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  • 一个矩阵的2-D(2维)DFT通常用行列法化为1-DDFT来计算。但是,用行列法把上述一维的结果推广到二维是困难的。作者得到了计算二维情形的一些新的直接公式,其证明是简明的,它们公别推广了已有的结果。同时还指出
  • 例题 计算以下图像的离散傅里叶变换 f=[1441244224421441] f=\begin{bmatrix}1&...计算方式当然不是通过原始公式硬算,而是构造权值矩阵计算。 考虑二维DFT的分解: F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−

    例题

    计算以下图像的离散傅里叶变换
    f=[1441244224421441] f=\begin{bmatrix}1&4&4&1\\2&4&4&2\\2&4&4&2\\1&4&4&1\end{bmatrix}

    计算方式当然不是通过原始公式硬算,而是构造权值矩阵来计算。

    考虑二维DFT的分解:
    F(u,v)=x=0M1y=0N1f(x,y)ej2π(ux/M+vy/N)=x=0M1ej2πux/My=0N1f(x,y)ej2πvy/N=x=0M1ej2πux/MF(x,v) F(u,v)=\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}\\=\sum^{M-1}_{x=0}e^{-j2\pi ux/M}\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi vy/N}\\=\sum^{M-1}_{x=0}e^{-j2\pi ux/M}F(x,v)
    注意到,对每一个xx,都有:
    F(x,v)=y=0N1f(x,y)ej2πvy/N F(x,v)=\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j2\pi vy/N}
    因此,当N=4N=4时:
    F(x,0)=y=0N1f(x,y)F(x,1)=y=0N1f(x,y)ejπy/2F(x,2)=y=0N1f(x,y)ejπyF(x,3)=y=0N1f(x,y)ej3πy/2 F(x,0)=\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)\\F(x,1)=\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j\pi y/2}\\F(x,2)=\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j\pi y}\\F(x,3)=\sum^{N-1}_{y=0}f(x,y)e^{-j3\pi y/2}
    固定xx时,每个F(x,v)F(x,v)可视为f(x,y)f(x,y)这个行向量与相应的权值向量(列向量)的内积,如F(x,1)F(x,1)的公式中对应的权值向量就是[1j1j]\begin{bmatrix}1&-j&-1&j\end{bmatrix}

    因此构造权值矩阵AyA_y
    Ay=[11111j1j11111j1j] A_y=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-j&-1&j\\1&-1&1&-1\\1&j&-1&-j\end{bmatrix}

    同理可构造权值矩阵Ax=AyA_x=A_y,因此傅里叶变换为:
    F=AxfAy=[11111j1j11111j1j][1441244224421441][11111j1j11111j1j]=[441010j010+10j22j2j0200002+2j202j] F=A_xfA_y=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-j&-1&j\\1&-1&1&-1\\1&j&-1&-j\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&4&1\\2&4&4&2\\2&4&4&2\\1&4&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-j&-1&j\\1&-1&1&-1\\1&j&-1&-j\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}44&-10-10j&0&-10+10j\\-2-2j&-2j&0&-2\\0&0&0&0\\-2+2j&-2&0&2j\end{bmatrix}
    注意这两个权值矩阵对所有4x4的图像都适用,可通过matlab fft2函数检验

    傅里叶反变换的权值矩阵为:
    116[11111j1j11111j1j] \frac{1}{16}*\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&j&-1&-j\\1&-1&1&-1\\1&-j&-1&j\end{bmatrix}

    类似地,构造3x3图像的权值矩阵:
    Ax=Ay=[11111/23/2j1/2+3/2j11/2+3/2j1/23/2j] A_x=A_y=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1/2-\sqrt{3}/2j&-1/2+\sqrt{3}/2j\\1&-1/2+\sqrt{3}/2j&-1/2-\sqrt{3}/2j\end{bmatrix}

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  • 离散傅里叶变换(DFT)的矩阵形式

    千次阅读 2019-12-16 15:48:31
    废话不多说了,先看一下离散傅里叶...即使信号不是周期信号,在计算机上计算的时候,由于序列长度有限,我们就可以认为这只是信号的一个周期内容。同样,我们输入到计算机中的序列一定是经过采样定理采样后的信号,...

