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  • PDE——delta函数

    千次阅读 2019-04-08 19:50:35
    文章目录$\delta$函数 δ\deltaδ函数 ...它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义∫−∞∞f(x)δ(x)dx=f(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0)∫−∞∞​f(x)δ(x...

    δ\delta函数

    δ\delta函数,并不是通常意义下的函数:它并没有给出函数与自变量之间的对应关系。
    它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的
    它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义f(x)δ(x)dx=f(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0)


    δ\delta函数也可以理解为(任意阶可微)函数序列的极限。
    凡是具有liml0f(x)δl(x)dx=f(0)\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{l}(x) \mathrm{d} x=f(0)性质的函数序列δl(x)\delta_l(x),或是具有limnf(x)δn(x)dx=f(0)\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)性质的函数序列δn(x)\delta_n(x),他们的极限都是δ\delta函数。
    比如:δ(x)=limnnπen2x2\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}
    δ(x)=limnnπ11+n2x2\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}
    δ(x)=sinnxπx\delta(x)=\frac{\sin n x}{\pi x}
    delta函数逼近序列举例------
    δ\delta函数的基本运算规则

    1. δ\delta函数和常数c的乘积
      f(x)cδ(x)dx=cf(x)δ(x)dx=cf(0)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) c \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} c f(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=c f(0) \end{aligned}
    2. 平移变换,xxax \rightarrow x-a
      f(x)δ(xa)dx=f(t+a)δ(t)dt=f(a)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+a) \delta(t) \mathrm{d} t=f(a)
    3. 放大或缩小,xαxx \rightarrow \alpha x
      f(x)δ(αx)dx=f(t/α)δ(t)dtα=1αf(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\alpha x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t / \alpha) \delta(t) \frac{\mathrm{d} t}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|} f(0)
      这意味着δ(αx)=1αδ(x)\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|} \delta(x)
      特别是α=1\alpha=-1时,δ(x)=δ(x)\delta(-x)=\delta(x)
    4. delta函数的导数:对于在x=0点连续并有连续导数的任意函数f(x),有
      f(x)δ(x)dx=f(x)δ(x)f(x)δ(x)dx=f(0)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=f(x) \delta\left.(x)\right|_{-\infty} ^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}
      这里就把delta函数当作普通的连续函数一样进行分部积分。
    5. delta函数的高阶导数:对于在x=0点连续并有n阶连续导数的任意函数f(x),有
      f(x)δ(n)(x)dx=()nf(n)(0)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{(n)}(x) \mathrm{d} x=(-)^{n} f^{(n)}(0)
    6. delta函数与普通函数的乘积,g(x)δ(x)g(x) \delta(x)
      f(x)g(x)δ(x)dx=f(x)g(x)δ(x)dx=f(0)g(0)\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=f(0) g(0) \end{aligned}
      f(x)δ(x)=f(0)δ(x)f(x) \delta(x)=f(0) \delta(x)
      例如 xδ(x)=0x \delta(x)=0

    Remarks
    有关δ\delta函数的等式,均应从积分意义下去理解
    对于δ\delta函数的运算,总是设法转移到“普通函数f(x)”上去
    例如,对于xδ(x)=0x \delta(x)=0就应该理解为
    f(x)xδ(x)dx=0\int_{-\infty}^{\infty} f(x) x \delta(x) \mathrm{d} x=0


    Exercise(答案见课本P394)
    1 计算积分sinxxdx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x
    2 计算积分sin2xx2+x+1dx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x^{2}+x+1} d x


    δ\delta函数按完备函数组展开

    Fourier展开
    设有周期函数f(x)f(x),f(x)=f(x+2π)f(x)=f(x+2 \pi),且满足Dirichlet条件,则可以展开为f(x)=n=cneinxf(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x}
    其展开系数为cn=12πππf(x)einxdxc_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n x} \mathrm{d} x
    若将cn代回原级数,且交换积分与求和次序
    f(x)=ππf(ξ)[12πn=ein(xξ)]dξf(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(\xi)\left[\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)}\right] \mathrm{d} \xi
    这表明
    δ(ξx)=12πn=ein(xξ)π<x<π\delta(\xi-x)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)} \quad-\pi<x<\pi


    常微分方程的Green函数

    常微分方程的Green函数:初值问题
    常微分方程的Green函数:边值问题

    EX19.4 求解常微分方程初值问题
    d2gdx2=δ(xt)x,t>0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}=\delta(x-t) \quad x, t>0
    gx=0=0dgdxx=0=0\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0

    解答:直接积分dgdx=η(xt)+α(t)\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=\eta(x-t)+\alpha(t)
    再积分g(x;t)=(xt)η(xt)+α(t)x+β(t)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)
    gx=0=0β(t)=0dgdxx=0=0α(t)=0\begin{array}{lll}{\left.g\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \beta(t)=0} \\ {\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \alpha(t)=0}\end{array}
    g(x;t)=(xt)η(xt)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)
    解g(x,t)及其导数解析:题目的物理意义,d2gdx2\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}代表加速度,在质点所加的力,这个力旨在x=t这样的时刻给了一个脉冲性的力,总量:积分后等于1.初始位置是0,加了力以后才开始运动。


