矢量是发送信号矢量和噪声矢量的合成,即 sj+n\mathbf{s}_j+\mathbf{n}sk+n\mathbf{s}_k+\mathbf{n},这里,n\mathbf{n} 代表噪声矢量。噪声是加性高斯噪声,因此接收信号在信号空间中是以 sj\mathbf{s}_jsk\mathbf{s}_k 为中心的云状分布。在点集的中心即靠近参考信号的地方,点的密度较大;远离中心的地方则相对较小。标有“r\mathbf{r}”的箭头代表某个码元间隔内到达接收机的信号矢量。接收机的任务可以表述为:判定 r\mathbf{r} 是相似于原型 sj\mathbf{s}_j,还是原型 sk\mathbf{s}_k,或是 MM 发送信号集中的其他参照信号。判决依据是距离量度,接收机或检测器判断信号空间中哪一个参照信号与接收信号的距离最近。所有解调或检测方案都涉及接收波形与一组可能发送波形之间的距离。检测器遵循的一个简单规则是:将接收信号 r\mathbf{r} 判别为离它最近的参照信号
    3.4-三维矢量空间中的信号和噪声

    图3.4 三维矢量空间中的信号和噪声

    1.3.1 信号波形的能量

      根据信号能量的表达式、物理可实现波形的正交基表示和基函数满足的正交条件,用信号 si(t)s_i\left( t \right) 的各正交分量表示该信号在一个码元间隔 TT 内的归一化能量 EiE_i,表示为
    Ei=0Tsi2(t)dt=0T[jaijψj(t)]2dt=0Tjaijψj(t)kaikψk(t)dt=jkaijaik0Tψj(t)ψk(t)dt=jkaijaikKjδjk=j=1Naij2Kj,  i=1,,M \begin{aligned} E_i&=\int_0^T{s_{i}^{2}\left( t \right) \text{d}t}=\int_0^T{\left[ \sum_j{a_{ij}\psi _j\left( t \right)} \right] ^2\text{d}t}=\int_0^T{\sum_j{a_{ij}\psi _j\left( t \right)}\sum_k{a_{ik}\psi _k\left( t \right)}\text{d}t} \\ &=\sum_j{\sum_k{a_{ij}a_{ik}\int_0^T{\psi _j\left( t \right) \psi _k\left( t \right) \text{d}t}}}=\sum_j{\sum_k{a_{ij}a_{ik}}}K_j\delta _{jk} \\ &=\sum_{j=1}^N{a_{ij}^{2}K_j}, \ \ i=1,\cdots ,M \end{aligned} 上式是 Parseval 定理的一种特殊情况,它建立了 si(t)s_i\left( t \right) 平方的积分与该信号各正交分量系数的平方和之间的联系。若基函数是标准正交函数( 即 Kj=1K_j=1),则 si(t)s_i\left( t \right) 在一个码元间隔 TT上的归一化能量为
    Ei=j=1Naij2   E_i=\sum_{j=1}^N a_{ij}^2\,\,\qquad\qquad 如果每个信号波形 si(t)s_i\left( t \right) 的能量 EE 都相等, 那么上式可写为
    Ei=j=1Naij2,  i E_i=\sum_{j=1}^N a_{ij}^2,\,\,对所有i

    1.3.2 广义傅里叶变换

      上述物理可实现波形的正交基表示和基函数满足的正交条件表示的变换是广义傅里叶变换(generalized Fourier transformation)。在通常的傅里叶变换中,{ψj(t)}\left\{ \psi _j\left( t \right) \right\} 由正弦或余弦谐波函数组成;但在广义傅里叶变换中没有具体限定 {ψj(t)}\left\{ \psi _j\left( t \right) \right\} 是什么函数,只要满足前述基函数满足的正交条件即可。任何一组可积的信号波形,包括噪声,通过广义傅里叶变换都可以表示为一组正交信号波形的线性组合,所以,对于受高斯白噪声干扰的任意一组信号,都可以将正交空间中的距离(欧氏距离)作为信号检测的判决准则。如何进行正交变换与信号的发送、接收方式密切相关。非正交信号组的传送通常是对正交载波分量进行适当加权完成的。

