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  • 【转】由DFT推导出DCT

    2013-07-01 14:33:00
    由于许多要处理的信号都是实信号,在使用DFT时由于傅里叶变换时由于实信号傅立叶变换的共轭对称性导致DFT后在频域中有一半的数据冗余。 离散余弦变换(DCT)是对实信号定义的一种变换,变换后在频域中得到的也是一...

    原文地址:http://blog.sina.com.cn/s/blog_626631420100xvxd.htm

    已知离散傅里叶变换(DFT)为:

    离散余弦变换(DCT)的定义

        由于许多要处理的信号都是实信号,在使用DFT时由于傅里叶变换时由于实信号傅立叶变换的共轭对称性导致DFT后在频域中有一半的数据冗余。

         离散余弦变换(DCT)是对实信号定义的一种变换,变换后在频域中得到的也是一个实信号,相比DFT而言,DCT可以减少一半以上的计算。DCT还有一个很重要的性质(能量集中特性):大多书自然信号(声音、图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分,因而DCT在(声音、图像)数据压缩中得到了广泛的使用。由于DCT是从DFT推导出来的另一种变换,因此许多DFT的属性在DCT中仍然是保留下来的。

    推导N点长实序列的DCT,首先来定义一个新的长度为2N的序列: 

         离散余弦变换(DCT)的定义

        可看作是将周期为N的序列x[m]做一个周期延拓成一个周期为2N的序列。如图1中第一张图。

               离散余弦变换(DCT)的定义

         再来看图1中第一张图是关于 x = -1/2 对称的,要让他关于x = 0对称需要将其向右平移1/2个单位,得到  x’[m] = x’[m – 1/2] 就是关于 x = 0对称的周期序列了(如图1中第二张图)。

         然后求这个2N序列的DFT

    离散余弦变换(DCT)的定义

    就是DCT-2型离散余弦变换.从上面的过程也可以直接看出, 离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换.

    变换后的x[n]是以2N为周期,偶对称的序列: X[N+n] = X[N+n-2N] = X[n-N] = x[N-n]

    定义变换矩阵C[n,m]:

          离散余弦变换(DCT)的定义

    用计算机计算DCT-2 ( 用的是O(n^2)朴素算法,用于验证正交特性以及观察其频域数据)

    DCT的结果:

    离散余弦变换(DCT)的定义

    对相同序列FFT的结果:

    离散余弦变换(DCT)的定义

    比较DFTFFT的结果可以观察出DCT变换只有实部,而DFT变换后有虚部。在这个例子中DCT在频域中只用3个点就可以表示这个信号,而DFT变换后在频域中需要5个点来表示信号。

    参考:http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/dct/node1.html

    转载于:https://www.cnblogs.com/irish/p/3164852.html

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  • 信号变换详细推导尤其是DFT解释细节-傅立叶变换自己详细推导过程.pdf 本帖最后由 yuejianboil 于 2013-7-29 11:22 编辑 这是我自己的DFT推导过程,解决自己的困惑之处。
  • 循环卷积的时域DFT性质推导 最近研究了OFDM系统,借着学习循环前缀的机会,重新理解了一下循环卷积的思想,循环前缀主要利用了循环卷积的时域DFT性质,可以大幅的降低接收端的检测复杂度,对于这个性质的理解,网上...

    循环卷积的时域DFT性质推导

    最近研究了OFDM系统,借着学习循环前缀的机会,重新理解了一下循环卷积的思想,循环前缀主要利用了循环卷积的时域DFT性质,可以大幅的降低接收端的检测复杂度,对于这个性质的理解,网上的证明资料较少(也有可能是我没找到)。下面将我的浅薄的证明思路和过程推导贴在下面,望各路大神指正交流。

    DFT和循环卷积计算式表达:

    DFT和循环卷积计算式表达

    证明:

    在这里插入图1片描述

    将 1,2 式代入

    在这里插入图片描述

    其中,第三行到第四行,主要利用周期内N个点循环的思想
    在这里插入图片描述

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  • DFT推导(记录与疑惑)

    千次阅读 2018-06-25 20:06:29
    原文地址DFT可以这样推导:1.标准正交基向量空间(或)的标准正交基满足以下两个条件:我们可以得到一个的标准正交基矩阵:再把每一个标准正交基对应的系数写成一个列向量:则信号的标准正交基表...
    作者:psyduck
    链接:https://www.zhihu.com/question/21314374/answer/25295545
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
    原文地址

