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  • Dijkstra算法原理

    2019-10-09 15:16:23
    dijkstra最短路算法(贪心思想) 信号量机制,PV元语 银行家算法(死锁) 提出“goto有害论” 第一个Algol 60编译器的设计者实现者 THE操作系统的设计者开发者 OK! 进入正题!!!!!!! Dijjkstra算法是单源...

    dijkstra简介:荷兰计算机科学家,1972年获图灵奖。
    主要贡献:

    1. dijkstra最短路算法(贪心思想)
    2. 信号量机制,PV元语
    3. 银行家算法(死锁)
    4. 提出“goto有害论”
    5. 第一个Algol 60编译器的设计者和实现者
    6. THE操作系统的设计者和开发者

    OK! 进入正题!!!!!!!
    Dijjkstra算法是单源最短路算法,即某个点到其他所有点的最短路。在该算法中,边的权值不能为负数,适用于有向图和无向图。主要是运用贪心的思想,选择距离原点最近的点松弛源点到其他点的距离。算法步骤如下:

    • 给定任意顶点A。设定两个集合U和S, S中为已经访问过的顶点,初始S={A},U为未访问过的顶点。dis[i]为A到i点的最短距离。m[i][j] 为顶点 i 到顶点j的距离。
    • 更新集合U,S以及dis[]。在集合U中找出距离A最近的顶点N并标记。同时,对于任意顶点i,若dis[i]>dis[N]+m[N][i]。则dis[i]=dis[N]+m[N][i]。
    • 重复上一步骤,直到集合U为空,此时div[i]即为顶点A到顶点i的最小值。

    图解更直观哦!!!!!!!!

    下图转自博客https://blog.csdn.net/lbperfect123/article/details/84281300
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    弱智代码:

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include<vector>
    #define inf 0X3fffffff//不要使用7ffffffff,+1为负数。
    using namespace std;
    void dijkstra(vector<int> &dis, vector<bool> &visited, vector<vector<int>> m,int N)
    {
    	int i, j, k;
    	for (i = 1; i < N; i++)
    	{
    		int u;
    		int minu = inf;
    		for (j = 0; j < N; j++)
    		{
    			if (visited[j] == false)
    			{
    				if (dis[j] < minu)
    				{
    					minu = dis[j];
    					u = j;
    				}
    			}
    		}
    		visited[u] = true;
    		//更新dis
    		for (j = 0; j < N; j++)
    		{
    			if (dis[j] > dis[u] + m[u][j]&& m[u][j]!=inf)
    			{
    				dis[j] = dis[u] + m[u][j];
    			}
    		}
    	}	
    }
    int main()
    {
    	int N, M,c1,c2;
    	cin >> N >> M>>c1>>c2;
    	vector<bool>visited(N);
    	vector<int>dis(N);
    	int i, j, k;
    	vector<vector<int>> m(N);
    	fill(visited.begin(), visited.end(), false);
    	visited[c1] = true;
    	for (i = 0; i < N; i++)
    	{
    		m[i].resize(N);
    		fill(m[i].begin(), m[i].end(), inf);
    		m[i][i] = 0;
    	}
    	int a, b, c;
    	for (i = 0; i < M; i++)
    	{
    		cin >> a >> b >> c;
    		m[a][b] = m[b][a] = c;
    	}
    	for (i = 0; i < N; i++)
    	{
    		dis[i] = m[c1][i];
    	}
    	dijkstra(dis, visited, m, N);
    	cout << dis[c2];
    	return 0;
    }
    测试样例:
    5 6 0 2
    0 1 1
    0 2 2
    0 3 1
    1 2 1
    2 4 1
    3 4 1
    

    fill函数和memset函数的区别

    展开全文
  • Dijkstra算法原理与实现

    千次阅读 2019-01-18 19:08:38
    主流的最短路径算法主要有DijkstraFloyd算法。...1. Dijkstra算法核心思想 Dijkstra算法是基于贪心算法思想的。所谓贪心算法即始终保持当前迭代解为当前最优解。意思就是在已知的条件下或是当前拥有的全部条...

