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  • 谭浩强老师《C程序设计》第四章第一题。学习辅导里没有答案,整理一下方便记忆。 1.算术运算就是指加减乘除和整数模运算(即取余数运算)。...3.逻辑运算指两个条件进行运算,有逻辑与、逻辑或、逻辑非三种。 ...

    谭浩强老师《C程序设计》第四章第一题。学习辅导里没有答案,整理一下方便记忆。

    1.算术运算就是指加减乘除和整数的模运算(即取余数运算)。

    2.关系运算就是比较运算,将两个数值进行比较,判断其比较结果是否符合给定的条件。

    3.逻辑运算指两个条件进行运算,有逻辑与、逻辑或、逻辑非三种。

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  • 按照规定法则和顺序对式题或算式进行运算,并求出结果过程。包括:加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种运算形式。 其中减为一级运算,乘除为二级运算,乘方、开方为三级运算。在一道算式,如果有几...

    什么是算术运算?什么是关系运算?什么是逻辑运算?

    【答案解析】

    算术运算:

    • 算术运算即“四则运算”,是加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种运算的统称。

    • 其中加减为一级运算,乘除为二级运算,乘方、开方为三级运算。在一道算式中,如果有多级运算存在,则应先进行高级运算,再进行低一级的运算。

    • C语言中的算熟运算符包括:+-*/++--% 等种类。

    • 如果只存在同级运算;则从左至右的顺序进行;如果算式中有括号,则应先算括号里边,再按上述规则进行计算。

    示例:$ (1 + 1)^{2} * 4+5 * 3$

    解析:

    1. 先进行括号内运算1+1,然后进行乘方运算得到结果4.
    2. 接下来与4相乘,得到结果16
    3. 因为乘法优先级大于加法,因此先进行5*3,得到结果15
    4. 最终相加得到结果31

    结果:31

    关系运算:

    • 关系的基本运算有两类:一类是传统的集合运算(并、差、交等),另一类是专门的关系运算(选择、投影、连接、除法、外连接等),而在C语言中,关系运算通常被认为是比较运算,将两个数值进行比较,判断比较结果是否符合给定的条件。

    • 常见的关系运算符包括:<<=>>===!= 等种类。

    • 其中,前4种关系运算符(<、<=、>、>= )的优先级别相同,后2种(==、!=)也相同。而前4种高于后2种。

    • 例如, > 优先于 == 。而 >< 优先级相同。 并且,关系运算符的优先级低于算术运算符,关系运算符的优先级高于赋值运算符(=)。

    逻辑运算:

    • 在逻辑代数中,有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种,如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。而在C语言中,逻辑运算通常用于使用逻辑运算符将关系表达式或其它逻辑量连接起来组成逻辑表达式用来测试真假值。

    • 常见的逻辑运算符包括:&&||! 等种类

    • && 与是双目运算符,要求有两个运算对象,表示两个运算对象都成立,则结果为真,否则结果为假。

    例如:(a<b) && (x>y),表示(a<b)和(x>y)同时成立则为真。

    • ||:是双目运算符,要求有两个运算对象,表示两个运算对象只要任意一个成立,则结果为真,否则结果为假。

    • 例如:(a<b) && (x>y),表示(a<b)和(x>y)两个对象中任意一个成立则结果为真。

    • !:是单目运算符,只要求有一个运算对象,表示取运算对象反义,运算对象为真则结果为假,运算对象结果为假则结果为真。

    • 例如:!(a>b),表示(a>b)成立时结果为假,不成立时结果为真。

    • 若在一个逻辑表达式中包含多个逻辑运算符,则优先次序为: ! > && > ||。当然若一个逻辑表达式中包含括号括起来的子逻辑,则优先括号内的子逻辑判断。

    示例:

    • (1>2)||(2>3)&&(4>3) 结果为0 !(1>2)||(2>3)&&(4>3)结果为1

    • 注:&&优先级大于||,((2>3)&&(4>3))无法同时成立,则结果为假,然后与(1>2)结果进行逻辑或运算,两者都为假因此第一次结果为假。 而第二次!优先级最高,先对(1>2)的结果取逻辑非,得到结果为真,因此结果为真。

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  • 而这些定义和命题除了不矛盾外,可以由数学家随意创造”思想,希望把真实意义放回数学,与物质现实非常不同那种意义,是指“数学上不定义对象之间相关关系以及它们所遵循的运算法则”。书提到术语...

