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  • 随机变量的函数的概率密度函数

    千次阅读 2020-05-06 23:28:54
    已知 X∼PX(x)X \sim P_X(x)X∼PX​(x),Y=f(X)Y = f(X)Y=f(X),求 YYY 的概率密度函数 PY(y)P_Y(y)PY​(y). 解 当 fff 递增函数时,考察 YYY 的累计分布函数FY(y)F_Y(y)FY​(y): FY(y)=Pr(Y≤y)=Pr(Xf−1(y))=...

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    问题描述

    已知 XPX(x)X \sim P_X(x)Y=f(X)Y = f(X),求 YY 的概率密度函数 PY(y)P_Y(y).

    ff 为递增函数时,考察 YY 的累计分布函数FY(y)F_Y(y):
    FY(y)=Pr(Yy)=Pr(Xf1(y))=FX(f1(y)) F_Y(y) = Pr(Y \leq y) = Pr(X \leq f^{-1}(y)) = F_X(f^{-1}(y))

    PY(y)=dFY(y)dy=PX(f1(y))df1(y)dy P_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = P_X(f^{-1}(y))\frac{df^{-1}(y)}{dy}

    PY(y)=dFY(y)dy=PX(x)dxdy P_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = P_X(x)\frac{dx}{dy}


    ff 为递减函数时,
    FY(y)=Pr(Yy)=Pr(Xf1(y))=1FX(f1(y)) F_Y(y) = Pr(Y \leq y) = Pr(X \geq f^{-1}(y)) = 1-F_X(f^{-1}(y))

    PY(y)=dFY(y)dy=PX(f1(y))df1(y)dy P_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = -P_X(f^{-1}(y))\frac{df^{-1}(y)}{dy}

    综上所述,
    PY(y)=dFY(y)dy=PX(f1(y))df1(y)dy P_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = P_X(f^{-1}(y))\left|\frac{df^{-1}(y)}{dy}\right|

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  • 则称XXX连续型随机变量\textbf{连续型随机变量}连续型随机变量f(x)f(x)f(x)称为XXX的概率密度函数\textbf{概率密度函数}概率密度函数,简称概率密度\textbf{概率密度}概率密度 连续型随机变量

    什么是连续型随机变量的概率密度函数?

    如果对于随机变量XX的分布函数F(x)F(x),存在非负可积函数f(x)f(x),使对任意实数xx有:F(x)=xf(t)dtF(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt

    则称XX连续型随机变量\textbf{连续型随机变量}f(x)f(x)称为XX概率密度函数\textbf{概率密度函数},简称概率密度\textbf{概率密度}

    连续型随机变量的概率密度函数有什么性质

    1、f(x)0f(x) \ge 0

    2、f(x)dx=1\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = 1

    3、对于任意实数x1,x2(x1x2)x_1,x_2(x_1 \le x_2)P(x1<Xx2)=F(x2)F(x1)=x1x2f(x)dxP(x_1 < X \le x_2) = F(x_2)-F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx

    4、若f(x)f(x)在点xx处连续,则有F(x)=f(x)F'(x) =f(x)

    标记方法 概率密度函数 参数 分布函数 实验场景
    均匀分布 XX~U(a,b)U(a,b) f(x)={1baa<x<b0,f(x) = \left\{\begin{aligned}&\frac{1}{b-a} ,a<x<b\\&0 \qquad ,其他\end{aligned}\right. a<ba<b F(x)=0,x<aF(x)=xaba,axbF(x)=1,x>bF(x) = 0 , x < a\\F(x)=\frac{x-a}{b-a},a\le x \le b \\F(x)=1,x>b (a,b)(a,b)区间取值
    指数分布 XX~E(A)E(A) f(x)={1θex/θx>00,f(x) = \left\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta} ,x>0\\&0 \qquad ,其他\end{aligned}\right. θ>0\theta > 0 P(Xx)=F(x)=1exθx>0P(X \le x) = F(x) = 1 -e^{-\frac{x}{\theta}},x > 0 电子元件寿命
    正太分布 XX~N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) f(x)=12πσe(xμ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma>0) f(x)=12πσxe(xμ)22σ2dxf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx 测量物体长度发生的误差
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  • 文章目录连续型随机变量三种连续型随机变量均匀分布指数...对任意实数xxx,有F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dtF(x)=∫−∞x​f(t)dt称XXX连续型随机变量f(x)f(x)f(x)为X的概率密度函数(概率密度)...