    有了EX19.4现在就可以求解下面的问题了
    d2ydx2=f(x)x>0y(0)=0y(0)=0\begin{array}{ll}{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}=f(x)} & {x>0} \\ {y(0)=0} & {y^{\prime}(0)=0}\end{array}

    解答:因为f(x)=0f(t)δ(xt)dtf(x)=\int_{0}^{\infty} f(t) \delta(x-t) \mathrm{d} t,所以根据现行常微分方程解的叠加性,有(形式)解
    y(x)=0g(x;t)f(t)dt=0x(xt)f(t)dty(x)=\int_{0}^{\infty} g(x ; t) f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t

    常微分方程的初值问题

    EX19.5 常微分方程的初值问题
    d2gdx2+k2g(x;t)=δ(xt)x,t>0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} g(x ; t)=\delta(x-t) \quad x, t>0
    gx=0=0dgdxx=0=0\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0

    • 能否直接写出非齐次常微分方程的通解?
    • xtx \neq t时,方程的非齐次项为0
    • 求出区间(0,t)(0,t)内既满足齐次方程、又满足齐次初始条件的解…一定为零解
    • 写出区间(t,)(t,\infty)内齐次微分方程的解
    • x=tx=t点处的连续性的要求定出Green函数
      区间(0,t)(0,t)
      d2gdx2+k2g=0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} g=0
      gx=0=0\left.g\right|_{x=0}=0
      dgdxx=0=0\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0
      x=tx=t
      g(x;t)t0t+0=0g\left.(x ; t)\right|_{t-0} ^{t+0}=0
      dgdxt0t+0=1\left.\frac{d g}{d x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1
      区间(t,)(t,\infty)
      d2gdx2+k2g=0\frac{d^{2} g}{d x^{2}}+k^{2} g=0
      解:g(x;t)=[C(t)sinkx+D(t)coskx]η(xt)g(x ; t)=[C(t) \sin k x+D(t) \cos k x] \eta(x-t)
      g(x;t)g(x ; t)连续 dg(x;t)dxt0t+0=1\left.\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1
      C(t)=1kcosktD(t)=1ksinktC(t)=\frac{1}{k} \cos k t \qquad D(t)=-\frac{1}{k} \sin k t
      g(x;t)=1ksink(xt)η(xt)g(x ; t)=\frac{1}{k} \sin k(x-t) \eta(x-t)
      非齐次思考:现在能否写出如下非齐次方程的通解
      d2gdx2+k2g(x;t)=δ(xt)x,t>0\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} g(x ; t)=\delta(x-t) \quad x, t>0

    也能将上例的解用于求解非齐次方程初值问题
    d2ydx2+k2y(x)=f(x)x>0\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}+k^{2} y(x)=f(x) \quad x>0
    y(0)=0y(0)=0y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0

    ** y(x)=1k0xf(t)sink(xt)dty(x)=\frac{1}{k} \int_{0}^{x} f(t) \sin k(x-t) \mathrm{d} t

    Remarks
    对于一般的常微分方程初值问题的Green函数
    ddx[p(x)dg(x;t)dx]+q(x)g(x;t)=δ(xt)x,t>0\frac{d}{d x}\left[p(x) \frac{d g(x ; t)}{d x}\right]+q(x) g(x ; t)=\delta(x-t) \quad x, t>0
    g(0;t)=0dg(x;t)dxx=0=0g(0 ; t)=0 \quad\left.\frac{d g(x ; t)}{d x}\right|_{x=0}=0
    且相应的齐次微分方程无奇点

    • g(x;t)g(x ; t)x<tx<t时一定为0
    • g(x;t)g(x ; t)x=tx=t时一定连续
    • dg(x;t)dxt0t+0=1p(t)\left.\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}\right|_{t-0} ^{t+0}=\frac{1}{p(t)}

    常微分方程的边值问题

    EX19.6 求解常微分方程的边值问题
    d2gdx2=δ(xt)a<x,t<b\frac{d^{2} g}{d x^{2}}=\delta(x-t) \quad a<x, t<b
    g(a;t)=0g(b;t)=0g(a ; t)=0 \quad g(b ; t)=0
    微分方程和EX19.4相同,故有相同的通解
    g(x;t)=(xt)η(xt)+α(t)x+β(t)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)
    aα(t)+β(t)=0bt+bα(t)+β(t)=0a \alpha(t)+\beta(t)=0 \quad b-t+b \alpha(t)+\beta(t)=0
    α(t)=btbaβ(t)=a(bt)ba\alpha(t)=-\frac{b-t}{b-a} \quad \beta(t)=\frac{a(b-t)}{b-a}
    g(x;t)=(xt)η(xt)btba(xa)g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)-\frac{b-t}{b-a}(x-a)
    在这里插入图片描述问题:
    本例中的Green函数g(x;t)g(x ; t)是否仍然满足
    g(x;t)g(x ; t)x=tx=t点连续
    dg(x;t)dx\frac{\mathrm{d} g(x ; t)}{\mathrm{d} x}x=tx=t点不连续dg(x;t)dxt0t+0=1\left.\frac{d g(x ; t)}{d x}\right|_{t-0} ^{t+0}=1

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  • Delta函数的性质

    千次阅读 2020-06-11 16:33:17
    1. 定义性质:函数是通过其积分值来定义的 其中的积分为正向积分,对于任意在处连续的函数 2. 微分性质:采用分步积分可以建立恒等式 证明: 3. 偶函数性质: 4. 缩放性质: 证明:令,则有 5....

