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  • 函数的导数概念

    2017-11-28 12:53:00
    函数的导数引入 如图所示,已知函数\(y=f(x)\),给定其上的两个点\(A(x_0,y_0)\)和\(B(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\), 则经过这两个点的直线\(AB\),我们称为函数的割线,表达式\(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=...

    函数的导数引入

    如图所示,已知函数\(y=f(x)\),给定其上的两个点\(A(x_0,y_0)\)\(B(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\)

    则经过这两个点的直线\(AB\),我们称为函数的割线,表达式\(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)称为函数在\((x_0,x_0+\Delta x)\)上的平均变化率,

    也就是割线的斜率\(k=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}\), 当点\(B\)沿着函数图像向点\(A\)靠近时,即\(\Delta x\longrightarrow 0\)时,

    割线就变成了切线,也就是平均变化率变成了瞬时变化率。

    用数学式子表达如下:\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\),我们称为函数在点\(x=x_0\)处的瞬时变化率,

    如果这个极限存在,记为常数\(k\),那么我们就称函数在这一点有导数,并称之为函数在点\(x=x_0\)的导数,

    记作\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}\),或者记作\(y'|_{x=x_0}\)或者\(\cfrac{df(x_0)}{dx}\)

    理解概念,廓清模糊认知:

    1、函数在某一点处的导数,是一个常数,其对应的形为函数在这一点的切线的斜率。

    \(k=f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}\)

    若切点坐标是\((x_0,y_0)\),则切线方程为\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

    2、函数在某一点有导数的前提条件是函数在这一点的极限要存在,初高中阶段所学的函数中有一个函数\(y=|x|\),在\(x=0\)处就没有导数,

    即函数\(y=|x|\)\(x=0\)处不可导,粗浅的可以这样理解,凡是函数图像上有尖角的地方就不可导,详细的原因是函数在这一点处的左右极限不相等。

    3、导数与几何、代数、物理都有关联,比如在几何上可以求在某点处的切线斜率;在代数上可以求瞬时变化率;

    在物理上可以求速度和加速度(位移对时间的导数是速度,速度对时间的导数是加速度);

    4、求导和求不定积分是一对互逆的运算。

    5、对函数而言,连续不一定可导,但可导一定连续。比如函数\(y=|x|\)

    故函数在某个区间上连续是函数可导的必要不充分条件,因此我们给函数求导时往往先要求函数要连续。

    6、过函数上某一定点的割线的极限是函数的过这一点的切线,割线的斜率的极限就是切线的斜率。

    7、我们在初中定义直线和圆(圆是非常特殊的封闭图形)相切时是利用交点的个数,

    当二者只有一个交点时,就一定相切;当二者相切时必然只有一个交点。

    但是当我们的研究范围和方法变化后,我们利用割线的极限来定义切线,就得注意打破这一点,

    • 当直线和曲线相切时,不一定只有一个交点,也可能有无数个交点,

    比如直线\(y=1\)和曲线\(y=sinx\),二者相切,有无数个交点。

    • 当直线和曲线只有一个交点时,不一定是相切的,也可能相交,

    比如直线\(x=1\)和抛物线\(y=(x-1)^2\)只有一个交点,但此时二者是相交的,不是相切的。

    8、函数的导数是个常数,记作\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)或者\(y'|_{x=x_0}\)

    而导函数是个函数,是个变量,记作\(f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)\(y'|_{x}\)

    9、用定义法可以求函数的导数和导函数,

    • 比如求函数\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)\(x=1\)处的导数;

    • 比如求函数\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的导函数;

    10、常常利用函数的导数是常数设置题目,如已知函数\(f(x)=x^2+2f'(2)x+3\),求函数的解析式

    分析:就是利用函数的导数是个常数,给函数求导得到,

    \(f'(x)=2x+2f'(2)\),令\(x=2\),解得\(f'(2)=-4\)

    故函数的解析式为\(f(x)=x^2-8x+3\)

    11、实际问题中的导数的意义:在不同的实际问题中,导数的意义是不相同的。

    比如:功率是功关于时间的导数;速度是路程关于时间的导数;

    加速度是速度关于时间的导数;线密度是质量关于长度的导数;

    边际成本是成本关于产量的导数;气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数。

    12、定义的应用举例:

    例题用导数的定义求函数\(y=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)\(x=1\)处的导数。

    分析:\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)

    \(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)

    \(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)

    \(=\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{1+\Delta x}}-1}{\Delta x}\)

    \(=\cfrac{\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\sqrt{1+\Delta x}}}{\Delta x}\)

