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  • C语言辗转相除法求最大公约数

    万次阅读 多人点赞 2019-04-04 07:45:54
    辗转相除法是在在维基百科中的意思是: 在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数...辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大...

    辗转相除法是在在维基百科中的意思是
    在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》(第VII卷,命题i和ii)中,而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

    两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如,252和105的最大公约数是21( {\displaystyle 252=21\times 12;105=21\times 5} {\displaystyle 252=21\times 12;105=21\times 5});因为 252 − 105 = 21 × (12 − 5) = 147 ,所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中,较大的数缩小了,所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时,所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出,两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示,如 21 = 5 × 105 + (−2) × 252 。这个重要的结论叫做裴蜀定理。
    在现代密码学方面,它是RSA算法(一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法)的重要部分

    简单的来说辗转相除法的原理就是:

    • 先比较两个数使第一个数为最大数a,第二个数为最小数b
    • 使最大数%最小数得到余数a%b=temp
    • 后将余数赋值给最小数a=temp再去除最大数b即b%a
    • 一直往复直到余数不为0
    #include<stdio.h>
    
    int main(void)
    {
    	int a, b, num1, num2, temp;
    	
    	printf("please input a number:\n");
    	scanf("%d%d", &num1, &num2);
    	if (num1 < num2) #判断两数大小
    	{
    		temp = num1;
    		num1 = num2;
    		num2 = temp;
    	}
    	a = num1;
    	b = num2;
    	while(b != 0)  #辗转相除法关键步骤
    	{
    		temp = a%b;
    		a = b;
    		b = temp;
    	}
    	printf("公约数:%d\n", a);
    	printf("公倍数:%d\n", num1 * num2 / a);
    	return 0;
     } 
    
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  • 辗转相除法详解(C语言实现)

    千次阅读 2020-11-05 08:51:00
    辗转相除法,被称为欧几里得(Euclidean)算法,是求最大公约数的算法。 基本原理 两个正整数a和b(a > b),他们的最大公约数等于a除以b的余数和b之间的最大公约数。 算法实现 思想 a = b * q1 + r1 b = r1 * q2 +...

    定义

    辗转相除法,被称为欧几里得(Euclidean)算法,是求最大公约数的算法。

    基本原理

    原理

    两个正整数a和b(a > b),他们的最大公约数等于a除以b的余数和b之间的最大公约数。

    证明

    设 b = aq + r, (a,b) 为a, b的最大公约数
    则a % (a,b) = 0; b % (a,b) = 0,
    因为(a和b的约束) % (a,b) = 0,
    所以 (b - aq) % (a,b) = 0
    即 r % (a,b) = 0
    因为a % (a,b) = 0, r % (a,b) = 0
    所以(a,r) % (a,b) = 0(最大公约数一定被公约数整除)

    又因为a % (a,r) = 0, r % (a,r) = 0, b = aq+r
    所以 (aq + r) % (a,r) = 0
    即 b % (a,r) = 0
    因为 a % (a,r) = 0
    b % (a,r) = 0
    所以
    (a,b) % (a,r) = 0
    所以
    (a,b) = (a,r)

    算法实现

    思想

    a = b * q1 + r1
    b = r1 * q2 + r2
    r1 = r2*q3 + r3

    rn-2 = rn-1 * qn + rn

    rn-1 = 0, rn-2 即为最大公约数(
    因为rn-2和0的最大公约数就是他本身rn-2,
    又因为rn-2和0的最大公约数等于a和b的最大公约数,
    所以rn-2即为a和b的最大公约数。

    C语言实现

    #include <stdio.h>
    int main()
    {
    	int a;
    	int b;
    	scanf("%d %d", &a, &b);
    	int u, v;
    	u = a, v = b;		
    	while (v != 0)
    	{
    		int tmp1 = u % v;
    		u = v;
    		v = tmp1;
    	}
    	printf("%d\n", u);
    	return 0;
    }		
    
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  • 辗转相除法,又名欧几里德算法。 用于计算两数最大公约数(gcd) 主要思想是:gcd(a,b)=gcd(b,a%b) (a>=b) 原理证明也很简单: 先不妨设a=kb+r,a=cx,b=cy(c为最大公约数,也即x和y已无公因式) r=a-kb=...

    辗转相除法,又名欧几里德算法。
    用于计算两数最大公约数(gcd)

    主要思想是:gcd(a,b)=gcd(b,a%b) (a>=b)

    原理证明也很简单:
    先不妨设a=kb+r,a=cx,b=cy(c为最大公约数,也即x和y已无公因式)

    r=a-kb=c(x-ky)=>说明c是约数,那么只需证明c是最大的公约数,也即x-ky和y无公因式即可

    这里的证明采用反证法
    假设x-ky=md,y=nd (d>1)
    则x=md+ky=md+knd=d(m+kn)
    a=cx=(m+kn)cd,b=cy=ncd =>a与b存在一个公约数cd>c
    与c是a与b的最大公约数矛盾
    也即结论错误,二者无公因式

    QED

    那么清楚原理后,代码实现就很简单了

    你可以写成递归的

    int gcd(int a,int b)
    {
    	return a%b?gcd(b,a%b):b;
    }
    

    也可以写成循环的

    int gcd(int a,int b)
    {
    	while(b!=0)
    	{
    		int r=a%b;
    		a=b;
    		b=r;
    	}		
    	return a;
    }
    
    展开全文
  • 辗转相除法求最大公约数 除了暴力枚举法求最大公约数外,我们还能用更加高效的方法求最大两个整数的最大公约数 那就是辗转相除法 原理:两个正整数a和b(a>b),其最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公...

    辗转相除法求最大公约数

    除了暴力枚举法求最大公约数外,我们还能用更加高效的方法求最大两个整数的最大公约数
    那就是辗转相除法

    原理:两个正整数a和b(a>b),其最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。

    例子: 整数 18和12
    首先18%12得 余数6
    再用12除以6得 余数0
    当余数为0时,6即为18和12得最大公约数。

    代码(C语言)

    
    ```c
    #include<stdio.h>
    void main(){
     //求最大公约数之辗转相除法
     int a,b;
     int min;
     printf("请输入两个正整数:a,b\n");
     scanf("%d,%d",&a,&b);
     if(a>b) min=b;
     else min=a;
        int t;
     while(b!=0){
      t=a%b;
      a=b;
      b=t;
     }
     printf("最大公约数为:%d\n",a);
    }
    
    
    
    
    
    
    
    展开全文
  • 1.辗转相除法原理(求最小公倍数) 2.最小公倍数和最大公约数的关系 3.C语言实现
  • C语言实现大整数的辗转相除法

    千次阅读 2019-01-03 19:55:42
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    千次阅读 2018-07-29 09:09:27
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    千次阅读 2019-01-14 20:50:09
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    万次阅读 多人点赞 2019-05-14 19:19:16
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  • 欧几里德算法(c语言实现)

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