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  • Dirac-Delta函数

    千次阅读 2020-02-03 17:23:57
    Dirac-Delta函数 1. 广义函数 1.1 广义函数的概念 1.2 广义函数的定义 定义1(基本空间) 设G是−∞<x<∞-\infty<x<\infty−∞<x<∞上无限次可微且在某有限区间以外为0的函数全体。按照通常的加法...

    Dirac-Delta函数

    1. 广义函数

    1.1 广义函数的概念在这里插入图片描述

    1.2 广义函数的定义

    定义1(基本空间) 设G是<x<-\infty<x<\infty上无限次可微且在某有限区间以外为0的函数全体。按照通常的加法和数乘,它成为线性空间,在其中定义极限概念如下:设φn,φGφ_n,φ\in G,若
    (1)存在一个与n无关的公共有限区间[a,b],使φnφ_n在[a,b]外为0,n=1,2,…;
    (2)在<x<-\infty<x<\infty对每一非负整数q,函数列φn(q)φ_n^{(q)},即φnφ_n的q阶导数一致收敛于φ(q)φ^{(q)}
    则称φnφ_n在G中收敛于φφ,记为φnφφ_n\to φ, G称为基本空间.

    :空间G的这种收敛性不能容纳在距离空间的收敛性之中,即我们无法定义一个距离d,使φnφφ_n\to φ等价于d(φn,φ)0d(φ_n,φ)\to 0。 .

    定义2(广义函数) G上的连续线性泛函 ff 称为广义函数,记为f(φ)f(φ),或(f,φ)(f,φ)

    示例

    例1 局部可积函数是广义函数.
    Def 我们把在任何区间上都L可积的函数称为局部可积函数,其全体记为LL^*。设fLf\in L^*,利用ff定义一个G上的连续线性泛函T(f)T(f):对任何φGφ\in Gf(x)φ(x)dx\int_{-\infty}^{\infty} f(x)φ(x)dx。由于φ(x)φ(x),在某有限区间外为0, 故上述积分有意义。
    PfT(f)T(f)显然是G上连续线性泛函,且是一一映射,即如果fLf\in L^*f(x)φ(x)dx=0\int_{-\infty}^{\infty} f(x)φ(x)dx=0对一切φGφ\in G成立,则f(x)=0f(x)=0 a.e.于R。这样,局部可积函数就可以一对一地嵌入 G上连续线性泛函空间,作为它的一部分。

    例2 Dirac-Delta函数
    现在我们可以给本节开始时引进的Dirac-Delta函数一个严格的数学定义。
    Def 如果G上的连续线性泛函由下式给定:对一切φGφ\in G,对应数值φ(0)φ(0),称这一泛函为δ,换句话说,对一切φGφ\in G,有δ(φ)=φ(0)δ(φ)=φ(0),是f(x)φ(x)dx=φ(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x)φ(x)dx=φ(0)的严格化。
    Pf:δ为G上连续线性泛函不难验证,φnφφ_n\to φ这意味着在任何有限区间上各阶导数(包括零阶导数)一致收敛,当然更有φn(0)φ(0)φ_n(0)\to φ(0),即δ(φn)δ(φ)δ(φ_n)\to δ(φ)

    1.3 广义函数的导数

    按照分部积分法,对通常的一阶连续可导函数f(x),φGφ\in G(f,φ)=(f,φ)(f^{'},φ)=-(f,φ^{'})
    Def 定义广义函数ff的导数ff'(f,φ)=(f,φ)(f^{'},φ)=-(f,φ^{'})

    定理ff'是广义函数

    Pf :等价于证明ff'是连续线性泛函。由于φ无限次可微的,(f,φ)(f,φ^{'})有意义,而且φnφφ_n\to φ意味着各阶导数都一致收敛于相应导数,自然也有φnφφ_n'\to φ',所以由(f,φ)(f,φ^{'})是连续线性泛函知(f,φ)(f^{'},φ)也是连续线性泛函。同样可定义二阶以至任意阶的导数。

