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  • 非线性优化算法:各种非线性编程算法的MATLAB实现
  • 非线性优化算法总结

    2021-01-12 19:08:43
    非线性优化算法总结 文章目录非线性优化算法总结一、非线性最小二乘问题二、最速梯度下降法和牛顿法三、高斯牛顿法四、LM( Levenberg-Marquadt)法 一、非线性最小二乘问题 最小二乘法形式如下式: 这里Target...

    非线性优化算法总结


    一、非线性最小二乘问题

    最小二乘法形式如下式:
    在这里插入图片描述
    这里Target(θ)函数为目标函数,在机器学习中就是损失函数,
    在这里插入图片描述
    这个函数为预测值,在机器学习中就是模型输出值,yi是真实值或理论值。
    那么 非线性最小二乘 就很容易理解了,目标参数函数和参数的关系是非线性。这里要优化的参数为θ。

    对于矩阵形式,这里我们简单一点:直接把简单的非线性最小二乘问题定义为:

    在这里插入图片描述
    这里要优化的参数就是X。其中自变量x∈Rn,f(x)是任意的非线性函数,并设它的维度为m,即f(x)∈Rm.如果 f 是个数学形式上很简单的函数,那问题也许可以用解析形式来求。令目标函数的导数为零,然后求解 x 的最优值,就和一个求二元函数的极值一样:
    在这里插入图片描述

    解此方程,就得到了导数为零处的极值。它们可能是极大、极小或鞍点处的值,只要挨个儿比较它们的函数值大小即可。但是导数不一定可以直接求解x,这个导函数可能是一个复杂的非线性方程。这种情况下一般采用迭代来求解,从一个初始值出发,不断地更新当前的优化变量,使目标函数下降。具体步骤可以表示为 :
    在这里插入图片描述
    这让求解导函数为零的问题,变成了一个不断寻找梯度并下降的过程。直到某个时刻增量非常小,无法再使函数下降。此时算法收敛,目标达到了一个极小,我们完成了寻找极小值的过程。

    二、最速梯度下降法和牛顿法

    首先,我们将目标函数在X附近进行泰勒展开:
    在这里插入图片描述
    这里如果看不懂的话就复习一下高数中的泰勒展开式和简单矩阵求导。这里的J(x)是f(x)关于x的导数(雅可比矩阵),H(x)是二阶导数(海森矩阵)。我们可以选择保留泰勒公式的一阶导数和二阶导数,如果保留一阶导数,则增量的解就是:
    在这里插入图片描述
    它的直观意义非常简单,只要我们找到梯度然后沿着反向梯度方向前进即可。当然,我们还需要该方向上取一个步长 λ,求得最快的下降方式。这种方法被称为最速梯度下降法或是一阶梯度法。
    在这里插入图片描述

    另一方面,如果保留二阶梯度信息,那么增量方程为:
    在这里插入图片描述
    对Δx求导数并令它等于0,则
    在这里插入图片描述
    就得到了增量的解:
    在这里插入图片描述
    这种方法称为牛顿法或二阶梯度法,它的迭代公式可以表示为:
    在这里插入图片描述
    这两种方法只要把函数在迭代点附近进行泰勒展开,并针对更新量作最小化即可。由于泰勒展开之后函数变成了多项式,所以求解增量时只需解线性方程即可,避免了直接求导函数为零这样的非线性方程的困难。这两种方法也存在它们自身的问题。最速梯度下降法过于贪心,容易走出锯齿路线,反而增加了迭代次数。而牛顿法则需要计算目标函数的 H 矩阵,这在问题规模较大时非常困难,我们通常倾向于避免 H 的计算。