    序言

    斯图尔特:这本书反击了“数学是从定义和公理中推导出来的一组结论,而这些定义和命题除了不矛盾外,可以由数学家随意创造”的思想,希望把真实的意义放回数学中,与物质现实非常不同的那种意义,是指“数学上不加定义的对象之间的相关关系以及它们所遵循的运算法则”。书中提到的术语虽然也许会过时,但是它的思想是至今有效的。
    数学的基本要素:逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性;发展趋势从应用科学到理论科学;数学的发展:巴比伦人的初等代数->希腊(真正的起点)->欧多克斯的几何连续统理论(连续、运动以及无限大难题);
    数学的发展和数学与哲学

    第一章 自然数

    数是近代科学的基础,所有数学命题最终都应归结为关于自然数。数是一种抽象,不依赖于对象的任何特殊性质。
    一、整数的计算
    1、算术是正整数之间加法和乘法运算的规律,包括交换、结合和分配律;
    利用加法可以定义不等关系,减法、负整数、整数0
    2、整数的表示:位置记法(进制表示法):选择了固定的进制,便可以利用加法表和乘法表表示计算规则
    二、数系的无限性 数学归纳法
    1、数系的无限性通过数学归纳法证明;
    2、数学归纳法:两个步骤;只能证明创造性的成分;适合正确的假设
    三、数论
    欧几里得、费马、欧拉、高斯等;
    数论中经常研究一类数而不是单个数
    1、素数 vs 合数
    (1)素数有无穷多个:反证法
    (2)素因子分解的唯一性:反证法
    (3)素数的分布:“爱拉陀塞姆筛法” ;
    (4)素数的产生:F(n)=2^(2 n)^+1(n<5) ; F(n)=n2 -n +41(n<41)
    很难找到一个可以表示所有素数的代数表达式
    (5)素数平均分布----素数定理:τ(n)/n ~ 1/(ln n) ,n越大越相近(高斯猜想)
    (6)哥德巴赫猜想:任何一个偶数(除2外)都能表示为两个素数的和;(每一个正整数能表示成不超过300000个素数之和->4个)
    (7)素数经常以p和p+2的形式成对出现(未证明)
    2、同余
    (1)费马定理:ap-1=1(mod p) 其中p为不整除a的素数
    (2)二次剩余:a(p-1)/2=1或-1(mod p)p同上;前者为二次剩余,后者为二次非剩余;两者个数均为(p-1)/2;
    (3)勒让德发现(高斯所谓的“二次互反定律”):已知两个不同的素数p和q,如果(p-1)/2 * (q-1)/2为偶数,则q为p的二次剩余当且仅当p是q的二次剩余;如果(p-1)/2 * (q-1)/2 为奇数,则q为p的二次剩余当且仅当p为q的二次非剩余;
    3、毕达哥拉斯数和费马大定理:
    (1)毕达哥拉斯三元数:a2+b2=c2 的整数解(a,b,c),a=v2-u2,b=2uv,c=u2+v2,当v>u,且没有公因子,为不同的奇数时产生所有的素毕达哥拉斯三元数
    (2)费马大定理:an+bn=cn,当n>2时,没有自然数解(未被证明)
    4、欧几里得辗转相除法:
    (1)=> 最大公因子
    (2)p|ab可以得到p|a或p|b=>算术基本定理
    (3)欧拉函数φ:φ§=p-1;φ(n=p1a1p2a2…pnan)=n(1-1/p1)…(1-1/pn)
    欧拉定理(费马定理推论):aφ(n)=1 (mod n) ,其中n与a互素
    (4)连分数:利用辗转相除法可以将任意有理数表示为连分数
    丢番都方程:具有若干个未知数的整系数代数方程,要求解为整数;常见的形式为ax+by=c,只需c为(a,b)的倍数即可;