           主流的最短路径算法主要有Dijkstra和Floyd算法。相比于Floyd算法,笔者认为Dijkstra算法在理解上更具难度性。因此查阅并参考了诸多博客,书籍资料,浅谈对Dijkstra算法的理解。

    1. Dijkstra算法核心思想

            Dijkstra算法是基于贪心算法思想的。所谓贪心算法即始终保持当前迭代解为当前最优解。意思就是在已知的条件下或是当前拥有的全部条件下保证最优解,若在此后的迭代中由于加入了新的条件使得产生了更优解则替代此前的最优解。通过不断的迭代不断保证每次迭代的结果都是当前最优解,那么当迭代到最后一轮时得到的就会是全局最优解

            由于下一轮迭代会参考上一轮的最优解,因此每一轮的迭代的工作量基本一致,降低了整体工作的复杂性。

           在最短路径的问题中,局部最优解即当前的最短路径或者说是在当前的已知条件下起点到其余各点的最短距离。

           到这里读者可能要问了,当前的已知条件指的是啥?难道所有的条件不是问题都已给出的吗?

    2.  一个奇妙的构想

           理解Dijkstra算法我们先做一个构想:首先假设问题所给出的所有的顶点和路径都不存在。接下来进行n轮迭代(n为顶点数),每轮迭代加入一个顶点,第一轮加入起点。每加入一个顶点就将与其相连的边加入,但边的另一边的顶点不立即加入。这样就产生了前面我所说的当前的已知条件,即已加入的顶点和边。那么接下来只需要保证起点到其余各顶点距离当前最短即可。

    3.  简单的替代原理

           前面我们说了如果下一轮迭代的最短路径比前一轮更短,则需要进行替代,以本轮的路径作为当前最短路径。那么究竟是基于什么进行替代的呢?

    图形           

          如上图,从1到3有两条路径,分别是1-->3,1-->2-->3。若我们上一轮迭代的结果为1-->3为最短路径,而本轮结果为1-->2-->3更短,则用1-->2-->3替代1-->3。实际上无论是Dijkstra还是Floyd算法,在进行路径更新时都是由于类似上图这种情况,即到达某一顶点产生了新的路径,而这一路径更短。

          下面我们来以一个例子具体说明Dijkstra迭代过程。

    4. Dijkstra算法核心原理

          在2所说的构想的基础上,在初始为空的顶点集合中每轮加入一个未访问过的顶点(第一轮加入起点),并将该顶点相邻的边作为我们新一轮迭代的条件。若新加入的相邻边能到达的顶点距离比上一轮迭代起点到该点的距离更短则更新路径,并将该点加入集合(不更新也加入)。这样就保证了在本轮结束后起点到该新加入的点的距离当前最短。

    5. 一个简单的例子

    例子

           如上图,以V0为起点,图中已标出各顶点及路径长度,下面我们来迭代计算V0到各顶点的最短距离。

          (1)第一轮:将V0以及V0相邻的V0-->V1,V0-->V3,V0-->V4加入,并更新V0-->V1距离为1,V0-->V3距离为4,V0-->V4距离为4

          (2)第二轮:在(1)三条路径中V0-->V1最短,将V1及V1-->V3加入

          (3)第三轮:由于V1-->V3的加入,计算V0-->V1-->V3 < V0-->V3,因此更新V0到V3路径为V0-->V1-->V3。加入V3及V3-->V4,V3-->V2