    废话不多说了,先看一下离散傅里叶变换的公式:

    公式1

    看着如此简单的公式,其实暗藏玄机,往往我们忽略的都是最重要的细节。第一,这个公式针对的是离散周期信号,得到的频域也是离散周期频信号。这也是最普遍使用的公式,方便在计算机上计算。即使信号不是周期信号,在计算机上计算的时候,由于序列长度有限,我们就可以认为这只是信号的一个周期内容。同样,我们输入到计算机中的序列一定是经过采样定理采样后的信号,因此任意一个信号在计算机上做傅里叶变换的时候,都是离散周期信号!!第二,如果信号x(n)是周期函数,那么信号应该限制在一个周期T1之内。第三,变换前后的序列长度是一样的都为[0,N-1]。第四,信号长度N与采样频率f是不一样的,他们的关系是:N=f*T1,其中T1为信号总时间。第五,变换后的横坐标轴不是1,2,3……,而应该是f1,2*f1,3*f1……,因为非简化的离散傅里叶变换公式应该是:

    公式2-1 
    公式2-2

    ​其中,T1为信号时间,N为信号采样数,Ts为信号采样间隔时间,f1为频率间隔。这样就能很清晰的看到,变换后的坐标轴都是f1的整数倍。​由时域采样间隔Ts,确定频域重复周期fs,而df→f1=fs/N,即确定了频域的横轴坐标。要想详细了解可以看郑君里的《信号与系统》下册,第九章内容。

    好像跑题了,不过离散跟连续真的是有很大的区别,需要特别关注。继续说如何得到离散傅里叶的矩阵形式,我们将上式展开写成如下形式:

    公式3

    ​显而易见,上式中的W各次幂组成的矩阵就是我们要找的离散傅里叶变换矩阵。是不是很简单呢?同理,我们可以得到IDFT的变换矩阵如下:

    公式4  

    可以从上面看出,两个变换矩阵都是方阵,而且都是对称矩阵。​

    对于DFT的正变换在matlab中,已经有写好的程序为dftmtx(n)。而逆变换的矩阵可以通过求dftmtx(n)矩阵的逆,当然也可以自己写(突然发现自己好蠢,为毛要自己写)。matlab程序如下:

    N=width;

    x=(0:N-1)'*(0:N-1);

    W=exp(2*pi*1i*x/N)/N;

    ​总结一下,其实大部分变换都存在变换矩阵,就是将变换从公式形式向量化,写为矩阵形式即可。其次,因为我们往往会在计算机上使用,也就意味着我们用到的都是离散变换,而离散域跟连续域的不同是我们要特别注意的,我也已经在文中写了几条,也希望各为大神给予指点。

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  • 这种 DFT 在变换的向量矩阵表示中是直观的,并且在内存和时间之间的交易中是有效的(避免正弦、余弦计算循环)。 规范化也很简单。
  • 所有计算均使用具有三重ζ(TZ)质量的Slater类型轨道(STO)基集以及用于KS矩阵的交换和库仑项的恒等身份方法的高效成对原子分辨率(PARI- K和PARI- Ĵ,并用于评估MP2能量校正(PARI-MP2)。采用二次缩放SOS-AO-.....

