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  • AHP | 层次分析法原理及Python实现层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)由美国运筹学家托马斯·塞蒂(T. L. Saaty)于20世纪70年代中期提出,用于确定评价模型中各评价因子/准则的权重,进一步选择最优方案。...

    AHP | 层次分析法原理及Python实现

    层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)由美国运筹学家托马斯·塞蒂(T. L. Saaty)于20世纪70年代中期提出,用于确定评价模型中各评价因子/准则的权重,进一步选择最优方案。该方法仍具有较强的主观性,判断/比较矩阵的构造在一定程度上是拍脑门决定的,一致性检验只是检验拍脑门有没有自相矛盾得太离谱。

    目录

    1. AHP模型构建

    2. AHP单排序

      2.1. 构造判断/比较矩阵

      2.2. 计算因子/准则权重

      2.3. 一致性检验

    3. AHP总排序

    参考文献

    1. AHP模型构建

    在深入分析问题的基础上,将决策的目标、考虑的因素和决策对象按相关关系分为最高层、中间层和最低层。

    • 最高层:决策的目的、要解决的问题
    • 中间层:主因素,考虑的因素、决策的准则
    • 最低层:决策时的备选方案,也可为中间层的子因素

    层次分析法的多级递阶层次模型分为三类:完全相关性结构(上层每一因素与下层所有因素均有联系)、完全独立性结构(上层每一因素都有独立的下层要素)、混合型结构(前述两种结构的混合结构)。本例为完全独立性结构,如下图。

    2. AHP单排序

    层次分析法涉及多层次的因素打分与赋权,首先针对中间层的主因素进行AHP单排序。

    2.1. 构造判断/比较矩阵

    通过各因素之间的两两比较确定合适的标度:将不同因素(因素 iii与 因素jjj)两两作比获得的值aija_{ij}aij  填入到矩阵MMMiiijjj列的位置,成对比较矩阵中的取值可aija_{ij}aij参考Satty的提议,如下表所示。

    因素i比因素j分值

    同等重要1稍微重要3较强重要5强烈重要7极端重要9两相邻判断的中间值2,4,6,8

    本例的中间层主因素有经济提升、住房改善、保障改善、社区福利、改革参与 心理改善,构建矩阵的如下表所示。对角线上恒定为1, 因为是和自己做比。

    评价经济提升住房改善保障改善社区福利改革参与心理改善

    经济提升1a 12a 13a 14a 15a 16住房改善a 211a 23a 24a 25a 26保障改善a 31a 321a 34a 35a 36社区福利a 41a 42a 431a 45a 46改革参与a 51a 52a 53a 541a 55心理改善a 61a 62a 63a 64a 651

    对上表进行简化即可获得如下矩阵,该矩阵称为判断/比较矩阵

    M=(a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25a31a32a33a34a35a41a42a43a44a45a51a52a53a54a55)

    M=\left(\begin{array}{lllll}

    {a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} & {a_{14}} & {a_{15}} \\

    {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} & {a_{24}} & {a_{25}} \\

    {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}} & {a_{34}} & {a_{35}} \\

    {a_{41}} & {a_{42}} & {a_{43}} & {a_{44}} & {a_{45}} \\

    {a_{51}} & {a_{52}} & {a_{53}} & {a_{54}} & {a_{55}}

    \end{array}\right)

    M=a11a21a31a41a51a12a22a32a42a52a13a23a33a43a53a14a24a34a44a54a15a25a35a45a55

    2.2. 计算因子/准则权重

    显然判断矩阵MMM正互反矩阵,即满足以下条件:

    (i)aij>0,(ii)aji=1aij(i,j=1,2,⋯ ,n)

    (\mathrm{i}) \quad a_{i j}>0, \quad(\mathrm{ii}) \quad a_{j i}=\frac{1}{a_{i j}} \quad(i, j=1,2, \cdots, n)

    (i)aij>0,(ii)aji=aij1(i,j=1,2,,n)