    三、高斯牛顿法

    Gauss Newton 是最优化算法里面最简单的方法之一。它的思想是将 f(x) 进行一阶的
    泰勒展开(请注意不是对下面的目标函数 进行展开)在这里插入图片描述
    而是如下展开:
    在这里插入图片描述
    这里 J(x) 为 f(x) 关于 x 的导数,实际上是一个 m × n 的矩阵,也是一个雅可比矩阵。根据前面的框架,当前的目标是为了寻找下降矢量 ∆x,使得 ∥f (x + ∆x)∥2 达到最小。为了求 ∆x,我们构建 一个线性的最小二乘问题:
    在这里插入图片描述
    根据极值条件,将上述目标函数对 ∆x 求导,并令导数为零。由于这里考虑的是 ∆x 的导数(而不是 x),我们最后将得到一个线性的方程。为此,先展开目标函数的平方项:
    在这里插入图片描述
    求上式关于 ∆x 的导数,并令其为零:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    我们要求解的变量是 ∆x,这是一个线性方程组,我们称它为增量方程或高斯牛顿方程 (Gauss Newton equations) 或者正规方程 (Normal equations)。我们把左边的系数定义为 H,右边定义为 g,那么上式变为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    对比牛顿法可见,高斯牛顿法用 J矩阵的转置乘以J矩阵作为牛顿法中二阶 H 矩阵的近似,从而省略了计算 H 的过程。求解增量方程是整个优化问题的核心所在。原则上,它要求近似的矩阵H是可逆的(而且是正定的),而实际计算中得到的JTJ却是半正定的。也就是使用高斯牛顿法会出现JTJ为奇异或者病态情况,此时增量的稳定性较差,导致算法不收敛。即使H非奇异也非病态,如果求得的Δx非常大,也会导致我们采用的局部近似不够正确,这样以来可能不能保证收敛,哪怕是还有可能让目标函数更大。即使高斯牛顿法具有它的缺点,但是很多非线性优化可以看作是高斯牛顿法的一个变种,这些算法结合了高斯牛顿法的优点并修正其缺点。例如LM算法,尽管它的收敛速度可能比高斯牛顿法更慢,但是该方法健壮性更强,也被称为阻尼牛顿法。

    四、LM( Levenberg-Marquadt)法

    由于 高斯牛顿方法中采用的近似二阶泰勒展开只能在展开点附近有较好的近似效果,所以我们很自然地想到应该给 ∆x 添加一个信赖区域(Trust Region),不能让它太大而使得近似不准确。非线性优化种有一系列这类方法,这类方法也被称之为信赖区域方法 (Trust Region Method)。在信赖区域里边,我们认为近似是有效的;出了这个区域,近似可能会出问题。一个比较好的方法是根据我们的近似模型跟实际函数之间的差异来确定这个范围:如果差异小,我们就让范围尽可能大;如果差异大,我们就缩小这个近似范围。因此,考虑使用:
    在这里插入图片描述
    来判断泰勒近似是否够好。ρ 的分子是实际函数下降的值,分母是近似模型下降的值。如果 ρ 接近于 1,则近似是好的。如果 ρ 太小,说明实际减小的值远少于近似减小的值,则认为近似比较差,需要缩小近似范围。反之,如果 ρ 比较大,则说明实际下降的比预计的更大,我们可以放大近似范围。LM算法表示如下:
    在这里插入图片描述
    上面算法中,μ表示信赖区域的半径,那么信赖区域就是一个球形区域,该约束认为只有在球内才是有效的,带上矩阵D后就是一个椭球区域。在 LM 算法中,我们需要解下面的式子那样的一个子问题来获得梯度。
    在这里插入图片描述

