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  • 用初等方法研究了著名的埃尔米特多项式的性质,得到了形如的一些恒等式
  • 讨论了椭圆方程的变换群与变分恒等式的关系,利用变分对称群的性质得到一类变分恒等式.通过计算变分对称群得到了寻找非星形区域方法并举例进行了说明.
  • 广义Bernoulli数Bn,χ与Euler数、Dirichlet L函数有密切的联系,如L(1-n,χ)=-Bn,χn (n≥1)等.应用绝对收敛幂级数的Cauchy乘积公式和Bn,χ的性质,得到了关于广义Bernoulli数的一些恒等式和同余式.
  • 研究了Fibonacci数高次方幂的性质.采用生成函数和解析数论等方法,推广了Fibonacci数相关问题的结果,并得到高次方幂的一些重要恒等式.
  • 本文研究了Chebyshef多项式的一类幂和问题.利用初等方法以及Chebyshef多项式的性质.获得了一些有趣的恒等式,推广了Melham关于Lucas数的奇数次幂和的猜想.
  • 美国密西根大学的DennisSbernstein曾提出了一个3阶矩阵迹的恒等式猜怒,至今没有人给予证明。文章利用迹的已有结论和相关性质,通过推理演算,证明了这一结果的正确性。对一个3阶矩阵迹的相关知识的完菩做了进一步的...
  • 运用初等数论和解析数论的方法,根据Bernoulli数多项式、k阶Bernoulli数多项式的性质以及Hurwitz zeta-函数与Bernoulli多项式之间的关系,得到了Hurwitz zeta-函数以及其特殊情况 Riemann zeta-函数的一组恒等式.
  • 根据第一类和第二类切比雪夫多项式的递推关系以及相关性质,定义了几个关于正、 余弦函数的 d维向量以及关于d维向量的映射的概念,利用向量的数量积,研究了正余弦函 数,得到了几个关于正余弦函数积和的恒等式
  • 利用母函数的方法和Fibonacci数的通项表示及其性质,构造了以Fibonacci数为系数的一个指母生成函数,通过比较该指母生成函数与其指数组合表示形式k次幂的对应函数,从而揭示了Fibonacci数之间的内在联系,得到了一组...
  • 引入了Smarandache-Pascal派生逆序列的定义,并利用初等及组合方法讨论了 Smarandache-Pascal派生逆序列的性质,得到几个有趣的恒等式,从而证明了如果任何基序列{Tn}是一个二阶线性递推序列,那么它所产生的...
  • 定义了环R上线性码的各种重量计数器并讨论了它们之间的关系,特别的,确定了该环上线性码与其对偶码之间关于完全重量计数器的MacWilliams恒等式,利用该恒等式,进一步建立了该环上线性码与其对偶码之间的一种对称形式的...
  • 对位运算的运算律进行了研究,得到了按位与、按位或、按位异或及移位运算在交换律、结合律以及对加法的分配律方面的一些性质...基于这些性质,还研究了维基百科所列一个同余恒等式的证明方法.并给出了一个正确的证明。
  • 组合恒等式7 组合变换的互逆公式双重求和可以交换次序互逆公式的证明应用互逆公式证明组合恒等式 类似离散序列的Z变换,我们也可以定义以组合数为系数的组合变换,一个直观的例子是 bk=∑i=0k(−1)iCkiaib_k = \sum_...

    类似离散序列的Z变换,我们也可以定义以组合数为系数的组合变换,一个直观的例子是
    bk=i=0k(1)iCkiaib_k = \sum_{i=0}^k (-1)^i C_k^i a_i

    bkb_k就是关于aka_k的一个组合变换,这个组合变换有一个很重要的性质,就是
    ak=i=0k(1)iCkibia_k = \sum_{i=0}^k (-1)^i C_k^i b_i

    也就是对bkb_k再做一次组合变换就又变回aka_k了,称这样的一对组合变换叫做组合变换的互逆公式,基于这种组合变换的互逆公式,可以从现有的组合恒等式得到更多的组合恒等式,这一讲就以证明这对互逆公式作为开始。

    双重求和可以交换次序

    二重积分计算有一个Fubini定理,告诉我们二重积分可以交换积分次序,在离散领域,双重求和也具有类似的性质。考虑二重求和
    S=k=0nl=0kxklS = \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k x_{kl}