    1.3.3 用正交波形表示白噪声

      与信号相同,加性高斯白噪声(AWGN)可以表示为正交信号波形的线性组合形式。在信号检测时,可以把噪声分成两部分:
    n(t)=n^(t)+n~(t) n\left( t \right) =\hat{n}\left( t \right) +\tilde{n}\left( t \right) 其中
    n^(t)=j=1Nnjψj(t) \hat{n}\left( t \right) =\sum_{j=1}^N{n_j\psi _j\left( t \right)} 是信号空间中的噪声表示,或者噪声分量在信号坐标 ψ1(t),ψ2(t),ψN(t)\psi _1\left( t \right) ,\psi _2\left( t \right) \cdots ,\psi _N\left( t \right) 上的投影。定义
    n~(t)=n(t)n^(t) \tilde{n}\left( t \right)=n\left( t \right) -\hat{n}\left( t \right) 为信号空间外的噪声。换言之,可以将 n~(t)\tilde{n}\left( t \right) 看做能被检测器有效去除的噪声部分,而 n^(t)\hat{n}\left( t \right) 表示干扰检测过程的噪声部分。噪声波形 n(t)n\left( t \right) 可以表示为
    n(t)=j=1Nnjψj(t)+n~(t) n\left( t \right) =\sum_{j=1}^N{n_j\psi _j\left( t \right)}+\tilde{n}\left( t \right) 其中
    nj=1Kj0Tn(t)ψj(t)dt,  对所有j n_j=\frac{1}{K_j}\int_0^T{n\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t},\,\,\text{对所有}j   0Tn~(t)ψj(t)dt=0,  对所有j \qquad\;\int_0^T{\tilde{n}\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t}=0,\,\,\text{对所有}j 因此前述的噪声干扰项 n^(t)\hat{n}\left( t \right) 可以简化记作 n(t)n\left( t \right)。此外,可以用系数矢量表示 n(t)n\left( t \right)
    n=(n1,n2,,nN) \mathbf{n}=\left( n_1,n_2,\cdots ,n_N \right) n\mathbf{n} 是均值为零的高斯随机矢扯,噪声分量 ni(i=1,,N)n_i\left( i = 1 ,\cdots, N \right) 相互独立。
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    1.3.4 白噪声的方差

      白噪声是一种理想随机过程,它的双边功率谱密度等于常数 N02,<f<+\dfrac{N_0}{2},-\infty<f<+\infty。因此噪声方差(等于平均噪声功率,因为噪声均值为零)为
    σ2=var[n(t)]=(N02)dt= \sigma ^2=\text{var}\left[ n\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{\infty}{\left( \frac{N_0}{2} \right) \text{d}t}=\infty   虽然高斯白噪声(AWGN)的方差为无穷大,但经滤波后高斯白噪声的方差是有限的。例如,若 AWGN 与正交函数系中的某一函数相关,则相关器输出信号的方差为
    σ2=var(nj)=E{[0Tn(t)ψj(t)dt]2}=N02 \sigma ^2=\text{var}\left( n_j \right) =\mathbf{E}\left\{ \left[ \int_0^T{n\left( t \right) \psi _j\left( t \right) \text{d}t} \right] ^2 \right\} =\frac{N_0}{2} 因此在随后的检测过程中,假定噪声是相关器或匹配器的输出噪声,方差为 σ2=N02\sigma ^2=\dfrac{N_0}{2},如上式所示。

    1.4 数字通信系统中的信噪比参数

      在学习模拟通信以后,我们会很熟悉一个指标,即信号平均功率和噪声平均功率的比值,简称为信噪比(或称为 SNR)。在数字通信系统中,通常用信噪比的归一化形式 Eb/N0E_b/N_0 作为性能指标EbE_b 为每比特能量,等于信号能量 SS 与每比特持续时间 TbT_b 的乘积;N0N_0 是噪声功率谱密度,等于噪声功率 NN 与带宽 WW 之比; 又因为每比特持续时间 TbT_b 与比特速率 RbR_b 互为倒数,可用 1/Tb1/T_b 代替 RbR_b,因此有下列表达式成立:
    EbN0=STbN/W=S/RbN/W \frac{E_b}{N_0}=\frac{ST_b}{N/W}=\frac{S/R_b}{N/W} b/s\text{b/s} 为单位的数据速率是数字通信中最常用的指标之一,为简化描述,将比特速率 RbR_b 简记为 RR。为强调 Eb/N0E_b/N_0S/NS/N 的归一化带宽和比特率形式,将上式转化为
    EbN0=SN(WR) \frac{E_b}{N_0}=\frac{S}{N}\left( \frac{W}{R} \right) 数字通信系统性能最重要的度量之一是误码率 PBP_BEb/N0E_b/N_0。的关系曲线(见图 3.6,若 Eb/N0x0E_b/N_0\geqslant x_0,则 PBP0P_B\leqslant P_0。无量纲比值 Eb/N0E_b/N_0 是数字通信系统性能的一个标准指标,可以将系统所需的 Eb/N0E_b/N_0 作为比较两个通信系统性能优劣的量度: 在给定差错概率的条件下,所需的 Eb/N0E_b/N_0 越小,检测的准确性就越高

