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  • 讨论了根据给定的双调和函数可以确定一个双解析函数的重要性质...还讨论了双调和函数的Dirichlet问题和变形的Dirichlet问题,并得到了相应的可解性定理。对于双解析函数的Dirichlet问题也得到了相应的可解性结论。
  • 利用临界点理论中的局部环绕理论,获得了一类较一般的超线性 Dirichlet问题的正解存在性结果.
  • 在完全非线性情形,构造了一个关键的函数μ0,获得了上确界的先验估计,证明了可能非正则的一般有界区域上凹的二阶椭圆方程Dirichlet问题有界古典解的存在唯一性定理。
  • 为了在较弱的条件下研究一类具有内激波层现象的二次Dirichlet问题.用合成展开法构造出该问题的一阶渐近表达式,并利用不动点定理证明了解的存在性及其当ε→0时的渐近性质。在一定程度上,它比起传统的微分不等式方法...
  • 利用变分法获得了一类渐近线性Dirichlet 问题正解的存在性结果.
  • 给出了一类隐式偏微分方程的Dirichlet问题:g(x,Du(x))=0,a.e.x∈Ω,u(x)=φ(x),x∈抄Ω,的弱解的存在性的充分条件。
  • 通过Helmhohz方程外Dirichlet问题产生的第一类积分方程的核具有对数奇性。将核分成两部分,一部分包含特殊的奇性,另一部分不包含奇性,然后应用Galerkin法解积分方程。文中还讨论了近似解的收敛性并给出了一个数值...
  • 研究了一类奇摄动半线性椭圆型方程的Dirichlet问题,在M.Vishik和L.Lyusternik坐标变换的基础上,利用边界层函数法构造了其一致有效的渐近解,并进一步构造该问题的上下解,验证上下解满足Amann条件证明该问题解的...
  • 一类奇异半线性椭圆型方程Dirichlet问题唯一解的精确渐近行为,李小红,马云杰,本文主要应用摄动方法、非线性变换和比较原理得到了一类奇异非线性椭圆型方程Dirichlet问题唯一解在边界附近的精确渐进行为.
  • 研究了一类非对称的p-Laplacian(p>1)Dirichlet问题.在正半轴不需要假设Ambrosetti-Rabinowitz的超二次条件下,利用山路定理建立非平凡解的存在性结果.
  • 研究源自人口动力学的半线性p-Laplace方程的Dirichlet问题,得到了该问题在零点处的能量泛函是平凡的Morse临界群.因而,确定了该问题非平凡解的存在性及其分岔性.
  • 其中γ_i(ξ)是给定在T_i上的实函数,而θ与δ_i... 这里推广了关于解析函数的变态Dirichlet问题的研究(那里相当于方程(*)中q_1≡q_2≡F≡0的情况),同时也推广了Bers与Nirenberg,等工作中关于方程(*)的边值问题的讨论。
  • 应用常微分方程的能量分析法和相平面分析法证明了球上一类超线性Dirichlet问题存在无穷多个径向对称解。首先将所研究的问题转化为常微分方程,进而利用压缩映射原理证明常微分方程问题存在解,从而得到原问题存在...
  • M.Krzy(?...Γ.Pamm研究了线性椭园型方程的间断边值问题,本文讨论拟线性椭圆型方程带有第一类间断边值的Dirichlet问题解的存在性、唯一性以及解在间断点附近的性质,讨论中使用了做辅助函数的闸函数方法。
  • 运用粘性解理论研究了二阶非线性椭圆偏微分方程Dirichlet问题解的存在性和唯一性。首先建立比较定理,保证了解的唯一性;然后运用Perron方法构造解,保证了解的存在性。通过以上结果,解的存在唯一性和存在性得以解决。
  • UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子 例2 均匀金属空心外壳厚度可忽略的接地球球心位于原点,半径为aaa,用球坐标(r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi)(r,θ,ϕ)描述,球面上边界...

    UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子

    例2
    均匀金属空心外壳厚度可忽略的接地球球心位于原点,半径为aa,用球坐标(r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi)描述,球面上边界条件为Φ=Φ(a,θ,ϕ)\Phi=\Phi(a,\theta,\phi),计算球内的电场。

    V={r:r<R}V=\{\vec r:|\vec r| < R\},边界为S={r:r=R}S=\{\vec r:|\vec r|=R\},Dirichlet条件为Φ(r)=0,rS\Phi(\vec r)=0,\forall \vec r \in S;写出Green函数:
    G(r,r)=1rr+F(r,r)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+F(\vec r, \vec r')

    为简化起见,我们假设沿r\vec r'的方向存在一个image charge,我们假设它的电荷量为qq',用n^\hat n'表示与r\vec r'平行的SS的外法向,则image charge的位置可以表示为r=rn^\vec r'' = r''\hat n';假设测试电荷的位置为r\vec r,与它平行的SS的外法向为n^\hat n,假设n^\hat nn^\hat n'的夹角为γ\gamma;于是
    G(r,r)=1rr+qrr=1rn^rn^+qrn^rn^G(\vec r, \vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+\frac{q'}{|\vec r - \vec r''|} = \frac{1}{|r \hat n-r'\hat n'|}+\frac{q'}{|r \hat n-r''\hat n|}

    其中qq'rr''是未知参数,我们需要用image charge的性质,解出这两个参数。根据G(r,r)rS=0G(\vec r,\vec r')|_{\vec r \in S}=0,我们可以得到:
    1rn^rn^+qrn^rn^=1rn^rrn^+qrrrn^n^=0r=a \frac{1}{|r \hat n-r'\hat n'|}+\frac{q'}{|r \hat n-r''\hat n|} = \frac{1}{r|\hat n - \frac{r'}{r}\hat n'|}+\frac{q'}{r''| \frac{r}{r''}\hat n-\hat n'|}=0 \\ r=a

    一种可行的解是
    {qr=1r=1arr=ar=rr=ra{q=ar2r=a2r\begin{cases} \frac{q'}{r''}=-\frac{1}{r} = -\frac{1}{a} \\ \frac{r}{r''} = \frac{a}{r''}=\frac{r'}{r}=\frac{r'}{a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} q' = -\frac{a}{r'^2} \\ r'' = \frac{a^2}{r'} \end{cases}

    需要注意的是r\vec r'的方向就是边界的一个外法线方向n^\hat n',测试电荷的位置r\vec r的方向也是边界的一个外法线方向n^\hat n,记这两个外法线方向夹角为γ\gamma,则在球坐标中:
    r=r(sinθcosϕ,sinθ,sinϕ,cosθ)cosγ=cosθcosθ+sinθsinθcos(ϕϕ)\vec r = r(\sin \theta\cos \phi,\sin \theta,\sin \phi,\cos \theta) \\ \cos \gamma= \cos \theta \cos \theta'+\sin \theta \sin \theta' \cos (\phi-\phi')

    现在我们就可以把Green函数在球坐标系下的表达式写出来了,
    G=1r2+r22rrcosγ1r2r2a2+a22rrcosγG =\frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos \gamma}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{r^2r'^2}{a^2}+a^2-2rr'\cos \gamma}}

    Dirichlet问题的积分解:
    Φ(r)=Vρ(r)G(r,r)dxdydz14πS(V)Φ(r)GndS\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)} \Phi(\vec r')\frac{\partial G}{\partial n}dS

    因为这个题目球的内部没有source,所以第一项为零,于是我们只需计算
    Gn=Gr=rrcosγ(r2+r22rrcosγ)3/2+r2ra2rcosγ(r2r2a2+a22rrcosγ)3/2Gnr=a=r2a2a(r2+a22arcosγ)3/2\frac{\partial G}{\partial n}=\frac{\partial G}{\partial r'}=-\frac{r'-r \cos \gamma}{(r^2+r'^2-2rr' \cos \gamma)^{3/2}}\\ + \frac{\frac{r^2r'}{a^2}-r\cos \gamma}{(\frac{r^2r'^2}{a^2}+a^2-2rr'\cos \gamma)^{3/2}} \\ \frac{\partial G}{\partial n}|_{r'=a} = \frac{r^2-a^2}{a(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}

    因此结果为
    Φ(r,θ,ϕ)=14πSΦ(a,θϕ)r2a2a(r2+a22arcosγ)3/2dS\Phi(r,\theta,\phi)=-\frac{1}{4 \pi}\oint_S \Phi(a',\theta'\phi')\frac{r^2-a^2}{a(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}dS

    其中dS=a2sinθdθdϕdS = a^2\sin \theta d \theta d\phi, 因此
    Φ(r,θ,ϕ)=14πΦ(a,θϕ)a(r2a2)sinθ(r2+a22arcosγ)3/2dθdϕ\Phi(r,\theta,\phi)=-\frac{1}{4 \pi}\iint \Phi(a',\theta'\phi')\frac{a(r^2-a^2)\sin \theta}{(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}d\theta d\phi

