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  • DFT离散傅里叶变换

    2017-05-10 13:18:22
    1.1傅立叶图像  对一张图像使用傅立叶变换就是将它分解成正弦和余弦两部分。也就是将图像从空间域(spatial domain)转换到频域(frequency ... 2维图像的傅立叶变换可以用以下数学公式表达: 式中 f 是空间域(spatial d

    1.1傅立叶图像

      对一张图像使用傅立叶变换就是将它分解成正弦和余弦两部分。也就是将图像从空间域(spatial domain)转换到频域(frequency domain)。 这一转换的理论基础来自于以下事实:任一函数都可以表示成无数个正弦和余弦函数的和的形式。傅立叶变换就是一个用来将函数分解的工具。 2维图像的傅立叶变换可以用以下数学公式表达:

    式中 f 是空间域(spatial domain)值, F 则是频域(frequencydomain)值。 转换之后的频域值是复数,因此,显示傅立叶变换之后的结果需要使用实数图像(real image) 加虚数图像(complex image), 或者幅度图像(magitude image)加相位图像(phase image)。 在实际的图像处理过程中,仅仅使用了幅度图像,因为幅度图像包含了原图像的几乎所有我们需要的几何信息。然而,如果你想通过修改幅度图像或者相位图像的方法来间接修改原空间图像,你需要使用逆傅立叶变换得到修改后的空间图像,这样你就必须同时保留幅度图像和相位图像了。

    在此示例中,我将展示如何计算以及显示傅立叶变换后的幅度图像。由于数字图像的离散性,像素值的取值范围也是有限的。比如在一张灰度图像中,像素灰度值一般在0到255之间。 因此,我们这里讨论的也仅仅是离散傅立叶变换(DFT)。 如果你需要得到图像中的几何结构信息,那你就要用到它了。请参考以下步骤(假设输入图像为单通道的灰度图像 I)


    1.2函数

    (1)int getOptimalDFTSize(int vecsize)

    该函数是为了获得进行DFT计算的最佳尺寸。因为在进行DFT时,如果需要被计算的数字序列长度vecsize为2的n次幂的话,那么其运行速度是非常快的。如果不是2的n次幂,但能够分解成2,3,5的乘积,则运算速度也非常快。这里的getOptimalDFTSize()函数就是为了获得满足分解成2,3,5的最小整数尺寸。很显然,如果是多维矩阵需要进行DFT,则每一维单独用这个函数获得最佳DFT尺寸。

    (2)void copyMakeBorder(InuptArray src, OutputArray dst, int top ,int bottom, int left, int right, int borderType, const Scalar&value=Scalar())

    该函数是用来扩展一个图像的边界的,第3~6个参数分别为原始图像的上下左右各扩展的像素点的个数,第7个参数表示边界的类型,如果其为BORDER_CONSTANT,则扩充的边界像素值则用第8个参数来初始化。将src图像扩充边界后的结果保存在dst图像中。

    (3)merge()函数是把多个但通道数组连接成1个多通道数组,而split()函数则相反,把1个多通道函数分解成多个但通道函数。

    (4)void magnitude(InputArray x, InputArray y, OutPutArray magnitude)

    该函数是计算输入矩阵x和y对应该的每个像素平方求和后开根号保存在输出矩阵magnitude中。

    (5)函数log(InputArraysrc, OutputArray dst)是对输入矩阵src中每个像素点求log,保存在输出矩阵dst的相对应的位置上。

    1.3过程描述

    将图像延扩到最佳尺寸。离散傅立叶变换的运行速度与图片的尺寸息息相关。当图像的尺寸是2, 3,5的整数倍时,计算速度最快。因此,为了达到快速计算的目的,经常通过添凑新的边缘像素的方法获取最佳图像尺寸。函数 getOptimalDFTSize() 返回最佳尺寸,而函数copyMakeBorder() 填充边缘像素:

    Mat padded;                            //将输入图像延扩到最佳的尺寸
    int m = getOptimalDFTSize( I.rows );
    int n = getOptimalDFTSize( I.cols ); // 在边缘添加0
    copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));

    添加的像素初始化为0.

