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  • 通过给定的a和b即可出beta分布概率密度函数 python中的stats模块提供了beta分布概率密度函数求解的实现stats.beta 下面是几个参考网址: stats中的beta分布求解实现 如何通过抽样的方法得到概率分布 python实现...

    beta分布与二项分布呈共轭分布
    其分布函数如下图所示
    在这里插入图片描述
    gamma函数为(n-1)! , a和b是两个超参数。通过给定的a和b即可求出beta分布的概率密度函数

    python中的stats模块提供了beta分布概率密度函数求解的实现stats.beta

    下面是几个参考网址:
    stats中的beta分布求解实现
    如何通过抽样的方法得到概率分布
    python实现beta概率密度函数

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  • 根据概率密度函数的转换:p(θ, φ) = sinθp(ω) 根据边际概率密度: 条件概率: 分别θ和φ的概率累积函数: 上面的积分非常难,我在https://www.symbolab.com/上解出来。 通过代数求得: ...

    先说明一下,我们平常说的GGX的正确技术名称就是trowbridge-Reitz。

    微表面的法线分布定义如下:

    \int _{\Omega }D(h)\cos\theta _hdh = 1

    其中D(h)是法线分布函数,cosθh是N dot h。

    p(h) = D(h) \cos \theta _h = \frac{\alpha ^2 \cos\theta _h}{\pi\left ( \left ( \cos\theta_h \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}

    根据概率密度函数的转换:p(θ, φ) = sinθp(ω) 

    p(\theta, \phi) = \frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}

    根据边际概率密度:

    p(\theta) = \int _{0}^{2\pi} p(\theta, \phi)d\phi = \int _{0}^{2\pi}\frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2} d\phi = \frac{2\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}

    求条件概率:

    p(\phi |\theta) = \frac{p(\phi, \theta)}{p(\theta)} = \frac{1}{2\pi}

    分别求θ和φ的概率累积函数:

    \int _{0}^{\theta}p(\theta)d\theta =\int _{0}^{\theta}\frac{2\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}d\theta \\= \frac{\alpha ^2}{(\alpha ^2-1)(1 + \cos^2\theta(\alpha ^2-1))} - \frac{1}{\alpha ^2 -1} = \xi _0

    上面的积分非常难求,我在https://www.symbolab.com/上解出来。

    通过代数求得:

    \cos^2\theta = \frac{1 - \xi _0}{1 + (\alpha ^2 -1)\xi _0}

    \theta = \cos^{-1}\sqrt{\frac{1 - \xi _0}{1 + (\alpha ^2 -1)\xi _0}}

    φ的概率累积函数:

    \int _{0}^{\phi}p(\phi |\theta)d\phi = \frac{\phi}{2\pi} = \xi _1

    \phi= 2\pi \xi_1

    以上可以求出要采样的微表面法线h,但蒙特卡洛方法是对入射光的采样,因此我们必须要求出p(ωi)。

    下面我们来看立体角dωi和dωh的关系:

    如上图所示,我把dωr看成是dωi,dω'看成是dωh。

    由于IR = 2IP,那么

    dA''' = dAr/4;

    再看dA''和dA'''的关系:

    OP = cosθi',OQ = 1;

    那么dA''和dA'''关系是:dA''' = cosθi'²dA''。

    dA^{'} = dA^{''}\cos\theta _i ^{'} = \frac{dA^{'''}\cos\theta _i ^{'}}{(\cos\theta _i ^{'} )^{2}} = \frac{dA^{'''}}{\cos\theta _i ^{'}} = \frac{dA_r}{4\cos\theta _i ^{'}}

    换回ωh和ωi就是:

    d\omega _h = \frac{d\omega _i}{4(\omega _i \cdot \omega _h)} = \frac{d\omega _i}{4(v \cdot \omega _h)} \quad (v + \omega _i = \omega _h)

    \int _{\Omega }pdf(\omega _h) d\omega _h = \int _{\Omega } \frac{pdf(\omega _h)}{4(v\cdot \omega _h)}d\omega _i = 1

    所以有:

    pdf(\omega _i) = \frac{pdf(\omega _h)}{4(v\cdot \omega _h)}

    到这里推导才完毕。

    =======也可以用pbrbook的来推导======

    和几个朋友讨论,最后一位QQ名叫壳的解答了我一直不太懂的地方。

    这里重新定义θh和θi,使得2θh = θi,并且满足:ωh = ωo + ωi。

    但在其他地方,θh是h和N的夹角,这里会让人非常迷惑为何会成立。

    由于φi = φh,

    所以这里得出了dωh和dωi的关系,然后把这个坐标系转回以宏观法线N为z轴向上的坐标系下,关系依然成立!

