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  • 一、集合的表示 列举法:列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来 描述法:用谓词P(x)表示x具有性质P,用{x|P(x)}表示具有性质P的集合 注意事项:集合中的元素是各不...二、集合之间的...

    一、集合的表示

    • 列举法:列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来

    • 描述法:用谓词P(x)表示x具有性质P,用{x|P(x)}表示具有性质P的集合

    • 注意事项:集合中的元素是各不相同的

      ​ 集合中的元素不规定顺序

      ​ 集合的两种表示法可以互相转化

    • 常用的数集合:自然数集合N;整数集合Z;有理数集合Q;实数集合R;复数集合C

    二、集合之间的关系

    1、子集

    • 设A,B为两集合,若B中的元素都是A中的元素,自称B是A的子集,也成A包含B,或B包含于A,记作B⊆A,其符号化形式为B⊆A⟺∀x(x∈B→x∈A)。

    2、相等

    • 设A,B为两集合,若A包含B且B包含A,则称A与B相等,记作A=B,即A=B⟺∀x(x∈B↔x∈A)

    3、真子集

    • 设A,B为两集合,若A为B的子集且A≠B,则称A为B的真子集,或称B真包含A,记作A⊂ B,即A⊂ B⟺A⊆B∧A≠B

    4、空集

    • 不拥有任何元素的集合称为空集合,简称为空集,记作Φ
    • 空集是一切集合的子集
    • 空集是唯一的,是最小的集合

    5、全集

    • 如果限定所讨论的集合都是某个集合的子集,则称该集合为全集,记作E
    • 全集不唯一

    6、幂集

    • 设A为一个集合,称由A的全体子集组成的集合为A的幂集,记作P(A) 描述为P(A)={x|x⊆A}

    • 集合的元素个数

      • 规定:Φ为0元集,含1个元素的集合为单元集或1元集,含两个元素的集合为2元集,…,含n个元素的集合为n 元集(n≥1)。用|A|表示集合A中的元素个数,当A中的元素个数为有限数是,A为有穷集或有限集
      • 设集合A的元素个数|A|=n,则|P(A)|=2^n

    7、集族

    • 除了P(A)外,还有其他形式的由集合构成的集合,统称为集族。若集族中的集合都赋予记号,则可得带指标集的集族
    • 设δ为一个集族,S为一个集合,若对于任意的α∈S,存在唯一的Aα∈δ与之对应,而且δ中的任意集合都对应S中的某一个元素,则称δ是以S为指标集的集族,S称为δ的指标集。记为δ={Aα|α∈S},或δ={Aα}α∈S
    • 如果把Φ看成集族,则称Φ为空集族

    8、多重集

    • 设全集为E,E中元素可以不止一次在A中出现的集合A称为多重集。若E中元素a在A中出现k次(k≥0),则称a在A中重复度为k
    • 集合可看作重复度均小于等于1的多重集

    三、集合的运算

    1、并集

    • 设A,B为两集合,称由A和B的所有元素组成的集合为A与B的并集,记作A∪B,称∪为并元算符,描述为A∪B={x|x∈A∨x∈B}

    2、交集

    • 设A,B为两集合,称由A和B的公共元素组成的集合为A与B的交集,记作A∩B,称∩为并元算符,描述为A∩B={x|x∈A∧x∈B}

    3、不相交

    • 设A,B为两集合,若A∩B=Φ,则称A和B是不交的
    • 设A1,A2,…是可数多个集合,若对于任意的i≠j,都有Ai∩Aj=Φ,则称是互不相交的
    • 设An={x∈R|n-1<x<n},n=1,2,…,则A1,A2,…是互不相交的

    4、相对补集

    • 设A,B为两集合,称属于A而不属于B的全体元素组成的集合为B对A的相对补集,记作A-B

    5、对称差

    • 设A,B为两集合,称属于A二不属于B,或属于B而不属于A的全体元素组成的集合为A与B的对称差,记作A⊕B

    6、绝对补集

    • 设E为全集,A⊆E,称A对E的相对补集为A的绝对补集,记作~A

    集合运算的优先级

    • 第一类:绝对补、幂集、广义交、广义并

      ​ 第一类运算按照从右向左的顺序运算

    • 第二类:初级并、初级交、想对补、对称差

      ​ 第二类运算按照括号决定的顺序运算,多个括号并排或没有括号的部分按照从左向右的顺序运算

    四、基本的集合恒等式

    设E是全集,A,B,C为E的任意子集

    • 幂等律 A∪A=A,A∩A=A
    • 交换律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A
    • 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
    • 分配律 A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
    • 零率 A∪E=E,A∩Φ=Φ
    • 同一律 A∪Φ=A,A∩E=A
    • 排中律 A∪┐A=E
    • 矛盾律 A∩┐A=Φ
    • 补交转换律 A-B=A∩┐B
    • 德摩根律 ┐(∪{Aα}α∈s)=∩(┐Aα
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  • Java集合框架中类接口之间的关系 Collection常用方法 Map常用方法 List、Map、Set的应用场景 Java集合框架中类接口之间的关系 首先,我发现了这样一幅图比较形象的描述 了Java集合框架中类接口之间的...