    为傅立叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间。傅立叶变换的结果是复数,这就是说对于每个原图像值,结果是两个图像值。此外,频域值范围远远超过空间值范围,因此至少要将频域储存在 float 格式中。结果我们将输入图像转换成浮点类型,并多加一个额外通道来储存复数部分:

    Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
    Mat complexI;
    merge(planes, 2, complexI);         // 为延扩后的图像增添一个初始化为0的通道

    进行离散傅立叶变换。支持图像原地计算 (输入输出为同一图像):

    dft(complexI, complexI);            // 变换结果很好的保存在原始矩阵中

    将复数转换为幅度.复数包含实数部分(Re)和复数部分 (imaginary - Im)。 离散傅立叶变换的结果是复数,对应的幅度可以表示为:

    转化为OpenCV代码:

    split(complexI,planes);                   // planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))
    magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] =magnitude
    Mat magI = planes[0];

    对数尺度(logarithmicscale)缩放. 傅立叶变换的幅度值范围大到不适合在屏幕上显示。高值在屏幕上显示为白点,而低值为黑点,高低值的变化无法有效分辨。为了在屏幕上凸显出高低变化的连续性,我们可以用对数尺度来替换线性尺度:

    转化为OpenCV代码:

    magI += Scalar::all(1);                    // 转换到对数尺度
    log(magI, magI);

    剪切和重分布幅度图象限. 还记得我们在第一步时延扩了图像吗? 那现在是时候将新添加的像素剔除了。为了方便显示,我们也可以重新分布幅度图象限位置(注:将第五步得到的幅度图从中间划开得到四张1/4子图像,将每张子图像看成幅度图的一个象限,重新分布即将四个角点重叠到图片中心)。 这样的话原点(0,0)就位移到图像中心。

    int cx = magI.cols/2;
    int cy = magI.rows/2;
     
    Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy));   // Top-Left - 为每一个象限创建ROI
    Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy));  // Top-Right
    Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy));  // Bottom-Left
    Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); //Bottom-Right
     
    Mat tmp;                           // 交换象限 (Top-Left with Bottom-Right)
    q0.copyTo(tmp);
    q3.copyTo(q0);
    tmp.copyTo(q3);
     
    q1.copyTo(tmp);                    // 交换象限 (Top-Right with Bottom-Left)
    q2.copyTo(q1);
    tmp.copyTo(q2)

    7.归一化. 这一步的目的仍然是为了显示。 现在我们有了重分布后的幅度图,但是幅度值仍然超过可显示范围[0,1] 。我们使用 normalize()函数将幅度归一化到可显示范围。

    normalize(magI, magI, 0, 1, CV_MINMAX); // 将float类型的矩阵转换到可显示图像范围
                                            // (float [0, 1]).

    1.4完整程序

    #include "opencv2/core/core.hpp"
    #include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp"
    #include "opencv2/highgui/highgui.hpp"
    #include <iostream>
    #include <fstream>
    using namespace cv;
    using namespace std;
    
    int main(int argc, char ** argv)
    {
    	//以灰度图像模式读入原始图像
    	const char* filename ="4.jpg";
    	Mat I = imread(filename, CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
    	if( I.empty())
    		return -1;
    
    	//将图像扩展到最佳尺寸,边界用0补充
    	Mat padded;                            //expand input image to optimal size
    	//将添加的像素初始化为0
    	int m = getOptimalDFTSize( I.rows );//计算最佳扩充尺寸
    	int n = getOptimalDFTSize( I.cols ); // on the border add zero values
    	copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));		//扩充图像
    
    	//为傅里叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间
    	//将planes数组组合合并成一个多通道的数组complexI
    	Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};		//添加维度,用于存储傅立叶变换的结果
    	Mat complexI;
    	merge(planes, 2, complexI);         // Add to the expanded another plane with zeros	//合并通道
    
    	//进行傅里叶变换
    	dft(complexI, complexI);            // this way the result may fit in the source matrix	//离散傅立叶变换
    
    	//将复数转换为幅值,即=> log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
    	// compute the magnitude and switch to logarithmic scale
    	// => log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
    	split(complexI, planes);                   // planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))	//将存储在complexI的结果分解到planes[0],planes[1]中	// 将多通道数组complexI分离成几个单通道数组,planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))
    	magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] = magnitude		//计算复制
    	Mat magI = planes[0];
    