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    1. 定义性质:\delta函数是通过其积分值来定义的

    \int_{a}^{b}\delta(x-x_{0})dx=\begin{cases} 1 & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ and\ \delta(x-x_{0})=0\ for\ x\neq x_{0}\ ,

    其中的积分为正向积分,对于任意在x_0处连续的函数f(x)

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(x-x_{0})dx=\begin{cases} f(x_{0}) & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ .

    2. 微分性质:采用分步积分可以建立恒等式

    \int_{a}^{b}f(x)\frac{d}{dx}[\delta(x-x_{0})]dx=\begin{cases} -\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}} & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ ,

    证明:

    \int_{a}^{b}f(x)\frac{d}{dx}[\delta(x-x_{0})]dx=f(x)\delta(x-x_{0})|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}[\frac{d}{dx}f(x)]\delta(x-x_{0})dx\\=-\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}}\ .

    3. 偶函数性质:

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(-[x-x_{0}])dx\equiv\int_{a}^{b}f(x)\delta(+[x-x_{0}])dx=\begin{cases} f(x_{0}) & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ .

    4. 缩放性质:

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(k[x-x_{0}])dx=\begin{cases} \frac{f(x_{0})}{|k|} & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ ,

    证明:令u=kx,则有

    \int_{a}^{b}f(x)\delta(k[x-x_{0}])dx=\int_{ka}^{kb}f(\frac{u}{k})\delta(u-kx_{0})\frac{1}{k}du\\=\begin{cases} \frac{1}{|k|}f(\frac{kx_{0}}{k}) & kx_{0}\in(ka,kb)\\ 0 & kx_{0}\notin[ka,kb] \end{cases}\ ,

    5. 高级缩放性质:将函数g作为\delta函数的参量,f(x)g( x )都是连续并连续可微的

    \int_{a}^{b}f(x)\delta[g(x)-g(x_{0})]dx=\begin{cases} f(x_{0})/|\frac{dg}{dx}||_{x=x_{0}} & x_{0}\in(a,b)\\ 0 & x_{0}\notin[a,b] \end{cases}\ ,

    6. 多参量零点性质:\delta函数参量g( x ) -g( x_0)有多个零点,其缩放性质为

    \int_{a}^{b}f(x)\delta[g(x)-g(x_{0})]dx=\sum_{x_{j}\ni g(x_{j})=g(x_{0}),x\in(a,b)}f(x_{j})/|\frac{dg}{dx}||_{x=x_{j}}\ ,

    7. 多参数零点微分性质

    \int_{a}^{b}f(x)\frac{d}{dx}(\delta[g(x)-g(x_{0})])dx=\sum_{x_{j}\ni g(x_{j})=g(x_{0}),x\in(a,b)}(-\frac{df(x_{j})}{dx})/|\frac{dg}{dx}||_{x=x_{j}}\ ,

    参考文献:

    [1] Tank, 2009, The Dirac Delta: Properties and Representations.

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  • 多元函数积分

    2020-05-31 15:07:31
    多元数量值函数积分 多元数量值函数的积分: 设(Ω)(\Omega)(Ω)表示一个有界的几何形体, 它是可度量的(即可求长或可求面积或可求体积), 函数fff是定义在(Ω)(\Omega)(Ω)上的有界数量值函数.将Ω\OmegaΩ任意地划分...