          (4)第四轮:V0-->V1-->V3-->V2为唯一路径,更新V0到V2的距离为V0-->V1-->V3-->V2,加入V2及V2-->V5

          (5)第五轮:V0-->V3-->V4 < V0-->V4,不更新,加入V4及V4-->V5

          (6)第六轮:V0-->V4-->V5 < V0-->V1-->V3-->V2-->V5,更新V0到V5的距离为V0-->V1-->V3-->V2-->V5

           迭代完成,到各顶点的最短距离也都完成。下面我们来谈谈代码实现

    6. 代码实现

          对于图的存储主要有邻接矩阵和邻接表两种方式,这里我们只谈邻接矩阵,邻接表同理。

          我们需要创建一个邻接矩阵以存储图;一个最短路径数组存储起点到各点的最短路径,算法中不停迭代更新的就是这个数组,初始均为无穷大;一个辅助数组表示各点是否被访问过,因为从上面的例子中可以看出每轮迭代访问的必须是此前未访问过的顶点,初始均为false。至此,所有准备工作完成。

    int G[MAXV][MAXV];     //邻接矩阵
    int d[MAXV];      //最短距离
    bool vis[MAXV] = {false};      //顶点是否访问辅助矩阵

    void Dijkstra(int s){
        fill(d, d+MAXV, INF);
        d[s] = 0;
        for(int i=0; i<n; i++){
            int u = -1;    //使d[u]最小
            int MIN = INF;      //MIN存放最小d[u]
            for(int j=0; j<n; j++){
                if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
                    u = j;
                    MIN = d[j];
                }
            }
            if(u == -1) return;      //剩下的顶点和起点s不连通
            vis[u] = true;
            for(int v=0; v<n; v++){
                if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v]){
                     d[v] = d[u] + G[u][v]; 
                }
            }
        }
    }

          以上代码仅供参考,欢迎指正批评。

    展开全文
  • 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。基本思想 通过Dijkstra计算图G中的...

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
    它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。
    基本思想

         通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

         此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

         初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作,直到遍历完所有顶点。

    操作步骤

    (1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。

    (2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。

    (3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

    (4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。

    单纯的看上面的理论可能比较难以理解,下面通过实例来对该算法进行说明。

    如下图有权图,Dijkstra算法可以计算任意节点其他节点的最短路径

     

    算法图解

    1.选定A节点并初始化,如上述步骤3所示

    2.执行上述 4、5两步骤,找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合,并根据条件 if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 来更新U集合

     

    3.这时候 A->B, A->C 都为3,没关系。其实这时候他俩都是最短距离,如果从算法逻辑来讲的话,会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( 'B 到 C,E 的距离' + 'AB 距离' < 'A 到 C,E 的距离' ) ,如图所示这时候A->B距离 其实为 A->D->B

     

    1. 思路就是这样,往后就是大同小异了

    1. 算法结束

    c# 代码实现

    using System;
    using System.Collections.Generic;
    using System.Linq;
    using System.Text;
    using System.Threading.Tasks;
    
    namespace 迪杰斯特拉算法
    {
        struct Graph 
        {
            public char[] vexs;            // 顶点集合
            public int vexnum;             // 顶点数
            public int edgnum;             // 边数
            public int[,] matrix;          // 邻接矩阵
        };
    
        class Program
        { 
            static void Main(string[] args)
            {
                Graph g;
                g.vexs = new char[]{'A','B','C','D','E'};
                g.vexnum = 5;
                g.edgnum = 7;
                g.matrix = new int[5,5]{
                    {0,4,int.MaxValue,2,int.MaxValue},
                    {4,0,4,1,int.MaxValue},
                    {int.MaxValue,4,0,1,3},
                    {2,1,1,0,7},
                    {int.MaxValue,int.MaxValue,3,7,0}
                };
    
                dijkstra(g,0);
    
                Console.ReadKey();
    
            }
            private static void dijkstra(Graph g,int vs)
            {
                int k = vs;
                int min = int.MaxValue;
                int tmp;
                int[] flag = new int[100];             // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
                int[] dist = new int[100];
                int[] prev = new int[100];
    
                for (int i = 0; i < g.vexnum; i++)
                {
                    flag[i] = 0;                          // 顶点i的最短路径还没获取到。
                    prev[i] = 0;                          // 顶点i的前驱顶点为0。
                    dist[i] = g.matrix[vs, i];            // 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
                }
    
