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  • 一、Stirling 子集数 、 二、放球模型 、 三、Stirling 子集数递推公式 、 四、Stirling 子集数示例 ( 四元集等价关系个数 ) 、 五、划分二元关系 加细关系





    一、Stirling 子集数



    Stirling 子集数 :

    nn 个不同的球 放到 kk 个相同的盒子 中 , 不能有空盒 , 即 每个盒子至少放一个球 ;

    不同的放置方法总数是 : {nk}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} , 该数称为 Stirling 数 ;


    nn 元集分成 kk 个非空子集 的 分法个数 ;



    划分等价关系 的描述是等价的 , 每个 划分 都与 等价关系 一一对应 ;

    Stirling 子集数作用 : 求集合中有多少不同的 等价关系 , 即求集合中有多少个不同的 划分 ;





    二、放球模型



    放球模型 : 上述 斯特林 Stirling 子集数 , 是小球放在盒子中 , 小球是有编号的 , 需要 区分不同的小球 , 盒子是没有编号的 , 不需要进行区分盒子 ; 下面整理下不同的放球模型 :

    • 球有编号 , 盒子没有编号 ( 不同的球放在相同盒子里 ) : 这是求集合 划分问题 , Stirling 数 ; 这属于放球子模型 ;
    • 球没有编号 , 盒子有编号 ( 相同的球放在不同盒子里 ) : 不定方程解问题 , 多重集组合问题 , 正整数剖分问题 ;
    • 球有编号 , 盒子有编号 ( 不同的球放在不同的盒子里 ) : 多重集排列 , 指数函数问题 ;

    在这里插入图片描述


    {nk}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} 表示将 nn 个元素分成 kk 个子集的分法个数 ;

    (nk)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 表示从 nn 个元素中选出 kk 个小球的方案个数 ;


    参考 : 百度百科-放球问题





    三、Stirling 子集数递推公式



    常见的 Stirling 子集数 结果 :


    {n0}=0\begin{Bmatrix} n \\ 0 \end{Bmatrix} = 0

    nn 个球放在 00 个不同的盒子里 , 有 00 种分法 ;

    nn 个元素分成 00 类 , 有 00 种分法 ; 就是 没有方法 ;



    {n1}=1\begin{Bmatrix} n \\ 1 \end{Bmatrix} = 1

    nn 个球放在 11 个不同的盒子里 , 有 11 种分法 ;

    nn 个元素分成 11 类 , 有 11 种分法 ; 相当于 全域关系 ;



    {n2}=2n11\begin{Bmatrix} n \\ 2 \end{Bmatrix} = 2^{n -1} - 1

    nn 个球放在 22 个不同的盒子里 , 有 2n12^n -1 种分法 ;

    nn 元集有 2n2^n 个不同的子集合 , 这是幂集的个数 , 每个子集合 , 与其补集都成对 , 因此 2n12^{n-1} 对集合 , 其中要 减去 空集合 与 全集合 的那一对 , 最终结果是 2n112^{n -1} - 1 ;



    {nn1}=C2n\begin{Bmatrix} n \\ n-1 \end{Bmatrix} = C^n_2

    nn 个球放在 n1n-1 个不同的盒子里 , 有 C2nC^n_2 种分法 ;

    nn 个元素分成 n1n-1 类 , 有两个元素算作一类 , 其它每个元素都自成一类 ; 只要将 nn 个元素中属于一类的 22 个元素选出即可 , 有多少中选法 , 就有多少分类 ;



    {nn}=1\begin{Bmatrix} n \\ n \end{Bmatrix} = 1

    nn 个球放在 nn 个不同的盒子里 , 有 11 种分法 ;

    nn 个元素分成 nn 类 , 有 11 种分法 ; 相当于 恒等关系 ;




    Stirling 子集数 递推公式 :

    {nk}=k{n1k}+{n1k1}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} = k\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}


    nn 个元素分为 kk ,
    先把一个元素挑出来 , 放在一边 , 还剩 n1n-1 个元素 ;