    	//进行对数尺度缩放
    	magI += Scalar::all(1);                    // switch to logarithmic scale	//用对数表示
    	log(magI, magI);		//求自然对数
    
    	//剪切和充分不幅度图象限
    	//若有奇数行或者奇数列,进行频谱裁剪
    	// crop the spectrum, if it has an odd number of rows or columns
    	//按位与,x & -2大概意思就是取不大于x 的最大偶数
    	magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
    
    	//重新排列傅里叶图像中的象限,使得原点位于图像的中心
    	// rearrange the quadrants of Fourier image  so that the origin is at the image center        
    	int cx = magI.cols/2;
    	int cy = magI.rows/2;
    
    	Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy));   // Top-Left - Create a ROI per quadrant 
    	Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy));  // Top-Right
    	Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy));  // Bottom-Left
    	Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); // Bottom-Right
    	//交换象限(左上与右下)
    	Mat tmp;                           // swap quadrants (Top-Left with Bottom-Right)
    	q0.copyTo(tmp);
    	q3.copyTo(q0);
    	tmp.copyTo(q3);
    	//交换象限(右上与左下)
    	q1.copyTo(tmp);                    // swap quadrant (Top-Right with Bottom-Left)
    	q2.copyTo(q1);
    	tmp.copyTo(q2);
    
    	//归一化
    	normalize(magI, magI, 0, 1, CV_MINMAX); // Transform the matrix with float values into a 
    	// viewable image form (float between values 0 and 1).
    
    	Mat invDFT,invDFTcvt;
    	idft(complexI, invDFT, DFT_SCALE | DFT_REAL_OUTPUT );//离散傅立叶逆变换
    	invDFT.convertTo(invDFTcvt, CV_8U);
    	imshow("invDFTcvt", invDFTcvt);
    
    	imshow("Input Image"       , I   );    // Show the result
    	imshow("spectrum magnitude", magI);    
    	waitKey();
    
    	return 0;
    }


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  • 首先这篇文章不是介绍傅里叶变换的。该文只是做一些代码实现的笔记(其实就是把公式转换为代码)。关于学习傅里叶变换还是应该看一些专业的文章,我对这方面知识学习只是一个小白,希望不要误导一些人):,一些我查...

    首先这篇文章不是介绍傅里叶变换的。该文只是做一些代码实现的笔记(其实就是把公式转换为代码)。关于学习傅里叶变换还是应该看一些专业的文章,我对这方面知识学习只是一个小白,希望不要误导一些人):,一些我查到的比较合理的整理
    更易懂一些解释
    https://www.zhihu.com/question/21314374
    https://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763358
    https://www.zhihu.com/question/19714540
    教科书版的一些解释
    《数字图像处理》相关章节
    http://cns-alumni.bu.edu/~slehar/fourier/fourier.html#filtering
    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2
    http://web.xidian.edu.cn/kywang/files/20121027_164737.pdf

    最近在看opencv 关于离散傅里叶变换
    离散傅里叶变换的作用1.图像增强与图像去噪2.图像分割之边缘检测3.图像特征提取
    dft就像是棱镜将光线分解一样,将信号(对于图像,就是离散的二维矩阵)分为时域频域两个部分(以上链接中有详细图文解释),通过对分解后的在频域处理,高频代表图像的细节纹理信息,低频代表图像的轮廓信息。通过相应滤波器可以达到如上处理效果,通过逆变换还原处理后的图像。

    oepncv中用一个dft函数和竖行简单的代码就很实现一个基本的图片傅里叶变换 和 逆变换,看到一张图像傅里叶的图谱那种感觉真的十分的美妙,在你的计算机进行这变换的那一刻,耳边的音乐可能还会很诗意的卡顿一下。

    不过虽然opencv容易实现,但对于其原理可能一知半解。于是希望能够自己尝试通过代码实现一下。

    未完待续。。。

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  • 目前主流视频编解码算法都要使用到离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)以及离散正弦变换(Discrete Sine Transform)对预测残差进行空域/频域的转换,通过牺牲部分高频的信息来达到压缩的目的。总的来说,DCT...