    多元数量值函数积分

    • 多元数量值函数的积分: 设(Ω)(\Omega)表示一个有界的几何形体, 它是可度量的(即可求长或可求面积或可求体积), 函数ff是定义在(Ω)(\Omega)上的有界数量值函数.将Ω\Omega任意地划分为n个小部分(ΔΩk),k=1,2,3...,n(\Delta \Omega_k),k=1,2,3...,nΔΩk\Delta \Omega_k表示(ΔΩk)(\Delta \Omega_k)的度量.任取点Mk(ΔΩk)M_k\in(\Delta \Omega_k),作乘积f(Mk)ΔΩk, k=1,2,3,...,nf(M_k)\Delta \Omega_k,\ k=1,2,3,...,n
      作和式k=1nf(Mk)ΔΩk\sum_{k=1}^{n}f(M_k)\Delta \Omega _k
      若不论(Ω)(\Omega)如何划分, 点MkM_k(ΔΩk)(\Delta\Omega_k)中如何选取, 当所有(ΔΩk)(\Delta\Omega_k)的直径的最大值d0d\to0时, 上述和式都趋于同一常数, 那么称函数ff(Ω)(\Omega)可积, 且称此常数为多元数量值函数ff(Ω)(\Omega)上的积分, 记作(Ω)f(M)dΩ=limd0k=1nf(Mk)ΔΩk\int_{(\Omega)}f(M)d\Omega=\lim_{d\to 0}\sum_{k=1}^n f(M_k)\Delta \Omega_k
      其中(Ω)(\Omega)称为积分域, ff称为被积函数, f(M)dΩf(M)d\Omega称为被积式积分微元.
    • 如果Ω\OmegaxOyxOy平面上的区域(σ)(\sigma), 那么ff就是定义在(σ)(\sigma)上的二元函数, ΔΩk\Delta \Omega_k就是子区域的面积Δσk\Delta\sigma_k, 从而积分式可以写成(Ω)f(M)dΩ=limd0k=1nf(μk,ηk)Δσk\int _{(\Omega)}f(M)d\Omega=\lim_{d\to 0}\sum_{k=1}^n f(\mu_k,\eta_k)\Delta \sigma_k称为ff在区域(σ)(\sigma)上的二重积分, 其中(ξk,ηk)(\xi_k,\eta_k)就是点MkM_k的直角坐标. 为了明确显示二重积分有两个独立的积分变量, 我们常用两个积分符号把二重积分表示为(σ)f(x,y)dσ=limd0k=1nf(μk,ηk)Δσk\iint_{(\sigma)}f(x,y)d\sigma=\lim_{d\to 0}\sum_{k=1}^n f(\mu_k,\eta_k)\Delta \sigma_k
      其中(σ)(\sigma)是二重积分的积分域, dσd\sigma称为面积微元
    • 如果(Ω)(\Omega)为一条平面(或空间)的曲线弧段(C)(C), 那么ff就是定义在弧段(C)(C)上的二元(或三元)函数, ΔΩk\Delta \Omega_k就是子弧段的弧长Δsk\Delta s_k, 于是积分式可具体写成(C)f(x,y)ds=limk=1nf(ξk,ηk)Δsk\int_{(C)}f(x,y)ds=\lim_{k=1}^nf(\xi_k,\eta_k)\Delta s_k
      称为ff在曲线段(C)(C)上对弧长的曲线积分, 也称第一型线积分
    • 如果(Ω)(\Omega)为三维空间的区域(V), 那么f就是定义在(V)上的三元函数, ΔΩk\Delta \Omega_k就是子区域的体积ΔVk\Delta V_k. 通常使用三个积分符号来表示(V)f(x,y,z)dV=limd0k=1nf(ξk,ηk,ζk)ΔVk\iiint_{(V)}f(x,y,z)dV=\lim_{d\to 0}\sum_{k=1}^n f(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta V_k
      称为ff在区域(V)(V)上的三重积分, 其中(ξk,ηk,ζk)(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)为点MkM_k的直角坐标, (V)(V)使三重积分的积分域, dVdV称为体积微元.

    积分存在的条件和性质

    • 不论(Ω)(\Omega)如何划分, 点MkM_k(ΔΩk)(\Delta\Omega_k)中如何选取, 当所有(ΔΩk)(\Delta\Omega_k)的直径的最大值d0d\to0时, 上述和式都趋于同一常数, 那么称函数ff(Ω)(\Omega)可积. 可以证明, 若(Ω)(\Omega)是有界笔记且可度量, fC((Ω))f\in C((\Omega)), 则ff(Ω)(\Omega)上一定可积.
    • 线性性质
    • 对积分域的可加性
    • 积分不等式
    • 中值定理: 设fC((Ω)),(Ω)f\in C((\Omega)),(\Omega)为一有界连通闭集, 则在(Ω)(\Omega)上至少存在一点P, 使(Ω)f(M)dΩ=f(P)Ω\int_{(\Omega)}f(M)d\Omega=f(P)\Omega

    直角坐标系二重积分的计算法

    • x型区域: 设(σ)={(x,y)  axb,y1(x)xy2(x)}(\sigma)=\{(x,y)\ |\ a\leq x\leq b,y_1(x)\leq x\leq y_2(x)\},

    三重积分的计算

    • 球面坐标: 直角坐标到球面坐标的变换公式为x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφr0,0φπ,0θ2πx=r\sin \varphi \cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin \theta\\z=r\cos \varphi\\ r\geq0,0\leq\varphi\leq\pi,0\leq\theta\leq2\pi
      体积微元是(x,y,z)(r,φ,θ)=r2sinφdrdφdθ\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta
    • 例题:
      1. 求曲面(x2+y2+z2)2=a3z(a>0)(x^2+y^2+z^2)^2=a^3z(a>0)所围立体体积.
      2. I=Ω1x2a2y2b2z2c2dV,Ω:x2a2+y2b2+z2c21I=\iiint_\Omega\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}}dV, \Omega: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq1
        分析: 可利用球面坐标, 设x=arsinφcosθ,y=brsinφsinθ,z=crcosφx=ar\sin\varphi \cos\theta,y=br\sin\varphi\sin\theta, z=cr\cos\varphi
      3. x=yz2,12y=x,y=1x=\sqrt{y-z^2}, \frac{1}{2}\sqrt y=x, y=1所围成的立体体积.
        分析: 要点在于如何切割和计算范围. 本题可以在x=1/2x=1/2处切割, 恰好分为两个可计算的区域. 另外, 求变量范围时, 注意某坐标为应为定值时, 直接带入计算范围即可.在这里插入图片描述
      4. x2a2+y2b2+z2c2=1,x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1所围成的立体体积.
        分析: 利用柱面坐标, 只计算上半部分即可
      5. 计算(V)x2+y2+z21dV,(V)\iiint_{(V)}|\sqrt{x^2+y^2+z^2}-1|dV, (V)z=x2+y2,z=1z=\sqrt{x^2+y^2},z=1围成.
        分析: 讨论范围, 分为球内和球外, 分别计算范围即可
      6. 计算(V)(x+y+z)2dV,(V)\iiint_{(V)}(x+y+z)^2dV, (V)为椭球体x2a2+y2b2+z2c21\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq1.
        分析: 首先应去除积分为0的项, 在计算剩余项的积分, 用到椭圆面积公式.