    3.5-PB与EbN0的关系曲线

    图3.5 PB与Eb/N0的关系曲线

    1.5 Eb/N0E_b/N_0 作为度量指标的原因

      初学数字通信的读者可能会怀疑参数 Eb/N0E_b/N_0 的有用性。在模拟通信中,S/NS/N 是一个非常有用的指标,其分子表示期望保持的传输功率大小,分母表示噪声干扰的大小。但为什么在数字通信中要使用与之不同的指标(每比特能撮与噪声功率谱密度之比值)呢?下面就给出对这个问题的解释。

      在《Part 1——信号和频谱》的 2.4 小节中,将功率信号定义为平均功率有限而能量无穷大的信号,而将能量信号定义为平均功率等于零而能量有限的信号。这样的分类在对模拟信号和数字信号做比较时是非常有用的。我们将模拟信号归类为功率信号。这有什么意义呢?通常模拟波形的持续时间为无限长, 不需要做分割或加时间窗。对时域无限的电信号波形而言,其能量为无穷大,因此不能用能量来描述该信号。对模拟信号而言,功率(或能量传输速率)是一个更有用的参数。

      然而,数字通信系统采用时间长度为码元间隔 TsT_s 的波形来发送和接收码元。每个码元的平均功率(在整个时间轴上取平均)等于零,所以功率不能用于描述数字信号。因此对于数字信号应该采用能在时间窗内度量信号的测度。换言之,码元能量(功率在 TsT_s 上的积分) 是一个更适于描述数字信号波形的参数

      接收能量可以很好地描述数字信号,但这还没有说明为什么 Eb/N0E_b/N_0 是数字系统的一个很好的指标。数字波形是代表数字信息的媒介,消息可能包含 1 比特(二进制)、2 比特(四进制)、……、10 比特(1024 进制)等。与这种离散信息结构完全不同,模拟通信系统的信息源是无限量化的连续波。数字系统的衡量指标必须在比特级上比较两个系统的性能。因为数字信号波形只可能包含 1 比特、2 比特、……、10 比特等的信息,所以用 S/NS/N 无法对数字信号进行描述。例如,若给定差错概率,某二进制数字信号所需的 S/NS/N 为 20,注意,数字信号波形与其包含的数字含义等价。因为二进制波形包含 1 比特信息,所以每比特所需的 S/NS/N 是 20。若信号是 1024 进制的,所需的 S/NS/N 仍为 20 。由于该波形包含 10 比特信息,所以每比特所需的 S/NS/N 为 2。由此可见,用 S/NS/N 作为数字系统的指标表示起来十分繁杂,可以采用更适合的参数——比特级别上的能量相关参数 Eb/N0E_b/N_0 来描述这个指标。与 S/NS/N 相同,Eb/N0E_b/N_0 也是一个无量纲比值,下列表达式证明了这点:
    EbN0=/赫兹= \frac{E_b}{N_0}=\frac{焦\text{耳}}{\text{瓦}/\text{赫兹}}=\frac{\text{瓦}\cdot \text{秒}}{\text{瓦}\cdot \text{秒}}