    \(=\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}}\)

    \(=\cfrac{(1-\sqrt{1+\Delta x})\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

    \(=\cfrac{-\Delta x}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

    \(=\cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

    \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)

    \(=-\cfrac{1}{2}\)

    13、求函数的导数、导函数的方法有定义法和公式法,使用定义法可以帮助我们理解这些公式的来源和正确性。但在后续的学习中,我们一般不用定义法求函数的导数。

    典例剖析

    例1【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数\(y=f(x)\)的图像在\(x=2\)处的切线方程为\(y=3x+1\),则\(f(2)+f'(2)\)=_____________。

    分析:由题可知,\(f(2)=2\times 3+1=7\)\(f'(2)=3\),故\(f(2)+f'(2)=10\);

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7833713.html

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  • 如果我今天没搞懂这个,我估计我会抑郁到不能睡觉。 heaviside step function 就是所谓的阶跃函数: 定义 图像: dirac delta function ...为什么heaviside step 函数的导数就是 dirac delta 函数呢? 感觉上是

    如果我今天没搞懂这个,我估计我会抑郁到不能睡觉。

    heaviside step function 就是所谓的阶跃函数:

    定义

    图像:


    dirac delta function 狄利克雷函数,通常所说的冲击函数:

    定义:


    函数图像:



    提出问题:

    为什么heaviside step 函数的导数就是 dirac delta 函数呢?


    感觉上是挺“靠谱”。阶跃函数嘛,在0点左右两侧导数都是0,然后0点导数无穷大,和delta函数对应得很好。

    数学不是所谓“靠谱”就能搞定的。要证明,当然。。。我个数学渣渣,证明完全不行,而且各种大牛都已经证明过了。

    只是。。。证明过的我都差点没看懂。于是,留下这篇blog,叨叨这个“为什么”,以及这个证明过程中,

    我遇到的困惑,和怎么解决的。


    看看这段话吧,

    If D is a distribution, we want to define another distribution D, its distributional derivative. This done by declaring D by (D)(f)=D(f)

    more generally, the n-th distributional derivative D(n) of D is defined by (D(n))(f)=(1)n(f(n)). This is ok, since we assumed the test functions f 

    to be infinitely differentiable; it follows that distributions are infinitely differentiable (in another, in this sense). Notice the minus sign. This is because 

    we want distributional derivatives to extend the ordinary derivative, notice that if d is differentiable, Rd(x)f(x)dx=Rd(x)f(x)dx since the

     boundary term vanishes by the decay condition imposed on the test functions f.


    看懂了也就知道为什么了,如果没看懂,那这篇blog还可以继续看下去。。。


    我遇到的问题就是为什么

    会有如此“操蛋”的事情捏。。。。。完全不符合分布积分的公式哇。。。(v*u)' = v'*u + v*u'


    之后是各种苦恼。


    Nothing to it.


    注意这里是用了分布积分公式的!只是有一项被略去了,因为等于0!


    H(x)是阶跃函数,那个希腊字母(x)是速降函数(不知道什么叫速降函数,其实就是指数函数,系数是负数)

    这两个函数的乘积在正负无穷远处的值都是0,于是正无穷处的值减去负无穷处的值,0 - 0 = 0

    于是就有  0    



    理所当然的就有了上面的积分等式


    我们用一种简单的标记方式来表示 ---->      <a , b'>


    于是

    Rd(x)f(x)dx=Rd(x)f(x)


    b的导数就是狄利克雷函数,有木有!b是什么,阶跃函数!

    阶跃函数的导数就是狄利克雷函数,证明完毕!

    开心,睡觉


    The . L

     于 XTU  2014.03.13 凌晨

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  • 狄拉克δ函数的导数

    千次阅读 2016-03-24 21:21:00
    狄拉克δ函数的图像像个钉子,如下图所示,谈论他的导数好像比较奇怪。 δ函数 我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质: \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\...