    含参变量的积分与反常重积分

    • 含参变量积分定义: 记D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]\times[c,d]. 如果fC(D),f\in C(D),那么对任一固定y[c,d]y\in[c,d],积分F(y)=abf(x,y)dxF(y)=\int_a^b f(x,y)dx存在, 且将随y的变化而变化, 我们称上积分为含参变量y的积分, 它是参变量y的函数.
    • 连续性: 若fC(D)f\in C(D), 则F(y)=abf(x,y)dxF(y)=\int_a^b f(x,y)dx在区间[c,d][c,d]连续.
    • 可导性: 若fC(D),fyC(D)f\in C(D),f_y\in C(D), 则F(y)=abf(x,y)dxF(y)=\int_a^b f(x,y)dx[c,d][c,d]上有连续的导数, 且求导和积分可交换顺序. 即F(y)=ddyabf(x,y)dx=abf(x,y)ydxF'(y)=\frac{d}{dy}\int_a^b f(x,y)dx=\int_a^b \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dx
    • 积分顺序交换性: 若fC(D),f\in C(D),F(y)=abf(x,y)dx[c,d]G(x)=cdf(x,y)dy[a,b].F(y)=\int_a^bf(x,y)dx在[c,d]可积\\[2ex] G(x)=\int_c^df(x,y)dy在[a,b]可积.
      cb(abf(x,y)dx)dy=ab(cdf(x,y)dy)dx\int_c^b(\int_a^bf(x,y)dx)dy=\int_a^b(\int_c^df(x,y)dy)dx
    • f(x,y)C(D).xi(y)C[c,d],i=1,2f(x,y)\in C(D). x_i(y)\in C[c,d],i=1,2,且其值域均为[a,b][a,b].则F(y)=x1(y)x2(y)f(x,y)dxF(y)=\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx必在[c,d][c,d]上连续
    • f(x,y),fy(x,y)f(x,y),f_y(x,y)均在DD上连续, x1(y),x2(y)x_1(y),x_2(y)的值域均为[a,b][a,b], 且他们都在[c,d][c,d]上可导, 则F(y)=x1(y)x2(y)f(x,y)dxF(y)=\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx也在[c,d][c,d]上可导. 且有F(y)=x1(y)x2(y)fy(x,y)dx+f[x2(y),y]x2(y)f[x1(y),y]x1(y).F'(y)=\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f_y(x,y)dx+f[x_2(y),y]x'_2(y)-f[x_1(y),y]x'_1(y).
    • 例题:
      1. 计算积分01xbxalnxdx,(a,b)>0\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}dx,(a,b)>0
        分析: 直接求积分不好求, 考虑化成二重积分. xyx^y对y的导数为xy/lnxx^y/\ln x, 原式可化为01dxabxydy\int_0^1dx\int_a^bx^ydy,再交换积分顺序计算即可.
      2. 计算积分I=01ln(1+x)1+x2dxI=\int_0^1\frac{\ln{(1+x)}}{1+x^2}dx.

    第一型线积分与面积分

    • 第一型线积分: 曲线积分的值与积分路径( C )的方向无关, 我们把这种曲线积分称为对弧长的线积分, 也称第一型线积分.
    • 计算公式: 设有一有界简单光滑曲线©, 其参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t).(αtβ)x=x(t),y=y(t),z=z(t).(\alpha\leq t\leq \beta)
      若函数f(x,y,z)f(x,y,z)在C上连续, 则(C)f(x,y,z)ds=αβf[x(t),y(t),z(t)]x˙2(t)+y˙2(t)+z˙2(t)dt\int_{ (C) }f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{\dot x^2(t)+\dot y^2(t)+\dot z^2(t)}dt

    第二型线积分与面积分

    第二型线积分:

    • 定义: 设L为xoy平面内从A到B的一条又向光滑弧, 在L上定义了一个向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)),若对L的任意分割和在局部弧段上取任意点, 极限limλ0k=1n[P(ξk,ηk)Δx+Q(ξk,ηk)Δy]=LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\lim_{\lambda\to 0}\sum_{k=1}^n [P(\xi_k,\eta_k)\Delta x+Q(\xi_k,\eta_k)\Delta y]=\int_L P(x,y)dx +Q(x,y)dy都存在, 则称此极限为函数F(x,y)\vec F(x,y)在又向曲线弧L上对坐标的曲线积分, 或称第二类曲线积分. 其中P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)称为被积函数, L称为积分弧段或积分曲线.