    2. 高斯噪声干扰下二进制信号的检测

    2.1 最大似然接收机结构

      回顾 1.2 小节给出的图 3.1 中第二个步骤中的判决准则,即
    z(T)H1H2γ z\left( T \right) \underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}}\gamma 二进制判决门限 γ\gamma 的选择是基于最小差错概率准则的。为计算最小差错概率对应的门限值 γ\gamma,首先要建立条件概率密度函数比与先验概率比之间的不等式。因为条件概率密度函数 p(zsi)p\left(z \mid s_i\right) 又称为 sis_i 的似然函数,所以不等式:
    p(zs1)p(zs2)H1H2P(s2)P(s1) \frac{p\left( z \mid s_1\right)}{p\left( z \mid s_2 \right)}\underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}} \frac{P\left( s_2 \right)}{P\left( s_1\right)} 又称为似然比判决准则(likelihood ratio test,)。在该不等式中,P(s1)P\left( s_1 \right)P(s2)P\left( s_2 \right) 分别是发送 s1(t)s_1\left( t\right)s2(t)s_2\left( t\right) 的先验概率,H1H_1H2H_2 是发送信号的两种可能。按照最小差错概率准则,若似然函数之比大于先验概率之比,就判决 H1H_1 为输入信号。

      如果 P(s1)=P(s2)P\left( s_1 \right) = P\left( s_2 \right) 并且似然函数 p(zsi)(i=1,2)p\left( z \mid s_i\right) \left( i=1,2\right) 是偶对称的,将 1.2 小节p(zs1)p\left( z \mid s_1\right)p(zs2)p\left( z \mid s_2\right) 的表达式代入上式可得
    z(T)H1H2a1+a22=γ0 z\left( T \right)\underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}} \frac{a_1+a_2}{2}=\gamma_0 其中,a1a_1 是发送 s1(t)s_1\left( t\right)z(T)z\left( T \right) 的信号分量,a2a_2 是发送 s2(t)s_2\left( t\right)z(T)z\left( T \right) 的信号分量。对于这个特殊例子,最小化错误概率的最佳判决门限(optimum threshold)γ0\gamma_0a1+a22\dfrac{a_1+a_2}{2}。这种方法称为最小误差准则(minimum error criterion)。

      对于等概信号,最佳判决门限是两个似然函数交叉点对应的 z(T)z\left( T \right),见图 3.2。由上式可知,判决规则实际上就是选择与信号具有“最大相似性”的信号。例如,任意给定检测器的输出 za(T)z_a\left( T \right),它属于 s1(t)s_1\left( t\right)s2(t)s_2\left( t\right) 分割区域的可能性都不为零。这时可认为可能性检测就是对似然函数值 p(zas1)p\left( z_a \mid s_1\right)p(zas2)p\left( z_a \mid s_2\right) 进行比较, 最有可能的发送信号就是最大概率密度函数所对应的信号。换言之,若
    p(zas1)>p(zas2) p\left( z_a \mid s_1\right) > p\left( z_a \mid s_2\right) 则接收机选择 s1(t)s_1\left( t\right) 作为发送信号, 否则选择 s2(t)s_2\left( t\right)。在先验概率相等条件下的最小差错概率检测器又称为“最大似然检测器” 。

      图 3.2 表明,在已知信号统计特性的情况下,上式是信号检测的常用方法。假设已知检测器输出为 za(T)z_a\left( T \right),由图 3.2za(T)z_a\left( T \right)s1(t)s_1\left( t\right) 的似然函数交于 l1l_1,与 s2(t)s_2\left( t\right) 的似然函数交于 l2l_2。怎样才是最合理的判决呢?在此例中将发送可能性较大的 s1(t)s_1\left( t\right) 作为判决结果。若是 MM 进制波形, 则与 MM 个分割区域相对应共有 MM 个似然函数。最大似然判决从 MM 种可能中选择可能性最大的一个