    挑出的元素合并到其它类 : 将这 n1n-1 个元素分为 kk 类 , 将挑出来的元素分别加入到 kk 类中 ; 得到的总结果就是 nn 个元素分为 kk 类 , 挑出来的元素分别加入到 kk 类中 , kk 种不同的方法 , 即分别加入到低 1,2,3,,k1,2,3, \cdots , k 类中 ;

    挑出的元素自成一类 :n1n-1 个元素分为 k1k-1 类 , 每个类都非空 , 然后让挑出来的元素自成一类 , 该自称一类的类 与 之前的 k1k-1 个类 , 合并在一起是 kk 个类 ;

    上述两种情况同时考虑 , 就是 Stirling 子集数的递推公式 ;


    k{n1k}k\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} 含义 : n1n-1 个元素分成 kk 个子集 {n1k}\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} , 再 加入第 nn 个元素到其中之一 有 kk 种方案 , 在上述基础上乘以 kk ;


    {n1k1}\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix} 含义 : 将 n1n-1 个元素分成 k1k-1 个子集{n1k1}\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix} , 剩下的第 nn 个元素自然成为一个子集 ( 只有唯一一种方案 ) ;





    四、Stirling 子集数示例 ( 四元集等价关系个数 )



    求四元集上的等价关系个数 , 44 个元素分为 1,2,3,41, 2,3,4 类的分法相加 ;

    {41}+{42}+{43}+{44}=1+(2411)+C24+1=1+7+6+1=15\begin{Bmatrix} 4 \\ 1 \end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix} 4 \\ 2 \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} 4 \\ 4 \end{Bmatrix} = 1 + ( 2^{4-1} - 1 ) + C^4_2 +1 =1+7+6+1 = 15


    四元集上的 有序对个数是 4×4=164 \times 4 = 16 个 ;

    四元集上的 关系个数是 216=655362^{16} =65536 ; 包含如下情况 , 含有 00 个有序对 , 含有 11 个有序对 , \cdots , 含有 1616 个有序对 ;

    上面 6553665536 个二元关系中有 1515 个是等价关系 ;





    五、划分的二元关系 加细关系



    集族 A\mathscr{A} 和 集族 B\mathscr{B} 都是 集合 AA 的划分 ,
    如果 A\mathscr{A} 中每个划分块 都包含于 B\mathscr{B} 的某个划分块 中 , 则称 A\mathscr{A} 划分 是 B\mathscr{B} 划分 的加细 ;

    加细 是一个二元关系 , 是划分之间的二元关系 ;


    加细关系具有 :

    • 自反省 : 每个划分是它自己的加细
    • 传递性 : A\mathscr{A}B\mathscr{B} 的加细 , B\mathscr{B}C\mathscr{C} 的加细 , A\mathscr{A}C\mathscr{C} 的加细
    • 没有对称性 : 加细不具有对称性
    • 没有全域关系 : 有的划分之间互相都不是加细
    展开全文
  • 即为对某个集合生成子集,但略微有所不同,因为分词结果,数量可能很大,利用生成子集个数计算公式X=2nX=2^nX=2n可知,当n很大时,子集个数成指数级增长,且根据我实际需求,词组一般由1~3个词语组成,因此...

    背景

    目前所做的一个项目,需要进行数据的预处理,具体内容为对一句话进行分词,将分词的结果,进行组合,进而生成短语。将需求抽象成问题,即为对某个集合生成子集,但略微有所不同,因为分词的结果,数量可能很大,利用生成子集个数的计算公式X=2nX=2^n可知,当n很大时,子集个数成指数级增长,且根据我的实际需求,词组一般由1~3个词语组成,因此我们的问题变为了生成指定元素个数的子集

    问题

    对一个集合,生成指定元素个数的子集

    Example

    [1,2,3,4,5]  生成元素个数为3的集合
    =>345
    =>245
    =>235
    =>234
    =>145
    =>135
    =>134
    =>125
    =>124
    =>123
    