    连续型随机变量

    • 对于随机变量XX的分布函数F(x)F(x)
    • 若存在非负f(x)f(x)
    • 对任意实数xx,有F(x)=xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dtXX为连续型随机变量,f(x)f(x)X()X的概率密度函数(概率密度)

    f(x)f(x)的性质

    • 1、f(x)0f(x)\ge0
    • 2、+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1
    • 3、对(x1x2)R\forall (x_1\le x_2)\in R,P{x1<Xx2}=F(x2)F(x1)=x1x2f(x)dxP\left\{x_{1}<X \leqslant x_{2}\right\}=F\left(x_{2}\right)-F\left(x_{1}\right)=\int_{x_1}^{x_{2}} f(x) \mathrm{d} x
    • 4、若f(x)f(x)xx处连续,则F(x)=f(x)F'(x)=f(x)
      • 由性质4,得到f(x)=limΔx0+F(x+Δx)F(x)Δx=limx0+P{x<Xx+Δx}Δx\begin{aligned} f(x) &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{P\{x<X \leqslant x+\Delta x\}}{\Delta x} \end{aligned}于是有P{x1<Xx2}f(x)xP\left\{x_{1}<X \leqslant x_{2}\right\}\approx f(x)\triangle x
    • 5、对于连续型随机变量X,X取任意指定值的概率为0,即P{X=a}=0P\{X=a\}=0
      • 所以,计算区间概率时,大可不必关注端点的概率值:P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b}P\{a<X \leqslant b\}=P\{a \leqslant X \leqslant b\}=P\{a<X<b\}

    三种连续型随机变量

    均匀分布

    • XU(a,b)X\sim U(a,b)
    • f(x)={1baa<x<b0f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}&a<x<b\\0&其他\end{cases}
    • F(x)={0,x<axaba,ax<b1,xbF(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b \\ 1, & x \geqslant b \end{array}\right.

    指数分布

    • Xθ>0X服从参数为\theta>0的指数分布
    • f(x)={1θexθ,x>00,f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{\frac{-x} { \theta}}, x>0\\0,\end{array}\right.
    • F(x)={1exθ,x>00,F(x)=\begin{cases}1-e^{-\frac x{\theta}},&x>0\\0,&其他\end{cases}
    • 性质:无记忆性,即对s,t>0\forall s,t>0,有P{X>s+tX>s}=P{X>t}P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}如果用灯泡寿命来理解,就是如果元件已经使用s小时,它总共至少可使用s+t小时的条件概率=元件从一开始就至少能使用t小时的概率

    正态/高斯分布

    • XN(μ,σ>0)X\sim N(\mu,\sigma>0)
    • f(x)=12πσe(xμ)22σ2,<x<f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<\infty
    • x=μx=\mu时,f(μ)=fmax(x)=12πσf(\mu)=f_{max}(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}
    • 证明:+f(t)dt=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1
      • 变量代换:t=xμσt=\frac{x-\mu}{\sigma}则原积分=12π+et22dt\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}2}dt
      • 然后!神奇操作!!I2=++e(t2+u2)2dtduI^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(t^2+u^2)}2}dtdu
      • 极坐标变换,得I2=02π0rer2/2drdθ=2πI^2=\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}re^{-r^2/2}drd\theta=2\pi I>0I=2πI>0\Rightarrow I=\sqrt{2\pi}
    • x=μ±σx=\mu\pm\sigma处有拐点
    • 对于标准正态分布N(0,1)N(0,1)φ(x)=12πex2/2\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} Φ(x)=12πxet2/2dt\Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-t^2/2}dt对于分布函数,有性质:Φ(x)=1Φ(x)\Phi(-x)=1-\Phi(x)