    2.1.1 差错概率

      在图 3.2 描绘的二进制判决方法中有两种可能发生的错误。一种错误是当发送 s1(t)s_1\left( t\right) 时,信道噪声使接收机的输出 z(t)z\left( t \right) 小于 γ0\gamma_0。这种错误发生的概率为
    P(es1)=P(H2s1)=γ0p(zs1)dz P\left( e \mid s_1 \right) =P\left( H_2 \mid s_1 \right) =\int_{-\infty}^{\gamma _0}{p\left( z \mid s_1 \right) \text{d}z} 图 3.2γ0\gamma_0 的左侧阴影部分。同样地,当发送 s2(t)s_2\left( t\right) 时,若信道噪声使接收机的输出 z(t)z\left( t \right) 大于 γ0\gamma_0,也将发生判决错误。这种错误发生的概率为
    P(es2)=P(H1s2)=γ0p(zs2)dz P\left( e \mid s_2 \right) =P\left( H_1 \mid s_2 \right) =\int_{\gamma _0}^{\infty}{p\left( z \mid s_2 \right) \text{d}z} 错误概率等于某种错误以各种方式发生的概率之和。对与二进制情况,比特误差概率表示为
    PB=i=12P(e,si)=i=12P(zsi)P(si) P_B=\sum_{i=1}^2{P\left( e,s_i \right)}=\sum_{i=1}^2{P\left( z \mid s_i \right) P\left( s_i \right)} 综合以上三式,有
    PB=P(es1)P(s1)+P(es2)P(s2) P_B=P\left( e \mid s_1 \right) P\left( s_1 \right) +P\left( e \mid s_2 \right) P\left( s_2 \right)
    PB=P(H2s1)P(s1)+P(H1s2)P(s2) P_B=P\left( H_2 \mid s_1 \right) P\left( s_1 \right) +P\left( H_1 \mid s_2 \right) P\left( s_2 \right) 上面两式表明,若发送 s1(t)s_1\left( t\right) 而选择 H2H_2,或发送 s2(t)s_2\left( t\right) 而选择 H1H_1,则产生判决误差。对先验等概情况( 即 P(s1)=P(s2)=12P\left( s_1 \right) =P\left( s_2 \right) =\dfrac{1}{2})有
    PB=12P(H2s1)+12P(H1s2) P_B=\frac{1}{2}P\left( H_2 \mid s_1 \right) +\frac{1}{2}P\left( H_1 \mid s_2 \right) 又因为条件概率密度函数的对称性,上述表达式可简化为
    PB=P(H2s1)=P(H1s2) P_B=P\left( H_2 \mid s_1 \right) =P\left( H_1 \mid s_2 \right) 误码率 PBP_B 在数值上等于似然函数(p(zs1)p\left( z \mid s_1 \right)p(zs2)p\left( z \mid s_2 \right))落在门限值错误一侧下的面积。因此,可以通过计算 p(zs1)p\left( z \mid s_1 \right)-\inftyγ0\gamma_0的积分,或 p(zs2)p\left( z \mid s_2 \right)γ0\gamma_0\infty 的积分获得 PBP_B
    PB=γ0=a1+a22p(zs2)dz P_B=\int_{\gamma _0=\frac{a_1+a_2}{2}}^{\infty}{p\left( z \mid s_2 \right) \text{d}z} 其中 γ0=a1+a22\gamma _0=\dfrac{a_1+a_2}{2}是最佳门限值。用 1.2 小节给出的高斯分布表达式代替上式中的 p(zs2)p\left( z \mid s_2 \right),可得
    PB=γ0=a1+a221σ2πexp[12(za2σ0)2]dz P_B=\int_{\gamma _0=\frac{a_1+a_2}{2}}^{\infty}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{z-a_2}{\sigma _0} \right) ^2 \right] \text{d}z} 其中,σ02\sigma^2_0 是相关器输出噪声的方差。

      令 u=za2σ0u=\dfrac{z-a_2}{\sigma _0},有 σ0du=dz\sigma _0\text{d}u=\text{d}z,则:
    PB=u=a1a22σ0u=12πexp(u22)du=Q(a1a22σ0) P_B=\int_{u=\frac{a_1-a_2}{2\sigma _0}}^{u=\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{u^2}{2} \right) \text{d}u}=Q\left( \frac{a_1-a_2}{2\sigma _0} \right) 其中,Q(x)Q\left( x \right) 称为互补误差函数(complementary error function 或者 co-error function), 常用于表示落在高斯 pdf 下部的概率,定义为
    Q(x)12πxexp(u22)du Q\left( x \right) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{\infty}{\exp \left( -\frac{u^2}{2} \right) \text{d}u} 注意,互补误差函数的定义有多种方式,但是对于确定由高斯噪声引起的差错概率来说,各种定义方式都是等价的。此外,可以查到一些与 Q(x)Q\left( x \right) 近似性很好的简单函数。当 x>3x >3 时,Q(x)Q\left( x \right) 的一个近似函数为
    Q(x)1x2πexp(x22) Q\left( x \right) \approx \frac{1}{x\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right)