    

    思路

    """
    thought:
    二进制的占位表示,正好代表了子集的位置:
    比如 1,2,3,他的所有子集是3  2  23  1  13  12  123
    1,2,3是三位数,2的三次方是8,8的二进制占位是[0 0 0]到[1 1 1]
    子集3,就是[0 0 1] 子集23就是[0 1 1]
    按照1表示有,0表示无的方式映射 来获取所有子集
    """
    

    实现

    注:前两个版本适合单次使用,不适合多次使用

    具体代码

    
    """
    thought:
    二进制的占位表示,正好代表了子集的位置:
    比如 1,2,3,他的所有子集是3  2  23  1  13  12  123
    1,2,3是三位数,2的三次方是8,8的二进制占位是[0 0 0]到[1 1 1]
    子集3,就是[0 0 1] 子集23就是[0 1 1]
    按照1表示有,0表示无的方式映射 来获取所有子集
    """
    class gen_subset:
    
      targetarray=[]#用于存储每一个数对应的二进制数
    
      def __init__(self,originarray):
        self.originarray=originarray
    
      def dojob(self,length):
        maxlen = 2 ** len(self.originarray)
        for i in range(maxlen):
          str = bin(i).replace('0b', '')  # 十进制转2进制
          self.targetarray.append(str)
        self.buling()
        self.generation(length)
    
      def buling(self):
        for i in range(len(self.targetarray)):
          if (len(self.targetarray[i]) ==len(self.originarray)): continue;
          temp=""
          for j in range(len(self.originarray)-len(self.targetarray[i])):
            temp=temp+"0" #保证targetarray位数和要生成的集合个数相同,这样设置对应的映射
          self.targetarray[i]=temp+self.targetarray[i]
    
      def generation(self,length):
        for i in range(len(self.targetarray)):
          s=self.targetarray[i]
          #subset=[]
          subset=""
          for j in range(len(s)):
            item=s[j]
            if(item=="1"):
              #获取对应位的这个值,加入到子集
              subset=subset+self.originarray[j]
              #subset.append(self.originarray[j])
          if length==0 or len(subset)==length:
            #满足设定要求输出
            print(subset)
    

    实现测试

    originarray=["1", "2", "3", "4", "5"]
    
    t=gen_subset(originarray)
    length=input("请输入要生成的子集元素的个数:")
    t.dojob(int(length))
    

    在这里插入图片描述

    补充

    这里代码实现了生成指定元素个数的子集,但是还存在一点细节处理,不能完全满足需求,即当originarray=["1", "2", "3", "4", "5"]里的元素的长度不为1时,他不能正确实现我们所需的效果。

    设计的关键在于如下代码块:

          if length==0 or len(subset)==length:
            #满足设定要求输出
            print(subset)
    

    当你的某一个元素长度超过1时,会导致subset长度提前满足要求,进而结束,得不到所要的答案。
    这里我们可以运用列表来接受subset子集元素来处理

    version 2.0

    class gen_subset:
    
      targetarray=[]#用于存储每一个数对应的二进制数
    
      def __init__(self,originarray):
        self.originarray=originarray
    
      def dojob(self,length):
        maxlen = 2 ** len(self.originarray)
        for i in range(maxlen):
          str = bin(i).replace('0b', '')  # 十进制转2进制
          self.targetarray.append(str)
        self.buling()
        self.generation(length)
    
      def buling(self):
        for i in range(len(self.targetarray)):
          if (len(self.targetarray[i]) ==len(self.originarray)): continue;
          temp=""
          for j in range(len(self.originarray)-len(self.targetarray[i])):
            temp=temp+"0" #保证targetarray位数和要生成的集合个数相同,这样设置对应的映射
          self.targetarray[i]=temp+self.targetarray[i]
    
      def generation(self,length):
        for i in range(len(self.targetarray)):
          s=self.targetarray[i]
          subset=[]
          for j in range(len(s)):
            item=s[j]
            if(item=="1"):
              #获取对应位的这个值,加入到子集
              subset.append(self.originarray[j])
          if length==0 or len(subset)==length:
            #满足设定要求输出
            print(subset)
    
