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  • #include #include #include #include #define _PI_ 3.14159265358979323846264 #define _E_ 2.7182818284590452353602874713527 template struct Array{ T * data;... Array(){data=
    #include 
    #include 
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    #include 
    #define _PI_ 3.14159265358979323846264
    #define _E_  2.7182818284590452353602874713527
    
    template 
    struct Array{
    	T * data;
    	int length;
    	Array(){data=0;length=0;};
    	Array(int len){
    		printf("allocing %d\n",len);
    		data = new T[len];
    		length = len;
    	};
    	Array(Array & a){data = new T[a->length];length = a->length;};
    };
    
    template 
    struct pair{ T a,b; };
    
    double normal(double x, double u, double sigma){
    	return exp((-1*pow(x-u,2))/(2*sigma*sigma))/(sqrtf(2*_PI_)*sigma);
    }
    
    Array< pair > * normalCurve(double u, double sigma, int count, float width = 3.0){
    	double step = sigma * width * 2.0 /(double)count;
    	double ptr = u-sigma*width;
    	Array< pair > * curve = new Array< pair >(count);
    	for(int i=0;idata[i].a = ptr;
    		curve->data[i].b = normal(ptr,u,sigma);
    		ptr += step;
    	}
    	puts("normalCurve");
    	return curve;
    }
    
    Array * curveTemplate(Array< pair > * a){
    	Array * tpl = new Array(a->length);
    	for(int i=0;ilength;i++)
    		tpl->data[i] = a->data[i].b;
    	puts("curveTemplate");
    	return tpl;
    }
    
    void curvePrt( Array< pair > * curve, FILE * f = stdout){
    	for(int i=0;ilength;i++)
    		fprintf(f,"%lf,%lf\n",curve->data[i].a,curve->data[i].b);
    	puts("curvePrt");
    	return;
    }
    
    void curvePrt( Array< pair > * curve, const char * filename){
    	FILE * f = fopen(filename,"w");
    	for(int i=0;ilength;i++)
    		fprintf(f,"%lf,%lf\n",curve->data[i].a,curve->data[i].b);
    	puts("curvePrt");
    	fclose(f);
    	return;
    }
    
    Array * convolution( Array * a, Array * b ){
    	int bstart;
    	int bend;
    	int blenh = b->length / 2;
    	Array * conv = new Array(a->length);
    	memset(conv->data,0,a->length*sizeof(double));
    	for(int i=0;ilength;i++){
    		bstart = (i-blenh)<0 ? (blenh-i) : 0;
    		bend   = (i+blenh)>a->length ? (a->length-i+blenh) : b->length;
    		for(int j=bstart;jdata[i+j-blenh] += a->data[i]*b->data[j];
    		}
    	}
    	puts("convolution");
    	return conv;
    }
    
    Array< pair > * makeCurve( Array * a, double start, double step ){
    	Array< pair > * curve = new Array< pair >(a->length);
    	double prt = start;
    	for(int i=0;ilength;i++){
    		curve->data[i].a = prt;
    		curve->data[i].b = a->data[i];
    		prt += step;
    	}
    	puts("makeCurve");
    	return curve;
    }
    
    int  main(){
    	int stepSize = 2000;
    	Array * stepFunc = new Array(stepSize);
    	memset(stepFunc->data,0,stepSize*sizeof(double));
    	for(int i=stepSize/2-40;idata[i] = 1;
    	}
    	puts("start");
    	curvePrt( normalCurve(0,0.4,100) , "norm.csv" );
    	curvePrt( makeCurve( stepFunc,-1*stepSize/2/10.0,1/10.0 ) , "step.csv" );
    	curvePrt( makeCurve( convolution( stepFunc,	curveTemplate( normalCurve( 0, 0.4, 100 )) ), -1*stepSize/2/10.0, 1/10.0 ) , "stdout.csv" );
    }
    