                // 对 vs 进行初始化
                flag[vs] = 1;
                dist[vs] = 0;
    
                for (int i = 1; i < g.vexnum; i++)
                {
                    min = int.MaxValue;
                    for (int j = 0; j < g.vexnum; j++)
                    {
                        if (flag[j] == 0 && dist[j] < min)
                        {
                            min = dist[j];
                            k = j;
                        }
                    }
    
                    flag[k] = 1;
    
                    for (int n = 0; n < g.vexnum; n++)
                    {
                        tmp = g.matrix[k, n] == int.MaxValue ? int.MaxValue : (min + g.matrix[k, n]);
                        if (flag[n] == 0 && tmp < dist[n])
                        {
                            dist[n] = tmp;
                            prev[n] = k;
                        }
                    }
    
                }
    
                for (int i = 0; i < g.vexnum; i++)
                {
                    Console.WriteLine("点:" + g.vexs[vs] + " 到点:" + g.vexs[i] + "的最短距离为:" + dist[i]);
                }
    
            }
        }
    
    
    }
    

    运行结果

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  • 一.Floyd算法 1.定义概览 Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法,...1)算法思想原理:  Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径
    
    

    从某顶点出发,沿图的边到达另一顶点所经过的路径中,各边上权值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法,Dijkstra算法,Bellman-Ford算法,Floyd算法和SPFA算法,本文研究的是floyd算法和dij算法。

    一.Floyd算法

    1.定义概览

    Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。算法的时间复杂度为O(N3),空间复杂度为O(N2)。

     

    2.算法描述

    1)算法思想原理:

         Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话,首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题,我们需要为这个目标重新做一个诠释(这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在)

          从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能,1是直接从i到j,2是从i经过若干个节点k到j。所以,我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立,如果成立,证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短,我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

    2).算法描述:

    a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权,如果两点之间没有边相连,则权为无穷大。   

    b.对于每一对顶点 u 和 v,看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

    3.算法代码实现

    typedef struct          
    {        
        char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
        int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
        int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
    }MGraph; 
    void Floyd(MGraph g)
    {
       int A[MAXV][MAXV];
       int path[MAXV][MAXV];
       int i,j,k,n=g.n;
       for(i=0;i<n;i++)
          for(j=0;j<n;j++)
          {   
                 A[i][j]=g.edges[i][j];
                path[i][j]=-1;
           }
       for(k=0;k<n;k++)
       { 
            for(i=0;i<n;i++)
               for(j=0;j<n;j++)
                   if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
                   {
                         A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                         path[i][j]=k;
                    } 
         } 
    } 
    算法时间复杂度:O(n3)

    二.Dijkstra算法

    1.定义概览

    Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

    问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

     

    2.算法描述

    1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

    2)算法步骤:

    a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

    b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

    c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

    d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

    执行动画过程如下图

    3.算法代码实现:

    const int  MAXINT = 32767;
    const int MAXNUM = 10;
    int dist[MAXNUM];
    int prev[MAXNUM];
    int A[MAXUNM][MAXNUM];
    void Dijkstra(int v0)
    {
        bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
          int n=MAXNUM;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            dist[i] = A[v0][i];
            S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
            if(dist[i] == MAXINT)    
                  prev[i] = -1;
            else 
                  prev[i] = v0;
         }
         dist[v0] = 0;
         S[v0] = true;   
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
             int mindist = MAXINT;
             int u = v0;                               // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
             for(int j=1; j<=n; ++j)
                if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
                {
                      u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 
                      mindist = dist[j];
                }
             S[u] = true; 
             for(int j=1; j<=n; j++)
                 if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
                 {
                     if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径  
                     {
                         dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                         prev[j] = u;                    //记录前驱顶点 
                      }
                  }
         }
    }

    4.算法实例

    先给出一个无向图

    用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下:


     

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