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  • 最优化DFP求解例题

    2013-05-28 13:18:06
    DFP方法求解各种习题的pdf,很好用~
  • 本文采用BFGS/DFP拟牛顿方法求多元函数的极小点,其中步长的选择为非精确线搜索下的 Armjio 准则,编程语言为 MATLAB 语言。

    采用 Armjio 准则计算步长的BFGS/DFP拟牛顿方法--MATLAB实现

    实现原理

    具体数学实现原理可参考这篇文章:拟牛顿法/Quasi-Newton,DFP算法/Davidon-Fletcher-Powell,及BFGS算法/Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno


    代码实现

    拟牛顿方法

    算法伪码如下:

    在这里插入图片描述

    BFGS算法

    采用 BFGS 公式的拟牛顿算法如下:

    function [f, xk, k] = BFGS(x0, fun, grid, eps, kmax)
        %
        % function [f, xk, k] = BFGS(x0, fun, grid, eps, kmax)
        % 求出函数fun从初始点x0处以拟牛顿方向为下降方向,
        % 采用 Armjio 准则计算迭代步长,求出函数的极小点
        % -----------------------------------------------------------
        % 输入:
        %     x0    初始点(列向量)
        % 		fun 	函数文件名称(字符变量)
        %		  grid 	梯度函数文件名称(字符变量)
        %		  eps   函数在迭代点处的下降方向(列向量)
        %     kmax  函数的最大迭代次数
        %
        % 输出:
        %		  f	    函数在极小值 xk 处的目标函数值
        %		  xk		函数采用此方法求得的极小点
        %	  	k		  求极小点算法迭代次数
        % -----------------------------------------------------------
        % by Zhi Qiangfeng 
        % 
      k = 0;
      n = length(x0)
      H0 = eye(n); % 初始选取单位阵作为Hessen矩阵的逆的近似阵
      Hk = H0;
      xk = x0;
      gk = feval(grid, xk);
      while k <= kmax
          if norm(gk) < eps
              break;
          end
          dk = -Hk * gk; % 拟牛顿下降方向
          alpha = Armjio(fun, grid, xk, dk);
          x_ = xk; % x_ 保存上一个点坐标
          xk = x_ + alpha * dk; % 更新 xk
          gk_ = gk; % gk_ 保存上一个点的梯度值
          gk = feval(grid, xk); % 更新 gk
          sk = xk - x_; % 记 xk - x_ 为 sk
          yk = gk - gk_; % 记 gk - gk_ 为 yk
          if sk' * yk > 0
              v = yk' * sk;
              % BFGS公式
              Hk = Hk + (1 + (yk' * Hk * yk) / v) * (sk * sk') / v - (sk * yk' * Hk + Hk * yk * sk') / v;
          end
          k = k + 1;
      end
      f = feval(fun, xk);
    end
    

    DFP算法

    注:若采用 DFP 算法,则只需将上述代码中的第 40、41、42 行改为如下 DFP 公式即可,拟牛顿方法主体算法一致。

    v = Hk * yk;
    % DFP公式
    Hk = Hk + (sk * sk') / (sk' * yk) - (v * v') / (yk' * v);
    

    文件化输出


    以Rosenbrock函数为例,这是优化领域中一个著名的检验函数,其函数与其梯度函数如下:

    在这里插入图片描述
    编写函数文件 Rosenbrock.m 如下:

    function f = Rosenbrock(x)
    f = 100 * (x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
    end
    

    随后是梯度函数文件 grid.m 如下:

    function g = grid(x)
    g = [-400 * x(1) * x(2) + 400 * x(1)^3 + 2 * x(1) - 2;
        200 * x(2) - 200 * x(1)^2];
    end
    