    展开全文
  • 用于计算严格正确的 SISO 系统响应的程序通过卷积积分到任意输入: */num = 传递函数的分子多项式系数 */den = 分母多项式传递函数系数(“ num”和“ den”的系数被指定为行向量,在's' 的递减幂) */t = 时间点...
  • 看了奥本海姆的信号与系统的卷积和之后就想用FPGA实现一下,首先用MATLAB仿真,MATLAB有现成的卷积函数,用输入变量un卷积xn相当于xn通过一个累加系统。 卷积是倒序乘累加,但是如果看成两...输入xn是单位阶跃函数u...

    看了奥本海姆的信号与系统的卷积和之后就想用FPGA实现一下,首先用MATLAB仿真,MATLAB有现成的卷积函数,用输入变量un卷积xn相当于xn通过一个累加系统。

    卷积是倒序乘累加,但是如果看成两个多项式相乘相乘对象系数就是卷积对象,相乘结果系数就是卷积结果。以下是输入函数xn,系统函数hn(取un),xn累加结果,MATLAB自带卷积函数,我写的卷积函数的结果图:

    输入xn是单位阶跃函数un的额时候:

    输入xn是指数函数的时候: 

    源码:

    clear;clc;close all;
    
    Scale = 1000;
    
    un     = ones(1,Scale);
    nun    =	0:length(un)-1;
    
    %%这个是输入2^n的结果
    % x     =	zeros(1,Scale);
    % for r2 = 1:Scale/10
    %    for r = 1:10
    %         x(10*(r2-1)+r)       =   2^r;
    %     end
    % end
    
    x     =     ones(1,Scale);
    nx          =	0 : length(x)-1;
    
    y_x     =	zeros(1,length(un) + length(x)-1);
    for r = 1 :  length(un) + length(x)-1
        if r == 1 
            y_x(r)       =   x(r) ;
        else
            if r<=length(x)-1
                y_x(r)      =  y_x(r-1)  +  x(r) ;
            else
                y_x(r)      =  y_x(r-1) ;
            end
        end
    end
    ny_x = 1 : length(un) + length(x)-1;
    
    my_y_hx  =  my_conv(un,x)
    nmy_y_hx  =  0 : length(my_y_hx)-1
    
    y_hx           =   conv(un,x);%my_conv(un,x);
    ny_hx          =   0 : length(y_hx)-1;
    
    subplot(511);
    stem(nx,x);
    xlabel('nx');
    ylabel('x输入函数');
    grid on;
    
    subplot(512);
    stem(nun,un);
    xlabel('nun');
    ylabel('un阶跃函数');
    grid on;
    
    subplot(513);
    stem(ny_x,y_x);
    xlabel('ny_x');
    ylabel('y_x直接算递增的结果');
    grid on;
    
    subplot(514);
    stem(nmy_y_hx,my_y_hx);
    xlabel('nmy_y_hx');
    ylabel('my_y_hx自己写的卷积结果');
    grid on;
    
    subplot(515);
    stem(ny_hx,y_hx);
    xlabel('ny_hx');
    ylabel('y_hx卷积系统函数得出');
    grid on;
    
    

    我写的卷积: 

    function y = my_conv( x,h )
    nx = length(x);
    nh = length(h);
    y = zeros(1,nx+nh-1);
    for index = 1:nx
        indexSum = x(index)*h;
        y(1,index:index+nh-1) = y(1,index:index+nh-1)+indexSum;
    end
    end

     之后就是将其Verilog化,见下一篇:https://blog.csdn.net/Mr_liu_666/article/details/103372507

    FPGAVGA显示,见下下篇:https://blog.csdn.net/Mr_liu_666/article/details/103376238

     

    展开全文
  • 卷积,卷个肉卷?