    引理

    • XN(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)
    • Z=XμσN(0,1)Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)
    • 证明:只要证明Z=XμσZ=\frac{X-\mu}{\sigma}的分布函数=Φ(x)\Phi(x)
    • F(x)=P{Xx}=P{Xμσxμσ}=Φ(xμσ)F(x)=P\{X\le x\}=P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x-\mu}{\sigma}\}=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) P{x1<Xx2}=Φ(x2μσ)Φ(x1μσ)P\{x_1< X\le x_2\}=\Phi(\frac{x_2-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{x_1-\mu}{\sigma})
    • 3σ3\sigma法则:尽管正态变量XX的取值为(,+)(-\infty,+\infty),但XX落在(μ3σ,μ+3σ)(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)几乎是必然事件:P{μσ<X<μ+σ}=Φ(1)Φ(1)=68.26%P\{\mu-\sigma<X<\mu+\sigma\}=\Phi(1)-\Phi(-1)=68.26\% P{μ2σ<X<μ+2σ}=95.44%P\{\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma\}=95.44\% P{μ3σ<X<μ+3σ}=99.74%P\{\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma\}=99.74\%

    例题

    • 一温度调节器中的液体温度XN(d,0.52)X\sim N(d,0.5^2)
    • 问:(1)若d=90oC,P{X<89oC}d=90^oC,求P\{X<89^oC\}
    • (2)若要求P{X80oC}0.99P\{X\ge 80^oC\}\ge0.99,求dd至少为多少?

    • (1)略啦
    • (2)在这里插入图片描述
      哭了,后面这点打了三遍了,老是没有保存上o(╥﹏╥)o不想再敲公式了
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  • 定义: 对于随机变量 XXX 分布函数 F(x)F(x)F(x),若存在非负函数 f(x)f(x)f(x),使对于任意实数 xxx 有: F(x)=∫−∞xf(t) dt F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, {\rm d}t F(x)=∫−∞xf(t)dt 则称 XXX ...

    连续型随机变量及其概率密度

    定义: 对于随机变量 XX 的分布函数 F(x)F(x),若存在非负的函数 f(x)f(x),使对于任意实数 xx 有:

    F(x)=xf(t)dt F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \, {\rm d}t

    则称 XX 为连续型随机变量,其中 f(x)f(x) 称为 XX概率密度函数,检测概率密度。


    f(x)f(x) 的性质:

    (1) f(x)0;f(x)\geq 0;

    (2) +f(x)dx=1;\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x=1;

    F(+)=1\quad \quad \because F(+\infty)=1

    (3) 对于任意的实数 x1,x2(x1x2)x_1,x_2 \,(x_1\leq x_2)

    P(x1<Xx2)=x1x2f(t)dt;\quad P(x_1<X\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2} f(t) \, {\rm d}t;

    LHS=P(Xx2)P(Xx1)=F(x2)F(x1)=x2f(t)dtx1f(t)dt\quad \because LHS = P(X\leq x_2)-P(X\leq x_1) = F(x_2)-F(x_1) = \int_{-\infty}^{x_2} f(t) \, {\rm d}t - \int_{-\infty}^{x_1} f(t) \, {\rm d}t

        \implies 对任意的实数 aaP(X=a)=0.P(X=a) = 0.P(x1<Xx2)=P(x1<X<x2)P(x_1<X\leq x_2) = P(x_1<X<x_2)

    对于连续型的随机变量 XX,有

    P(XD)=Df(x)dxDR. P(X\in D) = \int_D f(x) \, {\rm d}x,任意 D \subset R.