    原文见 Physics Pages

    狄拉克δ函数的图像像个钉子,如下图所示,谈论他的导数好像比较奇怪。

    325px-Dirac_distribution_PDF.svg.png
    δ函数

    我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质:

    \begin{equation}
    \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\mathrm dx=f(0)
    \label{eq1}
    \end{equation}

    狄拉克δ函数的\(n\)阶导数为\(\delta^{(n)}(x)\),做如下分部积分

    \begin{equation}
    \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=f(x)\delta^{(n-1)}(x)\big\lvert_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
    \label{eq2}
    \end{equation}

    第一项是0,因为狄拉克δ函数在\(x\neq 0\)的地方是常数0,因此导数也为0。于是我们有

    \begin{equation}
    \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
    \label{eq3}
    \end{equation}

    上式对任意函数\(f(x)\)都成立,因此两边被积函数相等,

    \begin{equation}
    f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
    \label{eq4}
    \end{equation}

    对于一阶导数有

    \begin{equation}
    f(x)\delta'(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta(x)\mathrm dx
    \label{eq5}
    \end{equation}

    如果\(f(x)=x\),有

    \begin{equation}
    x\delta'(x)\mathrm dx=- \delta(x)\mathrm dx
    \label{eq6}
    \end{equation}

    将\eqref{eq4}迭代下去,得

    \begin{equation}
    f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=(-1)^n \delta(x)\prod_{k=1}^nf^{(k)}(x)
    \label{eq7}
    \end{equation}

    例1 令\(f(x)=4x^2-1\),有

    \begin{equation}
    \int_{-\infty}^{\infty} (4x^2-1)\delta'(x-3)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} 8x\delta(x-3)\mathrm dx=-24
    \label{eq8}
    \end{equation}

    例2 令\(f(x)=x^n\),由\eqref{eq7}式有

    \begin{equation}
    x^n\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=(-1)^n n!\delta(x)
    \label{eq9}
    \end{equation}

    转载于:https://www.cnblogs.com/joyfulphysics/p/5317232.html

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  • 常见函数的导数推导

    千次阅读 2019-07-07 16:59:11
    因为我特别地垃圾,所以很多函数的求导过程都会忘记,所以特有这篇文章来记录一下。 导函数的定义 f′(x)=lim⁡Δx→0f′(x+Δx)−f′(x)Δx f&#x27;(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f&#x27;(x+\Delta x)-f&...

    因为我特别地垃圾,所以很多函数的求导过程都会忘记,所以特有这篇文章来记录一下。


    导函数的定义

    f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx f&#x27;(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f&#x27;(x+\Delta x)-f&#x27;(x)}{\Delta x}

    基本导函数公式

    (C)=0 (C)&#x27;=0

    [f(x)±g(x)]=f(x)±g(x) \left[f(x)\pm g(x)\right]&#x27;=f&#x27;(x)\pm g&#x27;(x)

    [f(x)g(x)]=limΔx0f(x+Δx)g(x+Δx)f(x)g(x)Δx=limΔx0f(x+Δx)g(x+Δx)f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)f(x)g(x)Δx=limΔx0g(x+Δx)(f(x+Δx)f(x))+f(x)(g(x+Δx)g(x))Δx=limΔx0g(x+Δx)f(x)+f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) \begin{aligned} \left[f(x)\cdot g(x)\right]&#x27;&amp;=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}\\ &amp;=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}\\ &amp;=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x+\Delta x)\cdot(f(x+\Delta x)-f(x))+f(x)\cdot (g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}\\ &amp;=\lim_{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)\cdot f&#x27;(x)+f(x)\cdot g&#x27;(x)\\ &amp;=f(x)\cdot g&#x27;(x)+f&#x27;(x)\cdot g(x) \end{aligned}

    [f[g(x)]]=limΔx0Δf[g(x)]Δx=limΔx0Δf[g(x)]Δg(x)Δg(x)Δx=f[g(x)]g(x) \begin{aligned} \left[f\left[g(x)\right]\right]&#x27;&amp;=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f\left[g(x)\right]}{\Delta x}\\ &amp;=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f\left[g(x)\right]}{\Delta g(x)}\cdot \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}\\ &amp;=f&#x27;\left[g(x)\right]\cdot g&#x27;(x) \end{aligned}

    幂函数

    u(x)=f(x)g(x)ln[u(x)]=ln[f(x)]g(x) u(x)=f(x)^{g(x)}\\ \ln\left[u(x)\right]=\ln\left[f(x)\right]\cdot g(x)

    两边同时求导,得
    u(x)u(x)=f(x)g(x)f(x)+ln[f(x)]g(x)u(x)=[f(x)g(x)f(x)+ln[f(x)]g(x)]u(x) \begin{aligned} \frac{u&#x27;(x)}{u(x)}&amp;=\frac{f&#x27;(x)\cdot g(x)}{f(x)}+\ln[f(x)]\cdot g&#x27;(x)\\ u&#x27;(x)&amp;=\left[\frac{f&#x27;(x)\cdot g(x)}{f(x)}+\ln[f(x)]\cdot g&#x27;(x)\right]\cdot u(x) \end{aligned}