    2021-06-13 20:28:49
    文章目录预备知识阶跃函数和冲激函数阶跃函数冲激函数单位脉冲序列与单位阶跃序列单位阶跃序列单位脉冲序列信号时域分解离散信号(序列)时域分解连续信号时域分解卷积公式卷积和类比做鸡肉卷:卷积积分卷积图解卷积...

    f1(t)=1f_1(t)=1f2(t)f_2(t)为“鸡肉函数”,f(t)=f1(t)f2(t)f(t)=f_1(t)*f_2(t),求f(t1)f(t_1)


    鸡肉函数定位
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    ​对乘积项求“全局”积分:

    在这里插入图片描述
    鸡肉卷图片来源[3]

    备注:这里只是举个贴近生活的例子,很多细节没考虑,不够详细严谨。更详细的解释见下文的卷积图解。

    提示:下文将按照离散与连续并行的方式讲解卷积。

    1 预备知识

    1.1 阶跃函数和冲激函数

    1.1.1 阶跃函数

    选定以下函数γn(t)γ_n(t) ,求极限即得到阶跃函数:
    在这里插入图片描述

    ε(t)=limnγn(t)={0,t<01/2t=01,t>0 \varepsilon(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \gamma_{n}(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<0\\1/2, &t=0 \\1, & t>0\end{array}\right.

    1.1.2 冲激函数

    单位冲激函数:是一种奇异函数,它是对强度极大,作用时间极短的物理量的理想化模型(狄拉克提出)。定义为:

    {δ(t)=0,t0δ(t)dt=1 \left\{\begin{array}{l}\delta(t)=0, \quad &t \neq 0 \\\\\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1\end{array}\right .
    在这里插入图片描述

    理解: 高度无穷大,宽度无穷小,面积为1的对称窄脉冲。

    冲激函数的取样性质:

    f(t)f(t)乘以δ(t)δ(t):
    f(t)δ(t)=f(0)δ(t) f(t) \delta(t)=f(0) \delta(t)

    f(0)δ(t)f(0)\delta(t)含义f(0)f(0)倍的δ(t)\delta(t)

    f(t)δ(t)dt=f(0)δ(t)=f(0) \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty}f(0) \delta(t)=f(0)

    进一步推广:

    f(t)δ(ta)=f(a)δ(ta) f(t) \delta(t-a)=f(a) \delta(t-a)
    f(t)δ(ta)dt=f(a) \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-a) \mathrm{d} t=f(a)

    1.2 单位脉冲序列与单位阶跃序列

    1.2.1 单位阶跃序列

    对应阶跃函数。
    ε(k)={1k00,k<0 \varepsilon(k)=\left\{\begin{array}{ll}1 & k \geq 0 \\0, & k<0\end{array}\right.
    在这里插入图片描述

    1.2.2 单位脉冲序列

    对应冲激函数。
    δ(k)={1,k=00,k0 \delta(k)=\left\{\begin{array}{ll}1, & k=0 \\0, & k \neq 0\end{array}\right.
    k=δ(k)=1\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(k)=1
    在这里插入图片描述

    取样性质

    f(k)δ(k)=f(0)δ(k) f(k) \delta(k)=f(0) \delta(k)

    k=f(k)δ(k)=k=f(0)δ(k)=...0+0+f(0)+0+0...=f(0) \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta(k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(0) \delta(k)=...0+0+f(0)+0+0...=f(0)

    进一步推广:
    f(k)δ(kk0)=f(k0)δ(kk0)f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right) \delta\left(k-k_{0}\right)

    k=f(k)δ(kk0)=f(k0)\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right)

    1.3 函数时域分解

    1.3.1 离散函数(序列)时域分解

    在这里插入图片描述

    任意离散序列 f(k)f(k)可表示为
    f(k)=+f(2)δ(k+2)+f(1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k1)++f(i)δ(ki)+\begin{array}{c}f(k)=\cdots+f(-2) \delta(k+2)+f(-1) \delta(k+1)+f(0) \delta(k)+ \\ f(1) \delta(k-1)+\cdots+f(i) \delta(k-i)+\cdots\end{array}

    f(k)=i=f(i)δ(ki)f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) \delta(k-i)

