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    一、带通和低通信号的表示

    1、带通信号及其调制

    \quad带通信号是一种实窄带高频信号,其频谱集中在某个频率(+f0)(+-f_0)附近,且频谱宽度远小于f0f_0的信号。对于这类信号,一般有两种调制方法:

    • 双边带调制DSB:传输信号的信道带宽限制在以载波为中心的一个频段上。
    • 单边带调制SSB:传输信号的信道带宽限制在邻近载波的频段上。
      在这里插入图片描述
      \quad可以将带通信号简化为等效低通信号,这样可以大大简化带通信号的处理。

    2、x(t)的全部信息都包含在正(或负)频域中

    \quad由于x(t)x(t)的傅里叶变换X(f)=X+(f)+X(f)=X+(f)+X+(f)X(f)=X_+(f)+X_{-}(f)=X_+(f)+X_+^*(-f)(X(f)X(f)幅度偶对称,相位奇对称)。因此,可以用X+(f)X_+(f)重构X(f)X(f),进而重构x(t)x(t)
    \quad首先,我们来重构x+(t)x_+(t)
    x+(t)=F1[X+(f)]=F1[X(f)u(f)]=F1[X(f)]F1[u(f)]=x(t)(12δ(t)+j12πt)=12[x(t)+jx^(t)]x_+(t)=F^{-1}[X_+(f)]=F^{-1}[X(f)u(f)]=F^{-1}[X(f)]*F^{-1}[u(f)]=x(t)*(\frac{1}{2}\delta(t)+j\frac{1}{2\pi t})=\frac{1}{2}[x(t)+j\hat{x}(t)]
    其中,x^(t)=x(t)1πt\hat{x}(t)=x(t)*\frac{1}{\pi t}h(t)=1πth(t)=\frac{1}{\pi t}是Hilbert变换器。故x^(t)=x(t)1πt\hat{x}(t)=x(t)*\frac{1}{\pi t}等于将输入信号通过Hilbert变换后的输出。
    \quad希尔伯特变换:
    h(t)=1πt;H(f)=jsgn(f)h(t)=\frac{1}{\pi t}; H(f)=-jsgn(f)相当于是对输入信号的正频率部分引入900-90^0的相移,负频率部分引入90090^0的相移。

    3、带通信号x(t)x(t)的等效低通信号xl(t)x_l(t)

    \quad定义低通信号频率Xl(f)=2X+(f+f0)X_l(f)=2X_+(f+f_0),相当于将X(f)X(f)的正频率部分左移f0f_0的二倍。
    根据Xl(f)X_l(f),我们来求出xl(t)x_l(t)的表达式:
    xl(t)=F1[Xl(f)]=2x+(t)ej2πf0t=[x(t)+jx^(t)]ej2πf0t=[x(t)cos2πf0t+x^(t)sin2πf0t]+j[x^cos2πf0tx(t)sin2πf0t]x_l(t)=F^{-1}[X_l(f)]=2x_+(t)e^{-j2\pi f_0t}=[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{-j2\pi f_0t}\\ =[x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t]+j[\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t]
    \quad根据xl(t)=[x(t)+jx^(t)]ej2πf0tx_l(t)=[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{-j2\pi f_0t}可以得到原信号x(t)x(t)与其低通信号xl(t)x_l(t)的关系:

    复包络表达式

    x(t)=Re{xl(t)ej2πf0t}X(f)=12[Xl(ff0)+Xl(ff0)]x(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}\\ X(f)=\frac{1}{2}[X_l(f-f_0)+X_l^*(-f-f_0)]

    正交表达式

    \quadxl(t)=xi(t)+jxq(t)x_l(t)=x_i(t)+jx_q(t)xi(t)x_i(t)为同相分量,xq(t)x_q(t)为正交分量,xi(t)=x(t)cos2πf0t+x^(t)sin2πf0txq(t)=x^cos2πf0tx(t)sin2πf0tx_i(t)=x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t,x_q(t)=\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t。可求出x(t)x(t)xi(t)xq(t)x_i(t)和x_q(t)的关系:
    x(t)=Re{xl(t)ej2πf0t}=Re{[xi(t)+jxq(t)]ej2πf0t}=Re{xi(t)ej2πf0t+jxq(t)ej2πf0t}=xi(t)cos2πf0txq(t)sin2πf0tx(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}=Re\{[x_i(t)+jx_q(t)]e^{j2\pi f_0t}\}\\ =Re\{x_i(t)e^{j2\pi f_0t}+jx_q(t)e^{j2\pi f_0t}\}\\ =x_i(t)cos2\pi f_0t-x_q(t)sin2\pi f_0t

    极坐标形式

    \quad带通信号xl(t)=xi(t)+jxq(t)=xi2(t)+xq2(t)ejtan1xq(t)xi(t)x_l(t)=x_i(t)+jx_q(t)=\sqrt{x_i^2(t)+x_q^2(t)}e^{jtan^{-1}\frac{x_q(t)}{x_i(t)}},其中rx(t)=xi2(t)+xq2(t)r_x(t)=\sqrt{x_i^2(t)+x_q^2(t)}成为其包络,θx(t)=tan1xq(t)xi(t)\theta_x(t)=tan^{-1}\frac{x_q(t)}{x_i(t)}称为其相位。下图即为带通信号及其包络:
    在这里插入图片描述
    \quad利用xl(t)=rx(t)ejθx(t)x_l(t)=r_x(t)e^{j\theta_x(t)}可得x(t)=Re{xl(t)ej2πf0t}=Re{rx(t)ejθx(t)ej2πf0t}=Re{rx(t)ej2πf0t+θx(t)}=rx(t)cos[2πf0t+θx(t)]x(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}=Re\{r_x(t)e^{j\theta_x(t)}e^{j2\pi f_0t}\}\\ =Re\{r_x(t)e^{j2\pi f_0t+\theta_x(t)}\}\\ =r_x(t)cos[2\pi f_0t+\theta_x(t)]