    求步长的 Armjio 函数请看作者之前的这篇博客采用非精确线搜索求步长的Armjio准则–MATLAB实现,编写函数文件 Armjio.m 如下,与刚才两个文件放在同一文件夹目录下

    function [alpha] = Armjio(fun, grid, x0, dk)
        %
        % Function [alpha, xk, fx, k] = Armjio(fun, grid, x0, dk)
        % 求出函数fun在x0处以dk为下降方向时的步长alpha,同时返回相对应的下
        % 一个下降点xk以及xk处的函数值fx,k为迭代次数
        % -----------------------------------------------------------
        % 输入: 
        % 		fun 	函数名称(字符变量)
        %		grid 	梯度函数名称(字符变量)
        %		x0		迭代点(列向量)
        %		dk		函数在迭代点处的下降方向(列向量)
        %
        % 输出:
        %		alpha	函数在x0处以dk为下降方向时的下降步长
        %		xk		函数在x0处以dk为下降方向,以alpha为步长
        %				求得的下降点
        %		fx		函数在下降点xk处的函数值
        %		k		求步长算法迭代次数
        % -----------------------------------------------------------
        % by Zhi Qiangfeng 
        %
        beta = 0.333; 		% 步长 alpha 的迭代系数,小于 1
        rho = 1e-3; 		% 泰勒展开式补足系数,0 < rho < 1/2
        alpha = 1; 			% 初始步长为 1
        k = 0; 				% 统计迭代次数
        gk = feval(grid, x0);	% x0处的梯度值
        fd = feval(fun, x0 + alpha * dk); 	% 函数在下一个迭代点处的目标函数值
        fk = feval(fun, x0) + alpha * rho * gk' * dk; 	% 函数在下一个迭代点处的泰勒展开值
        while fd > fk
            alpha = beta * alpha;
            fd = feval(fun, x0 + alpha * dk);
            fk = feval(fun, x0) + alpha * rho * gk' * dk;
            k = k + 1;
        end
    end
    
    

    以 Rosenbrock 函数为例,该函数的的极小点为[1; 1],设置精度 eps = 1e-5,迭代最大次数 kmax = 3000,我们生成一个 2 行 10 列,范围在 [-10, 10] 的矩阵,每次选取其中的一列作为初始点,编写脚本文件如下:

    X = randi([-10, 10], 1, 1) * rand(2, 10);
    eps = 1e-5;
    kmax = 3000;
    file = fopen("./BFGSdata.txt", "w");
    fprintf(file, "初始点\t\t\t\t\t 极小点\t\t\t\t  目标函数值\t\t 迭代次数\t 运行时间\n");
    for i = 1:10
        tic 
        x0 = X(:, i);
        [f, xk, k] = BFGS(x0, "fun", "grid", eps, kmax);
        t = toc;
        fprintf(file, "[%f, %f]\t[%f, %f]\t%f\t\t%d\t\t\t%f\n", x0(1), x0(2), xk(1), xk(2), f, k, t);
    end  
    

    得到文本文件 BFGSdata.txt,内容如下:

    初始点					极小点				  	目标函数值		迭代次数	 	运行时间
    [0.119559, 0.469560]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		22			0.002685
    [0.706317, 1.642388]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		15			0.002144
    [0.030807, 0.086048]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		27			0.002457
    [0.337980, 1.298231]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		20			0.001869
    [1.463445, 1.295492]	[1.000001, 1.000001]	0.000000		21			0.002422
    [0.901847, 1.094018]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		14			0.001120
    [0.592642, 1.489386]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		19			0.001511
    [0.377910, 1.373551]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		20			0.001629
    [0.367022, 0.736969]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		18			0.001403
    [1.251237, 1.560455]	[1.000000, 1.000000]	0.000000		14			0.001040
    

    将文本文件数据导入 Excel 或 MATLAB 中,便可对该方法进行误差分析。


    最优化相关算法设计数学原理:最优化/Optimization文章合集


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  • 【优化方法】拟牛顿法之DFP算法

    千次阅读 2019-05-21 17:47:45
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    一、牛顿法回顾

    • 上一篇牛顿法(Newton Method)中介绍了牛顿法的基本思路,牛顿法具有二阶收敛性,相比较最速下降法,收敛的速度更快。
    • 但是牛顿法也有一个缺点就是:求解Hessian矩阵复杂度比较大