    1.3.2 连续函数时域分解

    在这里插入图片描述

    从上图可以直观看出:

    f1(t)=A1Δp(t)=AΔp(t)f_{1}(t)=\frac{\mathrm{A}}{\frac{1}{\Delta}} p(t)=\mathrm{A} \Delta p(t)

    任意函数分解:

    在这里插入图片描述

    “-1”号脉冲高度f(Δ)f(-Δ),宽度为ΔΔ, 表示为 f(Δ)Δp(t+Δ)f (-Δ)Δp(t+Δ)

    “0”号脉冲高度f(0)f(0),宽度为ΔΔ,用p(t)p(t)表示为: f(0)Δp(t)f(0)Δp(t)

    “1”号脉冲高度f(Δ)f(Δ),宽度为ΔΔ,用p(tΔ)p(t-Δ)表示为: f(Δ)Δp(tΔ)f(Δ)Δp(t-Δ)

    “2”号脉冲高度f(2Δ)f(2Δ),宽度为ΔΔ,用p(t2Δ)p(t-2Δ)表示为: f(2Δ)Δp(t2Δ)f(2Δ)Δp(t-2Δ)
    … …

    nn”号脉冲高度f(nΔ)f(nΔ),宽度为ΔΔ,用p(tnΔ)p(t-nΔ)表示为: f(nΔ)Δp(tnΔ)f(nΔ)Δp(t-nΔ)

    得到
    f^(t)=n=f(nΔ)Δp(tnΔ)\hat{f}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n \Delta) \Delta p(t-n \Delta)

    求极限:

    limΔ0ΔdτnΔτ\lim\limits_{\Delta\rightarrow0}:\qquad\Delta\rightarrow d\tau\qquad n\Delta\rightarrow\tau\qquad \sum\rightarrow\int
    p(tnΔ)δ(tτ)p(t-n\Delta)\rightarrow\delta(t-\tau)

    得到:
    f(t)=limΔ0f^(t)=f(τ)δ(tτ)dτf(t)=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \hat{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau

    2 卷积公式

    ——与函数分解的过程相反,卷积是通过两个函数生成第三个函数的一种数学算子,且其中的函数不一定是冲激函数(连续)或脉冲序列(离散)。

    2.1 卷积和

    卷积和的定义

    已知定义在区间()(–∞,∞) 上的两个离散函数f1(k)f_1(k)f2(k)f_2(k),则定义
    f(k)=i=f1(i)f2(ki)f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f_{1}(i) f_{2}(k-i)

    f1(k)f_1(k)f2(k)f_2(k)的卷积和,简称卷积;记为
    f(k)=f1(k)f2(k)f(k)=f_{1}(k)^{*} f_{2}(k)

    注意:求和是在虚设的变量 ii 下进行的,ii 为求和变量,kk 为参变量(kk用来对f2f_2 定位,ii用来对乘积项进行”全局”求和)。结果仍为kk 的函数。

    2.2 卷积积分

    已知定义在区间(,)(–∞,∞)上的两个连续函数f1(t)f_1(t)f2(t)f_2(t),则定义积分
    f(t)=f1(τ)f2(tτ)dτf(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau

    f1(t)f_1(t)f2(t)f_2(t)的卷积积分,简称卷积;记为
    f(t)=f1(t)f2(t)f(t)=f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)

    注意:积分是在虚设的变量ττ下进行的,ττ为积分变量,tt为参变量。结果仍为tt的函数。(tt用来对f2f_2 定位,τ\tau用来对乘积项进行“全局”积分)

    3 卷积图解

    3.1 卷积和图解

    f(k)=i=f1(i)f2(ki)f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f_{1}(i) f_{2}(k-i)

    卷积图解法可分解为五步:

    (1)换元:kk换为ii,得到f1(i)f2(i)f_1(i),f_2(i)

    (2)反转:将f2(i)f_2(i)以纵坐标为轴线反转,成为f2(i)f_2(-i)

    (3)平移:将f2(i)f_2(-i)沿ii轴正方向平移kk个单位,得到f2(ki)f_2(k-i)

    (4)乘积:f1(i)f2(ki)f_1(i)f_2(k-i)

    (5)求和:ii-\infty++\infty对乘积项求和。

    注意:kk 为参变量。

    例1:有以下两个函数求f1(k)f2(k)f_1(k),f_2(k),求f1(k)f2(k)f_1(k)*f_2(k)
    在这里插入图片描述

    (1)换元,得到f1(i)f2(i)f_1(i),f_2(i)
    在这里插入图片描述

    (2)反转,得到f2(i)f_2(-i)

    在这里插入图片描述

    (3)平移:将f2(i)f_2(-i)向右平移kk个单位,得到f2(ki)f_2(k-i),计算f1(i)f2(ki)f_1(i)f_2(k-i)
    在这里插入图片描述

    备注:为了直观,图中把红色和黑色序列应该重叠的部分画偏移了。

    (4)求和:ii-\infty++\infty对乘积项求和。
    f(k)=f1(k)f2(k)f(k)=f_1(k)*f_2(k)

    f(k)=f(k)=所有两序列序号之和为kk的那些样本乘积之和:

    f(k)=i=f1(i)f2(ki)=+f1(1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k1)+f1(2)f2(k2)++f1(i)f2(ki)+\begin{aligned}f(k)=& \sum_{i=-\infty}^{\infty} f_{1}(i) f_{2}(k-i) \\=& \cdots+f_{1}(-1) f_{2}(k+1)+f_{1}(0) f_{2}(k)+f_{1}(1) f_{2}(k-1) \\&+f_{1}(2) f_{2}(k-2)+\cdots+f_{1}(i) f_{2}(k-i)+\cdots\end{aligned}

    如:
    f(2)=+f1(1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f(2)=\ldots+f_{1}(-1) f_{2}(3)+f_{1}(0) f_{2}(2)+f_{1}(1) f_{2}(1)+\ldots

    例2f(k)=f1(k)f2(k)f(k)=f_1(k)*f_2(k)

    在这里插入图片描述
    f(k)=i=f1(i)f2(ki)f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f_{1}(i) * f_{2}(k-i)

    在这里插入图片描述

    3.2 卷积积分图解

    f1(t)f2(t)=f1(τ)f2(tτ)dτf_{1}(t){*} f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau

    卷积过程可分解为四步:
    (1)换元:tt换为τ\tau,得到f1(τ)f2(τ)f_1(\tau),f_2(\tau)

    (2)反转平移:由f2(τ)f_2(\tau)反转得到f2(τ)f_2(-\tau),再右移得到f2(tτ)f_2(t-\tau)

    (3)乘积:f1(τ)f2(tτ)f_1(\tau)f_2(t-\tau)

    (4)积分:τ\tau-\infty\infty对乘积项积分。

    注意:tt为参变量。

    例 1 f(t)=1/2(0t1)h(t)=t(0t2)f(t)=1/2(0\le t\le 1),h(t)=t(0\le t\le 2),求y(t)=h(t)f(t)y(t)=h(t)*f(t)

    y(t)=h(t)f(t)=h(τ)f(tτ)dτy(t)=h(t)*f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) f(t-\tau) d \tau

    (1)换元:tt换为τ\tau,得到f(τ)=1/2(0τ1)h(τ)=t(0τ2)f(\tau)=1/2(0\le \tau\le 1),h(\tau)=t(0\le \tau\le 2)

    (2)反转平移:由f(τ)f(\tau)反转得到f2(τ)f_2(-\tau),再右移得到f(tτ)f(t-\tau)