    这个子问题是带不等式约束的优化问题采用拉格朗日乘子法将上述问题转化为一个无约束问题:
    在这里插入图片描述
    这里 λ 为 拉格朗日 乘子。仔细看上面的式子,我们根据加号把它分为左右两部分,回想前面的高斯牛顿算法,你会发现加号左边是一个高斯牛顿算法中的最小二乘问题,这一部分对Δx求梯度,得到增量方程:
    在这里插入图片描述
    加号右边对Δx求梯度,得到:
    在这里插入图片描述
    我们把这两部分合并:得到增量的线性方程:
    在这里插入图片描述
    可以看到,增量方程相比于 高斯牛顿,多了一项。如果考虑它的简化形式,即 D = I,那么相当于求解:
    在这里插入图片描述
    当参数 λ 比较小时,H 占主要地位,这说明二次近似模型在该范围内是比较好的,LM 方法更接近于 高斯牛顿法。另一方面,当 λ 比较大时,λI 占据主要地位,LM更接近于最速梯度下降法这说明附近的二次近似不够好。LM 的求解方式,可在一定程度上避免线性方程组的系数矩阵的非奇异和病态问题,提供更稳定更准确的增量 ∆x。
    总而言之,非线性优化问题的框架,分为 Line Search 和 Trust Region 两类。Line Search 先固定搜索方向,然后在该方向寻找步长,以最速下降法和 高斯牛顿法为代表。而 Trust Region 则先固定搜索区域,再考虑找该区域内的最优点。此类方法以 LM 为代表。实际问题中,我们通常选择 高斯牛顿或 LM 之一作为梯度下降策略。

    参考书籍《视觉SLAM十四讲 从理论到实践》


    如果您认可我的文章,希望能够关注我的微信公众号,我会不定期更新工作中学到的东西和一些技术比较前沿的东西。

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    这个问题在高翔博士的十四讲里有详细的阐述(P244),主要对比了EKF和非线性优化方法的差异,主要包括3个方面,这篇EKF算法与非线性优化算法的比较进行了概述
    其中第二点提到,从k-1时刻到k时刻,EKF只在k-1时刻做了一次线性化,与之相对的,非线性优化是一个多次线性化的过程。然而非线性优化一次迭代,以高斯牛顿法为例,也是在当前计算值处进行一次线形化,如何理解所谓的多次线性化呢?
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    1. 首先第一个就是马尔科夫性,即k时刻的状态只和k - 1时刻的状态有关,就像视觉里程计中只考虑相邻两帧关系一样.而非线性优化方法更倾向于使用所有的历史记录.
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    3. EKF要存储均值和协方差矩阵,协方差矩阵维数相当大,所以EKF不适合于大型的SLAM场景.

    转载于:https://www.cnblogs.com/lihanwen/p/11343995.html

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  • 常用非线性优化算法总结

    千次阅读 2018-12-08 14:37:00
    非线性最小二乘 定义:简单的非线性最小二乘问题可以定义为 \[ \min_{x} \frac{1}{2}||f(x)||^2_2 \] 其中自变量\(x \in R^n\),\(f(x)\)是任意的非线性函数,并设它的维度为\(m\),即\(f(x) \in R^m\). 对于一些最小...

    非线性最小二乘

    定义:简单的非线性最小二乘问题可以定义为
    \[ \min_{x} \frac{1}{2}||f(x)||^2_2 \]
    其中自变量\(x \in R^n\),\(f(x)\)是任意的非线性函数,并设它的维度为\(m\),即\(f(x) \in R^m\).

    对于一些最小二乘问题,我们可以利用目标函数对\(x\)求导并令导数等于0来求解。但是导数
    \[ \frac{d(\frac{1}{2}||f(x)||^2_2)}{dx}=0 \]
    不一定可以直接求解\(x\),这个导函数可能是一个复杂的非线性方程。这种情况下一般采用迭代来求解,具体步骤可以表示为 :

    • (1) 给定一个初试值\(x_0\)
    • (2) 对于第\(k\)次迭代,寻找一个增量\(\Delta x_ k\),使得\(||f(x_k+\Delta x_k)||\)达到极小值
    • (3) 若\(\Delta x_k\)足够小,则停止迭代
    • (4) 否则,令\(x_{k+1}=x_k+\Delta x_k\),返回第(2)步骤