    这个求和可以理解成对矩阵[xkl](n+1)×(n+1)[x_{kl}]_{(n+1)\times (n+1)}的下三角部分所有元素求和,其中l=0kxkl\sum_{l=0}^k x_{kl}表示第k+1k+1行的和;当然还有另一种写法,我们也可以先写出第ll列的和k=lnxkl\sum_{k=l}^n x_{kl},则
    S=l=0nk=lnxklS = \sum_{l=0}^n \sum_{k=l}^n x_{kl}

    这样就得到了双重求和可以交换次序的结论:
    k=0nl=0kxkl=l=0nk=lnxkl\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k x_{kl}=\sum_{l=0}^n \sum_{k=l}^n x_{kl}

    互逆公式的证明

    计算
    i=0k(1)iCkibk=i=0k(1)iCki(j=0i(1)jCijaj)=i=0kj=0i(1)i+jCkiCijaj=j=0ki=jk(1)i+jCkiCijaj=j=0k(1)jaji=jn(1)iCkiCij\sum_{i=0}^k (-1)^i C_k^i b_k = \sum_{i=0}^k (-1)^i C_k^i \left( \sum_{j=0}^i (-1)^j C_i^j a_j \right) = \sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^i (-1)^{i+j}C_k^iC_i^ja_j \\ = \sum_{j=0}^k \sum_{i=j}^k (-1)^{i+j}C_k^iC_i^ja_j = \sum_{j=0}^k (-1)^ja_j \sum_{i=j}^n(-1)^iC_k^iC_i^j

    根据组合恒等式1 五个基本的组合恒等式 基础与简单例子例三的结果,
    i=jn(1)iCkiCij=(1)jδkj\sum_{i=j}^n(-1)^iC_k^iC_i^j = (-1)^j \delta_{kj}

    因此
    i=0k(1)iCkibk=j=0kδkjaj=ak\sum_{i=0}^k (-1)^i C_k^i b_k=\sum_{j=0}^k \delta_{kj}a_j =a_k

    应用互逆公式证明组合恒等式

    例1 k=1n(1)kCnk(1+12++1k)=1n\sum_{k=1}^n (-1)^kC_n^k\left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k} \right) = - \frac{1}{n}
    证明
    组合恒等式1 五个基本的组合恒等式 基础与简单例子例五中,我们证明了
    i=1n(1)i+1Cni1i=i=1n1i\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}C_n^i \frac{1}{i}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}

    把这个式子看成组合变换的结果,即
    i=1n(1)iCni1i=i=1n1i\sum_{i=1}^n (-1)^{i}C_n^i \frac{-1}{i}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}

    根据互逆公式
    i=1n(1)iCni(1+12++1i)=1n\sum_{i=1}^n (-1)^{i}C_n^i \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{i} \right) = -\frac{1}{n}

    例2 k=1n(1)kCnk(x+x22++xkk)=1n[1(1x)n]\sum_{k=1}^n (-1)^kC_n^k\left( x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^k}{k} \right) = - \frac{1}{n}[1-(1-x)^n]
    证明
    显然例2是例1的推广,等式左边的式子是个双重求和比较复杂,可以用证明这个恒等式的互逆公式的办法证明它,也就是证明

    k=1n(1)k+1Cnk1k[1(1x)k]=(x+x22++xnn)\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}C_n^k\frac{1}{k}[1-(1-x)^k]= \left( x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n} \right)

    左边的式子可以写成
    k=1n(1)k+1Cnk1kk=1n(1)k+1Cnk1k(1x)kanbn\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}C_n^k\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}C_n^k\frac{1}{k}(1-x)^k \triangleq a_n-b_n

    根据上例,
    an=i=1n1ia_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}

    所以只需要处理bnb_n即可,用杨辉三角裂项,
    bn=k=1n(1)k+1Cnk1k(1x)k=k=1n(1)k+1(Cnk1+Cn1k1)1k(1x)kb_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}C_n^k\frac{1}{k}(1-x)^k = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}(C_n^{k-1}+C_{n-1}^{k-1})\frac{1}{k}(1-x)^k

    其中Cn1k1/k=Cnk/nC_{n-1}^{k-1}/k = C_n^k/n,对第二项用二项式定理
    bn=k=1n(1)k+1Cnk11k(1x)k+1nk=1n(1)k+1Cnk(1x)k=bn1+1n(1xn)b_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}C_n^{k-1}\frac{1}{k}(1-x)^k + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}C_n^k(1-x)^k \\ = b_{n-1} + \frac{1}{n}(1-x^n)

    基于这个递推公式可以得到
    bn=i=1n1i(x+x22++xnn)b_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - \left( x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n} \right)