    第二章 数学中的数系

    一、将自然数扩展有理数、无理数以及复数
    1、有理数:
    自然数 --(实际应用以及加乘法逆运算)–>分数(有理数)
    有理数的几何表示,绝对值,
    2、无理数:
    (1) 不可公度线段 => 无理数
    数的连续统(实数系):有理数+无理数,即全体无限小数(只针对十分位,不具有一般性)
    (2)极限:趋向于 : 趋向于 ;无穷等比级数;
    (3)有理数和循环小数:循环小数可以利用无穷等比级数证明为有理数
    (4)无理数和区间套:对于一个有理端点区间套,在数轴上恰有一个点包含在所有这些区间中;(更一般的定义)
    (5)戴特金分割(无理数的另一种定义):将有理数分为A,B两个集合,满足A中任意元素都小于B中任意元素;有三种情况:(<a,=>a),(<=a,>a),(<,>),第三种分割定义了一个无理数
    3、解析几何概述:
    由于数的连续统,可以将几何与数联系起来,从引入“直角坐标系”开始;直线方程、曲线方程;
    4、无限的数学分析(主要贡献者:康托):
    (1)无限(∞)不能像普通数那样放入实数系统;借助“等势”的概念(“一一对应”的两个集合)了解无限集,定义无限的“算术”;一个无限集可以与其真子集“等势”;
    (2)有理数的可数性和连续统的不可数性(康托);
    (3)无限集分为可数无限性和不可数无限性;;而实数连续统和任何可数集不等势,即并不是无限集都是等势的;
    (4)“相同”基数:是指两个集合等势;对于有限集合的基数就是元素的个数,即自然数;
    5、复数(解二次方程引入)
    几何解释:将复数x+yi用在平面直角坐标系中,也可以表示为ρ(cosφ+isinφ);
    证明了棣莫弗所发现的公式:(cosφ+isinφ)n=cosnφ+isinnφ
    从而发现n次单位根有不同的n个值,分别为ai=cos360i/n+isin360i/n
    6、代数基本定理:每一个n次多项式可以恰好分解为n个因式的乘积;(高斯定理:n次多项式方程至少有一个解 是前提)
    7、代数数:是任意次的整系数方程的根;是有理数的自然推广;全体代数数是可数的,所以并不是每个实数都是代数数;
    超越数:非代数数的实数;
    8、柳维尔定理:无理代数数可以用大分母分数的有理数以很高的精确度来逼近的数;设有理数列p1/q1,p2/q2,…, 使pr/qr->z,则有|z-p/q|>1/qn+1

    由于实际需要而引入新的数域或者扩大数域的起初,都是在找到几何意义后才广泛被接受
    

    二、集合代数(关于集的运算)

    第三章 几何作图 数域的代数

    一、不可能性的证明和代数
    1、基本几何作图
    (1)域的构作和开平方根
    将几何问题转换为代数语言;解析几何的原理就是在引进实数连续的基础上,用实数刻画几何对象的量的特征;
    可以利用三角形内的“中位线”来讲有理代数过程用几何作图实现;
    若干个数可以经过运算后仍然属于这个集合,称为域;

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    数据结构第一节

    什么是数据结构

    基本概念:把现实问题信息化

    什么是数据

    数据是信息的载体指能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合,相当于程序加工的原料

    数据结构

    是相互之间存在一种或多种特定关系数据元素的集合

    数据对象

    是具有相同性质的数据元素的集合,是数据的一个子集

    数据结构的三要素

    • 逻辑结构
    • 物理结构(储存结构)
    • 数据的运算

    逻辑结构

    数据元素之间的逻辑关系

    • 集合
    • 线性结构
    • 树形结构
    • 图状结构(网状结构)

    线性结构

    数据元素之间是一对一的关系。除了第一个元素所有元素都有唯一前驱;除了最后一个元素,所有元素都有唯一后继。

    网状结构

    元素之间是多对多的联系

    数据的物理结构(存储结构)

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    数据类型、抽象数据类型

    数据类型是一个值的集合和定义在此集合上单一组操作的总称

    1. 原子类型:其值不可再分的数据类型。
    2. 结构类型:其值可以再分解为若干成分的数据类型

    :结构数据类型是通过需求来决定值的范围

    抽象数据类型(ADT)

    ADT

    抽象数据类型是抽象数据组织及之相关的操作

    ADT用数学化的语言定义数据的逻辑结构、定义运算,与具体的实现无关。

    总结

    在这里插入图片描述

    在探讨一种数据结构时的步骤:

    1, 定义逻辑结构(数据元素之间的关系)

    2, 定义数据的运算(针对实现需求应该对这种逻辑结构进行什么样的运算)

    3, 确定某种储存结构,实现数据结构,并实现一些对数据结构的基本运算。

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