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  • dfs和bfs遍历生成树

    千次阅读 2019-12-13 11:34:18
    #include<iostream>...void dfs(char a[],int arc[][35],int s[],int n,int x){ for(int i=0;i<n;i++){ if(arc[x][i]&&s[x]==0){ cout<<a[x]; s[x]=1; dfs(a...

    dfs

    
    void dfs(char s[],int arc[][35],int v[],int n,int x){
    //顶点字符串、边、已经遍历过的顶点、顶点个数、当前遍历的顶点的下标
    	v[x]=1;
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		if(arc[x][i]&&!v[i]){//顶点i与顶点x有边且i尚未遍历
    			dfs(s,arc,v,n,i);//遍历顶点x的每一个邻接点
    		}
    	}	
    }
    

    bfs

    
    void bfs(char s[],int arc[][35],int v[],int n,int x){//对顶点x广度优先遍历
    	int front=-1,rear=-1;
    	int q[100];//存下标!! 
    	q[++rear]=x;//a[x]入队 
    	v[x]=1;
    	while(front!=rear){
    		front++;
    		for(int i=0;i<n;i++){//存入front的邻接点(出队的那个顶点的邻接点) 
    			if(!v[i]&&arc[q[front]][i]){//不是front,是q[front]:下标!!
    			//顶点i尚未入队且i与顶点q[front]有边
    				q[++rear]=i;//i入队
    				v[i]=1;//标记i已入队
    			}
    		}
    	}
    	
    }
    

    实例

    广度优先生成树

    Time Limit: 1000/2000 MS (C/Others)   Memory Limit: 32768/32768 K (C/Others)
    Problem Description:
    设有一连通无向图,其顶点值为字符型并假设各值互不相等,采用邻接矩阵表示法存储表示。利用BFS算法求其广度优先生成树(从下标0的顶点开始遍历),并在遍历过程中输出广度优先生成树的每一条边。

    Input:
    有多组测试数据,每组数据的第一行为两个整数n和e,表示n个顶点和e条边(0<n<20);第二行为其n个顶点的值,按输入顺序进行存储;后面有e行,表示e条边的信息,每条边信息占一行,包括边所依附的顶点下标i和j,数据之间用空格隔开。

    Output:
    输出广度优先生成树的每一条边,每条边信息之后均有一空格,每组输出占一行,具体格式见样例。

    Sample Input:
    4 4
    ABCD
    0 1
    0 3
    1 2
    1 3
    Sample Output:
    (A,B) (A,D) (B,C)
    Hint:
    Source:

    代码

    #include<iostream>
    using namespace std;
    void dfs(char a[],int arc[][35],int s[],int n,int x){
    	cout<<a[x];
    	s[x]=1;
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		if(arc[x][i]&&s[i]==0){
    			arc[x][i]=arc[i][x]=0;
    			dfs(a,arc,s,n,i);
    		}
    	}	
    }
    void bfs(char a[],int arc[][35],int s[],int n,int x){
    	int front=-1,rear=-1;
    	int q[100];//存下标 
    	q[++rear]=x;//a[x]入队 
    	s[x]=1;
    	while(front!=rear){
    		cout<<a[q[++front]];
    		for(int i=0;i<n;i++){//存入front的邻接点(出队的那个的邻接点) 
    		//	cout<<"arc["<<q[front]<<"]["<<i<<"]:"<<arc[front][i]<<endl;
    			if(!s[i]&&arc[q[front]][i]){
    		//		cout<<"i:"<<i<<endl; 
    				q[++rear]=i;
    				s[i]=1;
    			}
    		}
    	}
    	
    }
    int main(){
    	int n,e;
    	while(cin>>n>>e){
    		char s[30];
    		int arc[35][35]={0};
    		cin>>s;
    		int a,b;
    		while(e--){
    			cin>>a>>b;
    			arc[a][b]=arc[b][a]=1;
    		}
    		int ss[30]={0};
    		dfs(s,arc,ss,n,0);
    		cout<<endl;
    	}
    	return 0;
    }
    
    
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  • 图分为:无向图有向图 图的遍历:深度优先遍历(Depth-First Search,DFS广度优先遍历(Breadth-First Search,BFS)。 深度优先遍历广度优先遍历参考博客:https://segmentfault.com/a/1190000002685939