    (4)在 f(x)f(x) 连续点 xxF(x)=f(x).F'(x) = f(x).

    即在 f(x)f(x) 的连续点

    f(x)=F(x)=limΔx0F(x+Δx)F(x)Δx=limΔx0P(x<Xx+Δx)Δx f(x) = F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{P(x<X\leq x+\Delta x)}{\Delta x}

    P(x<Xx+Δx)f(x)ΔxP(x<X\leq x+\Delta x) \approx f(x)·\Delta x

    这表示 XX 落在点 xx 附近 (x,x+Δx](x, x+\Delta x] 的概率近似等于 f(x)Δxf(x)\Delta x


    说明:

    (1) f(x)f(x) 值的含义;

    \quad \quadΔx\Delta x 充分小时,

    \quad \quad P(x<Xx+Δx)f(x)ΔxP(x<X\leq x+\Delta x) \approx f(x)·\Delta x

    (2) f(x)1f(x) 的值是可以大于 1的;

    (3)

    f(x)xf(t)dtF(x) f(x) \quad \underrightarrow{\int_{-\infty}^x f(t) \, {\rm d}t} \quad F(x)

    F(x)ddxF(x)f(x) F(x) \quad \underleftarrow{\frac{d}{dx}F(x)} \quad f(x)


    例 1:XX 的概率密度为

    f(x)={cx+1/6,0<x<2;0,其他.f(x)=\begin{cases} cx+1/6, & 0<x<2; \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}

    求:(1)常数 cc 的值;(2) XX 的概率分布函数 F(x)F(x);(3) P(1<X<1)P(-1<X<1) 的值。

    解 :

    (1)

    1=+f(x)dx=0f(x)dx+02f(x)dx+2+f(x)dx=00dx+02(cx+16)dx+2+0dx=02(cx+16)dx=(c2x2+16x)02=c2×22+16×2    c=13. \begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x = \int_{-\infty}^{0} f(x) \, {\rm d}x + \int_0^2 f(x) \, {\rm d}x + \int_2^{+\infty} f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{-\infty}^0 0 \, {\rm d}x + \int_0^2 (cx+\frac{1}{6}) \, {\rm d}x + \int_2^{+\infty} 0 \, {\rm d}x = \int_0^2 (cx+\frac{1}{6}) \, {\rm d}x = \left. (\frac{c}{2}x^2 + \frac{1}{6}x) \right| _{0}^{2} \\ &= \frac{c}{2} \times 2^2 + \frac{1}{6} \times 2 \implies c = \frac{1}{3}. \end{aligned}

    (2)
    f(x)={x/3+1/6,0<x<2;0,其他. f(x)= \begin{cases} x/3+1/6, & 0<x<2; \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}

    F(x)=P{Xx}=xf(t)dtF(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^x f(t) \, {\rm d}t

    由第 1 问可知,02(cx+16)dx=1\int_0^2 (cx+\cfrac{1}{6}) \, {\rm d}x=1,等价于 P{X(0,2}=1P\{X\in (0,2\}=1

    a. 当 x<0x<0 时,F(x)=P{Xx}=x0dt=0F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^x 0 \, {\rm d}t = 0;

    b. 当 x2x\geq 2 时,(0,2)(,x](0,2)\subset (-\infty, x],故 F(x)=P{Xx}=1F(x)=P\{X\leq x\}=1;

    c. 当 0x<20\leq x<2

    F(x)=P{Xx}=xf(t)dt=0f(t)dt+0xf(t)dt=00dt+0x(t3+16)dt=(t26+t6)0x=x26+x6 \begin{aligned} F(x) &= P\{X\leq x\} = \int_{-\infty}^x f(t) \, {\rm d}t = \int_{-\infty}^0 f(t) \, {\rm d}t + \int_0^x f(t) \, {\rm d}t \\ &= \int_{-\infty}^0 0 \, {\rm d}t + \int_0^x (\frac{t}{3} + \frac{1}{6}) \, {\rm d}t = \left. (\frac{t^2}{6} + \frac{t}{6}) \right| _0^x = \frac{x^2}{6} + \frac{x}{6} \end{aligned}