    在这里插入图片描述

    (3)乘积:h(τ)f(tτ)h(\tau)f(t-\tau)

    在这里插入图片描述

    (4)积分:τ\tau-\infty\infty对乘积项积分。

    t<0t\lt 0时,f(tτ)f(t-\tau)向左移:

    • f(tτ)h(τ)f(t-\tau)h(\tau)=0,故y(t)=0y(t)=0

    t>0t\gt 0时,f(tτ)f(t-\tau)向左移:

    • 0t10\le t\le 1时,y(t)=0tτ12 dτ=14t2y(t)=\int_{0}^{t} \tau \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} \tau=\frac{1}{4} t^{2}
    • 1t21\le t\le 2时,y(t)=t1tτ12 dτ=12t14y(t)=\int_{t-1}^{t} \tau \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} \tau=\frac{1}{2} t-\frac{1}{4}
    • 2t32\le t\le 3时,y(t)=t12τ12 dτ=14t2+12t+34y(t)=\int_{t-1}^{2} \tau \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} \tau=-\frac{1}{4} t^{2}+\frac{1}{2} t+\frac{3}{4}
    • 3t3\le t时, f(tτ)h(τ)=0f(t-\tau) h(\tau)=0,所以y(t)=0y(t)=0

    在这里插入图片描述

    用梳状(comb)函数卷积产生周期函数

    周期为TT的周期单位冲激函数序列,常称为梳状函数。
    δT(t)=m=δ(tmT)\delta_{T}(t)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-m T)

    在这里插入图片描述

    计算函数f(t)f(t)δT(t)δ_T(t)的卷积,依然是周期函数,其周期为TT

    (1)当T>τT > τ 时, fT(t)f_T (t)中每个周期内的波形与 f(t)f (t)相同;

    (2)若T<τT < τ时,各相邻脉冲之间将会出现重叠,将无法使波形f(t)f(t)fT(t)f_T (t)的每个周期中重现。

    T>τT>\tau:

    在这里插入图片描述

    fT(t)=f(t)δT(t)=f(t)m=δ(tmT)=m=f(tmT)f_T(t)=f(t) * \delta_{T}(t)=f(t) * \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-m T)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} f(t-m T)

    4 深度学习中的卷积——互相关操作

    实际上,深度学习中的卷积操作在信号处理中称为互相关操作。互相关和卷积的略有不同,函数f1(t)f_1(t)f2(t)f_2(t)卷积的表达式为:
    f1(t)f2(t)=f1(τ)f2((τt))dτ=f1(τ)f2(tτ)dτf_{1}(t) * f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(-(\tau-t)) d \tau=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau

    函数f1(t)f_1(t)f2(t)f_2(t)的互相关函数写为:

    R12(t)=f1(τ)f2(τt)dτR_{12}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(\tau-t) d \tau

    两种运算的不同之处卷积开始时需要将f2(τ)f_2(τ)反折f2(τ)f_2(-τ),而相关运算则不需反折,仍为f2(τ)f_2(τ)。其他的移位、相乘和积分的运算方法相同,如:
    在这里插入图片描述
    一般地,只有当f2f_2本身是偶函数时,互相关和卷积的结果才会相同。

    参考:

    [1]《工程信号与系统》作者:郭宝龙等

    [2] 中国大学MOOC:信号与系统 ,西安电子科技大学,郭宝龙,朱娟娟

    [3] https://www.bilibili.com/video/BV1rt41137Ma

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    首先卷积的特征是两大函数的运算,且运算方式是积分

    一:卷积代数三大性质:1.交换律2.分配律3.结合律

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            两个函数卷积后的积分为其中任意一函数的积分

    三:阶跃和冲激的卷积:函数与冲激函数卷积为函数本身

               依据微积分特性不难得出对于单位阶跃信号的卷积性质

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/bebox/p/8965244.html

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阶跃函数卷积