     

    目录

    Java集合框架中类和接口之间的关系

    Collection常用方法 

    Map常用方法 

    List、Map、Set的应用场景

     

    Java集合框架中类和接口之间的关系

    首先,我发现了这样一幅图比较形象的描述

    了Java集合框架中类和接口之间的关系:

    第一张图(左): 

    Collection继承了Iterable接口。List是链表 ,Queue 是队列,  Set 是集合,注意集合中的元素是不能重复的。AbstractList是抽象队列,继承了List;Deque是双端队列,继承了Queue; SortedSet是排序集合,继承了Set。

    详细看看底下的类我们会发现
    1. stack是栈,继承了Vector
    2. ArrayList是顺序表,底层是用数组实现的
    3. LinkedList是链表,底层是用双向链表实现的
    4. PriorityQueue是优先级队列,底层是用堆(二叉树)实现的
    5. TreeSet是二叉搜索树(排序)
    6. HashSet是哈希表

    接口之间的关系:

    1. Collection :用来存储管理一组对象 objects ,这些对象一般被成为元素 elements
    2. Set : 元素不能重复,背后隐含着查找/搜索的语义
    3. SortedSet : 一组有序的不能重复的元素
    4. List : 线性结构
    5. Queue : 队列
    6. Deque : 双端队列
    7. Map : 键值对 Key-Value-Pair ,背后隐含着查找/搜索的语义
    8. SortedMap : 一组有序的键值对
     
    第二张图(右):

    1. HashMap 实现了Map,是哈希表(不具有排序功能)
    2. TreeMap 实现了SortMap,是二叉搜索树(具有排序功能)
    ps:
    Map存放数据根据key的值,进行哈希。然后存放到哈希表的对象的index下标的位置
    key值一般不重复(如果重复会被覆盖)
    哈希表的CURD的时间复杂度是O(1)

     

    Collection常用方法 

     boolean add(E e);
    将元素e放入集合中
     void clear();
    删除集合中所有元素
    boolean isEmpty();
    判断集合是否为空
     boolean remove(Object e);
    如果元素e出现在集合中,删除其中一个
    int size(); 
    返回集合中元素个数
    Object[] toArray();
    返回一个装有所有集合中元素的数组

    Map常用方法 

    V get(Object k);
    根据指定的 k 查找对应的 v
    V getOrDefault(Object k, V defaultValue);
    根据指定的 k 查找对应的 v,没有找到用默认值代替
    V put(K key, V value)
    将指定的 k-v 放入 Map
    boolean containsKey(Object key) 
    判断是否包含 key
    boolean containsValue(Object value)
    判断是否包含 value
    Set<Map.Entry<K, V>> entrySet()
    将所有键值对返回
    boolean isEmpty()
    判断是否为空
    int size()
    返回键值对的数量

    基本打印方式

    基本方式主要有三种:

    1.直接打印

            System.out.println(list);
    

    2.for-each打印(一个类只有实现Iterable接口,才能用for-each打印) 

            for(Map.Entry<String,String> entry : map.entrySet()) {
                System.out.println(entry.getKey());
                System.out.println(entry.getValue());
            }

    3.Array

             System.out.println(Arrays.asList());
    

     

     

    List、Map、Set的应用场景

    List-有序可重复

          ArrayList:底层由数组实现,查询快,增删慢。线程不安全,效率高。

          Vector:底层由数组实现,查询快,增删慢。线程安全,效率底。

          LinkedList:底层由链表实现,查询慢,增删快。线程不安全,效率高。

    Set-无序唯一

    Map-键值对存储

     

     

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  • 集合关系之间的运算

    2018-09-12 20:40:00
    交集(&) 可以把交集操作比做集合AND(或合取)操作。...并集(union)操作和集合的 OR(又称可兼析取(inclusive disjunction))其实是等价,两个集合联合是一个新集合,该集合中每个元素都至少是...

    交集(&)

    可以把交集操作比做集合的AND(或合取)操作。两个集合的交集是一个新集合,该集合中的每个元素同时是两个集合中的成员,即属于两个集合的成员。交集符号有一个等价的方法:intersection()。

    并集(|)

    并集(union)操作和集合的 OR(又称可兼析取(inclusive disjunction))其实是等价的,两个集合的联合是一个新集合,该集合中的每个元素都至少是其中一个集合的成员,即属于两个集合其中之一的成员。联合符号有一个等价的方法:union()。

    差集(-)

    两个集合(s 和 t)的差补或相对补集是指一个集合 C,该集合中的元素,只属于集合 s,而不属于集合 t。差符号有一个等价的方法:difference()。

    交叉补集(^)

    两个集合的并集减去两个集合的交集。方法:symmetric_difference()

    转载于:https://www.cnblogs.com/jim0816/p/9637209.html

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  • 1.Java集合关系图: 2.List、Map、Set区别: ① List ArrayList LinkedList Vector Advantage Search Insert、Delete Synchronized ② Map ...

    1.Java集合关系图:

     

    2.List、Map、Set区别:

    ① List

     

     

    ArrayList

    LinkedList

    Vector

    Advantage

    Search

    Insert、Delete

    Synchronized

     

    ② Map

     

     

    HashMap

    TreeMap

    LinkedHashMap

    Hashtable

    Order

    Random

    Ascend by key

    Insertion order

    Random

    Synchronized?

    No

    No

    No

    Yes

    key permits null?

    One

    No

    One

    No

    value permits null?

    Any number

    Any number

    Any number

    No

     

    ③ Set

     

     

    HashSet

    TreeSet

    LinkedHashSet

    Order

    Random

    Ascend

    Insertion

    permit null?

    Yes

    No

    Yes

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/YaoFrankie/p/10385543.html

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    2018-08-07 10:26:00
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    千次阅读 2020-06-15 03:18:34
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  • MapListSet区别: 单一元素集合:(每次存储都是存储一个数据)  List集合:允许元素...双元素集合:(每次存储都得存储一个key该key对应value,key-value) ---------------------------------------------
  • java集合框架之SetMap之间的关系

    千次阅读 2017-06-25 20:42:49
    1.发现在MapSet中有很多相类似实现类名 Set Map 算法 -------------------------------------------------------------------------- HashSet
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空空如也

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集合和集合之间的关系