    1、下面是第k+1步的牛顿迭代:

    • 对于函数f(X)f(X),其中X=[x1,x2,,xn]TX=[x_1,x_2,…,x_n ]^T为向量。在牛顿法的求解过程中,首先是将f(X)f(X)函数在Xk+1X^{k+1}处展开,并且令f(X)f(X)函数在Xk+1X^{k+1}处的梯度为:f(Xk+1)=[fx1,fx2,,fxn]T∇f(X^{k+1} )=[\frac{∂f}{∂x_1},\frac{∂f}{∂x_2},…,\frac{∂f}{∂x_n}]^T
    • 泰勒展开为:f(X)=f(Xk+1)+f(Xk+1)T(XXk+1)+12(XXk+1)TGk+1(XXk+1)++of(X)=f(X^{k+1})+∇f(X^{k+1} )^T (X-X^{k+1})+\frac{1}{2} (X-X^{k+1} )^T G_{k+1} (X-X^{k+1})+⋯+o
    • Gk+1X=Xk+1G_{k+1}为X=X^{k+1}的Hesse矩阵,省略高价无穷小量:f(X)=f(Xk+1)+f(Xk+1)T(XXk+1)+12(XXk+1)TGk+1(XXk+1)f(X)=f(X^{k+1})+∇f(X^{k+1} )^T (X-X^{k+1})+\frac{1}{2} (X-X^{k+1} )^T G_{k+1} (X-X^{k+1})
    • XX求导,并令导数为00f(X)=f(Xk+1)T+Gk+1(XXk+1)=0∇f(X)=∇f(X^{k+1} )^T+G_{k+1} (X-X^{k+1})=0
    • 求出XXX=Xk+1f(Xk+1)Gk+1=Xk+1Gk+11f(Xk+1)X=X_{k+1}-\frac{∇f(X^{k+1} )}{G_{k+1}} =X_{k+1}-G_{k+1}^{-1} ∇f(X^{k+1} )

    二、DFP拟牛顿法:

    • 由于求解Hessian矩阵复杂度比较大,于是下面我们利用上一步即第kk步的信息来求Hessian矩阵:
    • 上面得到公式:f(X)=f(Xk+1)+Gk+1(XXk+1)∇f(X)=∇f(X^{k+1} )+G_{k+1} (X-X^{k+1} )
    • 我们令X=XkX=X^kf(Xk)=f(Xk+1)+Gk+1(XXk+1)∇f(X^k)=∇f(X^{k+1} )+G_{k+1} (X-X^{k+1} )
    • 利用上面公式我们可以使用f(Xk),f(Xk+1),Xk,Xk+1∇f(X^k ),∇f(X^{k+1} ),X^k,X^{k+1}来模拟出Hesse矩阵的构造过程,此方法便称为拟牛顿法(QuasiNewton)。
    • 在拟牛顿法中主要包括:DFP拟牛顿法,BFGS拟牛顿法。这里我们讲解DFP拟牛顿法。
    • 化解上面式子:Gk+11(f(Xk)f(Xk+1))=XkXk+1G_{k+1}^{-1}(∇f(X^k )-∇f(X^{k+1} ))=X^k-X^{k+1}Gk+11(f(Xk+1)f(Xk))=Xk1XkG_{k+1}^{-1}(∇f(X^{k+1} )-∇f(X^k ))=X^{k-1}-X^k
    • Gk+11=Hk+1G_{k+1}^{-1}=H_{k+1}得:Hk+1(f(Xk+1)f(Xk))=Xk1XkH_{k+1}(∇f(X^{k+1} )-∇f(X^k ))=X^{k-1}-X^k
    • 假设下面式子成立:Hk+1=Hk+EkH_{k+1}=H_k+E_k
    • 这样只要我们求出EkE_k就就可以得到Hk+1H_{k+1},这样我们就将其带入上面的方程中:(Hk+Ek)(f(Xk+1)f(Xk))=Xk+1Xk(H_k+E_k)(∇f(X^{k+1} )-∇f(X^k ))=X^{k+1}-X^k
    • 令矩阵EkE_k用下面式子构造:Ek=αukukT+βvkvkTE_k=αu_k u_k^T+βv_k v_k^T其中uk,vku_k,v_kn×1n×1的向量。
    • 令:f(Xk+1)f(Xk)=ykXk1Xk=sk∇f(X^{k+1} )-∇f(X^k )=y_k,X^{k-1}-X^k=s_k:Hk+1yk=skH_{k+1} y_k=s_k(Hk+Ek)yk=sk(H_k+E_k)y_k=s_k(Hk+αukukT+βvkvkT)yk=sk(H_k+αu_k u_k^T+βv_k v_k^T)y_k=s_kαukukTyk+βvkvkTyk=skHkykαu_k u_k^T y_k+βv_k v_k^T y_k=s_k-H_k y_k
    • ukTyk,vkTyku_k^T y_k,v_k^T y_k为常数,所以可以移到前面去:α(ukTyk)uk+β(vkTyk)vk=skHkykα(u_k^T y_k)u_k+β(v_k^T y_k)v_k=s_k-H_k y_k
    • 将上面式子中α,β视为变量,其他部分视为常量,这样上面式子就是一个非齐次的线性方程组,它解的可能性有很多,我们取特殊的情况,假设:uk=rHkyk,vk=θsku_k=rH_k y_k,v_k=θs_k则有:Ek=αr2HkykykTHkT+βθ2skskTE_k=αr^2 H_k y_k y_k^T H_k^T+βθ^2 s_k s_k^T
    • HkTH_k^T为对称矩阵:Ek=αr2HkykykTHk+βθ2skskTE_k=αr^2 H_k y_k y_k^T H_k+βθ^2 s_k s_k^T
    • 代入:α((rHkyk)Tyk)(rHkyk)+β((θsk)Tyk)(θsk)=skHkykα((rH_k y_k )^T y_k)(rH_k y_k)+β((θs_k )^T y_k)(θs_k)=s_k-H_k y_k[αr2(ykTHkyk)+1](Hkyk)+[βθ2(skTyk)1](sk)=0[αr^2 (y_k^T H_k y_k )+1](H_k y_k )+[βθ^2 (s_k^T y_k )-1](s_k)=0
    • 令:αr2(ykTHkyk)+1=0αr^2 (y_k^T H_k y_k )+1=0βθ2(skTyk)1=0βθ^2 (s_k^T y_k )-1=0
    • 得:αr2=1ykTHkykαr^2=-\frac{1}{y_k^T H_k y_k }βθ2=1skTykβθ^2=\frac{1}{s_k^T y_k}
    • 最后:Ek=HkykykTHkykTHkyk+skskTskTykE_k=-\frac{H_k y_k y_k^T H_k}{y_k^T H_k y_k }+\frac{s_k s_k^T}{s_k^T y_k }
    • Hk+1=Hk+EkH_{k+1}=H_k+E_k可得到,Hk+1H_{k+1}的递推公式:Hk+1=HkHkykykTHkykTHkyk+skskTskTykH_{k+1}=H_k-\frac{H_k y_k y_k^T H_k}{y_k^T H_k y_k }+\frac{s_k s_k^T}{s_k^T y_k }
    展开全文
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  • 最大熵模型 DFP学习算法

    千次阅读 2017-01-05 21:57:32
    使用DFP算法求解最大熵模型的学习问题: DFP算法可以参加《统计学习方法附录B》,这里用该算法推导最大熵模型的学习问题。
  • (三)DFP算法

    2018-05-14 15:46:00
    DFP算法的核心是:通过迭代的方法,对海森矩阵的变形做近似 转载于:https://www.cnblogs.com/Aaron12/p/9036448.html
  • 数学软件 之 基于MATLAB的DFP算法

    千次阅读 2019-10-08 19:24:56
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    2014-12-21 00:34:00
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