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  • 在二维的闭曲线的积分求解中,我们有格林公式来帮忙。而在三维中的曲线积分则由斯托克斯来解决。一个三维函数沿一个三维面边界的线积分等于这个函数旋度在面上的面积分。直观的用行列式记忆。因为 dS⋅cosα=dydz{\...

    在二维的闭曲线的积分求解中,我们有格林公式来帮忙。而在三维中的曲线积分则由斯托克斯来解决。

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    一个三维函数沿一个三维面边界的线积分等于这个函数旋度在面上的面积分。

    直观的用行列式记忆。

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    因为
    dScosα=dydz
    dScosβ=dxdz
    dScosα=dzdy

    所以也有另一个版本,这里化的是第一型曲线积分,关于第一型曲面积分的与第二型曲面积分的关系,以上可以看出端倪。

    以上。

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  • 积分几何的方法,得到了一些非简单的平面闭曲线的Bonnesen型等周不等式.
  • 对坐标的曲线积分

    千次阅读 2020-03-14 23:04:32
    一、使用第一类曲线积分 1.1、变力沿直线所做功 1.2、平面流速场流量 1.2.1、平面流速场在单位时间沿闭曲线L环流量 二、对坐标曲面积分 2.1、引例: 变力沿曲线做功 ...

    一、使用第一类曲线积分

    1.1、变力沿直线所做的功

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    1.2、平面流速场的流量

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    1.2.1、平面流速场在单位时间沿闭曲线L的环流量

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    二、对坐标的曲面积分

    2.1、引例: 变力沿曲线做功

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    2.2、定义

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    2.3、物理意义

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    2.4、性质

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    三、第二类曲线积分的计算

    3.1、定理

    注意: α\alpha对应L的起点,β\beta对应L的终点,β\beta一定不能大于α\alpha

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    推广
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    3.2、对坐标的曲线积分化为定积分的步骤

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    3.2、对坐标的曲线积分的计算

    3.2.1、被积函数、起点、终点相同,但是沿不同的路径,得到的积分不同

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    3.2.2、沿不同路径,积分可以相同

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    3.3.3、前提条件 Py=Qx\frac{\partial P} {\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

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    四、第一类曲线积分与第二类曲线积分对比

    4.1、区别

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    4.2、联系

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    例1
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    例2、

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  • 第二型曲线积分的总结思考

    万次阅读 多人点赞 2016-09-30 20:03:41
    第二型曲线积分,更多是考察格林公式,与路径无关,区域范围内格林公式失效该怎么分割区域等。但我们还是尽量从第一原理角度思考问题,学习以下我男神马斯克做法:不管NASA是怎么做,他只计算发送火箭...

    概念

    在第一型曲线积分我们知道,问题在于对ds的转化。无论是直接化还是通过参数方程进行,目的都是把曲线的微元化为可定义范围的参数或者是x,y。

    第二型曲线积分,更多是考察格林公式,与路径无关,闭区域范围内的格林公式失效该怎么分割区域等。

    求什么

    OK,回到问题中来,一般的第二型曲线积分的长相是这样的:
    LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

    首先需要一种感性认识,其次才是怎么分解这个问题,得到求解的基本思路。

    从这个写法上看,是对一个曲线的路径的积分,两个函数分别与dxdy相乘。也就是说,当沿着曲线游走的过程中,ds是被分解了的,因此我们不必带着第一型曲线积分中求解系数的直觉去思考这个问题,而是以一种向量的角度去看待。
    即:ds=(dxdy).
    那么P,Q又是什么呢?
    对的,也是一个向量。
    不妨令平面中有一个力F=(P(x,y),Q(x,y))
    在曲线的每一点处,力的方向大小在变化,向量s方向大小也在变化。
    我们取定一点的极小变化区间,求得F和s在这区间的向量积,是在这个空间微元内做的功。把走完这个曲线做的所有功积起来,便是所有的功,也即我们需要求的值。

