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  • 差分方程的经典分析方法存在以下不足之处: 若激励信号发生变化,则特解部分需要重新求解。 若差分方程右边激励项比较复杂,则难以处理。 若初始条件发生变化,则须...本文章在此引入差分方程的零输入响应零状态...

    差分方程的经典分析方法存在以下不足之处:

    1. 若激励信号发生变化,则特解部分需要重新求解。
    2. 若差分方程右边激励项比较复杂,则难以处理。
    3. 若初始条件发生变化,则须全部重新求解
    4. 这种方法是一种纯数学方法,无法突出系统响应的物理概念。

     

    差分方程的迭代分析方法存在以下不足之处:

    1. 没有得出闭式解,不利于数学上进行分析
    2. 需要从头计算才能计算出某时刻的输出

     

    本文章在此引入差分方程的零输入响应与零状态响应分析方法,对于系统来说,该分析方法能很好地表述出系统响应的物理意义。

     

    差分方程的分解

    有差分方程

    $\displaystyle{ \sum_{i=0}^N a_i y[n-i] = \sum_{k=0}^M b_k x[n-k] } \qquad (a_0=1)$

    该差分方程表征的系统如下图

    image

    从整个系统来说,输出$y[n]$由两类外部参数决定:

    1. 初始状态$y[-N],y[-N+1],…,y[-2],y[-1]$
    2. 输入为$x[-M],x[-M+1],…,x[-1],x[0],x[1],…,x[n]$

     

    零输入响应(Zero Input Response)

    零输入表示$x[-M],x[-M+1],…,x[-1],x[0],x[1],…,x[n]$全为0,也就是整个系统的输出只受初始状态的影响。此时输出(输入响应)为$ y_{zi}$。

     

    零输入响应的迭代计算

    $y_{zi}[0] = -( a_1 y[-1] + a_2 y[-2] + \cdot\cdot\cdot+a_N y[-N])$

    $y_{zi}[1] = -( a_1 y_{zi}[0] + a_2 y[-1] + \cdot\cdot\cdot+a_N y[-N+1])$

    $y_{zi}[2] = -( a_1 y_{zi}[1] + a_2 y[0] + \cdot\cdot\cdot+a_N y[-N+2])$

    $\cdot\cdot\cdot$

    $y_{zi}[n] = -( a_1 y_{zi}[n-1] + a_2 y_{zi}[n-2] + \cdot\cdot\cdot+a_N y_{zi}[n-N])$

     

    零输入响应的闭式解

    零输入响应的输入全为0,即差分方程的右边为0,也就是说需要求解如下的差分方程:

    $\displaystyle{ \sum_{i=0}^N a_i y[n-i] = 0 } $

    最后通过初始条件(初始状态)$y[-N],y[-N+1],…,y[-1]$求出幂多项式的各个系数。

     

    零状态响应(Zero State Response)

    零状态的在这里的意思是零初始状态,也就是说$y[-N]=y[-N+1]=,…,=y[-1]=0$。那么整个系统的输出只受到输入影响,此时输出为$y_{zs}$

     

    零状态响应的迭代计算

    $y_{zs}[0] = b_0x[0]+b_1x[-1]+\cdot\cdot\cdot+b_Mx[-M]$

    $y_{zs}[1] = b_0x[1]+b_1x[0]+\cdot\cdot\cdot+b_Mx[-M+1] - a_1y_{zs}[0]$

    $y_{zs}[2] = b_0x[2]+b_1x[1]+\cdot\cdot\cdot+b_Mx[-M+2] – (a_1y_{zs}[1]+a_2y_{zs}[0])$

    $\cdot\cdot\cdot$

    $y_{zs}[n] = b_0x[n]+b_1x[n-1]+\cdot\cdot\cdot+b_Mx[n-M] – (a_1y_{zs}[n-1]+a_2y_{zs}[n-2]+\cdot\cdot\cdot+a_Ny_{zs}[n-N])$

     

    零状态响应的闭式解

    零状态响应的初始状态全为0,也就是说我们需要像往常一样求得差分方程的闭式解

    $\displaystyle{ \sum_{i=0}^N a_i y[n-i] = \sum_{k=0}^M b_k x[n-k] } $

    不过在最后求系数阶段用到的初始条件(初始状态)为:$y[-N]=y[-N+1]=,…,=y[-1]=0$

     