    # 测试数据
    originArray = ['月', '说', '时尚', '圈', '热闹', '一个月', '欣赏', '一个个', '品牌', '新品', '大秀', '感受', '设计师', '奇思妙想', '2020', '年春夏', '时装周', '步入', '尾声', '一站', '巴黎', '热度', '却是', '丝毫', '未减', '大胆', '创意', '秀场', '新颖', '设计', '理念', '奇妙', '剪裁', '构思', '时刻', '领略', '艺术', '神奇', '感受', '前所未有', '精神', '世界']
    print(len(originArray))
    
    
    
    
    originarray=["1", "2", "3", "4", "5"]
    
    t=gen_subset(originarray)
    length=input("请输入要生成的子集元素的个数:")
    t.dojob(int(length))
    

    在这里插入图片描述
    如果想处理成字符串的形式,再利用.join(str)即可完成需求

    version 3.0

    在实际使用中出了些许问题,现已修改

    #targetarray=[]#用于存储每一个数对应的二进制数 注:不能设为静态变量,否则在多次利用后,会被填充值,导致结果重复
    
    class gen_subset:
    
      #targetarray=[]#用于存储每一个数对应的二进制数 注:不能设为静态变量,否则在多次利用后,会被填充值,导致结果重复
    
      def __init__(self,originarray,targetarray,storage):
        self.originarray=originarray
        self.targetarray=targetarray
        self.storage=storage
    
      def dojob(self,length):
        maxlen = 2 ** len(self.originarray)
        for i in range(maxlen):
          str = bin(i).replace('0b', '')  # 十进制转2进制
          self.targetarray.append(str)
        self.buling()
        self.generation(length)
    
      def buling(self):
        for i in range(len(self.targetarray)):
          if (len(self.targetarray[i]) ==len(self.originarray)): continue;
          temp=""
          for j in range(len(self.originarray)-len(self.targetarray[i])):
            temp=temp+"0" #保证targetarray位数和要生成的集合个数相同,这样设置对应的映射
          self.targetarray[i]=temp+self.targetarray[i]
    
      def generation(self,length):
        for i in range(len(self.targetarray)):
          s=self.targetarray[i]
          subset=[]
    
          for j in range(len(s)):
            item=s[j]
            if(item=="1"):
              #获取对应位的这个值,加入到子集
              subset.append(self.originarray[j])
          if length==0 or len(subset)==length:
            #满足设定要求输出
            #print("".join(subset))
            self.storage.append("".join(subset))
    
    
    def processing(o,storage):
      t1=gen_subset(o,[],storage)
      t2=gen_subset(o,[],storage)
      t1.dojob(2)
      t2.dojob(3)
    
    if __name__ == '__main__':
        o = ["1", "2", "3", "4", "5"]
        storage=[]
        processing(o,storage)
        storage.extend(o)
        print(len(storage))
        print(storage)
    

    扩展

    • 当你输入的参数为0时,默认按照1,2,3的顺序,对比二进制(从[0 0 0]到[1 1 1])的顺序进行打印
    • 若想实现生成个数小于等于某个具体值的的子集,直接利用循环,多生成实例,进行操作即可
    展开全文
  • 我们仔细观察一下有n个元素的集合和n-1个元素的集合我们知道数学公式幂集个数等于2^n次幂,因为每个数都有两个选择。我们发现呢:n和n-1个元素是二倍关系,那么二倍关系是偶然嘛?不是,取决于第n个元素选...