    UDG:无向图


    图分为:无向图(UDG)和有向图(DG

    图的表示方法:邻接表邻接矩阵。邻接表表示参考:http://blog.csdn.net/linxinyuluo/article/details/6847851

    图的遍历:深度优先遍历(Depth-First Search,DFS)和广度优先遍历(Breadth-First Search,BFS)。

    深度优先遍历类似与树的先序遍历,广度优先遍历类似与树的层次遍历

    深度优先遍历和广度优先遍历参考博客:https://segmentfault.com/a/1190000002685939

    深度优先遍历可以通过递归或者非递归,其中非递归要采用的形式存储结点;广度优先遍历一般通过非递归,需要通过队列的形式存储结点。


    c++实现:

    (1)邻接矩阵无向图的DFS和BFS:https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/iterator/udg/cplus/MatrixUDG.cpp

    (2)邻接表无向图的DFS和BFS:https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/iterator/udg/cplus/ListUDG.cpp

    (3)邻接矩阵有向图的DFS和BFS:https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/iterator/dg/cplus/MatrixDG.cpp

    (4)邻接表有向图的DFS和BFS:https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/source/graph/iterator/dg/cplus/ListDG.cpp


    图的生成树:

    G的生成树是G的极小连通子图,图的生成树不唯一,从不同的顶点出发进行遍历,可以得到不同的生成树。

    1、DFS生成树:

    2、BFS生成树:BFS生成树在G的所有生成树中的高度是最低的。

    参考:http://blog.csdn.net/coslay/article/details/38716183

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  • DFS和BFS 1:图的DFS=的先根遍历=二叉树的先序遍历。 从无向图任意结点出发进行一次DFS即可访问所有结点,则该图是:连通图 判断一个有向图是否有环亦可用DFS 2:基于邻接矩阵的DFS时间复杂度:O(n^2),基于邻接表...

    DFS和BFS

    1:图的DFS=树的先根遍历=二叉树的先序遍历。
    从无向图任意结点出发进行一次DFS即可访问所有结点,则该图是:连通图
    判断一个有向图是否有环亦可用DFS
    2:基于邻接矩阵的DFS时间复杂度:O(n^2),基于邻接表的DFS时间复杂度:O(n+e)

    3:图的BFS=树的层次遍历,能够遍历所有与该结点连通的顶点,可求无向图的所有连通分量

    4:基于邻接矩阵的BFS是唯一的,基于邻接表的BFS不唯一

    连通性

    连通度:在连通图上至少删除k个顶点才能破坏图的连通性,称k为该图的连通度

    最小生成树

    定义:不允许有环,从n个顶点的连通图选取n-1条权值最小的边
    两种算法:Prim算法和Kruskal算法

    任何一个连通图的最小生成树一棵或者多棵,因为可能有多条权值相同的边

    1:Prim:从某个顶点出发,选取与其连接的最小路径,再从被选的那个结点出发,重复以上操作,直到遍历完所有结点。
    此时的图存储结构是邻接矩阵
    Prin算法时间复杂度:O(n^2), 适用于稠密网
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    #define Max_Vex 6 //最大范围
    #define LostType int
    typedef char  VertexType;//顶点名字的类型 
    typedef enum {
    	DG,DN,UDG,UDN//有向图,有向网,无向图 无向网 
    }GraphKing;
    
    typedef struct ArcCell{
    	VRType  adj;//弧或者边的权值等 
    	InfoType *Info;//该弧相关信息的指针 
    }ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_MUN][MAX_VERTEX_MUN];//该矩阵的每一个元素拥有其成员adj 和 *info 
    
    typedef struct MGraph{
    	VertexType vexs[MAX_VERTEX_MUN];//  比如说V1 V2 V3。。。。的类型
    	AdjMatrix arcs;//邻接矩阵
    	int vexnum,arcnum;//当前顶点数和弧数
    	GraphKing kind; 
    }MGraph,*MGraphLink;
    
    typedef struct {
    	int adjvex;//顶点名
    	LostType Lowlost;	 
    }Prim,Closedge[Max_Vex];
    
     int Minnum(Closedge closedge){//进来   返回下一个结点;第K个结点 最小的那个 
     	 int i,j=0,min=100;
     	 for(i=1;i<Max_Vex;i++){
     	 	if((closedge[i].Lowlost>0)&&(min>closedge[i].Lowlost)) {
     	 		min=closedge[i].Lowlost;
     	 		printf("选好的顶点%d权值%d",i,min);
     	 		j=i;//当前矩阵最小值的下标 
    		  }
    	  }
    	  return j; 
     }
    