     

    输y[n]

    回头看零输入响应以及零状态响应的迭代计算,我们发现如下规律:

    $\begin{align*}
    y[0] &= -( a_1 y[-1] + a_2 y[-2] + \cdot\cdot\cdot+a_N y[-N])\\
    &\qquad+b_0x[0]+b_1x[-1]+\cdot\cdot\cdot+b_Mx[-M] \\
    &= y_{zi}[0]+y_{zs}[0]
    \end{align*}$

    $\begin{align*}
    y[1] &= -( a_1 y[0] + a_2 y[-1] + \cdot\cdot\cdot+a_N y[-N+1]) \\
    &\qquad +b_0x[1]+b_1x[0]+\cdot\cdot\cdot+b_Mx[-M+1] \\
    &= -( a_1 y_{zi}[0] + a_2 y[-1] + \cdot\cdot\cdot+a_N y[-N+1])\\
    &\qquad + b_0x[1]+b_1x[0]+\cdot\cdot\cdot+b_Mx[-M+1] - a_1y_{zs}[0]\\
    &= y_{zi}[1]+y_{zs}[1]
    \end{align*}$

    $y[2] = y_{zi}[2]+y_{zs}[2]$

    $\cdot\cdot\cdot$

    $y[n] = y_{zi}[n]+y_{zs}[n]$

    得出结论,线性常系数差分方程系统的输出是由零输入响应与零状态响应组合而来。

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  • 连续时间LTI系统以常系数微分方程描述, 系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到. 在Matlab中, 控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim. 其调用方式为 y = lsim(sys, ...

          连续时间LTI系统以常系数微分方程描述, 系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到. 在Matlab中, 控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim. 其调用方式为

                y = lsim(sys, x, t)

    式中 t 表示计算系统响应的抽样点向量, x 是系统的输入信号向量, sys是连续时间LTI系统模型, 用来表示微分方程、差分方程或状态方程. 在求解微分方程时, 连续时间LTI系统模型 sys 要借助 tf 函数获得, 其调用方式为 

               sys = tf(b, a)

    式中b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量. 注意微分方程中为零的系数一定要写入向量a和b中.


          设描述系统输入输出关系的微分方程为 yzs''(t) + 3yzs'(t) + 2yzs(t) = 2x(t), 其中 x(t) = sint + sin20t, 计算系统的零状态响应yzs(t). 

    % 连续时间LTI系统零状态响应的求解
    % 在区间[0, 30]上选取5000个点
    t = linspace(0,30, 5000);
    % 连续时间LTI系统模型sys要借助tf函数获得
    % 其调用方式为 sys(b, a)
    % 其中b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量.
    % yzs''(t) + 3yzs'(t) + 2yzs(t) = 2x(t)
    sys = tf([2], [1 3 2]);
    % 输入为x(t) = sint + sin20t
    x = sin(t) + sin(20 * t);
    % lsim函数用以求解连续时间LTI系统模型sys在输入激励为x的条件下的零状态响应
    y = lsim(sys, x, t);
    % 绘制系统零状态响应波形
    plot(t, y);
    %
    xlabel('time(s)');
    ylabel('yzs(t)');


          对程序稍作修改, 观察yzs(t)和输入信号x(t)的波形关系.

    % 连续时间LTI系统零状态响应的求解
    % 在区间[0, 30]上选取5000个点
    t = linspace(0,30, 5000);
    % 连续时间LTI系统模型sys要借助tf函数获得
    % 其调用方式为 sys(b, a)
    % 其中b和a分别为微分方程右端和左端各项的系数向量.
    % yzs''(t) + 3yzs'(t) + 2yzs(t) = 2x(t)
    sys = tf([2], [1 3 2]);
    % 输入为x(t) = sint + sin20t
    x1 = sin(t) + sin(20 * t);
    x2 = sin(t);
    % lsim函数用以求解连续时间LTI系统模型sys在输入激励为x的条件下的零状态响应
    y1 = lsim(sys, x1, t);
    % 绘制系统零状态响应波形
    plot(t, y1, 'r-', t, x2, 'g-');
    % 绘制提示信息
    legend('yzs(t)', 'sin(t)');

          输入信号x(t)=sin(t) + sin(20t) 通过系统后, sin(20t) 分量被抑制. 