     

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  • 概率密度指出各种范围内的概率的大小,通过概率密度函数进行描述 2概率密度函数是图形中的一条线条,而概率则是这条线下方的一定数值范围内的面积。 3类似于频数密度,概率密度通过面积表示表示概率,频数密度通过...

    离散数据由单个数值组成,连续数据包含一个数据范围。

    1.概率密度:

    连续随机变量的概率分布可用概率密度函数描述。

    1. 概率密度是一种表示概率的方法,并非概率本身。概率密度指出各种范围内的概率的大小,通过概率密度函数进行描述
    2. 概率密度函数是图形中的一条线条,而概率则是这条线下方的一定数值范围内的面积。
    3. 类似于频数密度,概率密度通过面积表示表示概率,频数密度通过面积表示频数。
    4. 满足条件的面积即为所求概率,图形总面积必须等于1。
    5. 对于连续概率,必须通过计算概率密度曲线下方的面积得出概率。

    2.正态分布——连续型数据的“理想模型”

    正态分布具有对称钟形曲线,中央部位的概率密度最大,均值和中位数众数均位于中央位置。

    X~N(μ, σ2):连续随机变量X服从均值为μ,标准差为σ的正态分布。
    μ指出曲线中央位置,σ指出分散性,σ越大,图像越扁平,概率永远不等于0。
    正态概率计算步骤

    1. 确定分布参数与需求范围
    2. 标准化为Z~N(0, 1):
      先移动均值,使μ=0;然后收窄方差Z=(x-μ)/σ
    3. 利用标准分Z,用概率表查找概率
      注意:概率表通常只给出P(Z<=z)形式的概率,注意灵活转化

    用正态分布代替二项分布(当nq和np都大于5时)

    如果随机变量X服从X~B(n,p)二项分布,且np和nq都大于5时,则可用X~N(np, npq)近似代替。
    连续性修正:在计算前,将离散数值转换为连续标度时,范围数值必须进行连续性修正(下限加0.5,上限减0.5)
    注意:如果区间是带等号,先消除等号再连续性修正,例如X<=10——X<11——X<10.5

    用正态分布代替泊松分布(当λ大于15时)

    如果X~Po(λ),且λ大于15,则可用X~N(λ,λ)近似代替。
    注意连续性修正

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  • 离散概率分布与连续概率分布的区别 对离散概率分布来说,我们关心的是取得一个特定数值...通过计算一个数值范围内的概率密度函数下方的面积,可得出该数值范围的概率。概率密度函数下方的总面积必须等于1。 处理连...

    离散概率分布与连续概率分布的区别

    对离散概率分布来说,我们关心的是取得一个特定数值的概率,而对连续概率分布来说,我们关心的是取得一个特定范围的概率。

    概率密度函数

    描述连续随机变量的概率分布。通过它可以求出一个数据范围内的某个连续变量的概率,它向我们指出该概率分布的形状。通过计算一个数值范围内的概率密度函数下方的面积,可得出该数值范围的概率。概率密度函数下方的总面积必须等于1。

    处理连续数据时,所计算的是一个数值范围的概率。概率密度是一种用来表示连续型变量概率的方法。所以求概率就是求概率密度函数下的面积。

    正态分布(高斯分布)

    之所以被正态分布是是因为它的形态合乎理想。

    正态分布的历史

    第一次发现是棣莫弗对二项分布使用了Stifiling公式得出了正态分布的密度函数的形式。

    后来拉普拉斯做了更多的分析,并把二项分布的正态近似推广到了任意 p的情况。

    这便出现了棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,即二项分布以正态分布为其极限分布定律。

    1805 年勒让德发表了最小二乘法,基本思想就是认为测量中有误差,所以所有的累积误差为

    累积误差 =()2

    勒让德在论文中对最小二乘法的优良性做了几点说明:

    最小二乘使得误差平方和最小,并在各个方程的误差之间建立了一种平衡,从而防止某一个极端误差取得支配地位
    计算中只要求偏导后求解线性方程组,计算过程明确便捷
    最小二乘可以导出算术平均值作为估计值

    高斯发现了以正态误差分布为基础的最小二乘法。高斯的工作中既提出了极大似然估计的思想,又解决了误差的概率密度分布的问题, 由此我们可以对误差的大小的影响进行统计度量了。高斯的这项工作对后世的影响极大,而正态分布也因此被冠名 高斯分布。

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通过概率密度函数求分布函数