    例题:

    在这里插入图片描述

    题目分析:

    求一个集合的幂集我们如果用编程的思维来思考的话想到的有dfs暴力搜索,就是把集合的每一项两种选择进行枚举。除了暴力我们有没有办法直接求解呢?
    我们仔细观察一下有n个元素的集合和n-1个元素的集合我们知道数学公式幂集的个数等于2^n次幂,因为每个数都有两个选择。我们发现呢:n和n-1个元素是二倍的关系,那么二倍的关系是偶然嘛?不是的,取决于第n个元素选还是不选。不选就是相当于n-1个元素的幂集,选就是n-1的幂集都放入第n个元素。所有有了二倍的关系。知道了这个,那么我们的实现也十分简单了。

    代码c++实现:

    class Solution {
    public:
        vector<vector<int>>ans;
        vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
            if(nums.size()==0)
            return ans;
            vector<int>temp;
            ans.push_back(temp);
            temp.push_back(nums[0]);
            ans.push_back(temp);
            for(int i=1;i<nums.size();i++)
            {
                vector<vector<int>>tmp=ans;
                for(int j=0;j<tmp.size();j++)
                {   
                    tmp[j].push_back(nums[i]);
                    ans.push_back(tmp[j]);
                }
            }
            return ans;
        }
    };
    
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  • 问题传送门 我的新站点 问题描述: 第一行输入一T,(1≤T≤105) 表示有T次询问。 每次询问有一整数 n , ...输出:满足条件的子集的个数对1000000007 取模。 分析: 1.任意偶数的和是偶数 2.偶数...

    问题传送门

                 我的新站点          

    问题描述:

    第一行输入一个T,(1≤T≤105) 表示有T次询问。

    每次询问有一个整数 n  , 表示一个集合 1,2,3,...... n

    问:这个集合中有几个非空子集,这个子集的所有元素和是偶数。

    输出:满足条件的子集的个数对1000000007 取模。

     

    分析:

    1.任意个偶数的和是偶数

    2.偶数个奇数的和是偶数

    3.任意个偶数+偶数个奇数的和是偶数

     

    对于集合 {1,2,3,....., n},设偶数有 a 个,奇数有 b 个。 所以下面公式把所有情况都包括了:

    把上面公式化简后是

    然后要减去0个偶数0个奇数的情况

     

    就是答案。

    因为n很大, 所以要用到快速幂算法

    虽然有取模运算,但是中间的过程还是会超int,所以要用long long

    下面是代码:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long LL ;
    
    const int M = 1000000007;
    const int N = 1e5; 
    int a[N + 1];
    
    LL Pow(int a, int b)
    {
    	LL ans = 1, t = a;
    	while(b)
    	{
    		if (b&1) ans = ans*t%M;
    		t = t*t%M;
    		b >>= 1;
    	}
    	return ans;
    }
    int main()
    {
    	LL ans = 0;
    	int n, a;
    	int e = 0, o = 0;
    	cin >> n;
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		cin >> a;
    		ans = Pow(2, a-1) -1 ;
    		cout << ans << endl;
    	}	
    	return 0;
    }

       

     

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    千次阅读 2017-02-05 10:19:04
    子集个数一共 2^n,每个集合的平均长度是 O(n) 的,所以时间复杂度为 O(n * 2^n),同理 Permutations 问题的时间复杂度为:O(n * n!)动态规划的时间复杂度:O(状态总数 * 计算每个状态的时间复杂度) 举例:triangle...
  • 公式 : 二分图最大独立集合 = 节点 - 最大匹配 对于第一例子 0: (3) 4 5 6 1: (2) 4 6 2: (0) 3: (0) 4: (2) 0 1 5: (1) 0 6: (2) 0 1 最大匹配为2,最大独立集
  • 求组合(取模)两种方法