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  • 用边界函数法讨论了一类非线性条件稳定的具有Dirichlet边界条件的奇摄动系统,构造了它的形式渐近解,并证明了该形式渐近解的一致有效性。解的存在唯一性也得到了证明。
  • 对一类具有P-Laplace算子的拟线性微分方程特征值Diriehlet问题采用变分法和Ricceri三临界点定理进行了探讨,在一些更易验证的条件下,证明了其在W10, p([a,b])上至少3个弱解存在的充分条件,这也从研究方法上推广了...
  • 求解扇型域上的Dirichlet问题 {Δ2u=0,1<r<e,0<θ<π2u∣r=1=u∣r=e=0u∣θ=0=0,u∣θ=π2=g(r)(15) \begin{cases} \Delta_2u=0, \quad 1<r<e,0<\theta<\frac{\pi}{2} \\ u|_{r=1}=u|_{r=e}...

    求解扇型域上的Dirichlet问题
    {Δ2u=0,1<r<e,0<θ<π2ur=1=ur=e=0uθ=0=0,uθ=π2=g(r)(15) \begin{cases} \Delta_2u=0, \quad 1<r<e,0<\theta<\frac{\pi}{2} \\ u|_{r=1}=u|_{r=e}=0 \\ u|_{\theta=0}=0, \quad u|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=g(r) \end{cases} \tag{15}
    这里,(r,θ)(r,\theta)为极坐标,e为自然对数的底数。

    :极坐标下,方程为
    r22ur2+rur+2uθ2=0 r^2\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+r\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2u}{\partial \theta^2}=0
    u(r,θ)=R(r)Θ(θ)u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta),代入方程和关于r的齐次边界问题,分离变量得固有值问题
    {r2R(r)+rR(r)+λR(r)=0,1<r<eR(1)=R(e)=0(16) \begin{cases} r^2R''(r)+rR'(r)+\lambda R(r)=0,\quad 1<r<e \\ R(1)=R(e)=0 \end{cases} \tag{16}
    及常微分方程
    Θ(θ)λΘ(θ)=0 \Theta''(\theta)-\lambda \Theta(\theta)=0
    固有值问题中的方程是变系数二阶线性方程,可化为SLS-L
    [rR(r)]+λ1rR(r)=0 [rR'(r)]'+\lambda\frac{1}{r}R(r)=0
    这里,k(r)=r,q(r)0,ρ(r)=1rk(r)=r,q(r)\equiv 0,\rho(r)=\frac{1}{r}。由S-L定理知λ>0\lambda >0

    R(r)R(r)的方程时欧拉(Euler)方程,作变量代换r=etr=e^t,记y(t)=R(et)y(t)=R(e^t),则变系数方程的固有值问题(16)式转化为最简S-L型方程固有值问题
    {y(t)+λy=0,0<t<1y(0)=y(1)=0 \begin{cases} y''(t)+\lambda y=0,\quad 0<t<1 \\ y(0)=y(1)=0 \end{cases}
    即得固有值
    λn=(nπ)2,n=1,2, \lambda_n=(n\pi)^2,\quad n=1,2,\cdots
    及固有函数
    yn(t)=sinnπt y_n(t)=sin\,n\pi t
    亦即
    Rn(r)=sin(nπlnr) R_n(r)=sin(n\pi\,lnr)
    相应地
    Θn(θ)=Anchnπθ+Bnshnπθ \Theta_n(\theta)=A_nch\,n\pi\theta+B_nsh\,n\pi\theta

    u(r,θ)=n=1+(Anchnπθ+Bnshnπθ)sin(nπlnr) u(r,\theta)=\sum_{n=1}^{+\infty}(A_nch\,n\pi\theta+B_nsh\,n\pi\theta)sin(n\pi lnr)
    代入关于θ\theta的边界条件,得
    uθ=0=n=1+Ansin(nπlnr)=0uθ=π2=n=1+Bnshnπ22sin(nπlnr)=g(r) u|_{\theta=0}=\sum_{n=1}^{+\infty}A_nsin(n\pi lnr)=0 \\ u|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=\sum_{n=1}^{+\infty}B_nsh\frac{n\pi^2}{2}sin(n\pi lnr)=g(r)
    这里,{sin(nπlnr),n=1,2,}\{sin(n\pi lnr),n=1,2,\cdots \}是区间[1,e][1,e]上加权函数ρ(r)=1r\rho(r)=\frac{1}{r}的完备正交函数系,故
    An=0Bn=1shnπ221eg(r)sin(nπlnr)1rdr1esin2(nπlnr)1rdr A_n=0 \\ B_n=\frac{1}{sh\frac{n\pi^2}{2}}·\frac{\int_1^eg(r)sin(n\pi lnr)\frac{1}{r}dr}{\int_1^esin^2(n\pi lnr)\frac{1}{r}dr}