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  • 利用广义Lucas数列的性质, 得到了广义的Lucas数的一些有限和公式
  • 本文研究了关于Dedekind和的一个新的均值问题.利用特征和的性质以及解析的方法,获得了两个有趣的均值公式.
  • 利用广义Lucas数列的性质,证明了广义Lucas数的一些求和公式。
  • 本文的主要目的是介绍伪Laguerre矩阵多项式的矩阵扩展,并探索运算规则的形式性质和准单调性原理,以得出伪Laguerre矩阵多项式的许多性质
  • 利用初等方法研究了正切函数的幂级数表示与Genocchi数及高阶Genocchi数的一些性质.通过正切函数的幂级数展开以及比较系数的方法,揭示了其系数与Genocchi数及高阶Genocchi数的关系,并由此得到了关于Genocchi数的几个...
  • 因为我实在是太菜了,所以所有性质的...(不是我不想写,主要是数学公式编辑器真的,第一次用不熟练啊哭哭)恒等式一:证明:当 时,左边 ,右边 ,因此左边=右边,成立假设当 时结论成立,即有 。当 时,即证...

    因为我实在是太菜了,所以所有性质的证明基本上都是数学归纳法。然后这篇博文就变得异常地水。

    不过斐波那契这种东西真的是有毒啊......

    斐波那契数列的通项公式:

    这个的证明很多书上面都有,比如高数书里面的无穷级数里面就会提到这个。(不是我不想写,主要是数学公式编辑器真的,第一次用不熟练啊哭哭)


    恒等式一:

    证明:

    当  时,左边  ,右边  ,因此左边=右边,成立

    假设当  时结论成立,即有  。

    当  时,即证明 

    右边 


      

      (代入 时成立的结论)

    = 左边,即当  的时候结论也成立。

    综上,当  时结论都成立。


    恒等式二:

    证明:

    当  时,左边  ,右边  ,因此左边=右边,成立

    假设当  时结论成立,即有  。

    当  时,即证明 

    右边 




    = 左边,即当  的时候结论也成立。

    综上,当  时结论都成立。


    恒等式三:

    证明:

    当  时,左边  ,右边  ,因此左边=右边,成立

    假设当  时结论成立,即有 

    当  时,即证明 

    右边 



    = 左边,即当  的时候结论也成立。

    综上,当  时结论都成立。


    恒等式四:

    证明:

    当  时,左边  ,右边  ,因此左边=右边,成立。

    假设当  时结论成立,即有 

    当  时,即证明 

    右边 




    = 左边,即当  的时候结论也成立。

    综上,当  时结论都成立。


    恒等式五:给定一个正整数n,任意正整数  都满足  

    证明:

    当  时,原式可以直接写成  ,显然成立。

    假设当   时结论成立,即有

    当  时,即证明 

    已有





    即当  的时候结论也成立。

    综上,当  时结论都成立。

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  • 教材:《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张...若Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的子集,则同时不具有全部性质P1,P2,……,Pn的元素数为 S中至少具有某种性质的元素数为 用数学归纳法可以完成证明。 2、欧拉(Eul...

    教材:《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社
    源文档高清截图在最后

    6.3 有穷集的计数

    1、容斥定理(容斥原理) 设有穷集S,n个性质分别为P1,P2,……,Pn。S中的元素具有或不具有性质Pi。
    若Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的子集,则同时不具有全部性质P1,P2,……,Pn的元素数为

    S中至少具有某种性质的元素数为

    用数学归纳法可以完成证明。

    2、欧拉(Euler)函数是数论中的一个重要函数,记为φ(n),表示{0, 1, …, n-1}中与n互质的数的个数。
    下面利用容斥定理给出其计算公式。
    设n的质因数分解式为,令Ai = {x | 0 ≤ x < n-1,pi % x = 0},即把与n的公因数不只有1(至少有公因数pi)的数x全部找出来。这里不取n-1,是因为相邻的两个正整数一定是互质数。利用反证法证明如下:
    设正整数n-1与n不互质,那么一定存在大于1的公因数d,使得n-1 = c1d,n = c2d。相减,得 (c2-c1)d = 1。但c2-c1 ≥ 1,而已知d > 1,存在矛盾,所以相邻的两个正整数只能是互质数。
    那么与n的公因数只有1的数的个数,就是
    由Ai的表达式,设n = pici,则Ai = {0, 1, 2, …, ci-1},|Ai| = ci = n / pi。而pi、pj都是质数,所以 |Ai∩Aj| = n / pipj,1 ≤ i < j ≤ n。代入容斥原理的求解公式,得