    第二型面积分

    • 定义: 设在向量场A(M)\pmb A(M)中有一可求面积的有向曲面, 指定它的一侧. 把曲面任意划分成n小片(ΔS1),(ΔS2)...(ΔSn)(\Delta S_1),(\Delta S_2)...(\Delta S_n),任取一点A(Mk)en(Mk)ΔSk (k=1,2,...n)\pmb A(M_k)\cdot \pmb e_n(M_k)\Delta S_k \ (k=1,2,...n)
      其中en\pmb e_n为曲面在点MkM_k处指向给定测的单位法向量.ΔSk\Delta S_k表示微元面积.
      作和式k=1nA(Mk)en(Mk)ΔSk\sum_{k=1}^n\pmb A(M_k)\cdot\pmb e_n (M_k)\Delta S_k
      如果不论曲面SS如何划分, 点MkM_k怎样选取, 当个小曲面直径最大值趋于零时上述和式都趋于同一常数, 则称此极限值为向量场A(M)\pmb A(M)沿有向曲面(S)的第二型曲面积分, 简称第二型面积分, 记作(S)A(M)dS=limd0k=1nA(Mk)en(Mk)ΔSk\iint_{(S)}\pmb A(M)\cdot \pmb{dS}=\lim_{d\to 0}\sum_{k=1}^n\pmb A(M_k)\cdot\pmb e_n (M_k)\Delta S_k
      其中dS=endS\pmb{dS}=\pmb e_ndS称为曲面面积微元向量.

    Green公式

    • 单连通域: 若区域σ\sigma内任意一条闭曲线的内部全部属于σ\sigma, 或者说σ\sigma内任意一闭曲线均可在σ\sigma内连续变形缩小成σ\sigma内的一点, 则称σ\sigma是一单连通域, 否则称为复连通域.
    • 格林公式: 设平面内有界比区域σ\sigma由一条分段光滑的简单闭曲线所围成, σ\sigma的边界即为CC, 函数P,QC(1)((σ))P,Q\in C^{(1)}((\sigma)),则下述公式成立
      (σ)(QxPy)dσ=(+C)P(x,y)dx+Q(x,y)dy\iint_{(\sigma)}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma=\oint_{(+C)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy
    • 例题
      1. 计算L(x2+3y)dx+(y2x)dy\int_L(x^2+3y)dx+(y^2-x)dy, 其中L是上半圆周y=4xx2y=\sqrt{4x-x^2}(0,0)(0,0)(4,0)(4,0).
        分析: 为使用格林公式, 可将半圆补全在减去.
      2. 计算Lxdyydxx2+y2\int_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}, 其中L是无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.
        分析: 需讨论图形是否包含远点的情况. 当不包含原点时, 直接为0, 包含原点时, 应围绕远点作圆域, 令该圆域半径趋于0, 计算此时的第二型线积分, 直接用L正向积分减去半径趋于0的圆域积分得到闭区域的积计算得零, 再计算圆域积分.

    平面曲线积分与路径无关的等价条件:

    • 定理: 设D为单连通区域, 函数P(x,y),Q(x,y)再D内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
    1. 沿D中任意光滑闭曲线, 有LPdx+Qdy=0\oint_L Pdx+Qdy=0
    2. 对D中任一分段光滑曲线L1L_1曲线积分LPdx+Qdy\int_LPdx+Qdy与路径无关, 只与起止点有关.
    3. Pdx+QdyPdx+Qdy在D内有某一函数u(x,y)u(x,y)的全微分, 即du(x,y)=Pdx+Qdydu(x,y)=Pdx+Qdy
    4. 在D内每一点都有Py=Qx\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
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  • 二重积分  二重积分(f(x,y)f(x,y)f(x,y) 在 σ\sigmaσ 上的黎曼积分) ∬σf(x,y)dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\...{i=1}^{n}{f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i}}∬σ​f(x,y)dσ=λ→0lim​i=1∑n​f

    二重积分

    二重积分(f(x,y)f(x,y)σ\sigma 上的黎曼积分)σf(x,y)dσ=limλ0i=1nf(ξi,ηi)Δσi\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}\sigma}=\displaystyle\lim_{\lambda \to 0}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i}}
    绝对值不等式σf(x,y)dσσf(x,y)dσ\left|\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}\sigma}\right| \leq \displaystyle\iint_{\sigma}{|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma}
    二重积分中值定理 若 f(x,y)f(x,y) 在有界闭区域 σ\sigma 上连续,则至少存在一点 P(x,y)σP(x^*,y^*) \in \sigma,使得 σf(x,y)dσ=f(x,y)σ\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}\sigma}=f(x^*,y^*)\sigma,其中 f(x,y)=1σσf(x,y)dσf(x^*,y^*)=\dfrac1\sigma\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}\sigma} 称为 f(x,y)f(x,y)σ\sigma 上的平均值。
    推论 若 mf(x,y)Mm \leq f(x,y) \leq M,则 mσσf(x,y)dσMσm\sigma \leq \displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}\sigma} \leq M\sigma
    二重积分转化为累次积分σf(x,y)dσ=σf(x,y)dxdy=abdxφ1(x)φ2(x)f(x,y)dy=cddyψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx\begin{aligned}\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}\sigma}&=\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ &=\displaystyle\int_{a}^{b}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}{f(x,y)\mathrm{d}y}=\displaystyle\int_{c}^{d}{\mathrm{d}y}\displaystyle\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}{f(x,y)\mathrm{d}x}\end{aligned}二重积分的极坐标变换{x=rcosθy=rsinθ\begin{cases}x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta\end{cases} σf(x,y)dσ=σf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=αβdθr1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr=r1r2drθ1(r)θ2(r)f(rcosθ,rsinθ)rdθ\begin{aligned}\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}\sigma}&=\displaystyle\iint_{\sigma}{f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta} \\ &=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}{\mathrm{d}\theta}\displaystyle\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}{f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r}=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}{\mathrm{d}r}\displaystyle\int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)}{f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}\theta}\end{aligned} dσ=12(r+dr)2sindθ12r2sindθ=rdrsindθ+12(dr)2sindθrdrsindθrdrdθ\Longleftarrow \mathrm{d}\sigma=\dfrac12(r+\mathrm{d}r)^2\sin\mathrm{d}\theta-\dfrac12r^2\sin\mathrm{d}\theta=r\mathrm{d}r\sin\mathrm{d}\theta+\dfrac12(\mathrm{d}r)^2\sin\mathrm{d}\theta \sim r\mathrm{d}r\sin\mathrm{d}\theta \sim r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
    二重积分的一般坐标变换(雅可比行列式)σf(x,y)dxdy=σg(u,v)Jdudv\displaystyle\iint_{\sigma}{f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\displaystyle\iint_{\sigma}{g(u,v)|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v}J=(x,y)(u,v)=xuxvyuyv=1(u,v)(x,y)=uxuyvxvy1J=\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\dfrac{1}{\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} \\ \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}^{-1}