    进一步,将满足以下条件的正互反矩阵称为一致性矩阵

    aijajk=aik,∀i,j,k=1,2,⋯n

    a_{i j} a_{j k}=a_{i k}, \quad \forall i, j, k=1,2, \cdots n

    aijajk=aik,i,j,k=1,2,n

    直观的理解:如果i对j的重要程度是a,j对k的重要程度是b,那么i对k的重要程度应该a*b,类似于传递性

    一致性矩阵具有如下重要性质:若一致性矩阵RRR的最大特征值λmax⁡\lambda_{\max }λmax对应的特征向量为W=(w1,⋯ ,wn)TW=\left(w_{1}, \cdots, w_{n}\right)^{T}W=(w1,,wn)T,  则aij=wiwja_{i j}=\frac{w_{i}}{w_{j}}aij=wjwi

    结合判断矩阵的构建可知**aija_{ij}aij表示因素iii相对于因素jjj的重要性,而aij=wiwja_{i j}=\frac{w_{i}}{w_{j}}aij=wjwi,因此可以将wiw_{i}wiwjw_jwj分别作为因素iii与因素jjj的绝对重要性,也即因素iii与因素jjj的权重,从而WWW即为各因素的权重向量**。还须对向量WWW进行归一化处理:每个权重除以权重和作为自己的值,最终总和为1。

    然而判断矩阵MMM一般不满足一致性,但是仍将其当做一致矩阵来处理,从而获得一组权重,但是这组权重能不能被接受,需要进行一致性检验

    2.3. 一致性检验

    一致性检验是指对判断矩阵MMM确定不一致的允许范围。nnn阶一致阵的唯一非零特征根为nnnnnn阶正互反阵MMM的最大特征根 λmax≥n\lambda_{max} \geq nλmaxn时,MMM为非一致矩阵,λmax\lambda_{max}λmaxnnn 大的越多,MMM的不一致性越严重; 当且仅当 λmax=n\lambda_{max} = nλmax=n时,MMM为一致矩阵。因此可由λmaxλ_{max}λmax 是否等于 n 来检验判断矩阵MMM是否为一致矩阵。

    具体的一致性指标用CICICI计算,CICICI越小,说明一致性越大。CI=0CI=0CI=0,有完全的一致性;CICICI 接近于0,有满意的一致性;CI 越大,不一致越严重。

    CI=λmax⁡−nn−1

    CI=\frac{\lambda_{\max }-n}{n-1}

    CI=n1λmaxn

    考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的,因此引入随机一致性指标RIRIRI衡量随机因素所造成的一致性偏离的大小:

    RI=CI1+CI2+⋯+CInn

    R I=\frac{C I_{1}+C I_{2}+\cdots+C I_{n}}{n}

    RI=nCI1+CI2++CIn

    随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关,一般情况下,矩阵阶数越大,则出现一致性随机偏离的可能性也越大,RIRIRI指标通过查表获得:

    矩阵阶数 n12345678910

    RI000.580.901.121.241.321.411.451.49

    最终使用的检验统计量为检验系数CR,公式如下:

    CR=CIRI

    CR=\frac{CI}{RI}

    CR=RICI

    CR&lt;0.10CR&lt;0.10CR<0.10时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,否则须要对判断矩阵作适当修正。


    以下为AHP单排序的示例代码

    import numpy as np

    class AHP:

    #传入的np.ndarray是的判断矩阵

    def __init__(self,array):

    self.array = array

    # 记录矩阵大小

    self.n = array.shape[0]

    # 初始化RI值,用于一致性检验

    RI_list = [0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]

    self.RI = RI_list[self.n-1]

    #获取最大特征值和对应的特征向量

    def get_eig(self):

    #numpy.linalg.eig() 计算矩阵特征值与特征向量

    eig_val ,eig_vector = np.linalg.eig(self.array)

    #获取最大特征值

    max_val = np.max(eig_val)

    max_val = round(max_val.real, 4)

    #通过位置来确定最大特征值对应的特征向量

    index = np.argmax(eig_val)

    max_vector = eig_vector[:,index]

    max_vector = max_vector.real.round(4)

    #添加最大特征值属性

    self.max_val = max_val

    #计算权重向量W

    weight_vector = max_vector/sum(max_vector)

    weight_vector = weight_vector.round(4)

    #打印结果

    print("最大的特征值: "+str(max_val))

    print("对应的特征向量为: "+str(max_vector))

    print("归一化后得到权重向量: "+str(weight_vector))

    return weight_vector

    #测试一致性

    def test_consitst(self):

    #计算CI值

    CI = (self.max_val-self.n)/(self.n-1)

    CI = round(CI,4)