    [f(x)g(x)]=[f(x)g(x)f(x)+ln[f(x)]g(x)][f(x)g(x)] \left[f(x)^{g(x)}\right]&#x27;=\left[\frac{f&#x27;(x)\cdot g(x)}{f(x)}+\ln[f(x)]\cdot g&#x27;(x)\right]\cdot\left[f(x)^{g(x)}\right]
    由这个基本公式我们可以得到几个常用的特殊幂函数的导数:
    (xa)=(1ax+lnx0)(xa)=ax1xa=axa1(ax)=(0xa+lna1)(ax)=lnaax \begin{aligned} (x^a)&#x27;&amp;=(\frac{1\cdot a}{x}+\ln x\cdot0)\cdot(x^a)\\ &amp;=a\cdot x^{-1}\cdot x^a\\ &amp;=a\cdot x^{a-1}\\ \\ (a^x)&#x27;&amp;=(\frac{0\cdot x}{a}+\ln a\cdot 1)\cdot(a^x)\\ &amp;=\ln a\cdot a^x \end{aligned}

    对数函数

    [loga(x)]=limΔx0loga(x+Δx)loga(x)Δx=limΔx0loga[(x+Δxx)1Δx]=limΔx0loga[(1+Δxx)1Δx] \begin{aligned} \left[\log_a(x)\right]&#x27;&amp;=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x}\\ &amp;=\lim_{\Delta x\to0}\log_a\left[(\frac{x+\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}\right]\\ &amp;=\lim_{\Delta x\to0}\log_a\left[(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}\right] \end{aligned}

    xΔx=h\frac{x}{\Delta x}=h ,我们有
    [loga(x)]=limhloga[(1+1h)hx]=limhloga[(1+1h)h]1x \begin{aligned} \left[log_a(x)\right]&#x27;&amp;=\lim_{h\to\infty}\log_a\left[(1+\frac{1}{h})^{\frac{h}{x}}\right]\\ &amp;=\lim_{h\to\infty}\log_a\left[(1+\frac{1}{h})^h\right]\cdot \frac{1}{x} \end{aligned}
    根据自然常数 ee 的定义,我们得到
    [loga(x)]=logaex=(lnelna)x=1lnax \begin{aligned} \left[log_a(x)\right]&#x27;&amp;=\frac{\log_ae}{x}\\ &amp;=\frac{(\frac{\ln e}{\ln a})}{x}\\ &amp;=\frac{1}{\ln a\cdot x} \end{aligned}


    先记到这里,想起来再更新吧…

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    简单来说,一个函数的导数就是这个函数图像某时刻的斜率。 求导公式 求导公式很简单,令原函数为f(n)f(n)f(n),那么 导数就是: [f(n)]′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx[f(n)]′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx[f(n)...
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  • 从二阶导数到平面波

    2020-10-24 10:27:26
    函数f(x)f(x)f(x)在点x−Δxx - \Delta xx−Δx的导数为 ∂f(x−Δx)∂x=f(x)−f(x−Δx)Δx(1)\frac{\partial f(x - \Delta x)}{\partial x} = \frac{f(x) - f(x - \Delta x)}{\Delta x} \tag{1}∂x∂f(x−Δx)​=...
  • 扰动模型的导数在表示时在分母上用;%5Cpartial%5Cxi"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cpartial%5Cxi" title="\partial\xi" /></a>而不是;%5Cpartial%5Cdelta%5Cxi">...
  • 一元函数的情况下,导数就是函数的变化率: f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x ...
  • 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近[1]。 定义:设有定义域和取值都在实数域中的函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)。若 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x...
  • 第2章 导数与微分

    2017-08-30 10:12:36
    定义\color{blue}{定义}: 设函数 y=f(x)\mathcal{y=f(x)} 在点 (x0)\mathcal(x_0) 某个邻域内有定义,当自变量 x\mathcal{x} 在 x0\mathcal{x_0} 处取得增量 Δx\mathcal{\Delta x} (点 x0+Δx\mathcal{x_0+\...
  • 导数(Derivative)几何意义可能很多人都比较熟悉:当函数定义域和取值都在实数域中时候,导数可以表示函数曲线上切线斜率。除了切线斜率,导数还可以表示该点变化率。可以表示为 ​ f′(x0)=lim⁡Δx→0Δ...
  • 那么函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x=x0x=x_0x=x0​处的导数记作f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)或y′∣x=x0y'|_{x=x_0}y′∣x=x0​​,且满足: f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+x)−f(x0)Δxf'(x_0)=\lim\limits_{\...

空空如也

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delta函数的导数