    三重积分

    三重积分(密度函数 f(x,y,z)f(x,y,z) 在空间立体 VV 上的质量)M=Vf(x,y,z)dV=limλ0i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔViM=\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}V}=\displaystyle\lim_{\lambda \to 0}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i}}
    三重积分转化为累次积分(投影法)Vf(x,y,z)dV=Vf(x,y,z)dxdydz=abdxφ1(x)φ2(x)dyz1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz=cddyψ1(y)ψ2(y)dxz1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz=σzxdσy1(x,z)y2(x,z)f(x,y,z)dy=σyzdσx1(y,z)x2(y,z)f(x,y,z)dx\begin{aligned}\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}V}&=\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z} \\ &=\displaystyle\int_{a}^{b}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}{\mathrm{d}y}\displaystyle\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}{f(x,y,z)\mathrm{d}z}=\displaystyle\int_{c}^{d}{\mathrm{d}y}\displaystyle\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}{f(x,y,z)\mathrm{d}z} \\ &=\displaystyle\iint_{\sigma_{zx}}{\mathrm{d}\sigma}\displaystyle\int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)}{f(x,y,z)\mathrm{d}y} \\ &=\displaystyle\iint_{\sigma_{yz}}{\mathrm{d}\sigma}\displaystyle\int_{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)}{f(x,y,z)\mathrm{d}x}\end{aligned}三重积分转化为累次积分(截割法)Vf(x,y,z)dV=Vf(x,y,z)dxdydz=efdzDzf(x,y,z)dσ=efdzDzf(x,y,z)dxdy=cddyDyf(x,y,z)dσ=abdxDxf(x,y,z)dσ\begin{aligned}\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}V}&=\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z} \\ &=\displaystyle\int_{e}^{f}{\mathrm{d}z}\displaystyle\iint_{D_z}{f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma}=\displaystyle\int_{e}^{f}{\mathrm{d}z}\displaystyle\iint_{D_z}{f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y} \\ &=\displaystyle\int_{c}^{d}{\mathrm{d}y}\displaystyle\iint_{D_y}{f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma} \\ &=\displaystyle\int_{a}^{b}{\mathrm{d}x}\displaystyle\iint_{D_x}{f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma}\end{aligned}三重积分的柱坐标变换{x=rcosθy=rsinθz=z\begin{cases}x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z\end{cases} Vf(x,y,z)dV=Vf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz=σrdrdθz1(r,θ)z2(r,θ)f(rcosθ,rsinθ,z)dz\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}V}=\displaystyle\iiint_{V}{f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z}=\displaystyle\iint_{\sigma}{r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta}\displaystyle\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}{f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\mathrm{d}z}三重积分的球坐标变换{x=ρsinφcosθy=ρsinφsinθz=ρcosφ\begin{cases}x=\rho\sin\varphi\cos\theta \\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta \\ z=\rho\cos\varphi\end{cases} Vf(x,y,z)dV=Vf(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}V}=\displaystyle\iiint_{V}{f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta} dV=ρtandφρsinφtandθdρ=ρ2sinφdρtandφtandθρ2sinφdρdφdθ\Longleftarrow \mathrm{d}V=\rho\tan\mathrm{d}\varphi \cdot \rho\sin\varphi\tan\mathrm{d}\theta \cdot \mathrm{d}\rho=\rho^2\sin\varphi\mathrm{d}\rho\tan\mathrm{d}\varphi\tan\mathrm{d}\theta \sim \rho^2\sin\varphi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta
    三重积分的一般坐标变换(雅可比行列式)Vf(x,y,z)dxdydz=Vg(u,v,w)Jdudvdw\displaystyle\iiint_{V}{f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}=\displaystyle\iiint_{V}{g(u,v,w)|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w}J=(x,y,z)(u,v,w)=xuxvxwyuyvywzuzvzw=1(u,v,w)(x,y,z)=uxuyuzvxvyvzwxwywz1J=\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}=\dfrac{1}{\dfrac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} & \dfrac{\partial u}{\partial z} \\ \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y} & \dfrac{\partial v}{\partial z} \\ \dfrac{\partial w}{\partial x} & \dfrac{\partial w}{\partial y} & \dfrac{\partial w}{\partial z}\end{vmatrix}^{-1}