    #打印结果

    print("判断矩阵的CI值为" +str(CI))

    print("判断矩阵的RI值为" +str(self.RI))

    #分类讨论

    if self.n == 2:

    print("仅包含两个子因素,不存在一致性问题")

    else:

    #计算CR值

    CR = CI/self.RI

    CR = round(CR,4)

    #CR < 0.10才能通过检验

    if  CR < 0.10 :

    print("判断矩阵的CR值为" +str(CR) + ",通过一致性检验")

    return True

    else:

    print("判断矩阵的CR值为" +str(CR) + ",未通过一致性检验")

    return False

    3. AHP总排序

    总排序本质上是对最底层重复AHP单排序过程,此处不再赘述,仅给出子因素总权重计算公式以及一致性检验统计量公式。

    若中间层AAA包含mmm个因素主因素{A1,A2,...,Am}\{A_1, A_2, ..., A_m\}{A1,A2,...,Am},其层次总排序权值分别为(a1,a2,...,am)(a_1, a_2, ..., a_m)(a1,a2,...,am),最底层BBB包含nnn个子因素{B1,B2,...,Bm}\{B_1, B_2, ..., B_m\}{B1,B2,...,Bm},它们对于因素AjA_jAj的层次单排序权值分别为(b1j,b2j,...,bmj)(b_{1j}, b_{2j}, ..., b_{mj})(b1j,b2j,...,bmj)。当BiB_iBiAjA_jAj无联系时,bij=0b_{ij}=0bij=0。则最底层的子因素BiBiBi总权重公式为

    Wbi=∑j=1m∑i=1nbijaj

    W_{bi} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n}b_{i j} a_{j}

    Wbi=j=1mi=1nbijaj

    CI(j)CI(j)CI(j)RI(j)RI(j)RI(j)分别表示对主因素AjA_jAj对应的子因素BijB_{ij}Bij进行单排序所计算的CICICIRIRIRI值,则一致性检验公式为:

    CR=∑j=1mCI(j)aj∑j=1mRI(j)aj

    C R=\frac{\sum_{j=1}^{m} C I(j) a_{j}}{\sum_{j=1}^{m} R I(j) a_{j}}

    CR=j=1mRI(j)ajj=1mCI(j)aj

    参考文献

    [1] 百度百科. 层次分析法[EB/OL].  https://baike.baidu.com/item/层次分析法/1672?fr=aladdin.

    [2] 吃机智豆长大的少女乙. 数学建模之层次分析法(AHP)[EB/OL]. https://blog.csdn.net/weixin_41806692/article/details/82415621, 2018-09-05.

    [3] 杜世平, 汪建, 马文彬. 层次模糊综合评价法在校园环境质量评价中的应用[J]. 安徽农业科学, 2008, 36(10).

    [4] Blue Mountain. 建模算法(十一)——层次分析法[EB/OL]. https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/4278049.htmlxu, 2015-02-06.

    [5] pwtd_huran. Python实现AHP(层次分析法)[EB/OL].  https://blog.csdn.net/pwtd_huran/article/details/80405807, 2018-05-22.

    [6] SPSSAU. 模糊综合评价法如何在软件中操作?[EB/OL]. https://www.zhihu.com/question/29715379/answer/654379638, 2019-04-17.

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  • 文章目录层次分析法计算特征向量归一化前为负的解决方案 层次分析法计算特征...在进行层次分析法AHP的过程中,我们可能会遇到负特征向量的情况,查了好久,解决方案就是归一化 v=max_x./sum(max_x) 既可以解决 ...

    层次分析法计算特征向量归一化前为负的解决方案

    在进行层次分析法AHP的过程中,我们可能会遇到负特征向量的情况,查了好久,解决方案就是归一化

    v=max_x./sum(max_x)
    

    既可以解决

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  • AHP计算权重.mat

    2020-07-08 17:24:49
    clc; clear; load('data.mat'); indice = data; [m, ~] = size(indice); normat = indice./sum(indice); nrowsum = sum(normat, 2); weight = nrowsum/m; % 一致性检验 consismat = indice.*...% CR标准 RI = [0,0.