    这个其实是通过迭代让目标函数一步步下降,直到最终达到收敛为止。一般而言,增量\(\Delta x\)可通过一阶梯度或二阶梯度来确定。

    一阶梯度和二阶梯度法

    首先,我们将目标函数在\(x\)附近进行泰勒展开
    \[ ||f(x+\Delta x)||^2_2 \approx ||f(x)||^2_2+J(x)\Delta x+\frac{1}{2}\Delta x^T H(x) \Delta x \]
    这里的\(J(x)\)\(f(x)\)关于\(x\)的导数(雅可比矩阵),\(H(x)\)是二阶导数(海森矩阵)。我们可以选择保留泰勒公式的一阶导数和二阶导数,如果保留一阶导数,则增量的解就是
    \[ \Delta x^* = -J^T(x) \]
    它理解起来就是,沿着沿着梯度相反的方向前进,目标函数下降得最快。通常会在这个方向上计算一个步长\(\lambda\),迭代公式表示为
    \[ x_{k+1} = x_k - \lambda J^T(x_k) \]
    该方法称为最速梯度下降法。如果保留二阶梯度信息,增量可以表示为
    \[ \Delta x^* = \arg \min_{\Delta x} ||f(x)||^2_2+J(x)\Delta x+\frac{1}{2}\Delta x^T H(x) \Delta x \]
    \(\Delta x\)求导数并令它等于0,则
    \[ J^T+H\Delta x = 0 \]
    于是增量的解为
    \[ H\Delta x = - J^T \]
    这种方法称为牛顿法,它的迭代公式可以表示为
    \[ x_{k+1}=x_k-H^{-1}J \]
    牛顿法和最速梯度下降法思想比较简单,只需要将函数在迭代点附近展开,然后对增量求最小化即可,然后可以通过线性方程直接求的增量的解。这两种方法的主要缺点为:

    • 最速梯度下降过于贪心,容易走出锯齿状,反而增加了迭代次数
    • 牛顿法则需要计算函数的\(H\)矩阵,这在问题规模较大时候非常困难,通常做法是避免去计算\(H\)

    下面介绍了高斯牛顿法和列文伯格-马夸尔特法(LM)法更为实用。

    高斯牛顿法

    高斯牛顿法的思想是对\(f(x)\)进行一阶泰勒展开,注意不是目标函数\(||f(x)||^2_2\)
    \[ f(x+\Delta x) \approx f(x) +J(x)\Delta x \]
    其中\(J(x)\)是f(x)关于\(x\)的导数,称为雅可比矩阵,维度为\(m \times n\).于是我们需要
    \[ \Delta x^* = \arg \min _{\Delta x}\frac{1}{2}||f(x)+J(x) \Delta x||_2^2 \]
    我们继续对\(\Delta x\)求导并令导函数等于0
    \[ \nabla_{\Delta x} \frac{1}{2}||f(x)+J(x) \Delta x||_2^2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ = \nabla_{\Delta x} \frac{1}{2}[f^T(x)f(x)+2f^T(x)J(x)\Delta x+\Delta x^TJ^T(x)J(x)\Delta x] \\ =J^Tf(x)+J^TJ\Delta x =0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \]
    从而
    \[ J^TJ\Delta x = - J^Tf(x) \]
    \(H = J^TJ,g = -J^Tf(x)\),则
    \[ H\Delta x = g \]
    上述方程称为高斯牛顿方程或正规方程。对比牛顿法可见,高斯牛顿法采用\(J^TJ\)牛顿法作为牛顿法\(H\)矩阵的近似,从而避免了复杂的计算。原则上,它要求近似的矩阵\(H\)是可逆的(而且是正定的),而实际计算中得到的\(J^TJ\)却是半正定的。也就是使用高斯牛顿法会出现\(J^TJ\)为奇异或者病态情况,此时增量的稳定性较差,导致算法不收敛。即使\(H\)非奇异也非病态,如果求得的\(\Delta x\)非常大,也会导致我们采用的局部近似不够正确,这样以来可能不能保证收敛,哪怕是还有可能让目标函数更大。