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  • 设0
  • 研究了一类具有非光滑泛函的拟线性椭圆型方程的渐近线性问题.利用非光滑泛函的临界点理论,采用截断函数法并结合弱解的意义,证明了这一类与非光滑泛函相对应的Euler-Lagrange方程当其右端项f(x,t)关于t在无穷远处...
  • 讨论了N中有界光滑区域上的一类类p-双调和方程的无穷多解问题,其中2p >N,非线性项不必具有奇对称性.利用Ricceri的一个变分原理,得到了无穷多解的存在性,进而证明了当非线性项在零点(无穷远点)振荡时,无穷多解按范数...
  • 研究了形如 {-div(|x|a▽u)+b(x)u=f(x,u),x ∈Ω, (P) |eΩ=0的方程其右端项f(x,t)关于t在无穷远处渐进线性及超线性时正解的存在性.由于这时的,(x,t)与通常应用山路引理时的一个重要条件,即(AR)条件不相容,...
  • 讨论了一类具有非光滑位势的p( x)-Laplace非线性椭圆问题.利用非光滑的三临界点定理证明了该问题在变指数Sobolev空间W01,p( x)(Ω)中至少存在3个非平凡解.
  • UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题4 用Green函数法解释Image Charge、对称性与割补法

    UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题4 用Green函数法求解Dirichlet问题

    上一讲我们讨论过Dirichlet问题的积分解:
    Φ(r)=Vρ(r)G(r,r)dxdydz14πS(V)Φ(r)GndS\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)} \Phi(\vec r')\frac{\partial G}{\partial n}dS

    其中source ρ(r)\rho(\vec r')与边界Φ(r),rS(V)\Phi(\vec r'),\vec r' \in S(V)在Dirichlet问题中都是已知的,因此求解Dirichlet问题的关键在于构造Green函数。在Image charge method的辅助下,我们可以把Green函数写成下面的形式:
    G(r,r)=1rr+F(r,r)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}+F(\vec r, \vec r')

    关于FF的构造有下面两个要点:

    1. 2F(r,r)=0,rV\nabla^2 F(\vec r,\vec r')=0,\forall \vec r' \in V
    2. G(r,r)=0,rS(V)G(\vec r,\vec r')=0,\forall \vec r' \in S(V)

    如果是Neumann问题,
    Φ(r)=Vρ(r)G(r,r)dxdydz+14πS(V)Φ(r)nG(r,r)dS+ΦS\Phi(\vec r)= \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' \\ +\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)}\frac{\Phi(\vec r')}{\partial n}G(\vec r,\vec r')dS+\langle \Phi \rangle_S

    最后一项表示Φ\Phi在边界S(V)S(V)上的平均值,这是在取
    Gn=4πS\frac{\partial G}{\partial n} = -\frac{4\pi}{|S|}

    时才成立的,我们希望S|S|是正无穷,这样最后一项ΦS\langle \Phi \rangle_S会趋近于0,否则在Neumann问题中我们无法直接计算这一项,这种情况下Green函数法就失效了。


    例1
    在三维直角坐标系中,某电场存在于V={(x,y,z):x0}V=\{(x,y,z):x \ge 0\},它的source为(a,0,0)(a,0,0)处电荷量为qq的点电荷,Dirichlet条件为Φ(0,y,z)=Φ0,y,z\Phi(0,y,z)=\Phi_0,\forall y, z


    电荷密度为
    ρ(r)=qδ3(rr0),r0=(a,0,0)\rho(\vec r')=q\delta^3(\vec r'-\vec r_0),\vec r_0=(a,0,0)

    先写出Green函数
    G(r,r)=1rr+F(r,r)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+F(\vec r,\vec r')

    其中FF满足下面两个条件:
    2F(r,r)=0G(r,r)rS=0=F(r,r)S=1rrS\nabla^2 F(\vec r,\vec r')=0 \\ G(\vec r,\vec r')|_{\vec r '\in S}=0=F(\vec r,\vec r')|_S = -\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}|_S