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  • LTI系统完全响应y(t)y(t)y(t)分为零输入响应和零状态响应,零输入响应激励为零的状态下仅由系统的初始状态x(0)x(0)x(0)引起的响应,用yziy_{zi}yzi​表示。 (二)解题步骤 1.在零输入条件下,激励f(t)=0f(t)=0f...

    (一)零输入响应的定义

    LTI系统完全响应y(t)y(t)分为零输入响应和零状态响应,零输入响应是激励为零的状态下仅由系统的初始状态x(0)x(0)引起的响应,用yziy_{zi}表示。

    (二)解题步骤

    1.在零输入条件下,激励f(t)=0f(t)=0,所以微分方程等式右端为零。即微分方程是齐次的。
    j=0najyzi(j)=0 \sum_{j = 0} ^n a_j y^{(j)}_{zi}=0
    2.列出特征方程,并解出特征根。特征根有四种情况。

    • 单实根
    • rr重实根
    • 一对共轭复根λ1,2=α±jβ\lambda_{1,2}=\alpha\pm{j}\beta
    • rr重共轭复根

    3.由特征根的形式列出yzi(t)y_{zi}(t)的表达式

    4.带入初始值,求出CC

    不同特征根对应的齐次解

    在这里插入图片描述

    (三)例题

    在这里插入图片描述
    解:

    在这里插入图片描述

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  • 求系统的冲击响应和阶跃响应

    千次阅读 2020-04-25 20:25:11
    然而求系统方程的齐次解,需要知道系统方程的边界条件初始状态),因此通过方程以及冲激函数确定方程的初始状态是第一步,将齐次解的形式解带入方程求齐次解的系数第二步,求出后的结果就是冲激响应。...

    冲击函数只有在0_{-}<t<0_{+}时候才有非零值,其余时间值均为零,对于t>0时刻来讲,系统并没有任何输入,因此系统方程的受迫响应部分为零,只有自由响应,也就是说系统的齐次解就是系统的冲击响应完全解。

    然而求系统方程的齐次解,需要知道系统方程的边界条件(初始状态),因此通过方程以及冲激函数确定方程的初始状态是第一步,将齐次解的形式解带入方程求齐次解的系数是第二步,求出后的结果就是冲激响应。

    第一部分】冲激函数匹配法求初始状态

    1】将冲激函数作为激励信号带入系统方程

    2】得到的方程两遍对含有冲击函数的多项式进行匹配(当出现配平困难的时候,可以考虑使用此方法先求阶跃响应,两种思路中总会有一个更容易配平的,然后微分求冲激响应),以微分阶数从高到低进行匹配,方程右边含有最高次数微分的\frac{d}{dt^{m}}^{m}\delta \left ( t \right )的项一定是对应方程左边含有最高次数微分的项\frac{d}{dt^{n}}^{n}h\left ( t \right ),对于方程左边的零阶微分项h\left ( t \right )如果方程右边没有相应阶数(n-m)的\delta \left ( t \right )微分项与之对应,则应考虑h\left ( t \right )中包含了对应阶数的阶跃函数u\left ( t \right )成分。

    3】写出零时刻系统状态的通项式,带入原方程,求出通项式系数

    4】根据通项式相应阶数的阶跃分量判断方程在0时刻发生了什么样的跳变

     

    第二部分】知道了由冲激函数产生的0_{+}时刻状态,然后知道了系统方程,那么原来的冲激的影响就转变成了状态成分,问题也由原来的冲激响应问题转变成了没有输入函数以及当前0_{+}状态下的零输入响应,即求方程的齐次解问题。

    1】结合微分方程齐次解的求解方法对齐次解进行求解就是方程的冲激响应

     

    求解到方程的冲激响应后,根据线性时不变系统的特性,对冲激响应进行积分运算就是系统的阶跃响应。

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零初始条件是零状态响应