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  • Delta函数性质

    千次阅读 2020-06-11 16:33:17
    3. 偶函数性质: 4. 缩放性质: 证明:令,则有 5. 高级缩放性质:将函数作为函数的参量,和都是连续并连续可微的 6. 多参量零点性质:函数参量有多个零点,其缩放性质为 7. 多参数零点微分性质 ...

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    1. 定义性质:\delta函数是通过其积分值来定义的

    \int_{a}^{b}\delta(x-x_{0})dx=\begin{cases} 1 & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ and\ \delta(x-x_{0})=0\ for\ x\neq x_{0}\ ,

    其中的积分为正向积分,对于任意在x_0处连续的函数f(x)

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(x-x_{0})dx=\begin{cases} f(x_{0}) & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ .

    2. 微分性质:采用分步积分可以建立恒等式

    \int_{a}^{b}f(x)\frac{d}{dx}[\delta(x-x_{0})]dx=\begin{cases} -\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}} & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ ,

    证明:

    \int_{a}^{b}f(x)\frac{d}{dx}[\delta(x-x_{0})]dx=f(x)\delta(x-x_{0})|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}[\frac{d}{dx}f(x)]\delta(x-x_{0})dx\\=-\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}}\ .

    3. 偶函数性质:

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(-[x-x_{0}])dx\equiv\int_{a}^{b}f(x)\delta(+[x-x_{0}])dx=\begin{cases} f(x_{0}) & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ .

    4. 缩放性质:

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(k[x-x_{0}])dx=\begin{cases} \frac{f(x_{0})}{|k|} & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ ,

    证明:令u=kx,则有

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(k[x-x_{0}])dx=\int_{ka}^{kb}f(\frac{u}{k})\delta(u-kx_{0})\frac{1}{k}du\\=\begin{cases} \frac{1}{|k|}f(\frac{kx_{0}}{k}) & kx_{0}\in(ka,kb)\\ 0 & kx_{0}\notin[ka,kb] \end{cases}\ ,

    5. 高级缩放性质:将函数g作为\delta函数的参量,f(x)g( x )都是连续并连续可微的

    \int_{a}^{b}f(x)\delta[g(x)-g(x_{0})]dx=\begin{cases} f(x_{0})/|\frac{dg}{dx}||_{x=x_{0}} & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ ,

    6. 多参量零点性质:\delta函数参量g( x ) -g( x_0)有多个零点,其缩放性质为

    \int_{a}^{b}f(x)\delta[g(x)-g(x_{0})]dx=\sum_{x_{j}\ni g(x_{j})=g(x_{0}),x\in(a,b)}f(x_{j})/|\frac{dg}{dx}||_{x=x_{j}}\ ,

    7. 多参数零点微分性质

    \int_{a}^{b}f(x)\frac{d}{dx}(\delta[g(x)-g(x_{0})])dx=\sum_{x_{j}\ni g(x_{j})=g(x_{0}),x\in(a,b)}(-\frac{df(x_{j})}{dx})/|\frac{dg}{dx}||_{x=x_{j}}\ ,

    参考文献:

    [1] Tank, 2009, The Dirac Delta: Properties and Representations.

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  • delta函数 详解

    2010-05-23 01:01:24
    详解介绍了狄拉克函数,即delta函数的定义,来源,性质,及其证明。 非常详细!
  • dirac delta function 狄拉克函数性质 中英文文档介绍
  • 单位冲激函数性质

    2021-04-13 16:19:46
    单位冲激函数筛选性质取样性质尺度性质证明根据冲激函数尺度性质证明cos⁡(w0t)\cos (w_0t)cos(w0​t)的傅里叶变换 筛选性质 设信号s(t)\displaystyle s\left( t \right)s(t)是一个在t=t0t = {t_0}t=t0​处连续的...

    筛选性质

    设信号s(t)\displaystyle s\left( t \right)是一个在t=t0t = {t_0}处连续的函数,则有
    s(t)δ(tt0)=s(t0)δ(tt0) s\displaystyle \left( t \right)\delta (t - {t_0}) = s\left( {{t_0}} \right)\delta (t - {t_0})

    取样性质

    设信号s(t)s\left( t \right)是一个在t=t0t = {t_0}处连续的函数,则有
    +s(t)δ(tt0)dt=s(t0)\displaystyle \int_{ - \infty }^{ + \infty } {s\left( t \right)} \delta (t - {t_0})dt = s({t_0})
    特别地,当t0=0{t_0} = 0
    +s(t)δ(t)dt=s(0) \int_{ - \infty }^{ + \infty } {s\left( t \right)} \delta (t)dt = s(0)