    这样解释,虽然赋予了这个式子以漂亮的物理意义,也能用在物理中进行功的求解,但是对于求解问题的思路看起来毫无帮助。

    没关系,以上只是帮助建立一种感性的认识。

    真正对计算有帮助的是下面的内容。

    怎么求

    基本题

    在二维平面内,L的表达式是x,y互相限制的,因此我们常常能够找到这个关系,比如y=y(x),于是dy=y(x)dx,问题瞬间变成了一个简单的一元积分的求解。
    变为:LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=ba(P(x,y(x))+Q(x,y(x)))dx,x(a,b)

    我们知道,这和x=x(t),y=y(t)性质是一样的.只不过需要对t进行求积分。

    技巧题
    • 将边界方程代入求解
    • 利用对称性求解
    • 格林公式
      • 可直接利用,只需要单连通区域内P,Q有连续一阶偏导
      • 补线使之封闭,补的线易于求解
    • 非封闭下,判定与路径无关,
      • 转换成简单路径计算
      • 化出Pdx+Qdy的原函数F(x,y),F(x2,y2)F(x1,y1)即可。其中(x1,y1),(x2,y2)分别为起点和终点。

    说到这里越说越像是在背书。这不是我写文章的目的。

    我想要的是建立一种感性的认识,以形成拿到问题就知道用什么方法的直觉。

    具体的格林公式是什么,怎么补线,怎么判定是否与路径无关,统统不在讨论之列。

    最后想特别补充的是:对于单连通区域中,偏导数不存在的点,我们的处理步骤。

    一般这种题目,可以根据积分的区域,任意的划出一个小的区域,这个区域巧妙的利用自己设定的这个小区域的表达式,将积分化成了偏导数可以存在且连续的表达式,同时,对于小区域外部和大区域内部的环状区域,就可以使用格林公式了。如果,判定恰好是路径无关,那么环状区域的积分就变成了0,再计算小的区域的积分。

    这里,对于我自己来说,我很多次看到这个小的积分区域,有些蒙,不知道该怎么办。实际上,还是再用格林公式!

    其实,最后那句才是我写这篇总结的唯一原因。

    以上。

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  • 格林公式解决的问题:在平面区域D上的二重积分可以通过沿区域D的边界曲线L上的曲线积分来表示。 5,平面上曲线积分与路径无关的条件 6,第一类曲面积分(对面积的曲面积分) 6.1 定义 6.2 ...

    1,第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)

    1.1 定义
    在这里插入图片描述
    1.2 计算方法
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    2,第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)

    2.1 定义
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    2.2 计算方法
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    3,两类曲线积分之间的关系

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    4,格林公式

    格林公式解决的问题:在平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表示。

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    5,平面上曲线积分与路径无关的条件

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    6,第一类曲面积分(对面积的曲面积分)

    6.1 定义
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    6.2 计算方法
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    7,第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)

    7.1 定义
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    7.2 计算方法
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    8,两类曲面积分之间的关系

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    9,高斯公式

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    10,斯托克斯公式

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    Reference

    高等数学同济大学第六版

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  • 高等数学-曲线积分

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    积分概念中, 将 积分区间 为 平面内 区域 情形,称为: 二重积分, 物理意义为 体积; 在 积分概念中, 将 积分区间 为 空间内区域 情形, 称为: 三重积分, 物理意义为 质量; 在 积分概念中, 将...
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  • 一定要切记区域D,待续…
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  • 格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,这个关系可陈述如下: 【定理】设空间区域是由分片光滑...
  • 高等数学总结(曲线,曲面积分2)

    千次阅读 2015-02-08 16:10:18
    13)曲面曲面积分为零条件:高斯公式右端为0充分必要条件是:14)通量:其中A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k(i,j,k)是坐标向量。15)散度:A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
  • 二重积分与曲线积分互相转换 设区域D由光滑曲线L围成,若P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数,则有 其中,L是D取正向边界曲线(即沿直线方向前进,左边是D,右边不属于D
  • 设Г为分段光滑空间有向闭曲线,∑是以Г为边界分片光滑有向曲面,Г正向与∑侧符合右手规则,若P,Q,R在曲面上有连续一阶偏导数,则 该公式称为斯托克斯公式 可以利用行列式辅助记忆 此外,...
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    千次阅读 2016-12-11 11:13:00
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    千次阅读 2018-05-14 19:23:03
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空空如也

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闭曲线的曲线积分