    void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G){//最小生成树的普利姆算法 
     	//暂时约定从第一个顶点进入(开始)
    	 
     	int i,k=0,j=0;Closedge  closedge;
     	printf("入口的顶点%d",G.vexs[0]); 
    	 for(i=1;i<G.vexnum;i++){
    	 	closedge[i].adjvex=G.vexs[i];//顶点名  坐标 
    	 	closedge[i].Lowlost =G.arcs[k][i].adj;//第一个顶点与其余各顶点(不包括第一个顶点,index从0开始)的权值	 	
    	 } //对于无向图来说,只用遍历一行(列)就能得到weigth 
    	 closedge[0].Lowlost=0;//入口入U集、、下次就不比较了 
    	
    	 for(i=1;i<G.vexnum;++i) {
    	 	k=Minnum(closedge);//最小结点的序号 
    		printf("---->%c",G.vexs[k]);  //被选的顶点
    		closedge[k].Lowlost=0;//第k个顶点入U集合 下次就不用比较了
    		for(j=0;j<G.vexnum;++j){//更新closedge数组 
    			if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].Lowlost){//重新更新closedge
    			closedge[j].adjvex=G.vexs[j];
    			closedge[j].Lowlost=G.arcs[k][j].adj;//权值				
    			} 
    		}	
    	 }
    	  
     return 0;	
     }
    

    在这里插入图片描述2:Kruskal算法:第一步:多次选“两两权值最小且不重复的顶点相连”,如果总的顶点树目为奇数则余留一个等下次再选,第二步:重复第一步骤,直到变成连通图。
    在这里插入图片描述时间复杂度:O(elog2e),通常选并查集做辅助,选权值最小的原则:不能构成回路,适用于稀疏图

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  • 广度优先遍历(BFS) 图的广度优先遍历可定义如下:首先访问出发点v,并将其标记为已访问过;然后从v出发依次访问v的每个未被访问的邻接点w。当v的所有邻接点全部访问完后,再对v的每个邻接点w继续进行广度优先遍历,...

    广度优先遍历(BFS)

    图的广度优先遍历可定义如下:首先访问出发点v,并将其标记为已访问过;然后从v出发依次访问v的每个未被访问的邻接点w。当v的所有邻接点全部访问完后,再对v的每个邻接点w继续进行广度优先遍历,直至图中所有和源点v有路径相通的顶点均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点,则另选一个尚未访问的顶点为新的源点重复上述过程,直至图中所有的顶点均已被访问为止。

    如下代码只考虑无向连通图,即图中任意两个顶点均有路径相连。同时由于图的广度优先遍历不唯一,以下代码对于多邻点的顶点的遍历,按顶点值由低到高进行广度优先遍历。
    代码运行后,第一行输入图的顶点总数目n,顶点依次编号为1,2…n,顶点编号即对应顶点值;第二行输入图的总边数m,接下来m行输入每条边的两个顶点,以逗号分隔;最后输入遍历的始发顶点编号x。比如:下图输入顶点数8(对应的顶点为1~8),边数10和边集,始发顶点为8,得到的广度优先遍历的结果为:8 1 2 5 3 6 4 7。 程序输出广度遍历结果(空格隔开)

    在这里插入图片描述

    class Graph(object):
    
        def __init__(self,*args,**kwargs):
            self.node_neighbors = {} # 定义顶点与邻接顶点集为字典结构
            self.visited = {} # 定义已访问顶点集为字典结构
    
        def add_nodes(self,nodelist):
    
            for node in nodelist:
                self.add_node(node)
    
        def add_node(self,node):
            if not node in self.nodes():
                self.node_neighbors[node] = []
    
        def add_edge(self,edge):
            u,v = edge
            if(v not in self.node_neighbors[u]) and ( u not in self.node_neighbors[v]): # 此处可添加自己指向自己的边
                self.node_neighbors[u].append(v)
    
                if(u!=v):
                    self.node_neighbors[v].append(u)
    
        def nodes(self):
            return self.node_neighbors.keys()
    