    基本空间中函数的优良性质就能够转移到广义函数上。

    性质(微分运算和极限运算的可交换性):定义FnF(n)F_{n} \rightarrow F(n \rightarrow \infty)(Fn,φ)(F,φ)(n)\left(F_{n}, \varphi\right) \rightarrow(F, \varphi)(n \rightarrow \infty)对一切φθ\varphi \in \theta成立,那么微分运算和极限运算的交换是显然的:
    limn(Fn,φ)=limn((Fn,φ))=limn(Fn,φ)=(F,φ)=(F,φ)=(limnFn),φ)\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(F_{n}^{\prime}, \varphi\right) &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-\left(F_{n}, \varphi^{\prime}\right)\right)=-\lim _{n \rightarrow \infty}\left(F_{n}, \varphi^{\prime}\right)=-\left(F, \varphi^{\prime}\right) \\ &\left.=\left(F^{\prime}, \varphi\right)=\left(\lim _{n \rightarrow \infty} F_{n}\right)^{\prime}, \varphi\right) \end{aligned}

    2. Dirac-Delta函数

    Dirac-Delta函数或简称δ函数(译名德尔塔函数、得耳他函数)在除零以外的点上都等于零,且其在整个定义域上的积分等于1。这不是一个严格意义上的函数,因为任何在扩展实数线上定义的函数,如果在一个点以外的地方都等于零,其总积分必须为零。

    狄拉克δ函数或简称δ函数是在实数线上定义的一个广义函数分布。只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点,δ函数一般可以当做普通函数一样使用。它形式上所遵守的规则属于运算微积分的一部分,是物理学和工程学的标准工具。

    δ函数可以定义为分布或测度。

    2.1 测度视角

    δ函数的测度定义:作为一个测度,δ函数取一个实线R的子集A,当0 ∈ A时输出δ(A) = 1,否则δ(A) = 0。如果把δ函数想象成位于0的一个理想化的质点,则δ(A)代表集合A所包含的质量。
    推广:在这里插入图片描述
    函数相对于δ积分 测度定义:一个函数相对于δ的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数f,这一积分满足:f(x)δ(dx)=f(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x)δ(dx)=f(0)(由1.1节可得)

    性质:测度δ相对于勒贝格测度不绝对连续,即存在E,L(E)=0,而δ(E)0δ(E)\neq0。它其实是一个奇异测度。因此,它并不具有拉东-尼科迪姆导数,也就是不存在满足以下条件的函数δ(虽然这种写法仍非常常见,但是它实际上只是一种方便的记号,而不是任何有良好定义的(黎曼或勒贝格)积分。):f(x)δ(x)dx=f(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x=f(0)

    Dirac测度的分布函数定义
    在这里插入图片描述

    2.2 分布视角

    在分布理论中,一个广义函数并不像普通函数一样直接定义,而是在它相对其他函数积分的时候,以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路,只须定义δ函数相对某个足够“良好”的测试函数的“积分”就足够了。如果δ函数已经定义为测度,则这种积分可以是测试函数相对于这δ测度的勒贝格积分。

    测试函数空间一般可包括所有R上的紧支撑光滑函数。作为一个分布,δ函数是在测试函数空间上的线性泛函,定义为δ(φ)=φ(0)δ(φ)=φ(0)

    δ函数是分布
    若要使δ成为一个正式的分布,它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的

    定理(分布的等价条件):在测试函数空间上的线性泛函S要能够良好定义一个分布,其必要和充分条件是,对于每个正整数N,有整数MNM_N和常数CNC_N,使得对每个测试函数φ,以下不等式都成立:
    S[φ]CNk=0MNsupx[N,N]φ(k)(x)|S[\varphi]| \leq C_{N} \sum_{k=0}^{M_{N}} \sup _{x \in[-N, N]}\left|\varphi^{(k)}(x)\right|

    当S就是δ分布时,CNC_N = 1,MNM_N = 0对于所有N,就能满足这条不等式。因此,δ是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布,其支撑集是{0}

    展开全文
  • 关于广义函数Dirac_Delta_函数的一些基本处理方法
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    狄利克雷函数

    19世纪的德国数学家狄利克雷提出一个函数:

    在这里插入图片描述
    这属于一个人造函数,而这个函数本身却给我们带来很多深刻的思考。

    首先最好来感受一下这个函数。当x取有理数的时候,函数值为1;当x取无理数的时候,函数值为0。这里纠结的地方在哪里呢?无理数和有理数密密麻麻地掺杂在一起,任意两个无理数之间有无穷多个有理数,任意两个有理数之间有无穷多个无理数。也就是不管x的区间取得多么小,函数值会急剧地在0与1之间反复跳动。