    倒数第二步可以由容斥定理给出,最后一步的证明是比较麻烦的,在这里暂时当作结论记住。

    3、错位排列数。
    对数列1,2,……,n,有关于该数列的排列i1,i2,……,in,满足ij≠j,这种排列称为错位排列。错位排列数对应的一种实际意义是:n个人寄存各自的物品但未作标记,取回时只好随机取,让所有人都未取到自己的物品的方案数。n个数的错位排列数为
    证明 用容斥原理给出。设S为{1,2,……,n}的排列的集合,Pi代表i位于排列中的第i位,Ai是S中具有性质Pi的排列的集合,i = 1,2,……,n。错位排列数等于不具有以上任何一条性质的排列数。不难看出:

    (注:ex的泰勒展开式,0<θ<1,n→+∞)

    6.4 集合恒等式

    1、集合运算的主要定律:

    2、关于集合的运算,还有一些重要结论需要补充:

    这里选证一部分,可以看出最主要的证明方法是结合命题逻辑的等值式来完成证明。

    3、求证A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C)
    证明

    所以A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C)。

    4、求证(A-B)∪B = A∪B
    证明 相对补运算可以换成交运算。所以有:

    注意:~是一类运算符,优先于二类的∪和∩。而二类运算的优先级是括号决定的,不能随意打开括号。

    5、求证
    证明

    该式给出了A包含于B的另外三种等价定义。这不仅为证明集合的包含关系提供了新方法,也可以用于集合表达式的化简。

    6、已知A⊕B = A⊕C,求证B = C。
    证明








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  • (n-1)的性质: 动态规划 + 最高有效位 利用已有的计数结果来生成新的计数结果。以二进制形式检查 [0, 3]的范围: 可以看出, 2 和 3 的二进制形式可以通过给 0 和 1 的二进制形式在前面加上 1 来得到。类似的,...

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    利用上一节的n&(n-1)的性质:
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    动态规划 + 最高有效位
    利用已有的计数结果来生成新的计数结果。以二进制形式检查 [0, 3]的范围:
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    可以看出, 2 和 3 的二进制形式可以通过给 0 和 1 的二进制形式在前面加上 1 来得到。类似的,我们可以使用 [0, 3]作为蓝本来得到 [4, 7]。
    在这里插入图片描述

    public class Solution {
        public int[] countBits(int num) {
            int[] ans = new int[num + 1];
            int i = 0, b = 1;
            // [0, b) is calculated
            while (b <= num) {
                // generate [b, 2b) or [b, num) from [0, b)
                while(i < b && i + b <= num){
                    ans[i + b] = ans[i] + 1;
                    ++i;
                }
                i = 0;   // reset i
                b <<= 1; // b = 2b
            }
            return ans;
        }
    }
    

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    动态规划 + 最低有效位
    通过最低有效位来获得状态转移函数。观察x 和 x’ = x / 2的关系,可以发现 x’与 x只有一位不同,这是因为x’可以看做 x 移除最低有效位的结果。
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    public class Solution {
      public int[] countBits(int num) {
          int[] ans = new int[num + 1];
          for (int i = 1; i <= num; ++i)
            ans[i] = ans[i >> 1] + (i & 1); // x / 2 is x >> 1 and x % 2 is x & 1
          return ans;
      }
    }
    

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    动态规划 + 最后设置位
    最后设置位是从右到左第一个为1的位。使用 x &= x - 1 将该位设置为0,就可以得到以下状态转移函数:
    在这里插入图片描述
    X&(X-1)的结果指的是将X的最后一位为1的bit变为1,那么X肯定会比该数多1位为1。

    public class Solution {
      public int[] countBits(int num) {
          int[] ans = new int[num + 1];
          for (int i = 1; i <= num; ++i)
            ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1;
          return ans;
      }
    }
    

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  • 描述法:用谓词P(x)表示x具有性质P,用{x|P(x)}表示具有性质P的集合 注意事项:集合中的元素是各不相同的 ​ 集合中的元素不规定顺序 ​ 集合的两种表示法可以互相转化 常用的数集合:自然数集合N;整数...
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    一、数论相关 1、$gcd(2^a-1, 2^b-1)=2^{gcd(a, b)}-1$ 2、降幂公式:$A^B\ mod\ C=A^{B\%\phi(C)+\phi(C)}\ mod\ C$,其中,$\...1、$C_{m+n}^{r}=\sum\limits_{k=0}^{k}C_{m}^{k}C_{n}^{r-k}$ (范德蒙德恒等式)...

空空如也

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恒等式性质