    尺度性质证明

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    由上图可知矩形的面积如下:
    S[rect(t)]=1S[rect(at)]=1a \begin{aligned} \displaystyle S[rect(t)] &= 1\\ S[rect(at)] &= \frac{1}{{|a|}} \end{aligned}
    τ0\tau \to {\rm{0}},有
    limτ0rect(t)=δ(t)limτ0rect(at)=1aδ(t) \begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{\tau \to {\rm{0}}} rect(t) &= \delta (t)\\ \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\tau \to {\rm{0}}} rect(at) &= \frac{1}{{|a|}}\delta (t) \end{aligned}
    证明:δ(atb)=1aδ(tba)\displaystyle \delta (at - b) = \frac{1}{{|a|}}\delta (t - \frac{b}{a})

    a>0a > 0时,令atb=xat - b = x
    +s(t)δ(atb)dt=1a+s(1ax+ba)δ(x)dx=1as(ba)\begin{aligned} \displaystyle \int_{ - \infty }^{ + \infty } {s\left( t \right)} \delta (at - b)dt &= \frac{1}{a}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {s\left( {\frac{1}{a}x + \frac{b}{a}} \right)} \delta (x)dx\\ & = \frac{1}{a}s\left( {\frac{b}{a}} \right) \displaystyle \end{aligned}
    根据取样性质
    +1as(t)δ(tba)dt=1as(ba) \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{a}s\left( t \right)} \delta (t - \frac{b}{a})dt = \frac{1}{a}s\left( {\frac{b}{a}} \right)
    a<0a < 0时,令atb=x-|a|t - b = x
    {t:+x:+ \left\{ \begin{array}{l} t: - \infty \to + \infty \\ x: + \infty \to - \infty \end{array} \right.

    +s(t)δ(atb)dt=1a+s(1axba)δ(x)dx=1a+s(1axba)δ(x)dx=1as(ba) \begin{aligned} \displaystyle {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {s\left( t \right)} \delta (at - b)dt }&={ - \frac{1}{{|a|}}\int_{ + \infty }^{ - \infty } {s\left( { - \frac{1}{{|a|}}x - \frac{b}{{|a|}}} \right)} \delta (x)dx}\\ \displaystyle &= \frac{1}{{|a|}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {s\left( { - \frac{1}{{|a|}}x - \frac{b}{{|a|}}} \right)} \delta (x)dx\\ \displaystyle &= \frac{1}{{|a|}}s\left( { - \frac{b}{{|a|}}} \right) \end{aligned}

    同样根据取样性质,且a=a|a| = - a
    +1as(t)δ(t+ba)dt=1as(ba) \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{|a|}}s\left( t \right)} \delta (t + \frac{b}{{|a|}})dt = \frac{1}{{|a|}}s\left( { - \frac{b}{{|a|}}} \right)
    得证。

    根据冲激函数尺度性质证明cos(w0t)\cos (w_0t)的傅里叶变换

    根据欧拉公式
    cos(wt)=12(ejwt+ejwt) \cos (wt) = \frac{1}{2}({e^{jwt}} + {e^{ - jwt}})
    其Fourier变换为
    G(f)=+cos(w0t)ejwtdt=12+(ejw0t+ejw0t)ejwtdt=12+(ej2π(ff0)t+ej2π(f+f0)t)dt=12[δ(ff0)+δ(f+f0)] \begin{aligned} \displaystyle G(f) &= \int_{ + \infty }^{ - \infty } {\cos ({w_0}t)} {e^{ - jwt}}dt\\ \displaystyle & = \frac{1}{2}\int_{ + \infty }^{ - \infty } {({e^{j{w_0}t}} + {e^{ - j{w_0}t}})} {e^{ - jwt}}dt\\ \displaystyle & = \frac{1}{2}\int_{ + \infty }^{ - \infty } {({e^{ - j2\pi (f - {f_0})t}} + {e^{ - j2\pi (f + {f_0})t}})} dt\\ \displaystyle & = \frac{1}{2}[\delta (f - {f_0}) + \delta (f + {f_0})] \displaystyle \end{aligned}
    根据冲激函数尺度性质
    δ(ww0)=δ[2π(ff0)]=12πδ[(ff0)] \begin{aligned} \displaystyle \delta (w - {w_0}) &= \delta [2\pi (f - {f_0})]\\ & = \frac{1}{{2\pi }}\delta [(f - {f_0})] \end{aligned}
    所以
    G(w)=π[δ(ww0)+δ(w+w0)] G(w) = \pi [\delta (w - {w_0}) + \delta (w + {w_0})]

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  • 狄拉克函数及其基本性质

    千次阅读 2020-03-15 17:36:23
    狄拉克函数其实是一种广义函数,有关广义函数的更多内容,可以参考施瓦兹大佬亲笔写的《广义函数论》,很精彩。 定义由狄拉克给出: ∫−∞∞δ(t) dt=1\int_{-\infty}^{\infty} \...δ(t)\delta(t)δ(t)的基本性质...