    目前主流视频编解码算法都要使用到离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)以及离散正弦变换(Discrete Sine Transform)对预测残差进行空域/频域的转换,通过牺牲部分高频的信息来达到压缩的目的。总的来说,DCT和DST都各自有八种形式,网上主要的资料都是介绍DCT-II,也就是第二类DCT,至于其他类型的资料少之又少,更不用说关于DST的介绍。过去,DCT-II由于其自身确实具有的优越性,在早期的编解码算法如H.264中大量使用,但后来人们发现其他的DCT和DST在某些情况下表现或许更加出色,例如,最新的H.266标准也将DCT-VIII以及DST-VII加入到了候选变换类型中。因此,为了弄懂H.266为什么要使用这三种变换类型,我们有必要对DCT和DST的原理做深入的理解。

    很多人可能并不清楚DCT和DST从何而来,也不知道为什么它们两者为什么会有那么多种形式。实际上,DCT和DST的推导完完全全来自于离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform),他们两者本质上是DFT的特殊形式,因此,如果弄懂了DFT,DCT和DST也就自然理解了。所以,文章开始着重分析了DFT的一些性质,实际上是为后面做必要的铺垫。不过,要弄懂DFT,还要从傅里叶级数以及傅里叶变换说起,但由于篇幅限制,这里就不说了,大家可以找一些信号与系统的书籍资料学习一下,其实文章的内容大部分在那本绿皮的《数字信号处理》里面都有。因为这个文档我是写在Word里的,要转成Markdown不太方便,所以就直接转成图片了,后面篇幅比较长,但其实弄懂了前面的DFT后面的都只是一些重复性的工作而已。公式较多,内容较广,所以有些文字上的错误或者理解上的偏差在所难免。

    离散傅里叶变换

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    离散余弦变换

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    离散正弦变换

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    附录

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  • 离散傅里叶变换DFT)(一)

    万次阅读 多人点赞 2018-08-11 11:17:40
    离散傅里叶变换DFT) 傅里叶变换的优点就是能够将信号从时序空间转换到频域,从频率的角度去分析信号,能够容易发现一些时域内不容易发现的频率。这句话在N多博客里都有类似的描述。那么为什么呢?怎么转换到的...

    离散傅里叶变换(DFT)

    傅里叶变换的优点就是能够将信号从时序空间转换到频域,从频率的角度去分析信号,能够容易发现一些时域内不容易发现的频率。这句话在N多博客里都有类似的描述。那么为什么呢?怎么转换到的频域?

    1. 欧拉公式

    欧拉公式被誉为“宇宙第一公式”,在傅里叶级数、泰勒级数、三角函数等都存在它的身影,欧拉公式的具体形式如公式 (1.1) 所示。当x为π的时候,欧拉公式将产生欧拉恒等式公式(1.2),这个恒等式将这e,j,π,1,0这几个常量联系在一起。

    2. 周期性离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transforma, DFT)

     傅里叶变换有连续时间非周期傅里叶变换,连续时间周期性傅里叶变换,离散时间非周期傅里叶变换和离散时间周期性傅里叶变换,鉴于计算机主要处理离散周期性信号,本文主要介绍周期性离散时间傅里叶变换(DFT)。DFT的公式如公式(2.1)所示。

        其中N表示傅里叶变换的点数,k表示傅里叶变换的第k个频谱,那么傅里叶变换怎么通过公式(2.1)将信号从时域空间转换到频域空间的呢?这时候我们将公式(2.1)通过公式(1.1)进行展开便得到如下的公式(2.2)。

    由此可知,傅里叶变换后的第k个点对应的是一个复数。由于余弦信号也一种相位发生π/2移动的正弦信号,因此,这也意味着DFT将时序信号转换成了正弦信号的叠加。由于频率相同的正弦信号的叠加仍然是相同频率的正弦信号,由此可知,变换后的第k点的实部和虚部对应的是一个相同频率的正弦信号,只是相位不同。随着k的变换余弦信号的频率也在发生变换,这也就解释了为什么DFT能够将时序信号转化成不同频率的正弦信号的叠加。

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空空如也

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