    F(x)={0,x<0;x26+x6,0x<2;1,x2. F(x)= \begin{cases} 0, & x<0; \\ \cfrac{x^2}{6} + \cfrac{x}{6}, &0\leq x<2; \\ 1, & x\geq 2. \end{cases}

    (3)

    f(x)={x/3+1/6,0<x<2;0,其他. f(x)= \begin{cases} x/3+1/6, & 0<x<2; \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}

    P(1<X<1)=11f(x)dx=10f(x)dx+01f(x)dx=100dx+01(x3+16)dx=0+(x26+x6)01=13. \begin{aligned} P(-1<X<1)&=\int_{-1}^1 f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{-1}^0 f(x) \, {\rm d}x + \int_0^1 f(x) \, {\rm d}x \\ &= \int_{-1}^0 0 \, {\rm d}x + \int_0^1 (\cfrac{x}{3} + \cfrac{1}{6}) \, {\rm d}x \\ &= 0 + \left. (\cfrac{x^2}{6} + \cfrac{x}{6}) \right| _0^1 = \cfrac{1}{3}. \end{aligned}

    F(x)={0,x<0;x26+x6,0x<2;1,x2. F(x)= \begin{cases} 0, & x<0; \\ \cfrac{x^2}{6} + \cfrac{x}{6}, &0\leq x<2; \\ 1, & x\geq 2. \end{cases}

    P(1<X<1)=F(1)F(1)=126+160=13P(-1<X<1)=F(1)-F(-1)=\cfrac{1^{2}}{6}+\cfrac{1}{6} - 0 = \cfrac{1}{3}


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    万次阅读 2018-08-14 16:24:14
    戳这里:概率论思维导图!!! 一般情况,如果随机变量Z是二维连续型随机变量(X,Y)的函数: ...设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y),求 的概率密度函数  解:设Z的分布函数为,则 故Z...
  •  则称X连续型随机变量,其中F(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。(f(x)>=0,若f(x)在点x处连续则F(x)求导可得)f(x)并没有很特殊的意义,但是通过其值得相对大小得知,若f(x)越大,对于同样长度的区间,X落...
  • 0,使F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt,则称XXX连续型随机变量,称f(x)f(x)f(x)XXX密度函数(也称为分布密度或概率密度),并称XXX分布连续型分布
  • 从数学上看,分布函数F(x)=P(X<x),表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。 概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数,即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx,那么,随机变量X落在(x, x+...
  • 随机变量的分布与分位数概念

    千次阅读 2016-09-23 13:00:00
    其实这个曲线是正态分布概率密度曲线,f(x)是指随机变量X在观察值x时的概率密度,如果随机变量X的单位mm,则f(x)的单位%/mm。曲线与X轴所围成的面积表示概率,该面积等于1,因为随机变量的所有可能取值(即:...
  • 其中f(x)为X的概率分布密度函数,简称概率密度X~f(x)。 相关性质 由定义可知, 若f(x)在点x连续,则有F’(x)=f(x) f(x)是可积,则它的原函数F(x)连续; 3.对于任意两个实数x1,x2(假设x1<x2),...
  • scipy.statsnorm对象表示正态分布,下表说明norm几个常用函数。 函数名 参数 功能 ...loc,scale:分布参数μ\muμ和σ\...概率密度函数f(x)f(x)f(x) cdf(x, loc, scale) x,loc,scale:与上同 累积概率函
  • 目录 1. 二元连续型随机变量边际概率密度 2. 二元连续型随机变量条件概率密度 3. 二元均匀分布、二元正态分布 ...对于连续型随机变量(X,Y), 概率密度为f(x,y),X,Y边际概率密度为: 例题 2. 二...

空空如也

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x随机变量x的概率密度为f