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  • 连续型随机变量及概率密度连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量概率密度函数的性质概率计算公式例1 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量 概率密度函数的性质 注:对于连续型随机变量,它取任何点的...

    连续型随机变量及其概率密度

    连续型随机变量

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    概率密度函数的性质

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    注:对于连续型随机变量,它取任何点的概率都等于0.
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    概率计算公式

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    例1

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  • 利用单位脉冲函数定义了离散型随机变量概率密度,给出离散型随机变量与其独立的连续型随机变量和分布的计算公式,且证明其和分布不可能为正态分布。
  • 3 ,离散型随机变量概率分布图 :二项分布 二项 : 结果只有两个 图示 : 抛硬币 n 次,有 x 次正面朝上的概率分布图 4 ,离散型随机变量概率分布图 :泊松分布 公式 : 分布图 : 5 ,连续性随机变量 : 不...

    1 ,随机变量 :

    1. 定义 : 无法预知的量
    2. 例如 : 跑硬币,结果是哪一面

    2 ,离散型随机变量 :间断的值

    1. 只能是固定的一些结果
    2. 例如 : 硬币只能是正面( 1 ) ,或者反面 ( 0 )

    3 ,离散型随机变量概率分布图 :二项分布

    1. 二项 : 结果只有两个
    2. 图示 : 抛硬币 n 次,有 x 次正面朝上的概率分布图

    4 ,离散型随机变量概率分布图 :泊松分布

    1. 公式 :
    2. 分布图 :

    5 ,连续性随机变量 : 不间断的值

    1. 定义 : 每一种可能性的值是连续的

    6 ,函数区间 :

    1. 定义 : 从 a -> b 点区间,函数的变化
    2. 例如 :

    7 ,概率密度函数 : 概率区间 = 积分

    1. 定义 : 由于连续性随机变量,无法直接表示单个的值,所以需要用函数算出来
    2. 计算 :
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  • 连续型随机变量概率密度5.常见分布6.随机变量函数的概率分布7.重要公式与结论2.多维随机变量及其分布1.二维随机变量及其联合分布2.二维离散型随机变量的分布3. 二维连续性随机变量的密度4.常见二维随机变量的联合...

    1.随机变量及其概率分布

    1.随机变量及概率分布

      取值带有随机性的变量,严格地说是定义在样本空间上,取值于实数的函数称为随机变量,概率分布通常指分布函数或分布律

    2.分布函数的概念与性质

    定义: F(x)=P(Xx),<x<+F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty

    性质:(1)0F(x)10 \leq F(x) \leq 1

    (2) F(x)F(x)单调不减

    (3) 右连续F(x+0)=F(x)F(x + 0) = F(x)

    (4) F()=0,F(+)=1F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1

    3.离散型随机变量的概率分布

    P(X=xi)=pi,i=1,2,,n,pi0,i=1pi=1P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1

    4.连续型随机变量的概率密度

    概率密度f(x)f(x);非负可积,且:

    (1)f(x)0,f(x) \geq 0,

    (2)+f(x)dx=1\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}

    (3)xxf(x)f(x)的连续点,则: f(x)=F(x)f(x) = F'(x)分布函数F(x)=xf(t)dtF(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}

    5.常见分布

    (1) 0-1 分布:P(X=k)=pk(1p)1k,k=0,1P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1

    (2) 二项分布:B(n,p)B(n,p)P(X=k)=Cnkpk(1p)nk,k=0,1,,nP(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n

    (3) Poisson分布:p(λ)p(\lambda)P(X=k)=λkk!eλ,λ>0,k=0,1,2P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots

    (4) 均匀分布U(a,b)U(a,b)f(x)={1ba,a<x<b0,f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}

    (5) 正态分布:N(μ,σ2):N(\mu,\sigma^{2}): φ(x)=12πσe(xμ)22σ2,σ>0,<x<+\varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty

    (6)指数分布:E(λ):f(x)={λeλx,x>0,λ>00,E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}

    (7)几何分布:G(p):P(X=k)=(1p)k1p,0<p<1,k=1,2,.G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.

    (8)超几何分布: H(N,M,n):P(X=k)=CMkCNMnkCNn,k=0,1,,min(n,M)H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)

    6.随机变量函数的概率分布

    (1)离散型:P(X=x1)=pi,Y=g(X)P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)

    则: P(Y=yj)=g(xi)=yiP(X=xi)P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}

    (2)连续型:X ~fX(x),Y=g(x)X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)

    则:Fy(y)=P(Yy)=P(g(X)y)=g(x)yfx(x)dxF_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}fY(y)=FY(y)f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)

    7.重要公式与结论

    (1) XN(0,1)φ(0)=12π,Φ(0)=12,X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2}, Φ(a)=P(Xa)=1Φ(a)\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)

    (2) XN(μ,σ2)XμσN(0,1),P(Xa)=Φ(aμσ)X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})

    (3) XE(λ)P(X>s+tX>s)=P(X>t)X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)

    (4) XG(p)P(X=m+kX>m)=P(X=k)X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)

    (5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数;连续型随机变量的分布函数为连续函数,但不一定为处处可导函数。

    (6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

    2.多维随机变量及其分布

    1.二维随机变量及其联合分布

      由两个随机变量构成的随机向量(X,Y)(X,Y), 联合分布为F(x,y)=P(Xx,Yy)F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)