    第一类线面积分

    第一类曲线积分(弧长积分)Γf(P)ds=limλ0i=1nf(Pi)Δsi=αβf(x(t),y(t),z(t))x2(t)+y2(t)+z2(t)dt\displaystyle\int_{\Gamma}{f(P)\mathrm{d}s}=\displaystyle\lim_{\lambda \to 0}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{f(P_i)\Delta s_i}}=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}{f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\mathrm{d}t} ds=[x(t+dt)x(t)]2+[y(t+dt)y(t)]2+[z(t+dt)z(t)]2=x2(ξ1)+y2(ξ2)+z2(ξ3)dt (t<ξ1,ξ2,ξ3<t+dt)=x2(t)+y2(t)+z2(t)dt\begin{aligned}\Longleftarrow \mathrm{d}s&=\sqrt{[x(t+\mathrm{d}t)-x(t)]^2+[y(t+\mathrm{d}t)-y(t)]^2+[z(t+\mathrm{d}t)-z(t)]^2} \\ &=\sqrt{x'^2(\xi_1)+y'^2(\xi_2)+z'^2(\xi_3)}\mathrm{d}t \ (t<\xi_1,\xi_2,\xi_3<t+\mathrm{d}t) \\ &=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\mathrm{d}t\end{aligned}
    平面曲线弧长积分Γf(x,y)ds=αβf(x(t),y(t))x2(t)+y2(t)dt\displaystyle\int_{\Gamma}{f(x,y)\mathrm{d}s}=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}{f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\mathrm{d}t}
    (1) Γ:y=φ(x),x[a,b]Γf(x,y)ds=abf(x,φ(x))1+φ2(x)dx\Gamma:y=\varphi(x),x \in [a,b] \Longrightarrow \displaystyle\int_{\Gamma}{f(x,y)\mathrm{d}s}=\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x,\varphi(x))\sqrt{1+\varphi'^2(x)}\mathrm{d}x}
    (2) Γ:x=ψ(y),y[c,d]Γf(x,y)ds=cdf(ψ(y),y)1+ψ2(y)dy\Gamma:x=\psi(y),y \in [c,d] \Longrightarrow \displaystyle\int_{\Gamma}{f(x,y)\mathrm{d}s}=\displaystyle\int_{c}^{d}{f(\psi(y),y)\sqrt{1+\psi'^2(y)}\mathrm{d}y}
    (3) Γ:r=r(θ),θ[α,β]Γf(x,y)ds=αβf(rcosθ,rsinθ)r2(θ)+r2(θ)dθ\Gamma:r=r(\theta),\theta \in [\alpha,\beta] \Longrightarrow \displaystyle\int_{\Gamma}{f(x,y)\mathrm{d}s}=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}{f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}\mathrm{d}\theta}
    第一类曲面积分Sf(P)dS=limλ0i=1nf(Pi)ΔSi\displaystyle\iint_{S}{f(P)\mathrm{d}S}=\displaystyle\lim_{\lambda \to 0}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{f(P_i)\Delta S_i}}
    (1) S:z=z(x,y),(x,y)σxySf(x,y,z)dS=σxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dσS:z=z(x,y),(x,y) \in \sigma_{xy} \Longrightarrow \displaystyle\iint_{S}{f(x,y,z)\mathrm{d}S}=\displaystyle\iint_{\sigma_{xy}}{f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}}\mathrm{d}\sigma
      取面微元 dS\mathrm{d}S 上一点 P(x,y,z(x,y))P(x,y,z(x,y)),则该点处法线的方向矢量 n=±{zx,zy,1}\boldsymbol{n}=\pm \{z_x',z_y',-1\},记 γ\gamman\boldsymbol{n}zz 轴正方向的夹角,有 cosγ=±11+zx2+zy2\cos\gamma=\pm \dfrac{1}{\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}},故 dS\mathrm{d}SOxyOxy 平面上的投影面积 dσ=cosγdS\mathrm{d}\sigma=|\cos\gamma| \cdot \mathrm{d}S,可得 dS=dσcosγ=1+zx2+zy2dσ\mathrm{d}S=\dfrac{\mathrm{d}\sigma}{|\cos\gamma|}=\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\mathrm{d}\sigma
    (2) S:y=y(x,z),(x,z)σzxSf(x,y,z)dS=σzxf(x,y(x,z),z)1+yx2+yz2dσS:y=y(x,z),(x,z) \in \sigma_{zx} \Longrightarrow \displaystyle\iint_{S}{f(x,y,z)\mathrm{d}S}=\displaystyle\iint_{\sigma_{zx}}{f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_x'^2+y_z'^2}}\mathrm{d}\sigma
    (3) S:x=x(y,z),(y,z)σyzSf(x,y,z)dS=σyzf(x(y,z),y,z)1+xy2+xz2dσS:x=x(y,z),