    
        def breadth_first_search(self,root=None): # 广度优先需用到队列结构
            queue = []
            order = []
            def bfs():
                while len(queue)> 0:
                    node  = queue.pop(0)
                    self.visited[node] = True
                    self.node_neighbors[node].sort()
                    for n in self.node_neighbors[node]:
                        if (not n in self.visited) and (not n in queue):
                            queue.append(n)
                            order.append(n)
    
            if root:
                queue.append(root)
                order.append(root)
                bfs()
    
            for node in self.nodes():
                if not node in self.visited:
                    queue.append(node)
                    order.append(node)
                    bfs()
            # print(order)
            return order
    
    
    if __name__ == '__main__':
        g = Graph()
        node_num=int(input())#顶点的数目
        g.add_nodes([i+1 for i in range(node_num)])
        vec_num=int(input())#边的数目
        for i in range(vec_num):
            g.add_edge(tuple(int(n) for n in input().split(',')))
        order = g.breadth_first_search(int(input()))
        # print(order)
        for i in order:
            print(i, end=' ')
    
    

    测试结果:
    在这里插入图片描述

    深度优先遍历(DFS)

    图的深度优先遍历可定义如下:首先访问出发点v,并将其标记为已访问过;然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过,则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历,直至图中所有和源点v有路径相通的顶点均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点,则另选一个尚未访问的顶点为新的源点重复上述过程,直至图中所有的顶点均已被访问为止。请编写程序实现图的深度优先遍历,从节点1开始。同时由于图的深度优先遍历不唯一,我们约定对于多邻点的顶点的遍历,按顶点值由低到高进行深度优先遍历。
    第一行输入图的顶点的数目;第二行输入图的边数;接下来逐行输入边。

    比如:下图(还是上面那个图)输入顶点数8(对应的顶点为1~8),边数10和边集,得到的深度优先遍历的结果为:1 3 7 5 4 6 8 2
    在这里插入图片描述

    class Graph(object):
    
        def __init__(self,*args,**kwargs):
            self.node_neighbors = {}
            self.visited = {}
    
        def add_nodes(self,nodelist):
    
            for node in nodelist:
                self.add_node(node)
    
        def add_node(self,node):
            if not node in self.nodes():
                self.node_neighbors[node] = []
    
        def add_edge(self,edge):
            u,v = edge
            if(v not in self.node_neighbors[u]) and ( u not in self.node_neighbors[v]):
                self.node_neighbors[u].append(v)
    
                if(u!=v):
                    self.node_neighbors[v].append(u)
    
        def nodes(self):
            return self.node_neighbors.keys()
    
        def depth_first_search(self,root=None):
            order = []
            def dfs(node):
                self.visited[node] = True
                order.append(node)
                self.node_neighbors[node].sort()
                for n in self.node_neighbors[node]:
                    if not n in self.visited:
                        dfs(n)
    
    
            if root:
                dfs(root)
    
            for node in self.nodes():
                if not node in self.visited:
                    dfs(node)
    
            #print(order)
            return order
    
    if __name__ == '__main__':
        g = Graph()
        node_num=int(input())#顶点的数目
        #node_c=input().split(',')
        #g.add_nodes(i for i in node_c)
        g.add_nodes([i+1 for i in range(node_num)])
        vec_num=int(input())#边的数目
        for i in range(vec_num):
            g.add_edge(tuple(int(n) for n in input().split(',')))
    
        #print("nodes:", g.nodes())
    
        order = g.depth_first_search(1)
        for i in order:
            print(i,end=' ')
    
    

    在这里插入图片描述

    最短路径树

    计算最短路径树使用邻接矩阵表示较方便。它是指到某个节点路径都是最短的一棵树。下面的代码求所有节点到图的第一个节点构成的最短路径树。最短路径树使用邻接矩阵表示法较方便。第一行是图的节点数n,第二行到第n+1行,是对应的图的邻接矩阵。然后,在一行中输出从所有节点(包含第一个节点自己)到第一个节点的最短路径的长度。

    n=int(input())
    path_cost=[]
    for i in range(n):
        path_cost.append(list(map(int,input().split())))
    a=[0]+[200000000 for x in range(n-1)]
    visit=[False]*n
    for i in range(n):
        min1=200000000
        for j in range(n):
            if (not visit[j]) and (a[j]<min1):
                min1=a[j]
                k=j
        visit[k]=True
        for j in range(n):
            if(not visit[j]) and (a[k]+path_cost[k][j]<a[j]):
                a[j]=a[k]+path_cost[k][j]
    print(a)
    