    其中S={(x,y,z):x=0}S=\{(x,y,z):x=0\}表示边界,于是
    FS=1x2+(yy)2+(zz)2F|_S = -\frac{1}{\sqrt{x^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}

    根据Image charge method的思路,在讨论r\vec r'处的电荷密度几何效应时,我们总是可以在它关于yzy-z平面对称的位置放上一个image charge抵消掉它的作用,于是
    F(r,r)=1(x+x)2+(yy)2+(zz)2F(\vec r,\vec r')=-\frac{1}{\sqrt{(x+x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}

    可以验证它满足上面提到的两个条件。于是Green函数为
    G(r,r)=1(xx)2+(yy)2+(zz)21(x+x)2+(yy)2+(zz)2G(\vec r,\vec r') = \frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{(x+x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}

    因此我们可以写出电势能的积分解:
    Φ(r)=Vρ(r)G(r,r)dxdydz14πSΦ0G(r,r)ndS\Phi(\vec r) =\int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi}\oint_S \Phi_0 \frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial n'}dS'

    这个东西看上去很难计算,但实际上还算是有规律的,第一个积分中电荷密度与dirac函数成正比,积分计算可以实用dirac函数的性质:
    Vρ(r)G(r,r)dxdydz=Vqδ3(rρ0)G(r,r)dxdydz=qG(r,r0)=q(xa)2+y2+z2q(x+a)2+y2+z2\int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' = \int_V q \delta^3(\vec r'-\rho_0)G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz' \\ = qG(\vec r,\vec r_0)=\frac{q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}} - \frac{q}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}}

    第二个积分中,需要注意的是nn是边界SS的外法线方向,也就是指向VCV^C的方向,因此n^=x^\hat n' = -\hat x',即xx轴的负向,另外’表示这是电荷密度的坐标,不带‘的表示测试电荷的坐标。先计算方向导数
    G(r,r)n=G(r,r)xrS=2x(x2+(yy)2+(zz)2)3/2\frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial n}=-\frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial x'}|_{\vec r' \in S} = -\frac{2x}{(x^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^{3/2}}

    再计算曲面积分
    SΦ0G(r,r)ndS=2xΦ0(x2+(yy)2+(zz)2)3/2dydz\oint_S \Phi_0\frac{\partial G(\vec r,\vec r')}{\partial n}dS=\iint \frac{-2x \Phi_0}{(x^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^{3/2}}dy'dz'

    所以最终答案为(这个积分就懒得算了,就是在y-z平面积分)
    Φ(r)=q(xa)2+y2+z2q(x+a)2+y2+z2+xΦ02π1(x2+(yy)2+(zz)2)3/2dydz\Phi(\vec r)=\frac{q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}} - \frac{q}{\sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}} \\ + \frac{x\Phi_0}{2\pi} \iint \frac{1}{(x^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^{3/2}}dy'dz'

    由此可以计算电场
    E=Φ\vec E = -\nabla \Phi

    以及y-z平面上的导出电荷密度σ\sigma:
    Φn=4πσ\frac{\partial \Phi}{\partial n}=-4\pi \sigma

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  • 本文讨论如下一类非线性椭圆边值问题: {-div(|\/|2V)=A(b(x)|n|+a(t)|N| | u|n={}得到了非平凡解的存在性和不可列个特征值的存在性结果。
  • 在这项工作中,我们研究了沿xy平面中域边界的给定条件的Dirichlet问题。 还将讨论找到这些系统解决方案的一组步骤。 将射击方法和牛顿算法作为数值方法来实现,以找到给定BVP的解。 开发了一组Octave脚本,以计算...
  • dirichlet-problem-源码

    2021-03-20 06:31:12
    Dirichlet问题 泊松方程Dirichlet问题的有限差分方法的并行实现。
  • 采用Kress变换以及处理第一类奇异核的积分方法,运用Nystrom方法利用单层位势求解尖角区域上的Dirichlet问题.给出具体的算法和数值例子,通过数值例子可以看出用单层位势求解尖角区域上的Dirichlet问题与用单双...
  • 讨论用Dirichlet多项式去逼近半平面上有限级的Dirichlet级数时产生的误差与原Dirichlet级数的增长级及型之间的联系,得到一些有趣的结果。

空空如也

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dirichlet问题