    2.二维离散型随机变量的分布

    (1) 联合概率分布律 P{X=xi,Y=yj}=pij;i,j=1,2,P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots

    (2) 边缘分布律 pi=j=1pij,i=1,2,p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots pj=ipij,j=1,2,p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots

    (3) 条件分布律 P{X=xiY=yj}=pijpjP\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}}
    P{Y=yjX=xi}=pijpiP\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}

    3. 二维连续性随机变量的密度

    (1) 联合概率密度f(x,y):f(x,y):

    1. f(x,y)0f(x,y) \geq 0

    2. ++f(x,y)dxdy=1\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1

    (2) 分布函数:F(x,y)=xyf(u,v)dudvF(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}

    (3) 边缘概率密度: fX(x)=+f(x,y)dyf_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}} fY(y)=+f(x,y)dxf_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}

    (4) 条件概率密度:fXY(x|y)=f(x,y)fY(y)f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)} fYX(yx)=f(x,y)fX(x)f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}

    4.常见二维随机变量的联合分布

    (1) 二维均匀分布:(x,y)U(D)(x,y) \sim U(D) ,f(x,y)={1S(D),(x,y)D0,f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他 \end{cases}

    (2) 二维正态分布:(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho),(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)

    f(x,y)=12πσ1σ21ρ2.exp{12(1ρ2)[(xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22]}f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}

    5.随机变量的独立性和相关性

    XXYY的相互独立:F(x,y)=FX(x)FY(y)\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right):

    pij=pipj\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}(离散型)
    f(x,y)=fX(x)fY(y)\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)(连续型)

    XXYY的相关性:

    相关系数ρXY=0\rho_{{XY}} = 0时,称XXYY不相关,
    否则称XXYY相关

    6.两个随机变量简单函数的概率分布

    离散型: P(X=xi,Y=yi)=pij,Z=g(X,Y)P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right) 则:

    P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=g(xi,yi)=zkP(X=xi,Y=yj)P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}

    连续型: (X,Y)f(x,y),Z=g(X,Y)\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)
    则:

    Fz(z)=P{g(X,Y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdyF_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}fz(z)=Fz(z)f_{z}(z) = F'_{z}(z)

    7.重要公式与结论

    (1) 边缘密度公式: fX(x)=+f(x,y)dy,f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}
    fY(y)=+f(x,y)dxf_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}

    (2) P{(X,Y)D}=Df(x,y)dxdyP\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}

    (3) 若(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)
    则有:

    1. XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22).X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).

    2. XXYY相互独立ρ=0\Leftrightarrow \rho = 0,即XXYY不相关。

    3. C1X+C2YN(C1μ1+C2μ2,C12σ12+C22σ22+2C1C2σ1σ2ρ)C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)

    4.  X{\ X}关于Y=yY=y的条件分布为: N(μ1+ρσ1σ2(yμ2),σ12(1ρ2))N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))

    5. YY关于X=xX = x的条件分布为: N(μ2+ρσ2σ1(xμ1),σ22(1ρ2))N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))

    (4) 若XXYY独立,且分别服从N(μ1,σ12),N(μ1,σ22),N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),
    则:(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,0),\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),

    C1X+C2Y ~N(C1μ1+C2μ2,C12σ12C22σ22).C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).

    (5) 若XXYY相互独立,f(x)f\left( x \right)g(x)g\left( x \right)为连续函数, 则f(X)f\left( X \right)g(Y)g(Y)也相互独立。

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    机器学习的数学基础

    概率论和数理统计

    随机事件和概率

    1.事件的关系与运算

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    2.运算律

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    3.德.摩根律

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    4.完全事件组

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    5.概率的基本概念

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    6.概率的基本公式

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    7.事件的独立性

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    8.独立重复试验

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    9.重要公式与结论

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    随机变量及其概率分布

    1.随机变量及概率分布

    取值带有随机性的变量,严格地说是定义在样本空间上,取值于实数的函数称为随机变量,概率分布通常指分布函数或分布律

    2.分布函数的概念与性质

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    3.离散型随机变量的概率分布

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    4.连续型随机变量的概率密度

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    5.常见分布

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    6.随机变量函数的概率分布

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    7.重要公式与结论

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    多维随机变量及其分布

    1.二维随机变量及其联合分布

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    2.二维离散型随机变量的分布

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    3. 二维连续性随机变量的密度

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    4.常见二维随机变量的联合分布

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    5.随机变量的独立性和相关性

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    6.两个随机变量简单函数的概率分布

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    7.重要公式与结论

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    随机变量的数字特征

    1.数学期望

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    2.方差:

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    3.标准差:

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    4.离散型:

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    5.连续型:

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    性质:
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    6.随机变量函数的数学期望

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    7.协方差

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    8.相关系数

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    性质:
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    9.重要公式与结论

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    数理统计的基本概念

    1.基本概念

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    2.分布

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    3.正态总体的常用样本分布

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    4.重要公式与结论

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  • 概率论复习笔记——卷积公式

    万次阅读 多人点赞 2018-12-03 00:04:49
    概统笔记——多维随机变量及其分布、卷积公式二维随机变量边缘概率密度条件分布相互独立的随机变量两个随机变量的函数的分布(一)Z=X+Y的分布(二)Z=X/Y的分布、Z=XY的分布(三)M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y}的分布 ...

空空如也

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随机变量概率密度公式