    狄拉克函数其实是一种广义函数,有关广义函数的更多内容,可以参考施瓦兹大佬亲笔写的《广义函数论》,很精彩。

    定义由狄拉克给出:
    δ(t)dt=1\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\, dt = 1 δ(t)=0,t0\delta(t) = 0 , t \ne 0

    δ(t)\delta(t)的基本性质

    1. 筛选性
      • x(t)δ(tt0)=x(t0)δ(tt0)x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)
      • x(t)δ(t)=x(0)δ(t)x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t)
      • x(t)δ(tt0)dt=x(t0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)\, dt = x(t_0)
      • x(t)δ(t)dt=x(0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t)\, dt = x(0)
    2. 偶函数:δ(t)=δ(t)\delta(-t) = \delta(t)
    3. 尺度变换:δ(at)=1aδ(t)\delta(at) = \frac{1}{\vert a \vert}\delta(t)
    4. 卷积特性:x(t)δ(tt0)=x(tt0)x(t) * \delta(t-t_0) = x(t-t_0)
    5. 对任意函数f(t)f(t),都有δ(f(t))=i1f(ti)δ(tti)\delta(f(t)) = \sum_i\frac{1}{\vert f^\prime(t_i) \vert}\delta(t-t_i)其中tit_if(t)f(t)的零点。
    6. 与阶跃函数u(t)u(t)的关系:tδ(τ)dτ=u(t)\int_{\infty}^t \delta(\tau)\,d\tau= u(t) ddtu(t)=δ(t)\frac{d}{dt}u(t) = \delta(t)
      注意,同一时刻出现的单位冲激、高阶冲激(二阶导以上的)间的乘积,如δ2(t)\delta^2(t)δ(t)δ(t)\delta(t)\delta^\prime(t)等,都没有意义

    δ(t)\delta^\prime(t)的基本性质

    1. δ(t)\delta^\prime(t)的面积为0:δ(t)dt=0\int_{-\infty}^{\infty} \delta^\prime(t)\, dt = 0
    2. 筛选性:
      • x(t)δ(t)=x(0)δ(t)x(0)δ(t)x(t)\delta^\prime(t) = x(0)\delta^\prime(t) - x^\prime(0)\delta(t)
      • x(t)δ(t)dt=x(0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t)\, dt = -x^\prime(0)
      • x(t)δ(tt0)dt=x(t0)\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta^\prime(t - t_0)\, dt = -x^\prime(t_0)
    3. 奇函数:δ(t)=δ(t)\delta^\prime(-t) = -\delta^\prime(t)
    4. 尺度变换:δ(at)=δ(t)aa\delta^\prime(at) = \frac{\delta^\prime(t)}{a\vert a \vert}

    δ(k)(t)\delta^{(k)}(t)的基本性质

    这一条是上面两条的推广,当阶次提高到kk,性质如下(δ(k)(t)\delta^{(k)}(t)表示δ(t)\delta(t)kk阶导数):

    1. 筛选性:δ(k)(t)x(t)dt=(1)kxk(0),k0\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(k)}(t)x(t)\, dt = (-1)^kx^k(0), k\geq0
    2. 奇偶性:δ(k)(t)=(1)kδ(k)(t)\delta^{(k)}(t) = (-1)^k\delta^{(k)}(-t),这表明,若kk为奇数,则δ(k)(t)\delta^{(k)}(t)为奇函数,否则为偶函数。
    3. δ(k)(t)dt=0,k1\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(k)}(t)\, dt = 0, k\geq1
    4. x(t)x(t)kk阶导数在t=0t=0处连续,则x(t)δ(k)(t)=m=0k(1)mCkmx(m)(0)δ(km)(t),k0x(t)\delta^{(k)}(t) = \sum_{m=0}^k(-1)^mC_k^mx^{(m)}(0)\delta^{(k-m)}(t), k\geq0
    5. x(t)δ(k)(tt0)=x(k)(tt0)x(t)*\delta^{(k)}(t-t_0) = x^{(k)}(t-t_0),当k=1k=-1时,就变成了x(t)u(t)=tx(τ)dτx(t)*u(t) = \int_{-\infty}^tx(\tau)\,d\tau
    展开全文
  • 1. 定义 δ(x)={∞0ifx=0ifx≠0 ...2. 重要性质 sifting property ∫∞−∞f(x)δ(x−μ)dx=f(μ) 3. 其他领域的应用 信号处理; 概率分布: limσ2⇒0N(x∣∣μ,σ2)=δ(x−μ) 转载于...

    1. 定义

    δ(x)={0if x=0if x0

    这样定义的目的在于使如下的积分式成立:

    δ(x)dx=1

    2. 重要性质

    • sifting property

      f(x)δ(xμ)dx=f(μ)

    3. 其他领域的应用

    • 信号处理;
    • 概率分布:

      limσ20N(xμ,σ2)=δ(xμ)

    转载于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9422350.html

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    千次阅读 多人点赞 2020-07-12 23:41:17
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空空如也

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delta函数性质