    在一个包含1,644个数据点的综合数据库中,涵盖了主族以及过渡金属化学的多个方面,我们评估了60个密度泛函近似(DFA)的性能,其中包括36个双杂种(DH)。所有计算均使用具有三重ζ(TZ)质量的Slater类型轨道(STO)基集以及用于KS矩阵的交换和库仑项的恒等身份方法的高效成对原子分辨率(PARI- K和PARI- Ĵ,并用于评估MP2能量校正(PARI-MP2)。采用二次缩放SOS-AO-PARI-MP2算法,基于自旋对立缩放(SOS)MP2逼近的DH相对于大分子数据库进行了基准测试。
    我们评估了B3LYP以及DH B2GP‐PLYP的STO / PARI计算的准确性,并表明组合的基本集和PARI误差与使用著名的def2‐TZVPP高斯型基本集获得的结果相当。结合整体密度拟合。虽然四倍 ζ由于数值问题,目前(QZ)计算对于PARI‐MP2不可行,我们表明在TZ级别上,已复制了用于对DFA进行分类的雅各布阶梯。但是,尽管最好的DH比最好的DH更为准确,但与QZ级别上常见的改进相比,改进并不明显。对于需要非常高的准确度才能获得定性正确结果的有机分子和非共价相互作用的构象异构体,DHs仅比杂化剂有很小的改进,而它们在热化学,动力学,过渡金属化学和对应变有机体系的描述方面仍然很出色。根据著名的DFA的Jacob’s阶梯分类方案[,通常最准确,最可靠的功能应该是DH-DFA。确实,Goerigk,Grimme,Martin及其同事对全面的GMTKN55 数据库进行了严格的验证,证实了这一推测。
    不幸的是,混合WF理论转化为KS-DFT不仅以更高的精度随之而来也有增加的计算成本。混合功能的KS矩阵的计算通常与N 4缩放操作计数相关联,[N 5是系统大小N的函数,而用于评估规范MP2相关能量的CPU时间随N 5的增加而增加。
    鉴于这些缩放特性,对于这两种任务而言,具有成本效益的算法的可用性对于将杂化和DH-DFA常规应用于大分子至关重要。对于库仑(J)和交换(K)项,利用4级电子排斥积分(ERI)张量中的稀疏性是降低用于混合功能的KS矩阵构造的计算成本的关键。基于积分初筛技术算法提供良好的可扩展性,但是从高前因子受到影响。为了规避这个问题,现代的代码还依靠密度接头(DF) ]近似是评估J项的有效方法,尤其是与J引擎技术结合使用时。全球密度拟合为效率较低的ķ -term和有前途的方法,以实现更好的性能是伪光谱的方法,所述辅助密度矩阵方法]或局部不同口味DF(LDF)]的近似。后一种方法的最有希望的变体可能是标识(PARI)近似的一对原子分辨率(称为PARI- ķ当施加到ķ -term])。在Baerends等人的治疗之后,采用了最极端的LDF方法。为J项,AO的每一对乘积在一组辅助基函数中展开,这些辅助基函数以与目标基元对相同的两个原子为中心。
    为了加快对MP2能量的评估,DF是唯一被广泛使用的方法。]通过大小中的至少一个以便减少规范实现的前因子,它保留其Ñ 5缩放。然而,依靠动力电子相关的短rangedness许多MP2算法缩放减小,采用局部分子轨道(MO),依赖于碎片接近或在AO基础评价MP2能量和在ERI张量利用稀疏性已经制定出来。
    遵循后一种方法,我们已经证明PARI方法不仅可以用来加速KS矩阵的构建,而且可以有效地计算MP2相关能量。虽然我们已经证明基于MO的PARI-MP2算法可以轻松地与DF-MP2竞争,但我们还制定了Spin相反比例缩放[(SOS)-AO-PARI-MP2算法,通过二次缩放操作计数,可以获取准确的SOS-MP2能量。实施在所述基于STO-阿姆斯特丹密度泛函(ADF)的代码中,SCF,虽然广泛经由PARI-加速ķ代表使用TZ质量的基础集对数百个原子的分子进行单点SOS-MP2计算的瓶颈(CPU时间和内存)。我们得出的结论是,只要混合计算可行,这也使量子化学家能够进行DH计算。

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  • 使用cv::dft(), 矩阵未按照2次幂对齐,最终跟踪平均准确率 84.3% 使用cv::dft(),矩阵使用cv::copyMakeBorder对齐,最终跟踪平均准确率 88.5%, 但中间有7帧完全没跟准 使用cv::ocl_dft(),矩阵使用cv::...

    以一个跟踪算法来测试:

    • 使用cv::dft(), 矩阵未按照2次幂对齐,最终跟踪平均准确率 84.3%
    • 使用cv::dft(),矩阵使用cv::copyMakeBorder对齐,最终跟踪平均准确率 88.5%, 但中间有7帧完全没跟准
    • 使用cv::ocl_dft(),矩阵使用cv::copyMakeBorder对齐,最终跟踪平均准确率 33.7%, 中间有88帧完全没跟准

    本想通过opencl来加速,而结果都没对齐,看来此方向不可行。

    转载于:https://www.cnblogs.com/ahfuzhang/p/11206522.html

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dft矩阵计算