    在这里插入图片描述

    clc; clear; 
    load('data.mat');
    indice = data;
    [m, ~] = size(indice);
    normat = indice./sum(indice);
    nrowsum = sum(normat, 2);
    weight = nrowsum/m;
    
    % 一致性检验
    consismat = indice.*weight';
    matrows = sum(consismat, 2);
    cssvec = matrows./weight;
    
    % CR标准
    RI = [0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,1.48,1.56,1.57,1.59];
    CI = (mean(cssvec)-m)/(m-1);
    CR = CI/RI(m);
    if CR<0.1
        disp(['CR=',num2str(CR),'<0.1'])
        disp('通过一致性检验! 各因子权重为')
        weight
    else
        disp(['CR=',num2str(CR),'>0.1'])
        disp('未通过一致性检验, 请重新调整判断矩阵!')
    end
    
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  • 层次分析法

    2019-01-28 19:49:08
    (一般,如果CR,则认为该判断矩阵通过一致性检验,否则就不具有满意一致性。) 4. 层次总排序及其一致性检验 (计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。这一过程是从最高...

    原理:层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标,将问题分解为不同的组成因素,并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次的分析结构模型,从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

    构造模型步骤:

    1. 建立层次结构模型(最高层: 决策目的 要解决的问题 最低层:决策的备选方案 中间层:考虑的因素、决策的准则)

    2. 构造判断(成对比较)矩阵(Santy等人提出一致矩阵法,即不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较,对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准确度)

    因素i比因素j

    量化值

    同等重要

    1

    稍微重要

    3

    较强重要

    5

    强烈重要

    7

    极端重要

    9

    两相邻判断的中间值

    2,4,6,8

    3. 层次单排序及其一致性检验

    (一般,如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,否则就不具有满意一致性。)

    4. 层次总排序及其一致性检验

    (计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的)

    实例:

    最后算B1在总目标中的 权重,用B1*(A1+A2+A3+A4+A5)

    代码:

    disp('请输入判断矩阵A');
    A = input('A = ');
    [n,n] = size(A);
    x = ones(n,100);
    y = ones(n,100);
    m = zeros(1,100);
    m(1) = max(x(:,1));
    y(:,1) = x(:,1);
    x(:,2) = A * y(:,1);
    m(2) = max(x(:,2));
    y(:,2) = x(:,2)/m(2);
    p = 0.0001;
    i = 2;
    k = abs(m(2) - m(1));
    while k>p
        i = i + 1;
        x(:,i) = A*y(:,i-1);
        m(i) = max(x(:,i));
        y(:,i) = x(:,i)/m(i);
        k = abs(m(i) - m(i-1));
    end
    a = sum(y(:,i));
    w = y(:,i)/a;
    t = m(i);
    disp(w);
    %以下是一致性检验
    CI = (t-n)/(n - 1);
    RI = [0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR = CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受');
       disp('CI = ');
       disp(CI);
       disp('CR = ');
       disp(CR);
    end
     

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  • 层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP):是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。 这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上,利用较少的定量...
  • 论文研究-AHP 法中判断矩阵的一种构造方法.pdf,
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  • 《基于MATLAB的AHP实现.doc》由会员分享,可免费在线阅读全文,更多与《基于MATLAB的AHP实现(最终版)》相关文档资源请在帮帮文库(www.woc88.com)数亿文档库存里搜索。1、utw,dw,CIC,RIC)%求层次总排序权重并进行一致...
  • AHP方法MATLAB

    2010-06-25 15:29:25
    AHP using Matlab,可以得出CR值。
  • 层次分析法(AHP)

    千次阅读 2021-03-16 17:12:26
    2.AHP 简单介绍一下什么是AHP? 层次分析法,简称AHP,它是一种 运筹学理论 。是指将与决策总是有关的元素分解成 目标、准则、方案 等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。 “该方法是美国运筹学家匹...
  • AHP层次分析法及代码

    2020-08-16 18:23:35
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  • 《基于MATLAB的AHP实现.doc》由会员分享,可在线阅读全文,更多相关《基于MATLAB的AHP实现(最终版)》请在www.woc88.com上搜索。1、,];B=[,,;,,;,,];B=[,,;,,;,,];B=[,,;,,;,,];B=[,,;,,;,,];B=[,,;,,...
  • AHP

    2019-02-23 19:43:00
    %AHP% 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。% 不妨用假期旅游为例:% 假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择,你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复...
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    万次阅读 多人点赞 2018-08-26 20:49:25
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    千次阅读 热门讨论 2020-09-07 13:22:40
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  • AHP算法MATLAB代码