    DFT可以这样推导:
    1.标准正交基
    向量空间V\mathbb{R}^N\mathbb{C}^N)的标准正交基\left\{b_k\right\}_{k=0}^{N-1}满足以下两个条件:
    \left<b_k,b_l\right>=0,k \ne l
    \|b_k\|_2=1
    我们可以得到一个N \times N的标准正交基矩阵:
    \mathbf{B}=\left[b_0|b_1|\cdots|b_{N-1}\right]
    再把每一个标准正交基对应的系数\alpha_k写成一个列向量:
    a=\left[\begin{array}{c}\alpha_0 \\ \alpha_1 \\\vdots \\\alpha_{N-1}\end{array}\right]
    则信号x的标准正交基表示:
    x=\alpha_0b_0+\alpha_1b_1+\cdots+\alpha_{N-1}b_{N-1}=\sum_{k=0}^{N-1}{\alpha_kb_k} =\left[b_0|b_1|\cdots|b_{N-1}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha_0 \\ \alpha_1 \\\vdots \\\alpha_{N-1}\end{array}\right]=\mathbf{B}a
    那么a=\mathbf{B}^{-1}x=\mathbf{B}^{H}x(这里,\mathbf{B}^H是指\mathbf{B}的共轭转置矩阵,不难证明\mathbf{B}^{-1}=\mathbf{B}^H

    关键结论:
    对于一组标准正交基\left\{b_k\right\}_{k=0}^{N-1}和标准正交基矩阵\mathbf{B},对于任意的信号x,我们有以下的表达:

    综合式:x=\mathbf{B}a=\sum_{k=0}^{N-1}{\alpha_kb_k}

    分析式:a=\mathbf{B}^Hx\alpha_k=\left<x, b_k\right>

    综合式表明信号x可以表示成标准正交基的线性组合。
    分析式给出了计算标准正交基对应系数\alpha_k的方法,\alpha_k的大小表征了信号x与标准正交基向量b_k
    之间的相似度。

    2.特征向量与特征值
    结论:LTI系统的特征向量是复正弦谐波(证明略):
    s_k\left[n\right]=\frac{e^{j{\frac{2\pi}{N}kn}}}{\sqrt[]{N}},0\le n,k\le N-1
    可以看出复正弦谐波是一组标准正交基。

    3.标准化的DFT(Normalized DFT)
    对于标准正交基\left\{s_k\right\}_{k=0}^{N-1}和标准正交基矩阵\mathbf{S},我们定义长度为N的有限长信号x的标准化DFT为:
    综合式(IDFT):x=\mathbf{S}X

    x\left[n\right]=\sum_{k=0}^{N-1}{X\left[k\right]\frac{e^{j{\frac{2\pi}{N}kn}}}{\sqrt[]{N}}}

    分析式(DFT):X=\mathbf{S}^Hx

    X\left[k\right]=\left<x,s_k\right>=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left[n\right]\frac{e^{-j{\frac{2\pi}{N}kn}}}{\sqrt[]{N}}}
    通过标准正交基得到的DFT一种表达,也是比较容易被人理解的一种形式。但这并不是我们通常能够见到的DFT表达。

    4.未标准化的DFT(Unnormalized DFT)
    未标准化的DFT是通过正交基而非标准正交基得到的一种DFT表达,这也是我们常见的一种形式。这种形式可以避免计算上的复杂性,对于计算机来说,这是一种比较优雅的形式。由于传统,在书本、文献中一般统一采用这种DFT表达。
    综合式(IDFT):

    x\left[n\right]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X_u\left[k\right]e^{j{\frac{2\pi}{N}kn}}}

    分析式(DFT):

    X_u\left[k\right]=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left[n\right]e^{-j{\frac{2\pi}{N}}kn}}


    简单来说,DFT就是有限长信号的一种基变换,以复正弦谐波作为变换域的基是因为复正弦谐波是LTI系统的特征函数。这样,对于有限长信号,DFT就很自然成为分析LTI系统的工具了。

    这样推导DFT的方式是不错的,我很喜欢。但其中的一个问题是,复正弦谐波是一组标准正交基,虽然我也这样认为,可是却不能给出严谨的证明,很苦闷,记录下来,有时间再研究研究。


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  • 执行例子: ...> (load "ss/dft.ss") > (dft '(1 1 1 1 1 1 1 1)) (8 0 0 0 0 0 0 0) > (idft (dft '(1 1 1 1 1 1 1 1))) (1 1.0 1.0 1.0 1 1.0 1.0 1.0) > (dft '(1 2 3 4 5 6 7 8)) (36 -4.0+9.6

    lisp 代码:点击打开链接

    执行例子:

    > (load "ss/dft.ss")
    > (dft '(1 1 1 1 1 1 1 1))
    (8 0 0 0 0 0 0 0)
    > (idft (dft '(1 1 1 1 1 1 1 1)))
    (1 1.0 1.0 1.0 1 1.0 1.0 1.0)

    > (dft '(1 2 3 4 5 6 7 8))
    (36 -4.0+9.65685424949238i -4.0+4.0i -4.0+1.6568542494923797i -4
        -3.9999999999999996-1.6568542494923797i
        -3.9999999999999996-4.0i
        -3.9999999999999987-9.65685424949238i)
    > (idft (dft '(1 2 3 4 5 6 7 8)))
    (1.0000000000000002+0.0i 2.0000000000000004+1.167434911886255e-16i
      3.0-9.957992501029599e-17i 4.0+2.2776579365114115e-16i
      5.0+0.0i 6.0-1.0530111373640582e-16i
      7.0+9.957992501029599e-17i 8.0-2.3920817110336085e-16i)

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    千次阅读 2020-02-15 14:40:54
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    2009-05-21 09:46:53
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