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  • 被众人膜拜的欧拉恒等式是什么东东?J Pan航空工程师651 人赞同了该文章老子说:道生一,一生二,二生三,三生万物。万物的本源既是数,自然世界造化了万物,也造化了人类,聪明的人类参照了大自然造化万物的方法...

    全文转载自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/40302967

    被众人膜拜的欧拉恒等式是个什么东东?

    J Pan

    航空工程师

    老子说:道生一,一生二,二生三,三生万物。万物的本源既是数,自然世界造化了万物,也造化了人类,聪明的人类参照了大自然造化万物的方法,自已又物化出了一个能够认知、解释和预测自然界的一套逻辑方法。而数学,是这一切认知的逻辑基础,可以说,人类对世界的认识是随着数字的发明和数系的不断的扩展而加深的。数系的扩展是伴随着我们生活和认知的需要而进行的,从自然数扩展到分数,进而扩展到无理数,最后扩展到复数,而复数则是最令人费解的,很多人认为它反直觉而敬而远之。今天,我们就抽丝剥茧,探讨一下复数的本源意义,以及复数 ii 自然常数 ee 结合后发挥出的巨大威力。


    1. 为什么要发明复数

    我们知道,在实数域上,加法、减法可以看成是沿数轴的左右平移,乘法、除法可以看成是沿数轴的拉伸和压缩(也可认为是重复平移),这可以认为是运算符最简单的理解。而数学,是建立在对物理实在的抽象的基础上,我们日常生活中除了平移运动外,还经常会碰到旋转,那旋转在数学上是如何表示的呢?很遗憾的说,在复数发明以前,处理旋转问题是很麻的,如果有人学过机器人,肯定会对每个关节的运动学(尤其是旋转)的坐标转换恨之入骨。接下来我们就可以看到,有了复数,处理旋转问题是多么轻松。

    首先来看复数的定义: i=1i=\sqrt{-1} ,换种形式:i2=1×i×i=1i^2=1\times i\times i=-1。这就是虚数 ii 最基本的定义。拆解一下:乘法可以看成连续的操作, 11 经过2次完全一样的操作,变成 1-1 ,那什么样的操作能得到这个效果呢?聪明的你可能已经想到了:旋转啊,先旋转 90°90\degree ,再旋转 90°90\degree 就可以了啊。
    在这里插入图片描述
    记住: ii 就代表了旋转。


    2. eixe^{ix} 代表了什么

    我们知道, ee 是能够表征物质的连续变化,本质是一种极限,定义为:ex=limn(1+x/n)ne^x=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+x/n)^n} ,如果将定义中的 xx 换成 ixix,则可以得到: eix=limn(1+ix/n)ne^{ix}=\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+ix/n)^n} 。那这个等式长什么样子呢?我们可以先借助MATLAB来把它画出来看看。

    x=linspace(0,2*pi,50);%0到2pi之间均匀布置50个点;
    n=5000;%此处可将n设成20,50,500或其他
    e_ix=(1+x*1i./n).^n;
    compass(e_ix);

    程序的基本意思为: (1+ix/n)neixwhen(n)(1+ix/n)^n\Rightarrow e^{ix} when(n\rightarrow\infty)

    n=20n=20 的时候:
    在这里插入图片描述
    n=50n=50 的时候:
    在这里插入图片描述
    n=500n=500 的时候:
    在这里插入图片描述n=5000n=5000 的时候:
    在这里插入图片描述可见,nn 足够大的时候,eixe^{ix} 其实就是一个单位圆。并且很容易看出: eixe^{ix} 代表一族矢量,矢量的角度为 xx ,矢量的幅值为 11 。于是,可以得到下面的图形:
    在这里插入图片描述


    3. 欧拉恒等式是个什么东东

    从上图很容易得到: eix=cos(x)+isin(x)e^{ix}=cos(x)+isin(x) 。这就是著名的欧拉恒等式。一般教材喜欢从泰勒公式推导出欧拉公式,纯数学的方式固然严谨但是不易理解,从几何的角度看,这便成显而易见的事情。

    接下来我们就要解释欧拉恒等式是个什么东东了:

    eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0 (当x=πx=\pi)

    欧拉恒等式被认为是数学上最优美的公式之一,在各大最美的公式排行榜中都留有一席之地,因为它将自然常数 ee ,圆周率 π\pi ,虚数单位 ii ,自然数 11 以及 00 这五个最基本的数字用两个基本的运算符 ++== 连接在一起了,被认为是上帝写下的音符。

    如果按照我们上面的解释,翻译过来就是:自然数 11 ,绕坐标中心旋转 180°180\degree ( eiπe^{i\pi} ),再平移 11 ,就回到个坐标原点。(具体见第一张图)。

    当然 eixe^{ix} 还有更符合直觉的内在涵义: ee 代表连续, ii 代表旋转, eixe^{ix} 自然就代表了连续旋转。那为啥这个函数这么重要呢?这就回到了开头老子的那句话:道生一,一生二,二生三,三生万物。 eixe^{ix} 就是那个“一”,它能定量的描述“变”,后面我们会看到,傅里叶变换以及拉普拉斯都是建立在复指数函数的基础上的,傅里叶变换和拉普拉斯变换的重要性想必搞工程的人都是了解的。最后放一张电磁波(光也是电磁波哦)传播示意图,看着是不是和 eixe^{ix} 有几分相似呢?
    在这里插入图片描述
    编辑于 02-01
    莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)
    数学分析
    复数(数学)

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  • 而数学,这一切认知的逻辑基础,可以说,人类对世界的认识随着数字的发明和数系的不断的扩展而加深的。数系的扩展伴随着我们生活和认知的需要而进行的,从自然数扩展到分数,进而扩展到无理数,最后扩展到复数...