    千次阅读 2020-04-04 00:01:54
    我把AHP的算法代码写到博客里面方便B站的朋友参考,也放了B站对这个代码使用的视频,不会用的可以点开链接去看,然后1P是原理视频大家也可以看看,免费拿走使用的时候,别忘了关注点赞评论一下博客和B站up鸭谢谢!
  • 【源代码】AHP法算权重

    千次阅读 2016-03-21 12:59:32
    function [W,CR]=AHP(P) %计算指标权重 [m,n]=size(P); for i=1:m M_t(i)=prod(P(i,:));%计算每一行元素的积 W_t(i)=M_t(i)^(1/n); end W=W_t/sum(W_t); %计算判断矩阵的最大特征值 PW=P*W'; PW_t=P
  • 说说AHP

    2021-01-15 20:10:25
    我的第1篇博客(说说AHP) 这是本人的第1篇博客,之前想过写博客的,但是Markdown不会,本人自学了一段时间,可以使用Markdown了,就想着,写个博客吧,顺便也是对自己的提升锻炼 这篇博客主题是关于AHP的,因为本人...
  • AHP(层次分析法)的全面讲解及python实现

    万次阅读 多人点赞 2020-05-09 13:58:30
    max_eigen, CR, criteria_eigen = weight_func(self.criteria) print('准则层:最大特征值{:,CR={:,检验{}通过'.format(max_eigen, CR, '' if CR 不')) print('准则层权重={}\n'.format(criteria_eigen)) max_eigen_...
  • 实际生活中,往往有一些很复杂的系统,...AHP可以帮助你。(请忽略现在的选举都是投票这个现实) 层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统,将目标分解为多个目标或准则,进而分解为多指标(或准则、...
  • 关于AHP层次分析法的材料很多,可以自行查阅,推荐参考文献《高可用集群系统关键技术的研究与实现》第4.2和4.3节关于层次分析法的理论介绍和实例说明。 概括来说,AHP层次分析法主要分为三大步骤: 求判断矩阵的...
  • 01-AHP层次分析法

    千次阅读 2019-08-22 13:39:13
    AHP层次分析法 判断矩阵一致性检验: 第一步:计算一致性指标CI(consistency indicator) ​ 当前判断矩阵的最大特征值λmax\lambda _{max}λmax​-一致矩阵的最大特征值nnn(可证明)。 KaTeX parse error: Got ...
  • 层次分析法(AHP)原理以及应用

    千次阅读 多人点赞 2021-02-12 18:36:02
    阅览研究许多篇博客或文章发现,AHP方法的实际运用例子都比较单一,本篇博客的愿景是希望我或者读者通过阅读这篇博客能够学会AHP方法并能实际运用,而且能够记录到你的思想之中。当然个人不是数学专业对一些专业性的...
  • 层次分析法(AHP)详细步骤

    万次阅读 多人点赞 2019-01-07 13:01:10
    1. 算法简介 层次分析法(AHP)是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重...
  • 数学建模常用算法—层次分析法(AHP)

    千次阅读 2020-07-12 16:08:33
    优点 AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大...
  • AHP及EWM的python实现

    2021-11-28 14:03:59
    一、AHP A为对比矩阵 def AHP(A) -> np.array: # 平均随机一致性指标。 RI_dict = {1: 0, 2: 0, 3: 0.58, 4: 0.90, 5: 1.12, 6: 1.24, 7: 1.32, 8: 1.41, 9: 1.45, 10: 1.49} n = len(A) for i in range(1, n...
  • 机器学习 | AHP层次分析法

    千次阅读 多人点赞 2019-05-15 20:39:47
    聊聊AHP层次分析法1 什么是AHP层次分析法?2 这个方法是干吗呢?在什么场景使用?3 AHP层次分析法的实现3.1 步骤3.2 实际的例子3.2.1 背景3.2.2 Step1 构建层次结构模型3.2.3 Step2 构造成对比较矩阵3.2.4 Step3 ...
  • python实现AHP算法(层次分析法)

    千次阅读 2020-09-07 21:26:56
    层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)由美国运筹学家托马斯·塞蒂(T. L. Saaty)于20世纪70年代中期提出,用于确定评价模型中各评价因子/准则的权重,进一步选择最优方案。该方法仍具有较强的主观性,...

空空如也

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