    

    如果两个节点之间不存在边,权重就取一个很大值,姑且输入65535。

    在这里插入图片描述

    最小生成树

    一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有n个结点,并且有保持图连通的最少的边。

    而最小生成树便是指该生成树所有边的权值之和是最小的生成树。常用的方法有prim算法和kruskal算法。
    这个代码输入第一行为正整数N。(N>0)N为图的节点数,接下来输入一个N行N列的矩阵C,因为是无向图,所以这是一个沿对角线对称的矩阵,矩阵的元素Cij代表从i节点到j节点的花费值。若该条边不存在,则设置数值为65535;输出最小生成树的cost。这里给出了两种算法的函数。

    class Graph(object):
      def __init__(self, maps):
        self.maps = maps
        self.nodenum = self.get_nodenum()
        self.edgenum = self.get_edgenum()
      
      def get_nodenum(self):
        return len(self.maps)
      
      def get_edgenum(self):
        count = 0
        for i in range(self.nodenum):
          for j in range(i):
            if self.maps[i][j] > 0 and self.maps[i][j] < 9999:
              count += 1
        return count
      
      def kruskal(self):
        res = []
        sum_cost=0
        if self.nodenum <= 0 or self.edgenum < self.nodenum-1:
          return res
        edge_list = []
        for i in range(self.nodenum):
          for j in range(i,self.nodenum):
            if self.maps[i][j] < 9999:
              edge_list.append([i, j, self.maps[i][j]])#按[begin, end, weight]形式加入
              
        edge_list.sort(key=lambda a:a[2])#已经排好序的边集合
         
        group = [[i] for i in range(self.nodenum)]
        for edge in edge_list:
          for i in range(len(group)):
            if edge[0] in group[i]:
              m = i
            if edge[1] in group[i]:
              n = i
          if m != n:
            res.append(edge)
            sum_cost +=edge[2]
            group[m] = group[m] + group[n]
            group[n] = []
        #return res
        return sum_cost
      
      def prim(self):
        sum_cost=0
        res = []
        if self.nodenum <= 0 or self.edgenum < self.nodenum-1:
          return res
        res = []
        seleted_node = [0]
        candidate_node = [i for i in range(1, self.nodenum)]
         
        while len(candidate_node) > 0:
          begin, end, minweight= 0, 0, 9999
          for i in seleted_node:
            for j in candidate_node:
              if self.maps[i][j] < minweight:
                minweight = self.maps[i][j]
                begin = i
                end = j
          res.append([begin, end, minweight])
          sum_cost += minweight 
          seleted_node.append(end)
          candidate_node.remove(end)
        return sum_cost
      
    max_value = 65535
    '''
    row0 = [0,7,max_value,max_value,max_value,5]
    row1 = [7,0,9,max_value,3,max_value]
    row2 = [max_value,9,0,6,max_value,max_value]
    row3 = [max_value,max_value,6,0,8,10]
    row4 = [max_value,3,max_value,8,0,4]
    row5 = [5,max_value,max_value,10,4,0]
    maps = [row0, row1, row2,row3, row4, row5]
    maps2=[[0,6,3,2,99,99,99],
    [6,0,5,99,99,2,99],
    [3,5,0,3,99,1,99],
    [2,99,3,0,5,99,6],
    [99,99,99,5,0,6,2],
    [99,2,1,99,6,0,4],
    [99,99,99,6,2,4,0]]
    '''
    n_length=int(input())
    maps=[]
    for i in range(n_length):
        maps.append(list(map(int,input().split())))
    graph = Graph(maps)
    #print('邻接矩阵为\n%s'%graph.maps)
    #print('节点数据为%d,边数为%d\n'%(graph.nodenum, graph.edgenum))
    #print('最小生成树kruskal算法')
    #print(graph.kruskal())
    #print('最小生成树prim算法')
    print(graph.prim())
    
    

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    2013-05-01 18:45:48
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    2014-02-28 15:12:50
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    2016-02-01 22:07:00
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    千次阅读 2018-07-27 23:24:18
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    千次阅读 2018-11-25 15:55:28
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空空如也

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dfs和bfs生成树