    即使高斯牛顿法具有它的缺点,但是很多非线性优化可以看作是高斯牛顿法的一个变种,这些算法结合了高斯牛顿法的优点并修正其缺点。例如LM算法,尽管它的收敛速度可能比高斯牛顿法更慢,但是该方法健壮性更强,也被称为阻尼牛顿法。

    LM算法

    高斯牛顿法采用二阶泰勒展开来近似,只有在展开点附近才会有比较好的近似效果。LM(Levenberg -Marquard)算法中给变化量\(\Delta x\)添加一个信赖区域来限制\(\Delta x\)的大小,并认为在信赖区域里面近似是有效的,否则近似不准确。

    确定信赖区域一个好的办法是通过比较近似模型和实际模型的差异来确定,如果差异小,我们就让范围尽可能增大;如果差异太大,就该缩小这个范围。考虑实际模型和近似模型变化量的比值
    \[ \rho = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{J(x) \Delta x} \]
    上面式子可以通过\(\rho\)的值来判断泰勒近似的好坏,其中分子是实际模型的变化量,分母是近似模型的变化量,当

    \(\rho\)接近1的时候表明近似模型是非常好的,如果\(\rho\)较小,则实际模型的变化量小于近似模型的变化量,则认为近似模型较差,需要缩小近似范围;反之,当\(\rho\)较大时,说明实际模型变化量更大,我们需要放大近似范围。因此\(LM\)算法可以表示如下

    • (1)给定初始迭代值\(x_0\)以及初始优化半径\(\mu\).

    • (2)对于第\(k\)次迭代,求解优化问题
      \[ \min_{\Delta x_k} \frac{1}{2}||f(x_k)+J(x_k)\Delta x||^2 \\ s.t. \quad ||D\Delta x_k||^2 \leq \mu. \quad \quad \]

    • (3)计算\(\rho\).

    • (4)若\(\rho > 3/4\),则\(\mu = 2 \mu\).

    • (5)若\(\rho < 1/4\),则\(\mu = 0.5 \mu\).

    • (6)如果\(\rho\)大于某阈值,则认为近似可行。令\(x_{k+1} = x_k + \Delta x_k\).

    • (7)判断算法是否收敛。如果不收敛,跳回步骤(2),否则结束。

    上面算法中,\(\mu\)是信赖区域的半径,其实是一个球形的区域,该约束认为只有在球内才是有效的,带上矩阵\(D\)后就是一个椭球。

    采用拉格朗日乘子将上述问题转化为一个无约束问题
    \[ \min_{\Delta x_k} \frac{1}{2}||f(x_k)+J(x_k)\Delta x_k||^2+\frac{1}{2}\lambda||D\Delta x_k||^2 \]
    \(\Delta x_k\)求梯度,得到增量方程
    \[ (H+\lambda D^TD)\Delta x=g \]
    可以看到,增量方程在搞死牛顿法上多了一项\(\lambda D^TD\),如果令\(D=I\),则简化版本表示为
    \[ (H+\lambda I)\Delta x = g \]
    \(\lambda\)较小时,说明\(H\)占主导地位,说明二次近似在该范围类是比较好的,LM方法更接近于高斯牛顿法;另一方面,当\(\lambda\)较大时,\(\lambda\)占主导地位,LM算法更接近一阶梯度下降算法,这说明二次近似不够好。LM算法的求解方式,可以避免线性方程组的矩阵非奇异和病态等问题,提供更稳定、更准确的解法。

    总结

    总而言之,非线性优化问题的框架分为Line Search 和Trust Region两类。Line Search 先固定搜索方向,然后在该方向上寻找步长,以最速下降法和高斯牛顿法为代表。而Trust Region是先固定搜索区域,再考虑该区域里面的最优点,此类方法以LM算法为代表。

    转载于:https://www.cnblogs.com/tandier/p/10087632.html

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