    这种跳动不是一般的函数波动,而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。

    所以,狄利克雷函数的一个重要特点就是:无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离,属于有理数的点上升一个单位,属于无理数的点停留在原处。当然,这只能存在于想象中,图形无法表示。

    这就使得函数的概念扩大了。函数不一定需要表达式,甚至不需要图像,它成为了一个抽象的概念。只要存在某种对应关系,我们就可以称之为函数。

    狄利克雷函数的奇偶性和周期性

    假设 xx 是在正半轴上的,如果它是有理数,x-x 也为有理数;如果它是无理数,x-x 也为无理数。例如 x=πx=\pi,那么 f(π)=0,f(π)=0f(\pi)=0, f(-\pi)=0。所以对于一切 xxf(x)=f(x)f(x)=f(-x) 。于是狄利克雷函数是偶函数,也就是它的图像是轴对称的,是可以关于 yy 轴折起来的(实数的对称性)。

    再说周期性。任何有理数都可以作为狄利克雷函数的周期。即 f(x+)=f(x)f(x+有理数)=f(x) 。如果 xx 为有理数,则有 1=11=1;如果 xx 为无理数,则有 0=00=0

    无理数可不可以作为函数的周期呢?答案是否定的。假设无理数可以作为周期,肯定有 f(x+π)=f(x)f(x+\pi)=f(x)。如果我取 x=πx=-\pi,则得到 1=01=0。然而这是不成立的,说明假设是错误的。

    最后,我们回到函数的“极度”不连续上。“极度”的意思就是函数“图像”下面没有面积,也就是它和x轴围不出面积。那么我们就要去问:函数不连续到什么程度它下面才会没有面积?

    From: 狄利克雷函数

    作用

    在这里插入图片描述

    • 定义在整个数轴上。
    • 无法画出图像。
    • 以任何正有理数为其周期(从而无最小正周期)。
    • 处处无极限、不连续、不可导。
    • 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分,单调收敛定理不成立。
    • 是偶函数。
    • 它在 [0,1][0,1] 上勒贝格可积。

    它就是一朵奇葩,打破你对函数基本性质的一切美好想象。它是一柄照妖镜,在你猜测一个关于函数的命题前,可以先用它照一下。

    From: 狄利克雷函数(Dirichlet Function)有什么用处?


    dirac 在 Matlab 中使用

    Syntax
    d = dirac(x)
    d = dirac(n,x)

    d = dirac(x) represents the Dirac delta function of x.
    d = dirac(n,x) represents the nth derivative of the Dirac delta function at x.

    dirac(t)
    这表示关于 tt 的狄利克雷函数

    dirac(1,t)
    dirac(2,t)
    因此,这两个分别表示关于 tt 的狄利克雷函数的 1 阶 2 阶导数。

    dirac(t,1)
    ans = 0

    dirac(t,2)
    ans = 0

    dirac(t,0)
    ans = (-1)^t*Inf

    From: https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/sym.dirac.html

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  • ==== ==== ===== ===== a 1x3 24 double b 1x3 3 logical c 1x3 24 double Total is 9 elements using 51 bytes 因此,如果输入是双精度的,我将以这种方式定义离散Dirac delta函数: ddirac = @(x) double(not(x));...

    我认为没关系,但请注意not的输出是一个逻辑数组:

    例:

    a = [0, 1, pi]

    b = not(a)

    c = double(b)

    whos

    输出:

    a =

    0.00000 1.00000 3.14159

    b =

    1 0 0

    c =

    1 0 0

    Variables in the current scope:

    Attr Name Size Bytes Class

    ==== ==== ==== ===== =====

    a 1x3 24 double

    b 1x3 3 logical

    c 1x3 24 double

    Total is 9 elements using 51 bytes

    因此,如果输入是双精度的,我将以这种方式定义离散Dirac delta函数:

    ddirac = @(x) double(not(x));

    要么

    function y = ddelta(x)

    y = double(not(x));

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  • 狄拉克函数Dirac delta function)

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    狄拉克函数是十分近代且重要的函数。在理论和实践中都扮演着十分重要的作用。

    1. 定义

    δ(x)={0if x=0if x0

    这样定义的目的在于使如下的积分式成立:

    δ(x)dx=1

    2. 重要性质

    • sifting property

      f(x)δ(xμ)dx=f(μ)

    3. 其他领域的应用

    • 信号处理;
    • 概率分布:

      limσ20N(xμ,σ2)=δ(xμ)
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delta函数dirac