    老子说:道生一,一生二,二生三,三生万物。万物的本源既是数,自然世界造化了万物,也造化了人类,聪明的人类参照了大自然造化万物的方法,自已又物化出了一个能够认知、解释和预测自然界的一套逻辑方法。而数学,是这一切认知的逻辑基础,可以说,人类对世界的认识是随着数字的发明和数系的不断的扩展而加深的。数系的扩展是伴随着我们生活和认知的需要而进行的,从自然数扩展到分数,进而扩展到无理数,最后扩展到复数,而复数则是最令人费解的,很多人认为它反直觉而敬而远之。今天,我们就抽丝剥茧,探讨一下复数的本源意义,以及复数  自然常数  结合后发挥出的巨大威力。


    1.为什么要发明复数

    我们知道,在实数域上,加法、减法可以看成是沿数轴的左右平移,乘法、除法可以看成是沿数轴的拉伸和压缩(也可认为是重复平移),这可以认为是运算符最简单的理解。而数学,是建立在对物理实在的抽象的基础上,我们日常生活中除了平移运动外,还经常会碰到旋转,那旋转在数学上是如何表示的呢?很遗憾的说,在复数发明以前,处理旋转问题是很麻的,如果有人学过机器人,肯定会对每个关节的运动学(尤其是旋转)的坐标转换恨之入骨。接下来我们就可以看到,有了复数,处理旋转问题是多么轻松。

    记住:  就代表了旋转。


    x=linspace(0,2*pi,50);%0到2pi之间均匀布置50个点;
    n=5000;%此处可将n设成20,50,500或其他
    e_ix=(1+x*1i./n).^n;
    compass(e_ix);


    3. 欧拉恒等式是个什么东东

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  • 范德蒙恒等式

    2019-10-17 17:21:40
    这篇博客比较水,因为这个东西实在什么好讲的。 等式如下: Cn+mk=∑i=0kCni×Cmk−i C_{n+m}^k=\sum_{i=0}^k C_n^i \times C_m^{k-i} Cn+mk​=i=0∑k​Cni​×Cmk−i​ 证明也很简单: 考虑右边的柿子的意义...

    这篇博客比较水,因为这个东西实在是没什么好讲的。

    等式如下:
    Cn+mk=i=0kCni×Cmki C_{n+m}^k=\sum_{i=0}^k C_n^i \times C_m^{k-i}

    证明也很简单:

    考虑右边的柿子的意义——从 nn 里面拿 ii,再从 mm 里面拿 kik-i 个物品,那么得到的总物品数恒定为 kk,但是从 nnmm 那里拿的数目不固定,所以这个问题等价于:从 n+mn+m 个物品中选 kk 个物品的方案数。

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  • 等式(==)和恒等式(===)都PHP的比较运算符,那么它们之间有什么不同?下面本篇文章就来带大家简单比较一下等式(==)和恒等式(===),希望对大家有所帮助。【教程推荐:PHP教程】等式(==)运算符等式(==)运算符比较、...

    等式(==)和恒等式(===)都是PHP的比较运算符,那么它们之间有什么不同?下面本篇文章就来带大家简单比较一下等式(==)和恒等式(===),希望对大家有所帮助。【教程推荐:PHP教程】

    dac6a40ecf4900f14c9c31b0e112c2a0.png

    等式(==)运算符

    等式(==)运算符是比较、并测试左边的变量(表达式或常量)是否与右边的变量(表达式或常量)具有相同的值;该运算符进行的比较是松散的。

    如果两个值相同(它只比较变量的值,而不是数据类型),则返回true值;如果两个值不相同,则返回false值。

    注:等式(==)运算符和赋值(=)运算符不同。赋值(=)运算符会更改左边的变量,将右边的变量赋值给左边的变量,而等式(==)运算符是测试相等性,并根据比较结果返回true或false。

    示例:<?php

    header("content-type:text/html;charset=utf-8");

    // 给变量赋整数值

    $x = 999;

    echo '$x='.$x."
    ";

    // 给变量赋字符串值

    $y = '999';

    echo '$y='.$y."
    ";

    //比较$x 和$y

    if ($x == $y)

    echo '$x和$y的值相等';

    else

    echo '$x和$y的值不相等';

    ?>

    输出:

    cb161f42f250fedb73ea129ad4427844.png

    说明:在上面的例子中,因为等式(==)运算符只比较变量的值,$ x和$ y的值是相等的,所以直接执行if里的语句,不执行else语句。

    PHP等式(==)运算符的比较图表:

    d79392e27bf5a7f9525b0fcb051aa54f.png

    恒等式(===)运算符

    恒等式(===)运算符是进行给定变量或值之间的严格比较;它比较,并查看两个变量(表达式或常量)是否值相等且具有相同的数据类型,即两者都是字符串或两者都是整数等等。

    如果两个变量(表达式或常量)包含相同的值和相同的数据类型,则此运算符返回true,否则返回false。

    示例:<?php

    header("content-type:text/html;charset=utf-8");

    // 给变量赋整数值

    $x = 999;

    echo '$x='.$x."
    ";

    // 给变量赋字符串值

    $y = '999';

    echo '$y='.$y."
    ";

    //比较$x 和$y

    if ($x === $y)

    echo '$x和$y相等';

    else

    echo '$x和$y不相等';

    ?>

    输出:

    dc27326ea613cf48ec6b569cfb1a46da.png

    说明:在上面的例子中,$ x和$ y的值相等但数据类型不同,因而返回false,执行else部分。

    PHP恒等式(===)运算符的比较图表:

    53c2a9262283eec7d240879c02ee40c6.png

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空空如也

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