    万次阅读 多人点赞 2016-09-22 23:20:23
    具体可以参考我之前的博客 “排列与组合”笔记 中,集合的组合的部分。这里复述如下: 令r为非负整数。我们把n元素的集合S的r-组合理解为从S的n元素中对r元素的无序选择。换句话说,S的一r-组合是S的一...
  • 排列数:从n个对象组成的集合...我们知道,一个数的阶乘随着这个数的的增长增长很快,如果用int表示来存储阶乘结果,到14时候结果就溢出,就算用long long类型存储结果,到21时也会溢出,本文提供另一种求解排列
  • 3. 集合的运算和公式 1. 数学符号 集,集合 x是集合X的一元素 x不是集合X的一元素 , 子集 并集 交集 直和 张量积,Kronecker积 dim X 维 矩阵...
  • n元集的子集个数 幂集 差集 对称差集 集合运算的基本等式 等势 Tips: 二、命题逻辑 命题 否定连接词 合取连接词 Tips: 析取连接词 Tips: 蕴含连接词 Tips: 等价连接词...
  • 题意:给你一个有1到n的n个数的集合,求这个集合的非空子集的子集所有元素的和为偶数的子集个数 思路:因为和为偶数,所以一定是由2*x个奇数+y个偶数组成,从中就可以推出公式为2^(n-1)-1 代码: #include #...
  • GalaxyOJ-721 (公式)

    2017-07-11 19:48:49
    题目 Problem Description 给出一个大小为2n的集合X={1,2,3,…,2n-1... x有趣子集定义为,该子集中至少有两个数,a和b,b是a倍数且a是集合中最小元素。 Input 输入一个整数n 1 Outp
  • 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得它们交集元素个数为K,求取法方案数,答案模1000000007。(是质数哦) 【数据范围】 1  被虐傻了。...
  • 组合求法

    2018-11-19 19:10:19
    具体可以参考我之前的博客 “排列与组合”笔记 中,集合的组合的部分。 这里复述如下: 令r为非负整数。我们把n元素的集合S的r-组合理解为从S的n元素中对r元素的无序选择。换句话说,S的一r-组合是S的一...
  • 组合C(n,m)计算

    千次阅读 2015-09-03 18:25:23
    有n元素的集合的含有m元素子集的个数为C(n,m)。 C(n,m)的计算方式: 1.公式:C(n,m) = n!/((n-m)! * m!),在算法上较难实现,阶乘很快会爆long long 2.递推:C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m) 在算法上当然会...
  • 简单无向不同构图的计数问题是一十分困难的问题,利用生成群对点集合的二元子集的作用所得的轨道,给出 了计算由点所组成的简单无向不同构图的总数的通解公式
  • haha

    2009-05-14 13:59:54
    高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系, .2.德摩根公式 .3.包含关系 4.容斥原理. 5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有 –2个...
  • 随机事件:样本空间中满足一定条件的子集,用大写字母A,B,C…表示。另外,随机事件在随机实验中可能出现也可能不出现。 古典概型:每样本点ωi(i=1,2,…,n)出现是等可能的,并且每次试验有且仅有一样本点...
  • 我们都知道没有重复的组合,其计算方法本质上就在有n个元素的集合中选则r个元素的子集个数,所以可以推出其计算公式为C(n,r) 至于它的公式推导,可以这样看,我们可以先选出这些子集后,对这些r个元素的集合,进行...
  • 个集合S中有n元素,问S->S所有二元关系中,有多少关系满足对称,...B(n)表示bell,即将拥有n元素的集合S划分为若干子集的方案。B(0)=1,B(1)=1,B(2)=2,B(3)=5,B(4)=15...  bell满足这样递推公式
  • 通常,读入并理解结构远比导出来得复杂,因为导入你必须假设一切情况都是可能的,而生成你只要保证满足你自己需求就可以了,如果把导入需求和生成需求比做两个集合,那么生成需求通常都是导入需求的子集,这一规律...
  • 问题 最近对问题要求在包含有n的集合S中,找出距离最近...利用点集在x轴上中位m,在此处做垂线,将集合分成两个子集,每子集中点数大致都为n/2。这样最近点对会出现两种情况:在一个子集中和在两子...

空空如也

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集合的子集个数公式