    4、调制——低通变为带通的过程

    \quad这一步即为从xl(t)x_l(t)变为x(t)x(t)的过程。

    • x(t)=Re{xl(t)ej2πf0t}x(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}
      在这里插入图片描述
    • x(t)=xi(t)cos2πf0txq(t)sin2πf0tx(t)=x_i(t)cos2\pi f_0t-x_q(t)sin2\pi f_0t
      在这里插入图片描述

    5、解调——从带通信号中提取低通信号的过程

    • xl(t)=[x(t)+jx^(t)]ej2πf0tx_l(t)=[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{-j2\pi f_0t}
      在这里插入图片描述
    • xl(t)=[x(t)cos2πf0t+x^(t)sin2πf0t]+j[x^cos2πf0tx(t)sin2πf0t]x_l(t)=[x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t]+j[\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t]
      xi(t)=x(t)cos2πf0t+x^(t)sin2πf0txq(t)=x^cos2πf0tx(t)sin2πf0tx_i(t)=x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t,x_q(t)=\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t
      xl(t)=xi(t)+jxq(t)x_l(t)=x_i(t)+jx_q(t)
      在这里插入图片描述

    6、带通和对应低通信号的能量关系

    \quad信号x(t)x_(t)的信号定义为εx=+x2(t)dt\varepsilon_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x^2(t)|dt
    εx=+x2(t)dt=+X(f)2df=+X+(f)+X(f)2df=2+X+(f)2df=2+Xl(f)22df=12εxl\varepsilon_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x^2(t)|dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2df\\ =\int_{-\infty}^{+\infty}|X_+(f)+X_{-}(f)|^2df=2\int_{-\infty}^{+\infty}|X_+(f)|^2df\\ =2\int_{-\infty}^{+\infty}|\frac{X_l(f)}{2}|^2df=\frac{1}{2}\varepsilon_{xl}
    在上述证明过程中用到了Xl(f)=2X+(f+f0)X_l(f)=2X_+(f+f_0),最终结论如下:
    等效低通的能量是带通信号能量的2倍!

    7、基带的正交性蕴含带通的正交性

    \quad信号x(t),y(t)x(t),y(t)的正交性ρx,y=<x(t),y(t)>εxεy\rho_{x,y}=\frac{<x(t),y(t)>}{\sqrt{\varepsilon_x\varepsilon_y}},其对应低通信号xl(t),yl(t)x_l(t),y_l(t)的正交性ρxl,yl=<xl(t),yl(t)>εxlεyl\rho_{x_l,y_l}=\frac{<x_l(t),y_l(t)>}{\sqrt{\varepsilon_{xl}\varepsilon_{yl}}}
    \quad引理1:<x(t),y(t)>=12Re[<xl(t),yl(t)>]<x(t),y(t)>=\frac{1}{2}Re[<x_l(t),y_l(t)>],证明如下:
    在这里插入图片描述
    \quad引理2:εxl=2εx\varepsilon_{xl}=2\varepsilon_{x}

    \quad由上面两个引理,可以得到ρx,y=Re(ρxl,yl)\rho_{x,y}=Re(\rho_{x_l,y_l})。如果ρxl,yl=0\rho_{x_l,y_l}=0,那么ρx,y=0\rho_{x,y}=0;反之则不成立。因此可以得到如下结论:基带的正交性蕴含带通的正交性,反之则不然

    8、带通系统的等效低通

    \quad带通信号中输入输出的关系与其等效低通的输入输出关系相似,唯一的差别就是等效低通中引入了12\frac{1}{2}因子。
    在这里插入图片描述
    \quad结论:在研究带通信号与系统时,不必考虑调制中遇到的任何线性频率搬移,只需讨论等效低通信号通过等效低通信道的传输

    二、波形的信号空间表示

    \quad信号集与矢量集关系:

    • 任何信号集均可等效为一个矢量集;
    • 信号具有矢量的基本性质。
    • 构造信号集的等效矢量集
    • 波形的信号空间表示法(信号星座图)

    1、信号具有类似矢量的特征

    • 内积:在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • 正交:在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • 范数:在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • 三角不等式:在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • Cauchy-Schwartz不等式:在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    2、信号的正交展开

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  • ... 转载于:https://www.cnblogs.com/Lieyuanbingshi/p/10806066.html

    ...

    转载于:https://www.cnblogs.com/Lieyuanbingshi/p/10806066.html

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    1. delta的导数奇函数,所以求积分后一定注意是0而非delta,因为这个是定积分不是不定积分

    2.这题就是一个套路,将两个周期求出来求最小公倍数

      还有一种题型是判断是否是周期函数,只需将w1,w2一比,判断是不是有理数即可

    q 

    3. 这题似乎好像是题目出错了

     4.随机信号与确定信号,连续信号与离散信号,数字信号与模拟信号这几个概念一定要搞清楚

    6.第一章里判断能量信号与功率信号也是一个重要的考点!

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  • 信号与系统

    2020-07-06 19:19:15
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    复习一、

    1.1信号的分类

    确定性信号与随机信号

    周期非周期信号

    连续时间与离散时间信号

    一维信号与多维信号

    1.2表达式分类:

    指数信号、正弦信号、负指数信号、Sa(t)(抽样信号)、高斯信号

    1.3信号的运算

     

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空空如也

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随机信号与确定信号